16 статей
|
`I=8000*16*128=1384000` бит `I=8000*16*128//8=2048000` байт `I=8000*16*128//8//1024=2000` Кбайт `I=8000*16*128//8//1024//1024~~1,95` Мбайт |
`1` мин `= 60` сек `~~64` сек `= 2^6` сек
`1000~~1024=2^(10)`
Итак, объём музыкального файла вычисляется по формуле
`I=f*r*k*t`,
где `f` – частота дискретизации, `r` – разрешение (глубина кодирования), `k` – количество каналов, `t` – время звучания.
Теперь применим полученные знания о представлении текстовой информации на практике. В языке программирования Паскаль для работы с текстовой информацией есть специальный символьный тип переменных, который называется char (от английского character). Переменные этого типа занимают в оперативной памяти по `1` байту и, соответственно, могут принимать `256` различных значений. Значениями переменных этого типа являются элементы какой-либо однобайтовой кодовой таблицы (например, KOI-`8` или Windows-`1251`). Какие именно символы являются значениями данного типа, зависит от того, какая кодовая таблица используется в момент выполнения (а не написания) программы. То есть одна и та же программа, например, печатающая изображение всех символов кодовой таблицы, на компьютерах с различными текущими кодировками будет иметь различные результаты работы.
Переменным символьного типа можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом есть два способа записи символьных констант. Первый способ – записать явное изображение символа, заключив его в апострофы. Пусть, например, переменная C имеет тип char. Присвоим ей значение: C:= 'a'; Описанный способ записи символьных значений удобно применять практически всегда. Единственный недостаток этого способа заключается в том, что так невозможно представить служебные символы, которые не имеют явных изображений (в кодовой таблице это первые `32` символа). Поэтому существует ещё один способ записи символьных констант – сначала указать спецсимвол решётку (#), а потом код интересующего нас символа. Например, C:=#13; Недостаток этого способа заключается в том, что нужно помнить коды всех символов, поэтому обычно его применяют только для записи символов без явного изображения.
Переменные типа char можно выводить на экран при помощи оператора вывода и вводить с клавиатуры. Апострофы при вводе набирать не нужно (каждый апостроф также будет считаться отдельным символом). Служебные символы вводятся следующим образом: нужно зажать alt и на правой цифровой клавиатуре набрать код символа (например, 13).
К переменным типа char можно применять операции сравнения (> , < , >= , <= , = , <>). При этом сравниваются коды символов и большим признаётся символ, имеющий больший код (то есть символ, находящийся дальше от нулевого). Результатом операции сравнения является логическое значение – true или false.
Существует `5` стандартных функций для работы с переменными символьного типа:
|
Функция |
Действие |
Тип аргумента |
Тип результата |
|
Ord(c) |
Выдаёт код символа |
Char |
Integer |
|
Chr(x) |
Выдаёт символ по коду |
Integer |
Char |
|
Succ(c) |
Выдаёт следующий символ кодовой таблицы. Не определена для последнего символа |
Char |
Char |
|
Pred(c) |
Выдаёт предыдущий символ кодовой таблицы. Не определена для нулевого символа |
Char |
Char |
|
Upcase(c) |
Если аргумент является строчной латинской буквой, превращает его в соответствующую заглавную. Иначе ничего не делает |
Char |
Char |
Тип char является порядковым, то есть для каждого символа можно назвать его порядковый номер в типе, а также следующий и предшествующий элементы типа. Например, символ '1' имеет код `49`, следующий символ – это '2', а предыдущий – '0'. Благодаря этому свойству переменные типа char могут использоваться в качестве счётчиков в цикле for. Например, распечатать все заглавные латинские буквы можно следующим образом:
For c:= 'A' to 'Z' do write (c);
где переменная c имеет тип char.
Если в цикле for используется слово to, то на каждом шаге цикла счётчик будет принимать следующее значение в типе, в случае же downto – предыдущее значение в типе.
Рассмотрим несколько примеров задач на символьные переменные.
Вывести на экран все символы кодовой таблицы.
Эту задачу можно решать двумя способами: перебрать все символы или все их коды – разница только в типе счётчика цикла.
Способ 1:
var c:char;
begin
for c:=#0 to #255 do
write(ord(c),'-',c,' ');
readln
end.
Способ 2:
var i:integer;
begin
for i:=0 to 255 do
write(i, '-',chr(i), ' ');
readln
end.
Дана последовательность символов, заканчивающаяся точкой. Подсчитайте сумму цифр, входящих в эту последовательность.
Эта задача демонстрирует очень важную вещь – как превратить символ-цифру в целое число. Это осуществляется следующим образом: необходимо вычислить код интересующего нас символа (например, код единицы `49`) и вычесть из него код символа «ноль». В любой кодировочной таблице символы-цифры идут подряд, поэтому, выполнив указанные действия, мы гарантированно получим числовое значение символа-цифры. Приведём полный текст решения.
var c: char; s: integer;
begin
s :=0;
read (c);
while c <> '.' do
begin
if (c >= '0')and(c <= '9')
then s:= s+ord(c)–ord('0');
read (c);
end;
writeln ('s=',s);
readln
end.
Дана непустая последовательность слов, состоящих из заглавных и строчных латинских букв в любом порядке. Между соседними словами запятая, за последним словом – точка. Никакие другие символы в последовательность не входят. Определить количество слов, которые начинаются на букву `Z`.
Это ещё один классический тип задач на обработку последовательностей символов. При её решении у нас возникнет конструкция из вложенных циклов: внутренний цикл анализирует слово, а внешний перебирает слова. Приведём полный текст решения.
var c:char; s:integer;
begin
s:=0;
repeat
read(c);
if c='Z' then s:=s+1;
repeat
read(c)
until (c=',')or(c='.')
until c='.';
writeln('s=',s);
readln
end.
Данный оператор представляет собой естественное расширение условного оператора. В общем виде он записывается следующим образом:
case <выражение порядкового типа> of
константа_1: оператор_1;
константа_2: оператор_2;
...
Константа_n: оператор_n;
else оператор
end
Слова: case, of, else, end - являются ключевыми словами языка. Выражение, стоящее между словами case и of, называется селектором и должно иметь порядковый тип. Тип является порядковым, если можно для каждого значения назвать порядковый номер в типе, предыдущее и следующее значение в типе (кроме первого и последнего значения в типе). Из известных нам стандартных типов порядковыми являются типы integer, longint, boolean и char. Тип real порядковым не является.
Работает оператор выбора следующим образом. Сначала вычисляется значение селектора, затем оно сравнивается с константами. В случае совпадения селектора с какой-нибудь константой выполняется оператор, стоящий после этой константы, далее управление переходит на следующий за case оператор программы. Если селектор не совпал ни с одной из констант, то выполняется оператор после слова else. Очевидно, что селектор и константы должны иметь одинаковые типы. Иначе невозможно будет провести операции сравнения.
Если нужно для многих различных значений селектора выполнить один и тот же набор команд, то можно не записывать множество строк с одинаковой правой частью, а перечислить константы через запятую, затем поставить двоеточие и один раз написать нужную последовательность команд. Если константы идут подряд, можно также записать их в виде диапазона: константа_1..константа_2. В этом случае команда будет выполняться при совпадении селектора с любой константой из диапазона. Граничные значения считаются включёнными в диапазон. Можно также указать несколько диапазонов через запятую.
Оператор выбора предполагает однозначный выбор варианта. То есть нельзя одной и той же константой пометить два различных варианта. Все константы должны быть различны. Особенно аккуратно следует обращаться с диапазонами. Широко распространённая ошибка – указывать одну и ту же константу в качестве начальной границы одного диапазона и конечной – другого. Однако поскольку границы входят в диапазон, получается, что это значение будет входить в два разных диапазона.
Последнее замечание заключается в том, что в отличие от оператора if перед else необходимо ставить точку с запятой. И кстати, аналогично оператору if, если в ветке else должен стоять пустой оператор, её можно не записывать. Приведём примеры нескольких различных операторов варианта.
case c of
'+': x := x + y;
'-': x := x - y;
'*': x := x * y;
else writeln('error')
end;
case c of
'a'..'z','A'..'Z': writeln('letter');
'0'..'9': writeln('digit')
end;
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми - для этого требуется лишь борьба двух или более лиц и какие-либо интересы, за которые эти лица ведут борьбу. Шахматы, домино, прыжки в высоту - всё это игры. Стремление занять свободное место в автобусе, соперничество мировых держав в ядерной сфере, беседа сотрудника ГИБДД с нарушителем, поход семейной пары в торговый центр - и это тоже игры. Так, в случае стремления занять свободное место в пустом автобусе в этом процессе участвуют не менее двух человек, которые ведут борьбу за свободные места (свои интересы), причём довольно часто количество свободных мест намного меньше количества участвующих в этой игре человек, поэтому в этой игре есть выигравшие и проигравшие. В этом случае интересы (занять свободное место) у игроков совпадают. Однако в случае игры «поход семейной пары в торговый центр» интересы часто строго противоположные: жене хочется совершить как можно больше покупок; мужу - потратить как можно меньше денег на эти покупки.
Изучение такого широкого класса игр математическими методам бессмысленно – в каждой игре есть свои мало-формализуемые особенности, а процесс принятия решений игроками может опираться не только на какие-то математические принципы, в него могут вписываться другие особенности человека, например, уровень интеллекта и характер.
Для решения спора Петя и Вася обращаются к компьютеру за случайным натуральным числом. Если выданное число - чётное, спор выигрывает Петя, если нечетное - спор выигрывает Вася. Является ли описанная процедура игрой?
Данная процедура тоже является игрой - два игрока ведут борьбу за свои интересы (выиграть спор), и то, как это они делают - неважно. Фактически, игроки с помощью компьютера реализовали подкидывание монетки.
Для решения спора Петя и Вася пишут цифры по очереди на доске слева направо, начинает Петя. Если после десяти ходов полученное `10`-значное число не делится на девять, в споре побеждает Петя, а если делится – Вася. Докажите, что Вася может выиграть спор.
Второй игрок (Вася) может дополнять число, написанное первым игроком, до девяти. Если ход Пети - «`9`», то ход Васи - «`0`» и т. п. После десяти ходов получим `10`-значное число, сумма цифр которого равна `9^(**)5=45`, и полученное число будет делиться на девять. Таким образом, второй игрок (Вася) сможет выиграть при любых ходах первого игрока (Пети).
Такие игры, в которых как играть - известно одному или обоим игрокам, уже представляют интерес для формализации и изучения. Одним из самых узких классов таких игр является класс математических игр. Этому классу и посвящено данное задание.
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает проигрыш соперника. Иногда в математических играх допускают ничью.
Условие 3. В игре участники ходят по очереди и помнят все предыдущие ходы.
Условие 4. Игра характеризуется позицией, которая зависит только от ходов игроков.
Вернёмся к примеру 1. Эта игра не будет являться математической, поскольку не будет удовлетворять только условию 4: мы не сможем определить позицию игры, которая будет зависеть только от хода самих игроков, поскольку игроки обращаются к компьютеру.
Также в математических играх по той же причине не может быть случайных карточных раскладов, игральных кубиков, подкидываний монеток. Попробуем же тогда реализовать игру из этого примера, которая является фактическим подкидыванием монетки игроками, без помощи, как монетки, так и компьютера.
Для решения спора Петя и Вася пишут на листочках по натуральному числу. Если сумма написанных чисел - чётная, спор выигрывает Петя, если нечетная - спор выигрывает Вася. Является ли описанная процедура математической игрой?
Здесь уже не выполняется условие 3, которое гласило, что игроки должны ходить по очереди и помнить все предыдущие ходы.
Сделаем небольшую модификацию условий игры, чтобы игра стала математической и посмотрим, какая игра из этого получится. Чтобы условие 3 поочередности выполнялось, сначала должен походить первый игрок, написать своё число на бумажке и показать это число всем, включая второго игрока. Кто из двух игроков будет первым, они между собой должны договориться сами. И тогда уже второй игрок, зная число, которое написал первый, должен написать своё число, затем эти два числа будут сложены и сумма проверена на чётность.
Однако, если второй игрок обладает хоть каким-либо интеллектом, он может подобрать своё число, чтобы сумма была выигрышной для него чётности. Суть «подкидывания монетки» от этого полностью теряется, т. к. данная игра находится под полным контролем второго игрока.
Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что одна из них содержит деньги, другая - товар. Каждый игрок может уважать сделку и положить в сумку то, о чём договорились, либо обмануть партнёра, дав пустую сумку. Является ли эта игра математической?
Во-первых, эта игра не удовлетворяет условию 2: в условии не определено, какой игрок выигрывает в каком случае, а какой автоматически при этом проигрывает. Во-вторых, игроки ходят одновременно, а не по очереди, что нарушает условие 3. Поэтому данная игра не является математической.
Заметим, что условие 2 можно выполнить, считая, что в случае если один игрок обманул другого, обманувший игрок выиграл, а обманутый проиграл, в остальных случаях (оба игрока честные или оба обманщики) зафиксировать ничью. Однако условие 3, как и в предыдущем примере, уже нельзя выполнить без существенного изменения самой игры.
Итак, в математической игре имеются два игрока, которые ходят поочередно. Участник, который начинает игру, обычно называется первым игроком, его соперник – вторым. Имеется конечное или бесконечное множество позиций. В каждой позиции для обоих игроков указаны допустимые ходы – разрешённые переходы в другие позиции. Некоторые позиции объявляются выигрышными для какого-то игрока, что автоматически означает, что эти позиции являются проигрышными для соперника. Очень часто выигрышными объявляются те и только те позиции, из которых соперник не может сделать ход, т. е. выигрывает тот игрок, которому удаётся своим последним ходом достичь позиции, в которой у соперника нет допустимых ходов.
Есть две кучи по семь камней в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Как можно определить позиции в данной игре, и какие позиции будут выигрышными?
Позицией в данной игре являются два числа `(x, y):` `x` – количество камней в первой куче, `y` – количество камней во второй куче. Игрок выигрывает, если противник не может сделать ход, т. е. перед ходом противника камней в обеих кучах не останется. Таким образом, позиция `(0, 0)` является выигрышной для того из игроков, который попал туда своим последним ходом.
Особенно отметим следующее.
Во-первых, в играх могут быть ничьи. Это значит, что некоторые позиции для обоих игроков объявляются ничейными. Игроку целесообразно добиваться ничьей только тогда, когда он не может гарантированно достичь выигрышной позиции.
Во-вторых, оба игрока не обязательно должны преследовать одинаковые цели (например, чтобы противник не смог сделать ход). Так, например, в примере 2 один из игроков стремится к тому, чтобы полученное число не делилось на девять, а второй стремится к обратному.
Поэтому позиция должна ещё характеризоваться номером игрока (либо того, который пришел в эту позицию, либо того, который делает ход из этой позиции в зависимости от ситуации). Так, если в примере 7 добавить номер игрока, который делает ход, то теперь позиция в этой задаче будет выражаться тремя числами `(x,y,n)`, где `n` – номер игрока, который делает ход, имея в начале $$ x$$ камней в первой куче, а $$ y$$ – во второй.
Позиция `(0,0,1)` будет проигрышной для первого игрока (он не может сделать ход) и выигрышной для второго, позиция `(0,0,2)` – наоборот.
Однако в играх, в которых игроки преследуют одинаковые цели и возможные ходы у обоих игроков одинаковы, как например, в примере 5, можно номер игрока из позиции опустить. В этом задании мы будем рассматривать только такие игры.
В точке 0 оси координат находится фишка. За ход игрок обязан подвинуть фишку на единицу влево или вправо. Выиграет тот игрок, после хода которого координата фишки превысит десять. Как определить позиции в данной игре? Какие позиции следует объявить выигрышными? Какие позиции следует объявить ничейными?
Позицией является целое число `(x):` положение фишки на оси. При этом все позиции с `x > 10` будут проигрышными для первого игрока, т. е., выигрышными для второго. Стартуя из позиции `(10)`, первый игрок может одним ходом передвинуть фишку в позицию `(11)` и выиграть. Если же игра начинается из позиции `(x)`, `[x < 10]`, то ни первый, ни второй игрок не могут гарантированно рассчитывать на победу, так как любой игрок в данной игре может не позволить своему противнику достичь выигрышной позиции, просто двигая каждый раз своим ходом фишку влево. Поэтому, стартуя из позиции `(x)`, `[x < 10]`, игра может закончиться выигрышем одного из игроков, если и только если соперник ошибётся. Но что следует считать исходом игры при старте, например, из начала координат (как в условии примера)? Можно было бы, например, считать, что исход игры при старте из начала координат просто не определён. Но мы потребуем выполнения более жёсткого условия.
Условие 5. При старте из любой допустимой позиции, как бы ни играли соперники, через конечное (возможно, очень большое) число ходов обязательно достигается либо выигрышная, либо ничейная позиция.
Иначе говоря, независимо от того, как играют оба игрока, через конечное число ходов игра должна закончиться выигрышем одного из соперников или ничьей.
Так, в примере 5 условие 5 выполняется, поскольку количество камней с каждым ходом уменьшается, а значит, когда-нибудь камней не останется, и один из игроков выиграет.
Для того, чтобы игра из примера 6 удовлетворяла условию 5, нужно кроме уже заданных выигрышных позиций `(x)`, `[x > 9]` объявить все позиции `(x)`, `[x < 10]` ничейными[1].
Чтобы избежать игр с бесконечным количеством ходов, мы можем, например, запретить игрокам ходы, приводящие к полному повторению ранее встречавшихся позиций. Или, наоборот, в таком случае объявлять ничью. Так, в шахматах троекратное повторение одной и той же позиции на доске является поводом для объявления ничьей (в случае, если это будет замечено одним из игроков).
[1] Таким образом, в примере 6 при старте из любой точки кроме точки `(10)` игроки не сделают ни одного хода, и немедленно будет объявлен результат.
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ему нужно брать то же количество камней, которое брал первый игрок предыдущим ходом, но из другой кучи. После хода второго игрока количество камней в обеих кучах будет равным. Далее. Первый игрок возьмёт несколько камней в одной из кучек, тогда после его хода количество камней в кучках станет неодинаковым, а значит, второй игрок сможет уравнять количество камней в кучах и передать ход сопернику. Второй игрок всегда сможет сделать свой ход, а поскольку камней становится все меньше и меньше, наступит момент, когда один из игроков не сможет сделать ход, и это будет первый игрок. Таким образом, второй игрок сможет выиграть в данный игре, как бы ни играл первый.
Выигрышной стратегией назовём набор правил, следуя которым, один из игроков обязательно выиграет при произвольных ответах соперника.
Аналогично, ничейной стратегией назовём набор правил, следуя которым, один из игроков обязательно выиграет или сведёт игру к ничьей при произвольных ответах соперника.
Подчеркнём в определении стратегии условие «при произвольных ответах соперника». Важно понимать, что на месте игрока может оказаться что или кто угодно, например, компьютер. Нужно уметь отвечать на произвольные ходы соперника и в любом случае выигрывать.
Как было сказано выше, мы пытались выделить игры, в которых один из игроков обязательно выиграет при произвольных ответах соперника. Следующая теорема позволяет утверждать, что математические игры и есть искомый класс игр.
В любой математической игре существует либо выигрышная стратегия одного из игроков, либо ничейная стратегия для обоих игроков.
Идея доказательства этого утверждения в частном случае будет рассмотрена при решении задач методом анализа с конца (см. § 3).
С одной стороны, заметим, что данная теорема обобщается на случай игр, которые теоретически могут продолжаться бесконечно долго. Для этого в условии теоремы вместо существования ничейной стратегии для обоих игроков нужно потребовать, чтобы каждый игрок имел стратегию, позволяющую данному игроку не проиграть.
С другой стороны, рассмотрим игры, которые завершаются за конечное количество ходов выигрышем одного из игроков (и ничьих нет). Согласно теореме, у кого-то из игроков обязательно существует выигрышная стратегия, и он должен выиграть у своего соперника, как бы ни играл последний. Введём понятие правильной игры.
называется игра, в которой каждый из игроков применяет выигрышную или ничейную стратегию, если она у него есть.
Так, если игроки из примера 2 играют в правильную игру, второй игрок должен воспользоваться своей выигрышной стратегией (например, дополнять число до девяти; у него может быть также и иная выигрышная стратегия) и довести игру до победы.
Таким образом, ответить на вопрос, заданный в самом начале (см. пример 1), кто выиграет при правильной игре, можно так: необходимо найти определённую стратегию одного из игроков и доказать, что она является выигрышной.
В заключение параграфа отметим, что согласно теореме выигрышная или ничейная стратегия существуют даже в таких математических играх, как шахматы и шашки. Однако ни человеческий ум, ни современные вычислительные мощности пока не позволили найти эту стратегию…
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения не имеет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Выиграет второй игрок. Для этого мысленно разрежем шахматную доску пополам линией, параллельной одной из сторон доски. Второй игрок должен ставить слона на место, симметричное полю, на которое текущим ходом поставил свою ладью первый игрок относительно проведённой оси. Докажем от противного, что второй игрок всегда сможет сделать ход.
Пусть это неверно и второй игрок не сможет сделать хода. Разберём два случая.
Случай 1. На поле предполагаемого хода уже стоит слон. Но этот слон не мог быть поставлен ранее вторым игроком, так как он ставит слонов только симметрично ходам первого игрока. Если первый игрок ранее поставил слона на это поле, то второй игрок был обязан своим ходом поставить слона на поле, симметричное полю противника. Однако по условию на это поле слона поставил первый игрок текущим ходом. Получаем противоречие.
Случай 2. Данное поле находится под боем какого-то слона. Заметим, что этот слон не был поставлен первым игроком на предыдущем ходу, так как два симметричных относительно оси слона не бьют друг друга. Тогда, в соответствии со стратегией второго игрока, слон, расположенный симметрично данному, также должен уже стоять на доске. Однако этот слон будет бить слона, поставленного первым игроком предыдущим ходом. Противоречие.
Таким образом, было доказано, что у второго игрока всегда есть допустимый ход, а так как игра должна когда-нибудь закончиться (на шахматной доске всего 64 клетки), то первый игрок когда-то не сможет сделать своего хода и проиграет.
В кучке лежат: а) `30` камней; б) `32` камня. За ход можно взять от одного до пяти камней из кучи. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
В данном случае работает стратегия дополнения до шести. Пусть своим ходом первый игрок берёт `x in{1,2,3,4,5}` камней. Тогда в пункте а) второй игрок отвечает ходом `(6-x)`, и поскольку после каждого его хода количество камней будет делиться на шесть, то в итоге второй игрок выиграет.
В пункте б) выигрывает первый игрок. Первым ходом он должен взять два камня и свести задачу к пункту а), в котором он уже будет выступать как второй игрок.
Два игрока перемещают ладью из левого нижнего угла `("a"1)` шахматной доски в правый верхний `("h"8)`. За ход можно сместить ладью на любое количество клеток вверх или вправо. Кто выиграет при правильной игре?
Выиграет второй игрок. Для этого ему нужно во время ходов возвращать ладью на диагональ, проведенную из левого нижнего угла в верхний правый угол. Подумайте, почему первый игрок проиграет при любых своих ходах.
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общую задачу. Считаем, что начальная позиция является параметром, и будем искать выигрышную стратегию при старте с этой позиции. Будем обозначать знаком «`-`» позиции, в которых при правильной игре участник, начинающий играть из данной позиции, выиграет, и знаком «`+`» отметим позиции, ведущие к поражению[1].
Если игра начинается в поле `"h"8`, первый игрок уже проиграл – это позиция «`+`» (рис. 1).
Далее, если игра стартует с полей `"h"1-"h"7` или `"a"8-"g"8`, то начинающий игрок может за один ход достичь поля `"h"8` и выиграть. Это позиция «`-`» (рис. 2).
Рассмотрим ладью, стоящую в поле `"g"7`. У первого игрока есть только два хода – `"g"8` и `"h"7`. Но в обеих этих позициях стоит «`-`». Следовательно, второй игрок, стартующий из этих позиций, выиграет. Как бы ни ходил первый игрок, он проиграет. Это снова позиция «`+`».
Далее, рассмотрим группы полей `"g"1-"g"6` и `"a"7-"f"7` (рис. 3). Стартуя из этих полей, первый игрок может за один ход попасть в поле `"g"7`, которое помечено знаком «`+`». Любой ход второго игрока из `"g"7` ведёт к его проигрышу.
Продолжая таким образом заполнять шахматную доску, мы видим, что знаки «`+`» размещаются на диагонали `"a"1-"h"8` (рис. 4). В поле a1 стоит знак «`+`», поэтому первый игрок потерпит поражение.
Зафиксируем общие правила расстановки знаков «`+`» и «`-`»:
1) знаком «`-`» обозначаются позиции, в которых при правильной игре участник, стартующий из данной позиции, выиграет, и знаком «`+`» отмечаются позиции, ведущие к поражению;
2) знак «`-`» ставится в позиции, из которой можно за один ход прийти в позицию со знаком «`+`»;
3) знак «`+`» ставится в выигрышных позициях, а также в тех позициях, из которых все возможные ходы ведут только в позиции, уже отмеченные знаком «`-`»[2].
Таким образом, сначала нужно расставить знаки «`+`» в выигрышных позициях. На втором этапе нужно отметить знаком «`-`» те позиции, которые отделяет от выигрышных один ход. На третьем этапе следует просмотреть все позиции и найти «тупиковые», ведущие к положениям, обозначенным знаком «`-`». На игровом поле обязательно будет хотя бы одна такая позиция[3]. Второй и третий этапы необходимо поочередно повторять до тех пор, пока начальная позиция не будет помечена знаком «`+`» или «`-`», что и даст ответ на вопрос, кто выиграет при правильной игре.
Как же должен действовать побеждающий участник игры? Он должен стремиться ходить в позиции, отмеченные знаком «`+`». При этом после очередного хода соперника он опять окажется в позиции со знаком «`-`», так как по определению знака «`+`» все возможные ходы из этой позиции ведут только в позиции со знаком «`-`». Таким образом, стратегия выигрывающего игрока формулируется просто: делать ход в позиции, обозначенные знаком «`+`». По определению знака «`-`» из этой позиции существует хотя бы один ход в позицию, отмеченную знаком «`+`», поэтому такой ход у выигрывающего игрока всегда будет в наличии.
Отметим следующий факт. Если известно, что игра длится не более чем `n` ходов при любых действиях первого и второго игроков, то начальная позиция обязательно будет помечена не более чем за `n` повторений шагов `2` и `3`. Это является идеей доказательства основной теоремы из § 2 в частном случае игр, в которых ничейных позиций нет, и каждая позиция является выигрышной для одного из игроков.
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучи камней, в первой – три камня, а во второй – два камня. У каждого игрока имеется неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в три раза число камней в какой-либо куче, или добавляет один камень в любую кучу. Выигрывает тот игрок, после хода которого, в двух кучах станет не менее `16` камней. Кто выиграет при правильной игре: игрок, сделавший первый ход, или игрок, сделавший второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Попробуем изобразить позиции графически. Рассмотрим таблицу, в которой количество камней в первой куче будет соответствовать номеру столбца, а количество камней во второй куче – номеру строки. Чёрным цветом выделена позиция `(2, 3)`, с которой должна начинаться игра в условии:
1. Выигрышные позиции – точки с координатами `x`, `y`, где `x + y ≥ 16`. Данные точки обозначим знаком «`+`» в таблице ниже[4].
2. Далее, ставим знак «`-`» в позиции, которые отделяет от выигрышных один ход.
По условию, можно либо увеличить одну из кучек в три раза, либо добавить камень в одну из куч, т. е. мы должны поставить знак «`-`» в позицию `(x, y)`, если верно одно из условий: `x+y+1≥16`; `x+3y≥16`; `y+3x≥16`.
3. После чего, ставим знак «`+`» в те позиции, из которых все ходы ведут только в позиции, обозначенные знаком «`-`». Таковыми будут позиции `(0, 5)`, `(5, 0)` и `(4, 3)`, `(3, 4)`.
4. Знак «`-`» ставим в те позиции, стартуя из которых можно за один ход дойти до одной из позиций, отмеченных знаков «`+`» (поставленных на этапе 3).
Стартуя из позиций `(4, 0)`, `(0, 4)`, `(3, 3)`, `(2, 4)`, `(4, 2)`, можно попасть в позиции, обозначенные знаком «`+`», увеличив количество камней в одной из кучек на единицу. Из позиций `(1, 4)` и `(4, 1)` можно прийти в позиции со знаком «`+`», увеличив в три раза количество камней в меньшей куче.
5. Знак «`+`» ставим в те позиции, из которых все ходы ведут только в позиции, обозначенные знаком «`-`». На этот раз таковыми будут позиции `(2, 3)` и `(3, 2)`.
В позиции `(2, 3)` был поставлен знак «`+`», а это значит, что победит второй игрок.
При оформлении задачи необходимо указать выигрывающего игрока, записать его стратегию и показать, что этот игрок победит при любых ответах соперника. Если имеется таблица позиций, то стратегия выигрывающего игрока формулируется простым правилом: делать ходы в позиции, отмеченные знаком «`+`». Но эту стратегию рекомендуется записать в явном виде. Таблицу позиций же, наоборот, при оформлении работы можно не рисовать (она уже сделала свое дело: помогла определить победителя и найти его стратегию).
Покажем, что второй игрок может выиграть при произвольных ответах первого игрока.
Рассмотрим все возможные начальные ходы первого игрока и укажем правильные ответы соперника:
а) если первый игрок в три раза увеличивает число камней в одной из куч, то второй игрок должен увеличить количество камней в этой же куче также в три раза. Тогда в обеих кучах будет как минимум 2*3*3+3=21 камень. Второй игрок побеждает. Рассмотрение этого случая закончено;
б) если первый игрок из позиции (2, 3) делает ход (2, 4) или (3, 3), то второй игрок должен пойти в позицию (3, 4) (именно она в нашем случае обозначена знаком «+»). Теперь первый игрок делает второй ход (заметим, этот ход не может быть выигрышным). Возможны три варианта:
- первый игрок увеличивает в три раза количество камней в одной из куч. Тогда второй игрок повторяет это действие с оставшейся кучкой камней, получает в сумме 21 камень и выигрывает,
- первый игрок добавляет один камень в первую кучу – позиция (4, 4). Тогда второй игрок увеличивает количество камней в одной из куч в три раза, получает в сумме 16 камней и выигрывает,
- первый игрок добавляет один камень во вторую кучу – позиция (3, 5). Тогда второй игрок увеличивает количество камней во второй куче в три раза, получает в сумме 18 камней и выигрывает.
Таким образом, второй игрок побеждает при любых ходах своего соперника.
Обратите внимание, что стратегию второго игрока можно придумать, не основываясь на таблице позиций. Важно помнить: если вы пропустите или не разберёте хотя бы один ход соперника (проигрывающего игрока), это может быть чревато тем, что данная стратегия может оказаться в корне неверной. Также нужно внимательно отнестись к расстановке знаков «`+`» и «`-`» в таблице позиций: один неверно поставленный знак может изменить ответ. Лучше не торопиться и расставить только те знаки, в которых вы уверены на данный момент. И не существенно, если вы не поставите никакого знака в данной позиции на определенном этапе (например, по правилам его необходимо поставить, но вы этого не заметили). Главное – не поставить неверного знака.
[1] «`+`»-позиции иногда называют `"P"`-позициями, а «`-`»-позиции – `"N"`-позициями по первым буквам английских слов «Previous» (предыдущий) и «Nеxt» (следующий), указывающими, какой из игроков выиграет при старте из этой позиции – игрок, который пришёл в эту позицию последним ходом, или игрок, совершающий следующий ход из этой позиции.
[2] Недопустимо, чтобы из этой позиции один ход вёл в позицию, обозначенную знаком «`+`», а другой – вёл в позицию, ещё не обозначенную ни одним из знаков.
[3] Хотя убедиться в этом непросто, мы предлагаем читателю самостоятельно подумать, почему это верно.
[4] Хотя таблица должна быть бесконечной (количество камней может быть сколь угодно большим), достаточно нарисовать таблицу `17` x `17` – случаи, когда в одной из куч более `16` камней, нас не интересуют, так как все эти позиции являются выигрышными.
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ходов из начальной позиции. Разберём этот метод на примере 10.
Первоначальная позиция - `(2,3)`. За один ход из этой позиции можно прийти в позиции: `(3,3)`; `(2,4)`; `(6,3)`; `(2,9)`, добавляя один камень в одну из куч или умножая количество камней в куче на три.
Наша цель, в конечном счёте, во все эти позиции поставить знаки «`+`» и «`-`». Чтобы поставить знак «`+`», нужно быть уверенным, что все ходы из этой позиции ведут в «`-`»; для того, чтобы поставить знак «`-`», нужно, чтобы хотя бы один ход из этой позиции вел к «`+`».
Выше приведённое означает, что если из позиции за один ход можно прийти в позицию с количеством камней, не меньшим `16` (что по условию задачи равносильно выигрышу), это - позиция, выигрышная для первого игрока, т. е. позиция «`-`». В связи с этим знаки «`-`» можно поставить в позициях `(6,3)` и `(2,9)`, умножая количество камней в большей куче на `3`, мы получим `6^(**)3+3=21` и `2+9^(**)3=29` камней соответственно, и выиграем.
Мы не сможем такого утверждать для позиций `(3,3)` и `(2,4)`, поэтому отразим в дереве все позиции, в которые мы можем прийти из них ещё за один ход. Две из полученных после двух ходов позиций повторяются (это позиция `(3,4)`). Можно не делать дубликат позиции `(3,4)`, а провести к ней пути как из позиции `(2,4)`, так и из позиции `(3,3)`. А можно - оставить как есть, что в данном случае мы и сделаем.
Обозначим знаком «`-`» позиции, из которых можно дойти за один ход до выигрышных. Из оставшихся позиций продолжаем дерево дальше позициями, в которые можно попасть за три хода
Из всех полученных позиций можно за один ход дойти до выигрышных. Поэтому, в них можно поставить «`-`» и далее дерево ходов не продолжать. Теперь, посмотрим на позиции `(3,4)` и `(4,3)`. Все ходы в этих позициях ведут в позиции со знаком «`-`», т. е. в позиции, проигрышные для пришедшего в них игрока (и выигрышные для начинающего с них игрока). Поэтому, начинающий из такой позиции при правильной игре проиграет - это позиции «`+`».
После этого, отметим знаком «`-`» позиции `(3,3)` и `(2,4)` уровнем выше как позиции, из которых существует хотя бы один ход в позицию, отмеченную знаком «`+`». И, наконец, позицию `(2,3)` отметим знаком «`+`» как позицию, все ходы из которой ведут в позиции со знаком «`-`».
Таким образом, в позиции `(2,3)` стоит знак «`+`»[1], а это означает, что в данной игре выиграет второй игрок. Его стратегия формулируется тем же правилом, что и ранее: делать ходы в позиции, отмеченные знаком «`+`». Стратегия выигрывающего игрока в явном виде («образец оформления примера») уже была описана ранее. Аналогично анализу с конца обратим внимание, что важно построить дерево позиций до конца - пропуск любой, даже самой маленькой, ветви может существенно поменять всю расстановку знаков в вершинах дерева существенно поменять всю расстановку знаков в вершинах дерева и даже привести к тому, что победит другой игрок. Причём последнее не является редкостью.
Отдельно отметим, что хотя «анализ с конца» и «дерево игры» являются различными вариациями одной и той же идеи, в некоторых случаях быстрее действовать одним методом, а в некоторых - другим. Так, если в игре легко отобразить схематично всё множество позиций (например, на клетчатом листе), с другой стороны, количество ходов до выигрыша может быть довольно большим (см. пример 9), гораздо легче действовать методом «анализ с конца». В примере 10 решения обоими методами примерно идентичны по трудозатратам.
Однако, если известно, что игра всегда заканчивается за малое количество ходов - логичнее нарисовать дерево игры. Более того, если множество позиций сложно или невозможно каким-либо образом изобразить схематически (например, если не две кучи камней, а три кучи) - «анализ с конца» вообще малоприменим – нужно рисовать дерево игры или вообще решать задачу методом «удачный ход».
[1] Поскольку данное дерево игры заполнялось знаками по тем же правилам, что и таблица позиций, знаки «`+`» и «`-`» в позициях, отмеченных на дереве и в таблице позиций ранее, должны совпадать.
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополнительные вопросы вида «из каких позиций выиграет первый игрок, причем ровно за два хода» или «какое максимальное количество ходов потребуется для выигрыша». Условие такой задачи в реальном ЕГЭ будет, скорее всего, очень длинным и занимать до страницы; однако этого не нужно бояться.
Два игрока играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча из `S` камней, игроки по очереди могут за ход провести над кучей следующую операцию: добавить `1` или `4` камня в кучу или, если количество камней в куче чётно, увеличить количество камней в куче в `1,5` раза. Выигрывает игрок, после чьего хода в куче будет не менее `31` камня.
Укажите все значения `S`, при которых в правильной игре
А) Первый игрок может выиграть первым ходом.
Б) Второй игрок может выиграть первым ходом.
В) Первый игрок может выиграть вторым ходом, при этом он не может выиграть своим первым ходом.
Г) Найдите хотя бы одно значение `S`, при котором в правильной игре выигрывает второй игрок, при этом он не может выиграть своим первых ходом.
Нарисуем клеточную прямую и отметим знаком «`+`» выигрышные позиции в конце игры - позиции с количеством камней не менее `31`. Далее отметим знаками «`-`» позиции, из которых до указанных можно дойти за `1` ход: это позиция (`30`), из которой можно выиграть ходом «добавить `1` камень», позиции `(30)`, `(29)`, `(28)`, `(27)` из которых выиграть ходом «прибавление `4` камня» и позиции `(22)`, `(24)`, `(26)`, `(28)`, `(30)`, из которых можно выиграть за ход «увеличить кучу с чётным количеством камней в `1,5` раза»[1]. Из некоторых позиций, как видно выше, существует сразу несколько выигрышных ходов, однако это неважно: должен существовать хотя бы один. Чтобы отличать эти отмеченные позиции от всех других, добавим ещё цифру «`1`» к позиции для удобства, получив «`-1`».
Найдя позиции, которые подпадают под условие пункта А), перейдём к пункту Б). Нас интересует не просто дальнейшая расстановка плюсов и минусов в позициях, а ещё и количество ходов до выигрыша. Фраза «второй игрок выиграет первым ходом» означает, что из данных позиций не должно быть ходов ни в какие другие позиции, кроме как в позиции, отмеченные знаком «`-1`», т. е. позиции, из которых второй игрок сможет выиграть за один ход. Такие позиции лучше перебрать следующим образом:
Сначала отметим все пустые позиции знаком «?», из которых существует хотя бы один ход до позиций, уже отмеченных знаком «`-1`». Ходом «добавить один камень» можно за ход попасть в указанное множество из позиций `(25)`, `(23)`, `(21)`; ходом «добавить `4` камня» за ход можно попасть из позиций `(25)`, `(23)`, `(20)`, `(18)`, и ходом «увеличить в `1,5` раза» - из позиций `(16)`, `(18)`, `(20)`.
Теперь для каждой из отмеченных «?» позиций проверим условие, что все допустимые ходы идут в нарисованное множество минусовых позиций.
`(16)`, `(18)`, `(20)` - ход «`+1`» противоречит условию выше;
`(21)` - ход «`+4`» противоречит условию выше;
`(23)`, `(25)` - подходят. Таким образом `(23)`, `(25)` - являются позициями, в которых второй игрок выиграет за один ход. В этих позициях будет стоять знак «`+`» как в позициях, откуда все ходы идут в позиции со знаком «`-1`».
Теперь, перейдём к пункту В). Перед этим сотрём все знаки «?», поскольку в позициях, отличных от `(23)` и `(25)` нам неизвестно, существует ли хотя бы один ход, ведущий в минусовую позицию.
Первый игрок выиграет вторым ходом тогда и только тогда, когда не может выиграть за ход, но может прийти в позицию, из которой он, как второй игрок, выиграет первым ходом. Эти позиции уже найдены - это позиции `(23)` и `(25)`. Таким образом, нас интересуют все позиции, из которых можно за ход дойти до `(23)` и `(25)`. Это позиции `(19)`, `(21)`, `(22)`, `(24)`. Однако из позиций `(22)` и `(24)` в данный момент уже отмечены знаком «`-`», то есть из них можно выиграть за ход, а нас интересуют в данном пункте позиции, где за ход выиграть нельзя. Таким образом, в пункте В). Ответ - позиции `(19)` и `(21)`.
Наконец, в пункте Г) нас интересуют позиции, в которых выиграет второй игрок, т. е. позиции «`+`». Отметим отличие пункта Г) от пункта Б). В пункте Г) нас интересуют позиции, в которых второй игрок выиграет и он не сможет выиграть первым ходом, как бы не ходил его соперник. В пункте Б) же нас интересуют позиции, в которых второй игрок сможет, наоборот, выиграть первым ходом как бы не ходил его соперник. Позиции «`+`», где в зависимости от хода первого игрока второй сможет выиграть как первым своим ходом, так и не первым, нас не интересуют ни в пункте Б), ни в пункте Г).
Для решения пункта Г) просто продолжим заполнять согласно правилам таблицу позиций.
Нас интересует позиция, в которой выиграет второй игрок, то есть позиция «`+`». С другой стороны, нас интересует позиция, из которой второй игрок не сможет выиграть своим первым ходом. Это означает, что первый игрок всеми своими ходами должен ходить в минусовые позиции, но ни одним своим ходом не сможет походить в позиции «`-1`», из которых существует выигрышный ход. Этим свойством будет обладать, например, позиция `(15)` - возможные ходы из неё будут вести в позиции `(16) ` и `(19)`, отмеченные знаком «`-`», а не «`-1`». Это будет наибольшей позицией, обладающей таким свойством - из позиций `(18)` и `(20)`, выигрышных для второго игрока, существует ход первого игрока «`1,5x`», приводящий к позициям `(27)` и `(30)`. Из этих позиций можно выиграть за ход.
А) `(22), (24), (26), (27), (28), (29), (30)`;
Б) `(23), (25)`;
В) `(19), (21)`
Г) Например, `(15)`.
Два игрока играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи: в первой куче `5` камней, во второй куче - `S` камней. Игроки по очереди могут за ход провести над одной из куч следующую операцию: добавить `2` камня в кучу или, если количество камней в куче чётно, увеличить количество камней в куче в `2,5` раза. Выиграет игрок, после чьего хода суммарное количество камней в обеих кучах будет не менее `39`.
Укажите все значения `S`, при которых в правильной игре
А) Первый игрок может выиграть первым ходом
Б) Второй игрок может выиграть первым ходом.
В) Первый игрок может выиграть вторым ходом, но не может выиграть первым ходом.
Данный пример очень похож по условию на пример 11, однако здесь возникает проблема в том, что количество куч - две, хоть и задано, что изначально в первой куче `5` камней. Если рассматривать двумерную таблицу позиций, это приведёт к побочному анализу многих позиций, в которых количество камней в первой куче отлично от пяти (в примере 11 таких «лишних» позиций не было). Построение дерева игры также не приведёт к быстрому результату, т. к. начальная позиция неизвестна, и такие деревья нужно будет рисовать при каждом `S`.
В связи с этим проведём предварительный анализ игры, не пользуясь ни таблицей позиций, ни деревом игры.
А) Первый игрок выиграет за ход. Первый игрок не может увеличить количество камней в кучке из `5` камней в `1,5` раза. Следовательно, его возможные ходы – это либо добавление камней к одной из куч, либо увеличение количества камней в второй куче в `2,5` раза. В первом случае суммарное количество камней до увеличения должно равняться `37` или `38` (т. е. во второй куче `32` или `33` камня). Во втором случае: пусть `x` – количество камней во второй куче. Тогда `x` - чётно и `2,5x+5>=40`, откуда `x>=14`. Следовательно, возможное количество камней во второй куче, при котором первый игрок победит за ход - `14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 33` (больше `33` нельзя, т. к. изначальное суммарное количество камней должно быть меньше `39`, чтобы игра имела смысл).
Б) Второй игрок выиграет за ход. Это должны быть позиции, при которых первый игрок не сможет выиграть за ход, а второй игрок – сможет выиграть за ход после любого хода первого игрока. Рассмотрим все возможные ходы первого игрока:
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `S` камнями на `2` (этот ход второй игрок может применить в любой ситуации). Тогда второй выиграет, если после этого `S` станет равно `14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 33` (см. предыдущий пункт, количество камней в первой куче не менялось), т. е. изначально `S` могло быть равно `12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31`.
Из этих вариантов числа камней `S` только варианты `12,31` соответствуют тому, что первый игрок не может выиграть своим первым ходом. Будем далее рассматривать только `S=12`, `S=31` и проверим оставшиеся возможные ходы первого игрока.
Проверим `S=12:`
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `S` камнями в `2,5` раза, получив `30` камней во второй куче. В таком случае второй игрок сможет выиграть за ход, также увеличив количество камней в этой куче в `2,5` раза.
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `5` камнями в `2,5` раза: невозможный ход.
– первый игрок увеличивает количество камней в первой куче на `2`. Таким образом, в первой куче - `7` камней, во второй - `12`. Однако в данном случае второй игрок не сможет выиграть - ни один из его ходов не приводит к ситуации, когда суммарное количество камней после его хода не менее `39`.
`S=12` не подходит. Проверим `S=31:`
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `S` камнями в `2,5` раза: невозможный ход.
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `5` камнями в `2,5` раза: невозможный ход.
– первый игрок увеличивает количество камней в куче с `5` камнями на `2`. Тогда второй игрок также увеличит количество камней в одной из куч на `2`, получит суммарное количество камней - `39`, и победит!
`S=31` подходит.
В) Первый игрок выиграет вторым ходом. После своего хода он должен прийти в позицию, из которой он (будучи «вторым» игроком), сможет выиграть за ход (т. е. в позицию, соответствующую п. Б).
Если после хода первого игрока количество камней в первой куче останется равным `5`, то мы придём в ситуацию предыдущего пункта (после хода первого игрока, если они поменяются ролями, первому игроку, находящемуся в роли второго игрока, нужно выиграть за оставшийся ход). Ответ пункта Б) гласит, что после хода первого игрока количество камней во второй куче должно стать `31`. Единственная возможная ситуация - `29` камней.
Заметим, что при начальном количестве в `5` камней для первой кучи и `29` камней во второй куче единственно возможные ходы - добавления по `2` камня к одной из куч. При этом никогда чётного количества камней в какой-либо из куч не получится, и применить ход «увеличить в `2,5` раза» также будет невозможно. Поэтому при любых ходах как первого, так и второго игрока, через три хода суммарное количество камней станет `29+5+2+2+2=40`, поэтому игра закончится за три хода победой первого игрока (своим вторым ходом).
Второй случай - если первый игрок в правильной игре своим ходом поменяет количество камней в куче единственно возможным ходом «`+2` камня», при этом после хода первого игрока получится `7` камней в первой куче и `S` - во второй. После этого мы должны для начала полностью повторить анализ, по образцу предыдущего пункта. Рассмотрим следующий ход второго игрока:
– второй игрок увеличивает количество камней в куче с `S` камнями на `2`. Тогда первый выиграет, если после этого `S` станет равно `14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31 ` `(2,5x+7>=39)`, т. е. изначально `S` могло быть равно `12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29`.
Из этих вариантов числа камней `S` только варианты `12, 29` соответствуют тому, что второй игрок не может выиграть своим первым ходом. Вариант `S=29` уже был рассмотрен ранее - он подходит. Рассмотрим `S=12` и оставшиеся возможные ходы второго игрока.
– второй игрок увеличивает количество камней в куче с `12` камнями в `2,5` раза. При этом он получит `30` камней во второй куче, и `37` - суммарно в обеих кучах. Любой ход первого игрока приведёт к выигрышу.
– первый игрок увеличивает количество камней в первой куче в `2,5` раза: невозможный ход, т. к. `7` - нечётное число.
– первый игрок увеличивает количество камней в первой куче на `2`. Таким образом, в первой куче - `9` камней, во второй - `12`. В данном случае первый игрок сможет выиграть за ход, увеличив количество камней во второй куче, `12`, в `2,5` раза: `9+30 = 39` камней, ровно столько, сколько и требуется для победы. Любой другой ход первого игрока приведёт к тому, что после этого его соперник увеличит в `2,5` раза кучу из `12` или `14` камней и победит, т. о., этот ход не является ходом первого игрока при правильной игре (см. замечание после данной задачи).
Итак, `S=12` будет подходить под условие «первый игрок всегда выиграет вторым ходом», если первым ходом первый игрок увеличит количество камней в первой куче с `5` до `7`. Заметим, что все остальные ходы первого игрока `(12->14; 12->30)` приведут к тому, что второй игрок увеличит количество камней во второй куче в `2,5` раза и выиграет с суммарным количеством камней `40` и `80`. Следовательно, такие ходы первого игрока не могут быть ходами в правильной игре.
А) `S=14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 33`;
Б) `S=31`;
В) `S=12,29`.
[1] Если в условии явно просят объяснить, откуда возникают вышеуказанные позиции и почему других таких позиций нет (это встречено автором в демоверсии ЕГЭ 2015), желательно выписать возникающие неравенства и их решить. Иначе в случае сильно строгой проверки можно недосчитаться первичных баллов на пустом месте. Так, в случае хода «умножить кучу с чётных количеством камней на 1,5» нужна система условий, состоящая из 1) неравенства (невыигрышная априори); 2) неравенства (можно дойти за 1 ход до выигрышной) и 3) чётно.
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`
`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.
При этом,
`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`
`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.
Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.
Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:
`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`
` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`
`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`
.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если
`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен:
`2`. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):
Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.
Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9. |
| Рис. 9 |
С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.
 |
| Рис. 10 |
Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.
`g(a)>0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет два отрицательных решения.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.
`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство
`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)` равно значению левой части в вершине, т. е.
`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.
 |
| Рис. 11 |
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.
Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=(-1)^n arcsin a+pi n, n in Z`.
Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных `(n=2k+1, k in Z)n`. А именно
$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$
2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=+- arccosa+2pin, n in Z`.
3. `"tg"x=a`. При любом `a` `x="arctg"a+pin, n in Z`.
4. `"ctg"x=a`. При любом `a` `x="arcctg"a+pin, n in Z`.
Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.
а) `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.
б) `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.
в) `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.
г) `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.
Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.
I. Разложение на множители
Решить уравнение
`3sin2x-3cosx+2sinx-1=0`.
Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение
`6sinxcosx-3cosx+2sinx-1=0`,
`3cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)=0`,
`(2sinx-1)(3cosx+1)=0`.
Уравнение распадается на два:
1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.
2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.
Решить уравнение
`sin2x+cos(5x-pi/6)=0`.
Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.
Уравнение распадётся на два:
1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`3x+pi/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`.
2) `cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`; `(7x-(2pi)/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`7x-(2pi)/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
`x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.
По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,
поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.
`sinx(4sin^2x-3)=0`$$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=0, x=\pi n,n\in Z.\\ \mathrm{sin}x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).
`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.
Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.
Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.
Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.
`x=+-pi/4+pin,ninZ`. (1)
Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или
`x=pi/4+(pin)/2, ninZ`. (2)
Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.
`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.
III. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)
Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.
Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5"tg"^2x-4"tg"x-1=0`. Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
`x=pi/4+pin,ninZ`; `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5"tg"^2x-3"tg"x-2=0`.
Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
`x=pi/4+pin,ninZ`, `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.
Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.
Перепишем это уравнение так:
`sin^3x+13cos^3x-cosx(cos^2x+sin^2x)=0` или
`sin^3x+12cos^3x-cosxsin^2x=0`.
Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `"tg"x`
`"tg"^3x-"tg"^2x+12=0`.
Делаем замену: `t="tg"x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители
`(t+2)(t^2-3t+6)=0`.
Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак, `"tg"x=-2` или `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
`x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
IV. Использование формулы дополнительного угла
Напомним эту формулу `asin alpha +bcos alpha=sqrt(a^2+b^2)sin(alpha+varphi)`, где `varphi` определяется (неоднозначно) из равенств
`cosvarphi=a/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))(a^2+b^2!=0)`.
Например, `sinalpha+cos alpha=sqrt2sin(alpha+pi/4)`. Формулу дополнительного угла можно записать и в другом виде, например,
`asinalpha+bcosalpha=sqrt(a^2+b^2)cos(alpha+varphi)`, где
`cosvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=-a/(sqrt(a^2+b^2))`.
Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.
1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:
`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`, `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=-3/5`.
Можно взять `varphi=-arcsin 3/5`. Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`x=arcsin 3/5+pi/2+2pin,ninZ`.
2-й способ. Воспользуемся формулами:
`sinx=2sin x/2 cos x/2`, `cosx=cos^2 x/2 -sin^2 x/2`, `1=sin^2 x/2+cos^2 x/2`.
Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5` запишется в виде
`8sin x/2 cos x/2-3(cos^2 x/2-sin^2 x/2)=5(sin^2 x/2+cos^2 x/2)` или
`2sinx^2 x/2-8sin x/2cos x/2+8cos^2 x/2=0`.
Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2 x/2`, получим уравнение `"tg"^2 x/2-4"tg" x/2+4=0` или `("tg" x/2-2)^2=0`. Итак, `"tg" x/2=2`, значит `x/2="arctg"2+pin,ninZ`, или `x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
`x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.
Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.
Сделаем замену: `t=sinx+cosx`. Тогда
`t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x`.
Откуда `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:
`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.
Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`, то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)` имеет решения:
`x+pi/4=(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
`x=-pi/4+(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
Отметим, что подобным образом решаются уравнения вида: `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.
Рассмотрим ещё одно часто встречающееся приложение формулы дополнительного угла.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.
Преобразуем выражение, используя формулу `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:
`f(x)=(4-4cos2x)+3sin2x-11=3sin2x-4cos2x-7=`
`=5sin(2x+varphi)-7`.
Здесь можно взять `varphi=-arcsin 4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`, а значение `f(x)=-2` принимается при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.
Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.
V. Рациональные тригонометрические уравнения
Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.
ОДЗ `sinx!=-sqrt3/2`.
Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.
Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.
Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,
`cosx(2cosx+1)=0 iff`$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0, x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n,n\in Z,\\ \mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.
Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,
`x=pi/2+pin,ninZ`, `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.
ОДЗ $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}3x\ne 0\\ \mathrm{sin}x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi m}{3}},m\in Z.$$
Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:
`sin^2x+sin3x*sin5x=8sinxcosx*sin3x*cos3x`.
Преобразуем это уравнение:
`(1-cos2x)/2+1/2(cos2x-cos8x)=2sin2x*sin6x`.
Ещё раз воспользуемся формулой
`sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`
в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим
`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.
Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$
Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.
1. Изображаем точки
`x=(pin)/2,ninZ`, (3)
на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).
2. Изображаем точки
`x=(pim)/3,m inZ` (4)
которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).
Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки
`x=pi/2+pin,ninZ`.
С решениями уравнения
`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,
или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек - решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что
`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`
`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.
Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.
Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.
`x=pi/2+pin,ninZ`; `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`.
Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.
а) Решить уравнение `2/("tg"^2x)-1/("tg"x)-3=0`.
б) Указать корни, принадлежащие отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) Сделаем замену `t=1/("tg"x)`. Получим уравнение `2t^2-t-3=0`. Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.
1) `"tg"x=-1`. Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.
2) `"tg"x=2/3`. Тогда `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.
2) Аналогично решаем неравенство
`-(3pi)/2<="arctg"2/3+pin<=-pi/2`. (5)
Т. к. `ninZ`, то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<="arctg"2/3<=pi/2`, что верно, `n=-2` не удовлетворяет (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<="arctg"2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x="arctg"2/3+pin,ninZ`, только корень `("arctg"2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) `x=-pi/4+pin,ninZ`; `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) `x=-(5pi)/4` и `x="arctg"2/3-pi`.
Найти наименьший корень уравнения `"ctg"6x-"tg"5x=1/(cos5x)`,
принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.
Преобразуем данное уравнение
`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.
Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии `sin6x*cos5x!=0`.
Решаем уравнение `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:
`cos11x-cos(6x-pi/2)=0` или `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.
1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.
Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.
2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства
`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`.
Значит, `4<=n<=19,ninZ`. Итак, на отрезок `[(8pi)/17;(40pi)/17]` попадают числа `(17pi)/34, 21/34 pi, 25/34 pi,...`. Первое из них не удовлетворяет условию `cos5x!=0` `("т". "к". (17pi)/34=pi/2)` и, следовательно, не является решением уравнения. Число `(21pi)/34` удовлетворяет условию `sin6x*cos5x!=0`; значит, именно оно является минимальным корнем на данном отрезке.
`x=(21pi)/34`.
VI. Тригонометрические уравнения с корнем квадратным
Решить уравнение `sqrt(cos2x-5sinx)=-2cosx`.
Это уравнение равносильно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{cos}2x-5\mathrm{sin}x=4{\mathrm{cos}}^{2}x.\\ \mathrm{cos}x\le 0.\end{array}\right.$$
Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть уравнения равна корню квадратному, а он неотрицателен по определению. (Отметим, что в системе мы не пишем неравенство `cos2x-5sinx>=0`, т. е. подкоренное выражение неотрицательно, т. к. оно равно квадрату правой части). Решаем уравнение: `cos2x-5sinx=4cos^2x`. Преобразуем его:
`(1-2sin^2x)-5sinx=4(1-sin^2x)` или `2sin^2x-5sinx-3=0`.
Заменяя `sinx=t`, получим квадратное уравнение: `2t^2-5t-3=0`.
Откуда `t_1=3`, `t_2=-1/2`. Т. к. `|sinx|<=1`, то `t_1=3` не даёт решений.
Если же `sinx=-1/2`, то на тригонометрическом круге (рис. 5) имеем две точки. Но правая точка не подходит, т. к. должно быть `cosx<=0`. Итак,
`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `sqrt(5-cos2x)=cosx-3sinx`.
Это уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}5-\mathrm{cos}2x={\left(\mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\right)}^{2},\\ \mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\ge 0.\end{array}\right.$$
Решаем уравнение. Преобразуем его к однородному.
`5(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-6sinxcosx+9sin^2x`
или `3sin^2x-6sinxcosx-3cos^2x=0`.
Далее `2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=0` или `sin2x+cos2x=0`.
Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению `"tg"2x=-1`.
Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.
Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` - далее они повторяются).
Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно,
`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,
и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем
`x=-pi/8+2pin,ninZ`; `x=11/8pi+2pin,ninZ`.
VII. Уравнения с модулем
Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.
Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.
1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$
2)
Решаем первую систему. Уравнение `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:
`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`.
Значит,
$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$
Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят
`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.
Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8) решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. Значит, остаются в качестве решений системы
`x=pi/3+2pin,ninZ`.
Итак, решениями первой системы являются
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+2pin,ninZ`.
Решаем вторую систему. Уравнение `sin3x-sinx=sin2x` преобразуем:
`2cos2x*sinx=2sinxcosx`.
Т. к. в этой системе `sinx!=0`, то можно сократить уравнение на `2sinx`. Оно запишется:
`cos2x=cosx` или `2cos^2x-cosx-1=0`.
Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно
`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.
В ответе две серии решений
`x=pi/3+2pin,ninZ` и `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,
соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:
`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+pin,ninZ`.
Сначала рассмотрим простейший пример. Решить систему
Здесь `x` и `y` находятся независимо друг от друга. В этих случаях параметры надо обозначать различными буквами. Обозначение их одной буквой будет в таких случаях ошибкой.
Решаем каждое уравнение
`(x;y)=n;m),n,m in Z`,
т. е. на плоскости решениями системы являются все точки с целочисленными координатами. Если же мы будем считать `m=n`, то точки `(n;n),ninZ`, - это целочисленные точки, лежащие только на биссектрисе I и III координатных углов. Они не представляют все решения рассмотренной системы.
Решить систему
Преобразуем второе уравнение системы:
`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.
Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:
Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара
Переходя к (`x`; `y`), имеем:
Отсюда
Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:
`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.
Решить систему
Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:
Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.
Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ.
(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).
Решить систему уравнений
Перепишем систему
Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим
`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.
Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.
Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.
Подставляя `cosx=1` во второе уравнение первоначальной системы, находим, что
`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.
Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,
Тригонометрические неравенства надо сводить к простейшим, а простейшие легче решать на тригонометрическом круге.
Решить неравенство `sinx< -1/2`.
На тригонометрическом круге (рис. 11) отмечаем точки, в которых `sinx=-1/2` (точки `A` и `B`). Неравенству удовлетворяет дуга . Она записывается так `(pi+pi/6;2pi-pi/6)` или `((7pi)/6; (11pi)/6)`. Учитывая период `2pi` синуса, получаем серию дуг
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
Важно обратить внимание, чтобы при записи ответа левый конец интервала был меньше правого, и при увеличении угла в интервале пробегалась нужная дуга.
Решить неравенство `"tg"x<=2`.
Нарисуем тригонометрический круг и ось тангенса.
Отметим на правой единичной полуокружности (период тангенса равен `pi`, можно рассматривать полуокружность, а не всю окружность) точки, соответствующие углам, у которых тангенс меньше или равен `2` (рис.12). Это будет дуга (точка `B` включена, а `A` – нет). Запишем её `(-pi/2; "arctg"2]`. Теперь учтём период тангенса. Получаем
`(-pi/2+pin; "arctg"2+pin],ninZ`.
Решить неравенство
По аналогии с алгебраическими неравенствами с корнем квадратным мы должны решить две системы и объединить их решения.
1) (6)
и
2) (7)
В данном случае ОДЗ: `7-cos4x>=0` выполняется всегда, так что решение первой системы `cosx>0` (пока не будем находить `x`). Решаем вторую систему. Преобразуем неравенство (7):
`7-cos4x>32cos^4x`;
`7-(2cos^2 2x-1)>32cos^4x`,
`8-2cos^2 2x>32cos^4x`,
`4-(2cos^2x-1)^2>16cos^4x`,
`4-4cos^4x+4cos^2x-1>16cos^4x`,
`20cos^4x-4cos^2x-3<0`.
Обозначим `cos^2x=t`. Получим алгебраическое неравенство: `20t^2-4t-3<0`.
Откуда `-3/10<t<1/2`. Так как `t>=0,` то `t<1/2`. Далее `cos^2x<1/2 iff |cosx|<1/(sqrt2)`.
Учитывая (6): `cosx<=0`, получаем `-1/(sqrt2)<cosx<=0`.
Это решение системы 2). Объединяя решение 1) и 2) систем, получаем `-1/(sqrt2)<cosx`.
Решая это простейшее неравенство на тригонометрическом круге (рис. 13), имеем дугу .
`(-(3pi)/4+2pin;(3pi)/4+2pin),ninZ`.
Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`.
Так как
`3sin^5x<=3` (8)
и `4cos^3x<=4`, (9)
а неравенства одного знака можно складывать, то `3sin^5x+4cos^3x<=7`, причём если хотя бы в одном из неравенств (8) или (9) знак «`<=`» заменить на «`<`», то получим `3sin^5x+4cos^3<7`. Значит, чтобы `x` удовлетворяло уравнению необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система
$$ \left\{\begin{array}{l}3{\mathrm{sin}}^{5}x=3,\\ 4{\mathrm{cos}}^{3}x=4\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=1,\\ \mathrm{cos}x=1,\end{array}\right.$$
но это невозможно, т. к. `sin^2x+cos^2x=1`.
Решений нет.
Решить уравнение `sin^4 2x+1=cos3x`.
Так как левая часть уравнения `sin^4 2x+1>=1`, а правая часть `cos3x<=1`, то уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{4}2x+1=1,\\ \mathrm{cos}3x=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}3x=1.\end{array}\right.$$
Отсюда
$$ \left\{\begin{array}{l}2x=\pi n,n\in Z,\\ 3x=2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi n}{2}},n\in Z,\\ x={\displaystyle \frac{2\pi n}{3}},m\in Z.\end{array}\right.$$
На тригонометрическом круге изобразим решения первого уравнения последней системы на рис. 14, а второго- на рис. 15. Совпадение будет при `x=2pik,kinZ`.
`x=2pik,kinZ`.
Решить уравнение `sin^2 4x+cos^2x=2sin4x*cos^4x`.
Перепишем уравнение `sin^2 4x-2sin4x*cos^4x+cos^2x=0`.
Будем решать его как квадратное относительно `sin4x`. Дискриминант уравнения
`D=4cos^8x-4cos^2x=4cos^2x(cos^6x-1)<=0`.
Значит, решения возможны только в случае `D=0` или $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0,\\ \mathrm{cos}x=\end{array}\right.\pm 1.$$ Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.
Отсюда `x=pi/2+pin,ninZ`.
`x=pi/2+pin,ninZ`.
Решить систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\mathrm{sin}x-\sqrt{3}\mathrm{cos}y={\displaystyle \frac{5}{2}},\\ \mathrm{sin}y+\sqrt{2}\mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.\end{array}\right.$$
Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:
`sqrt2(sinx-cosx)-(siny+sqrt3cosy)=4`.
По формуле дополнительного угла имеем:
`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4` или `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`
Так как `sin(x-pi/4)<=1` и `-sin(y+pi/3)<=1`, то `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/3)<=2`,
причём равенство может достигаться только в случае, если
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ -\mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ \mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-1.\end{array}\right.$$
Решая эту систему, получаем
$$ \left\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z,\\ y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$$
Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае
`sinx=1/(sqrt2)`, `cosx=-1/(sqrt2)`, `siny=-1/2`, `cosy=-(sqrt3)/2`
и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,
$$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m, n,m\in Z.\end{array}\right.$$
Решить уравнение `"arctg"3x=arccos8x`.
Напишем ОДЗ `|8x|<=1`, `|x|<=1/8`. Возьмём тангенс от обеих частей уравнения. Получим: `3x=(sin(arccos8x))/(8x)` или `24x^2=sqrt(1-64x^2)`.
Обозначим `t=8x^2`. Имеем уравнение `3t=sqrt(1-8t)` или `9t^2+8t-1=0`.
`t_1=-1`, `t_2=1/9`. Т. к. `t>=0`, то `t=1/9=8x^2`, `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).
Отсюда `x=+-1/(6sqrt2)`.
Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.
`x_1=-1/(6sqrt2)` не удовлетворяет уравнению, т. к. `"arctg"3x_1<0` (`"arctg"x<0`, если `x<0`), а `arccos8x_1>=0` (`arccosx>=0` всегда).
`x_2=1/(6sqrt2)` - удовлетворяет уравнению, т. к. углы `"arctg"3x_2 in (0;pi/2)` и
`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.
`x=1/(6sqrt2)`
При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?
ОДЗ `arccos(x+3)`: `-1<=x+3<=1` или `-4<=x<= -2`. Решение уравнения:
$$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x+3=1\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
Так как `x=-2 in`ОДЗ, то единственным решением может быть только `x=-2`. Значит должно выполняться:
$$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\notin \mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-2;+\infty \right).\end{array}\right.$$
`a in (-oo;-4)uu[-2;+oo)`.
Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `2cos2x+2asinx+a=1` имеет единственное решение на интервале `(-pi/2;0)`.
Преобразуем уравнение
`2(1-2sin^2x)+2asinx+(a-1)=0`,
`4sin^2x-2asinx-(a+1)=0`.
Обозначим `sinx=t`. Решим уравнение `4t^2-2at-(a+1)=0`.
`D/4=a^2+4(a+1)=(a+2)^2`, $$ {t}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{a\pm \left(a+2\right)}{4}}=\left[\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$
Итак, $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \mathrm{sin}x={\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$ Но уравнение `sinx=-1/2` даёт один корень на `(-pi/2;0)` - он равен `(-pi/6)`.
Значит, для единственности решения задачи должно быть либо
`(a+1)/2=-1/2` и `a=-2`, либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале
`x in (-pi/2;0)`, т. е. $$ \left[\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+1}{2}}\ge 0,\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}\le -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a\ge -1,\\ a\le -3.\end{array}\right.$$ Итак,
`ain(-oo;-3]uu{-2}uu[-1;+oo)`.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.
Уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x-\mathrm{cos}x=a\mathrm{sin}x-{a}^{2}\mathrm{cos}x,\\ \mathrm{sin}x-a\mathrm{cos}x\ne 0.\end{array}\right.$$
Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.
1) Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`, т. е. `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.
2) Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x-1=a\mathrm{tg}x-{a}^{2},\\ \mathrm{tg}x-a\ne 0,\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\left(a-1\right)\mathrm{tg}x={a}^{2}-1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$
Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из `(pi/2;pi]`.
Если же `a!=1`, то система становится такой: $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=a+1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$
Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось `a+1<=0`, т. е. `a<= -1` (см. рис. 16).
Итак,
`a<= -1`, `a=1`.
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
| `f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)` | (1) |
или два уравнения
| `f_1 (x) = g_1 (x)` и `f_2 (x) = g_2 (x)` | (2) |
называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.
Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0` (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:
`f(x) = 0 hArr g(x) = 0` (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).
`sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.
Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).
При каких значениях параметра `a` системы
| и |
равносильны?
Решим сначала первую, более простую систему
Подставим `a = 3` во вторую систему
Следовательно, при `a = 3` системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.
При `a != 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе `y` входит только в чётной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему
Итак, таких `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a` вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.
1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).
2. `a=1`: Вторая система имеет вид
Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.
3.
и
Следовательно, системы при этом значении `a` равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.
`2; 3`.
При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.
1. Если функции `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве
| а) | `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`. | (УР 1) |
| б) | `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`. | (УР 2) |
2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`, | (УР 3) |
т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.
3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, | (УР 4) |
т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.
4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. | (УР 5) |
5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.
| `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`. | (УР 6) |
Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на `(–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.
6. Если обе части уравнения неотрицательны, то
| `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`. | (УР 7) |
7. Для любых `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального `n`
| `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. | (УР 8) |
8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,
| $$f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.$$ | (УР 9) |
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.
Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.
 |
| Рис. 1 |
Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`, `y = x + 1` и посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).
`[- 3; 1)`.
Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):
| `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. | (УР К1) |
| (УР К2) | |
| (УР К3) | |
| (УР К4) |
ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`
ОДЗ: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим неравенство
`sqrt(f(x)) >= g(x)`.
Докажем, что
|
`sqrt(f(x))>=g(x)`$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ |
(УР К5) |
1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`. Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`.
2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств
$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$
Тогда:
а) если `g(x) < 0` и `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:
б) если `g(x) >= 0` и
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,
то
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:
| `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ | (УР К6) |
Теперь рассмотрим неравенство вида
`sqrt(f(x)) <= g(x)`.
Докажем, что
| (УР К7) |
Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.
Первый способ
Воспользуемся (УР К5):
`3sqrt(3x^2-8x-3)>1-2x iff`$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-2x<0,\\3x^2-8x-3\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}1-2x\geq0,\\9\left(3x^2-8x-3\right)>\left(1-2x\right)^2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{-1}3\right]\cup\left[3;+\infty\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\cup\left(\dfrac{34+30\sqrt2}{23};+\infty\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\in\left[3;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\end{array}$$
`iff x in (- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
Второй способ
Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:
`3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.
Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.
1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.
2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`
`iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`
`iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.
Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.
Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.
Объединяя 1 и 2, получаем
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`
Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.
Докажем, что
| (УР К8) |
1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств
2. Если `x` является решением системы неравенств
то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.
При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.
Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.
Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.
`sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`
`[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.
ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x))>=0` `(<= 0)`
Роль сопряжённых выражений
Обычно при решении неравенств, имеющих ОДЗ, надо сначала найти ОДЗ. При нахождении ОДЗ такого сложного неравенства, как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`, учителя и школьники обычно решают систему . Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».
Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.
Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:
1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;
2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение
`(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`
имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило П К1:
| Если `g(x)>=0`, то знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком разности `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ. | (П К1) |
Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.
Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и двумя случаями, но без корней.
Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.
1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен в ОДЗ. Но тогда .
2. Если же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае
.
Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:
| (УР К9) |
Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.
Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.
ОДЗ*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`.
Теперь в ОДЗ преобразуем неравенство:
Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.
 |
| Рис. 2 |
Найдём эту абсциссу:
Заметим, что для решения уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:
А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение
Теперь можно записать
.
Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.
Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`.
Теперь воспользуемся (УР К9):
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
Систему неравенств решили классическим методом интервалов - рис. 3.
 |
| Рис. 3 |
`(- oo; 0) uu [1; 2]`.
`(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.
Неравенство довольно громоздкое и сложное.
Найдём сначала ОДЗ*:
`x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`.
Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.
1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и
$$\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x\in\left(-8;9\right)$$.
Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что `x in (-8;-7)`. Оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*.
2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда
с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
`(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
Роль сопряжённых выражений
Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и имеет место условие равносильности в ОДЗ
| (УР К10) |
или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
| (УР К11) |
Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):
| Знак разности `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)` в ОДЗ. | (П К2) |
Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Замечательный пример на применение (УР К11)!
Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда
`(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`
`iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`
`iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.
Неравенство решено методом интервалов - рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.
`[-2; -1) uu [0; 1], 3`.
Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Найдём сначала ОДЗ*: .
Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :
.
Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `1`.
`(2; 3), 1`.
ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.
Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.
Получим
| (УР10) |
Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.
Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}$$
`iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
`{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
