16 статей
1. Основные определения
Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно - как с геометрическими объектами - геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).
Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.
Стрелка компаса - не вектор, т. к. для неё нет таких операций.
Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение - букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.
Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую - концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является началом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).
Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа - равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).
В физике точка приложения вектора иногда имеет принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке приписать эту скорость? Всем точкам движущейся системы!
2. Сложение двух векторов.
Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а).
Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б - это вектор `vec c`.
Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать
Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.
Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах, параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно - суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).
Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют правило треугольника. Поясним сказанное.
3. Сложение трёх и более векторов.
Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6).
Для этого по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим вектором `vec d`. Тогда полученный вектор `vec f = vec c + vec d` и будет представлять собой сумму трёх векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.
Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго - откладывают третий, из конца третьего - четвёртый и т. д.
Так, на рис. 7 вектор `vec g` представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`, найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.
Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так, например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).
Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.
Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ... = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.
Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость - не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.
Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова - величина аддитивная.
В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.
4. Умножение вектора на скаляр.
Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен
где `|k|` - абсолютная величина числа `k`.
Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только скалярным множителем, не равным нулю, то они коллинеарны.
В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено.
Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).
При `k = - 1` получим `vec b = - vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).
Два вектора, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными.
Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `...`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом
`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + ... = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + ...`.
При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.
5. Разность двух векторов.
Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор `- vec b`:
`vec a - vec b = vec a + (- vec b)`;
см. рис. 9а, 9б.
1. Проекция вектора на заданное направление.
Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. Приведём эти векторы к одному началу `O` (рис. 10). Угол, образованный лучами, исходящими из точки `O` и направленными вдоль векторов `vec a` и `vec b`, называют углом между векторами `vec a` и `vec b`. Обозначим этот угол через `alpha`.
Число `a_b = a cos alpha` называется проекцией вектора `vec a` на направление вектора `vecb`. Проекция вектора `vec a` получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора `vec b` (рис. 10), тогда расстояние от общего начала векторов - точки `O` - до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор `vecb`, будет равно модулю проекции вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.
Угол `alpha` может принимать различные значения, поэтому в зависимости от знака `cos alpha` проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль. Например, если угол `alpha` тупой, т. е. больше, чем `90^@`, но меньше `180^@`, то косинус такого угла отрицателен (см. рис. 11).
Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны (см. рис. 12).
Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.
Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.
2. Разложение вектора.
До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру - разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.
Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O` прямые `AO` и `OB` (см. рис. 13).
Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых. Для этого параллельным переносом совместим начало вектора `vec a` с точкой `O` пересечения прямых. Из конца вектора `vec a` проведём два отрезка прямых, параллельных `AO` и `OB`. В результате получится параллелограмм. По построению
Векторы `vec(a_1)` и `vec(a_2)` называются составляющими вектора `vec a` по заданным направлениям, а само представление вектора в виде суммы (*) - разложением вектора по двум направлениям.
В чём разница между проекцией вектора на ось и составляющей (компонентой) вектора вдоль этой оси?
Проекция вектора - скаляр; составляющая вектора вдоль этой оси - вектор, направленный вдоль этой оси.
Пусть `a = 1`, угол между прямыми `AO` и `OB` равен `varphi = 45^@`, а угол между векторами `vec a` и `vec(a_1)` равен `varphi_1=15^@`. Определите модули векторов `vec a_1` и `vec a_2` в разложении (*), а также значения проекций вектора `vec a` на направления `vec(a_1)` и `vec(a_2)` (см. рис. 13).
`a_(a1) = a cos varphi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos varphi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.
Далее по теореме синусов , `a_1/(sin varphi_2) = a/(sin (180^@ - varphi_1 - varphi_2))`,
откуда `a_1 = (sin varphi_2)/(sin (varphi_1 + varphi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0,71`
и аналогично `a_2 = (sin 15^@)/(sin 45^@) ~~ 0,37`.
3. Проектирование вектора на оси координат.
Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j` назовём единичными векторами.
Перенесём вектор `vec a` так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть в этом положении он изображается направленным отрезком `AO` (рис. 14).
Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут составляющими вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)` будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` - коллинеарен вектору `vecj`. Следовательно, существуют такие числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:
Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.
Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси - без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).
Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha` (рис.14). Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.
В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Зная проекции вектора `vec a` на оси координат, можно найти его величину и направление по формулам:
и
`"tg" alpha = (a_y)/(a_x)` (5)причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту принадлежит значение `alpha`.
4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c` (рис. 15).
Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства
`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,
или
`c_x = a cos alpha + b cos beta`,
`c_y = a sin alpha + b sin beta`,
т. е. по проекциям векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.
1.
Скалярным произведением двух векторов `vec a` и `vec b` называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается `vec a * vec b`.
Таким образом,
Иногда используют более сложные обозначения для скалярного произведения векторов: `(vec a vec b)` или даже `(vec a, vec b)`.
Если векторы `vec a` и `vec b` ортогональны `(vec a _|_ vec b)`, то `cos alpha = 0` и поэтому `vec a * vec b = 0`. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.
Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то `cos alpha = 1`, поэтому скалярное произведение векторов `vec a` и `vec b` равно произведению модулей векторов `vec a` и `vec b`. В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: `vec a * vec a = a^2`.
2. Имеется ещё одна важная форма записи скалярного произведения: через проекции векторов в прямоугольной системе координат `xOy`. Пусть в некоторой системе координат векторы `vec a` и `vec b` имеют координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула
Действительно, имеем `vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * (b_x vec i + b_y vec j)`, или после перемножения скобок
`vec a * vec b = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`.
Учитывая, что векторы `vec i` и `vec j` единичные и взаимно перпендикулярные,
(`vec i * vec i = vec j * vec j = 1` и `vec i * vec j = vec j * vec i = 0`), получим (7).
(написано по просьбе Володковича Н.А., преподавателя школы Смоленской обл.). Кажущееся привычным перемножение скобок
`vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * ( b_x vec i + b_y vec j) = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`
не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения. Докажем, что
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) = vec a * vec c + vec a * vec d + vec b * vec c + vec b * vec d`. (*)
Для этого заметим, что скалярное произведение (6) можно переписать в виде
`vec a * vec b = a * b_a` (6'),
где `b_a` – проекция вектора `vec b` на направление вектора `vec a`.
(Можно было записать и иначе:
`vec a * vec b = a_b * b` (6"),
где `a_b` – проекция вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.)
Далее – цепочка простых выкладок:
`vec a * (vec c + vec d) = (vec c + vec d) * vec a = a (c_a + d_a) = a * c_a + a * d_a = vec a * vec c + vec a * vec d`,
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) -= (vec a + vec b) * vec e = vec a * vec e + vec b * vec e = vec a * (vec c + vec d) + vec b * (vec c + vec d)`,
откуда следует равенство (*) (было введено обозначение `vec c + vec d -= vec e`).
При другом выборе системы координат векторы `vec a` и `vec b` имели бы другие координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Поэтому могло бы показаться, что в новой системе координат скалярное произведение векторов (7) будет иметь другое значение. На самом деле, согласно (6) величина скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол между ними не зависят от поворотов и сдвигов системы координат.
`vec a = (3; lambda)`, `a = 5`. Определите `lambda`.
Согласно формуле (4) имеем `3^2 + lambda ^2 = 5^2`, откуда `lambda = 16` и `lamda =+- 4`. Заметим, что условию задачи удовлетворяют два разных вектора (см. рис. 16).
Векторы `vec a = (0; 3)` и `vec b = (lambda ; 5)` коллинеарны друг другу. Определите `lambda`.
Вектор `vec a` параллелен оси `Oy` (перпендикулярен оси `Ox`: `a_x = 0`). Поэтому коллинеарный ему вектор `vec b` также должен быть перпендикулярен оси `Ox`, т. е. должно выполняться равенство `b_x = 0`, или `lambda = 0`.
Векторы `vec a = (- 1; 3)` и `vec b = (lambda; 5)` перпендикулярны друг другу. Определите `lambda`.
Векторы `vec a` и `vec b` перпендикулярны друг другу, поэтому равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения векторов имеем: `(- 1) * lambda + 3 * 5 = 0`, откуда `lambda = 15`.
`vec p = vec b (vec a vec c) - vec c (vec a vec b)`. Докажите, что `vec p _|_ vec a`.
Надо доказать, что скалярное произведение векторов `vec a` и `vec p` равно нулю. В самом деле, `vec a * vec p = (vec a vec b)(vec a vec c) - (vec a vec c)(vec a vec b) -= 0`.
Векторы `vec a`, `vec b`, `vec c` составляют треугольник (см. рис. 17).
Воспользовавшись свойствами скалярного произведения векторов, докажите теорему косинусов
`c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab cos varphi` (8)
По условию задачи имеем `vec c = - (vec a + vec b)`. Квадрат модуля вектора `vec c` можно представить как скалярное произведение его на самого себя: `c^2 = vec c * vec c`. Вычислим это скалярное произведение:
`vec c * vec c = + (vec a + vec b) * (vec a + vec b) = vec a * vec a + vec a * vec b + vec b * vec a + vec b * vec b = a^2 + b^2 + 2ab cos alpha`.
Угол `alpha` между векторами `vec a` и `vec b` и угол `varphi` (см. рис.17) - два смежных угла, т. е. `alpha = 180^@ - varphi` . Поэтому имеем `c^2 = a^2 + b^2 + 2 ab cos (180^@ - varphi)`.
Пользуясь известной из тригонометрии формулой приведения `cos (180^@ - varphi) =- cos varphi`, получаем формулу (8)
Найдите угол `alpha` между векторами `vec a = 3 vec i + 2 vec j` и `vec b = - 2 vec i - vec j`.
По определению скалярного произведения `vec a * vec b = a * b * cos alpha`, где `alpha` - искомый угол, `a` и `b` - модули векторов `vec a` и `vec b` соответственно. Отсюда `cos alpha = (vec a * vec b)/(a * b)`. В свою очередь,
`vec a * vec b = a_x b_x + a_y b_y = 3 * (- 2) + 2 * (- 1) = - 8`,
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt13`,
`b = sqrt(b_x^2 + b_y^2) = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2) = sqrt5`.
Тогда `cos alpha = (- 8)/(sqrt13 * sqrt5) = (- 8)/sqrt(65) ~~ - 0,992`. Отсюда `alpha ~~ 173^@`.
Простейшие примеры векторов в физике - скорость и сила.
1. Всякое движение можно представить как результат сложения нескольких движений, его составляющих. Скорость результирующего движения изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляющие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.
Рыбак переправляется на лодке `A` через реку, которая течёт в сторону, указанную стрелкой (рис. 18). Пусть скорость течения воды `vec(v_1)` изображается по величине и направлению отрезком `AB`, а скорость `vec(v_2)` движения лодки относительно воды под влиянием усилий гребца изображается отрезком `AC` (в стоячей воде лодка двигалась бы по направлению `AC` со скоростью `vec(v_2)`). Лодка будет двигаться относительно берега по направлению `AM` со скоростью `vec v`, изображаемой диагональю `AD` параллелограмма, построенного на векторах `vec(v_1)` и `vec(v_2)` (в данном случае параллелограмм `ABCD` является прямоугольником).
2. Сила - как векторная величина - всегда имеет определённое направление, модуль, а также точку приложения.
Часто встречаются случаи, когда на тело действуют несколько сил. Тогда бывает удобно заменить их одной силой, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил. Такую силу (если она существует) называют равнодействующей. Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с помощью правил векторного сложения, при этом слагаемые силы называют составляющими.
Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку тела, всегда можно заменить одной равнодействующей, как бы ни были направлены силы и каковы бы ни были их величины. Пусть, например, на тело действуют четыре силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и `vec(F_4)`, приложенные к одной точке `O` и лежащие в одной плоскости (рис. 19). Тогда их равнодействующая `vec F` будет равна векторной сумме этих сил, найденной по правилу многоугольника (рис. 20).
Найти равнодействующую `vec R` трёх равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми силами равны между собой.
`F_1 = F_2 = F_3 = F`.
См. рис. 21. Углы между парами векторов `vec(F_1)` и `vec(F_2)`, `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, а также между векторами `vec(F_1)` и `vec(F_3)`, равны друг другу и равны `120^@`. Сложим силы `vec(F_2)` и `vec(F_3)` по правилу параллелограмма. Вследствие равенства модулей сил `vec(F_2)` и `vec(F_3)` этот параллелограмм есть ромб. Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_3)` есть диагональ ромба, поэтому углы между парами векторов `vec(F_2)` и `vec(F_2) + vec(F_3)`, а также `vec(F_3)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` равны по `60^@`, т. е. векторы `vec(F_1)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны. Силовой параллелограмм, построенный на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, состоит из двух равносторонних треугольников, поэтому модуль силы
`|vec(F_2) + vec(F_3)| = F_2 = F_3 = F = F_1`, т. е `vec F_1 = - (vec(F_2) + vec(F_3))`,
откуда следует `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) = 0`.
К телу приложено `6` сил, лежащих в одной плоскости и составляющих друг с другом углы в `60^@`. Силы последовательно равны `1`, `2`, `3`, `4`, `5` и `6 Н`. Найти равнодействующую `vec R` этих шести сил.
Сложение сил по правилу многоугольника здесь нецелесообразно. Поступим иначе. Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой (см. рис. 22 а, б, в).
Получим
`|vec(F_1) + vec(F_4)| = 4 - 1 = 3`,
аналогично `|vec(F_2) + vec(F_5)| = 5 - 2 = 3` и `|vec(F_3) + vec(F_6)| = 6 - 3 = 3`.
Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_5)` направлена вдоль вектора `vec(F_5)`. Туда же направлена и сумма сил `vec(F_1) + vec(F_4) + vec(F_3) + vec(F_6)`, причём модуль этой силы равен `3`. В итоге получаем, что сумма всех шести сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)` направлена вдоль направления силы `vec(F_5)`, а модуль этой силы `|vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)| = 3 + 3 = 6 Н`.
Найти равнодействующую `vec R` пяти равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми соседними силами равны между собой (см. рис. 23). (Эти углы, разумеется, равны `360^@ //5 = 72^@`.)
В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем нечётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, `vec(F_1)`, а остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их (см. рис. 24):
`vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`.
Почему удобна именно такая группировка сил в пары? Дело в том, что обе суммы сил (и `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`) направлены вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Ясно, что равнодействующая всех сил будет направлена вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Модули сумм сил легко найти из геометрии. Например, в силовом параллелограмме, построенном на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_5)`, который является ромбом, длина диагонали ромба (модуль силы `vec(F_2) + vec(F_5)`) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется из любого из четырёх прямоугольных треугольников, на которые ромб разбивается диагоналями. В результате
`|vec(F_2) + vec(F_5) | = 2F cos 72^@`,
где `F` - модуль любой из пяти исходных сил. Аналогично
`|vec(F_3) + vec(F_4)| = 2F cos 36^@`.
В итоге для модуля искомой силы получаем формулу
`R = F(1 + 2 cos 72^@ - 2 cos 36^@)`. (*)
Для углов `72^@` и `36^@` нет таких простых формул, как для углов `30^@`, `45^@` или `60^@`. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) `R = 0`.
Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу `vec(F_1)`. Если бы в качестве такой взять силу `vec(F_2)`, а в пары объединить `vec(F_1)` и `vec(F_3)` (одна пара) и `vec(F_4)` и `vec(F_5)`, то, повторив рассуждения, получим, что равнодействующая всех пяти сил `vec R` должна быть направлена вдоль линии действия силы `vec(F_2)`. Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и `vec(F_1)`, и `vec(F_2)`; а на самом деле, как догадался читатель, ещё и вдоль направления действия сил `vec(F_3)`, `vec(F_4)` и `vec(F_5)`!)? Ненулевым вектор не может быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой!
В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы сил.
В примере 12 нас интересовала лишь проекция равнодействующей силы на направление (например, силы `vec(F_1)`).
В следующих примерах наш интерес будет также скорее не к равнодействующей силе, а только к каким-то её проекциям.
Электрический фонарь весом `Q = 16 Н` укреплён, как показано на рис. 25.
Определите отношение натяжений `T_1` и `T_2` в проволоках `BA` и `BC`, углы наклона которых даны на рисунке.
В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к точке `B`, равна нулю. Поэтому проекция равнодействующей всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы со стороны проволоки, идущей к фонарю, на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остаются вклады от двух натяжений со стороны проволок `BA` и `BC`. Горизонтальную ось направим слева направо. Тогда имеем: $$ {T}_{1, \mathrm{гор}}+{T}_{2, \mathrm{гор}}=0$$ (см. рис. 26), т. е.
`T_1 * cos 60^@ - T_2 cos 45^@ = 0`
(или `T_1 * sin 30^@ - T_2 sin 45^@ = 0`), откуда получаем `T_1//T_2 = sqrt2`.
Однородная массивная верёвка подвешена за два конца на разных высотах (см. рис. 27). Масса верёвки `m`. Углы, которые составляет верёвка с вертикалью в точках закрепления, равны `30^@` и `60^@`.
Определите силы натяжения верёвки вблизи её точек крепления.
Задача кажется очень трудной, т. к. не ясно, какую роль играет неизвестная нам форма верёвки, которую она примет под действием сил тяжести всех частей верёвки. (В предыдущем примере мы не интересовались провисанием проволок под действием силы тяжести, молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постановке, в какой дана, имеет простое решение. Мысленно проведём горизонтальную ось слева направо. Поскольку верёвка находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на горизонтальное направление равна нулю. Сила тяжести верёвки имеет нулевую проекцию на это направление (эта сила направлена вертикально). Снова остаются вклады от двух натяжений (см. рис. 28):
$$ {T}_{1, \mathrm{гор}}+{T}_{2, \mathrm{гор}}=0$$, или `- T_1 * sin 30^@ + T_2 sin 60^@ = 0`.
Полагая `sin 30^@ = 1//2` и `sin 60^@ = sqrt3 //2`, находим `T_1 // T_2 = sqrt3`. Мысленно проведём ещё и вертикальную ось, направив её вниз. Сумма проекций всех сил на эту ось также равна нулю:
`mg - T_1 cos 30^@ - T_2 cos 60^@ = 0`.
Учитывая найденное ранее соотношение между `T_1` и `T_2` и значения `cos 60^@ = 1//2` и `cos 30^@ = sqrt3 //2`, получаем:
`mg - sqrt3 * T_2 * sqrt3 //2 - T_2 //2 = 0`,
откуда
`T_2 = mg//2` и `T_1 = sqrt3 mg//2`.
На гладкой наклонной плоскости с углом наклона `alpha` лежит брусок массой `m`. Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы он находился в покое (рис. 29)?
Определите также модуль нормальной силы реакции на брусок со стороны наклонной плоскости.
Брусок по условию задачи покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проекций сил на любые направления, в частности, на направление вдоль наклонной плоскости и перпендикулярное ему. Нормальная сила реакции `vec N` со стороны наклонной плоскости имеет равную нулю составляющую вдоль наклонной плоскости.
Проекция сила тяжести `m vec g` на ось `Ox` вдоль наклонной плоскости (рис. 30) равна `- mg sin alpha`, а проекция горизонтальной силы `F` на эту ось равна `F cos alpha`. Других сил вдоль наклонной плоскости не действует (плоскость, по условию задачи, гладкая, т. е. сила трения пренебрежимо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось `Ox` всех сил, действующих на тело, получаем: `- mg sin alpha + F cos alpha = 0`, откуда находим
`F = mg (sin alpha)/(cos alpha) = mg * bbb"tg" alpha`.
Для отыскания `N` обратимся к проекциям сил на направление `Oy`. Приравняем нулю и сумму проекций на ось `Oy`:
`N - mg cos alpha - F sin alpha = 0`,
откуда `N = mg cos alpha + F sin alpha`, или с учётом найденного значения `F`:
`N = mg cos alpha + mg (sin^2 alpha)/(cos alpha) = mg (cos^2 alpha + sin^2 alpha)/(cos alpha)`,
тогда с учётом основного тригонометрического тождества, `sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`, получаем окончательно
`N = (mg)/(cos alpha)`.
На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой `m`. К нему приложена сила, направленная под углом `alpha` к горизонту (см. рис. 31).
Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.
Поскольку брусок не проваливается и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:
`N + F * sin alpha - mg = 0`,
(см. рис. 32), откуда находим
`N = mg - F * sin alpha`.
Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции `N` силе тяжести `mg`. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась `mg//cos alpha`. Кстати, если бы удерживающая сила `F` действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величиной `F = mg sin alpha`, а нормальная сила реакции была бы равна `N = mg cos alpha` (и снова не равнялась бы `mg`!)
Докажите это самостоятельно.
Самолёт взлетает с аэродрома со скоростью $$ v=220 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$ под углом `alpha = 20^@` к горизонту. Найдите модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости самолёта.
(См. рис. 33). В данном примере мы имеем дело с весьма простым случаем разложения скорости на два взаимно перпендикулярных направления:
`vec v = vec(v _sf"гор") + vec(v_sf"верт")`,
$$ {v}_{\mathrm{гор}}=v \mathrm{cos} \alpha \approx 207 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$, $$ {v}_{\mathrm{верт}}=v \mathrm{sin} \alpha \approx 75 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$.
В безветренную погоду самолёт летит на север со скоростью $$ 180 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$ ($$ 50 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$) относительно земли. С какой скоростью относительно земли будет лететь самолёт, если дует западный ветер со скоростью $$ 10 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$?
См. рис. 34. В данном случае мы имеем дело со сложением движений: `vec(v_sf"с") = vec(v_sf"св") + vec(v_sf"в")`, где `vec(v_sf"св")` - скорость самолёта относительно воздуха (модуль которой равен скорости самолёта относительно земли в безветренную погоду), а `vec(v_sf"в")` - скорость воздуха. Далее по теореме Пифагора получаем:
$$ {v}_{\mathrm{с}}=\sqrt{{50}^{2}+{10}^{2}}=\sqrt{2600}\approx 51 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$.
Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью $$ u=3 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$. Скорость лодки в стоячей воде $$ v=5 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$. Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить лодку, чтобы она двигалась поперек реки (без сноса)? Какой будет при этом модуль скорости лодки `v` относительно берега?
Как и в примере 9, мы также имеем дело со случаем сложения движений. Но там было проще: не требовалось выбирать никакой стратегии, рыбак лишь наблюдал, как снесёт его лодку течением воды в реке. Если бы вода в реке покоилась, то, направив корпус лодки под углом `alpha` к нормали, мы заставили бы её двигаться в направлении вектора `vec V` (см. рис. 35). В действительности, вода в реке не стоячая, а имеет скорость `vec u` Поэтому сносимая течением лодка будет двигаться в направлении вектора `vec v` таком, что `vec v = vec V + vec u`. Учитывая, что оба треугольника в параллелограмме на рис. 35 прямоугольные (по условию, лодка должна двигаться перпендикулярно берегам), находим
`sin alpha = u//V = 3//5`, `alpha ~~ 37^@`,
а по теореме Пифагора $$ v=\sqrt{{V}^{2}-{u}^{2}}=4 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$.
Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью $$ u=5 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$. Скорость лодки в стоячей воде $$ V=3 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$$. Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить корпус лодки, чтобы её снесло как можно меньше? Под каким углом `beta` к нормали к берегу будет при этом плыть лодка?
В данном примере скорость лодки относительно воды меньше, чем скорость воды в реке, `V < u`, поэтому реализовать план из предыдущего примера (рис. 35) невозможно. Наша цель состоит в том, чтобы направить корпус лодки под таким углом `alpha` к нормали к берегу, чтобы сносимая течением лодка двигалась под углом `beta`, по возможности наименьшим (см. рис. 36а, б, в).
В данном примере складывать скорости (лодки относительно воды `vec V` и воды в реке `vec u`) удобно по правилу треугольника, а не параллелограмма: приставим начало вектора `vec V` к концу вектора `vec u`. Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом сноса), будем мысленно поворачивать вектор `vec V`. При этом конец вектора будет описывать окружность с центром в конце вектора `vec u`. Из рисунков 36 видно, что минимальному углу сноса лодки `beta` соответствует случай, когда вектор `vec v = vec V + vec u` направлен по касательной к этой окружности. При этом вектор `vec V _|_ vec v` т. е. треугольник скоростей на рис. 36в прямоугольный. Отсюда получаем:
`sin alpha = V//u = 3//5`; `alpha ~~37^@`; `beta = 90^@ - alpha ~~53^@`.
Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и выбирая верёвку, которая привязана к носу лодки, со скоростью `v` (см. рис. 37).
Какой будет скорость лодки `u` в момент, когда верёвка будет составлять угол `alpha` с горизонтом? Верёвка нерастяжима.
Традиционная ошибка решающих эту задачу состоит в том, что пытаются разложить движение лодки на два направления – горизонтальное и вертикальное, делая (неправильное!) построение, как показано на рис. 38а и получая неверный ответ `u = v * cos alpha`. Что здесь неправильно? В отличие от самолёта из примера 17, который двигался под отличным от нуля углом к горизонту (см. рис. 33), здесь лодка движется горизонтально! Сделаем другое разложение скорости лодки `vec u` по двум направлениям – вдоль верёвки (в данный момент времени!) и перпендикулярно ей (см. рис. 38б).
Проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v`, с которой выбирают верёвку: `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`.
Поясним ещё, почему проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v` с которой выбирают верёвку. Если мы имеем абсолютно твердое тело (АТТ), деформациями в котором можно пренебречь, или нерастяжимую нить (но уже максимально натянутую), то как бы ни двигались АТТ или нерастяжимая нить, они будут обладать следующим свойством. Возьмём две произвольные точки `A` и `B` нити или АТТ и мысленно соединим их прямой. Тогда составляющие скоростей выбранных точек вдоль этой прямой в любой момент времени будут равны друг другу: $$ \overrightarrow{{v}_{A\parallel }}=\overrightarrow{{v}_{B\parallel }}$$ (см. рис. 39). В противном случае изменялось бы расстояние между точками `A` и `B`. Составляющие скорости, перпендикулярные отрезку прямой `AB`, могут быть при этом любыми.
Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 40). В некоторый момент времени силы натяжения тросов, идущих от лодок 1 и 2, равны друг другу по модулю и равны `F`. Угол между тросами равен `2 alpha`. Какая равнодействующая сила приложена к буксируемой лодке со стороны тянущих её лодок? Чему будет равна эта сила в случае малого угла `alpha` (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?
Две силы нужно сложить по правилу параллелограмма, который в данном случае будет ещё и ромбом с перпендикулярными друг другу диагоналями, разбивающими его на четыре равных прямоугольных треугольника. Из геометрии рис. 41 видно, что модуль равнодействующей силы `R` равен удвоенной длине прилежащего катета: `R = 2F cos alpha`. При стремлении угла между направлениями тросов к нулю `R -> 2F` (`cos alpha -> 1` при `alpha -> 0`).
Хитрее оказывается похожая задача, когда заданы не силы, а скорости.
Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 42). В некоторый момент времени модули скоростей лодок 1 и 2 равны друг другу и равны `v_1 = v_2 = v`. Найти модуль и направление скорости буксируемой лодки `u`. Тросы нерастяжимы. Чему будет равна эта скорость в случае малого угла `alpha` (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?
Ясно, что «решение» `u = 2v cos alpha` (как в предыдущем примере) не подходит, т. к. при `alpha -> 0` мы получили бы, что `u -> 2v`, чего не может быть. Если, например, две собаки в упряжке бегут с одинаковыми скоростями `v` в одном направлении, то и скорость упряжки будет равна этой же скорости `v` (если, конечно, упряжка не отцепилась или к ней не подключили дополнительно мотор).
Решение задачи такое же, как в примере 21. В данном примере важнейшими словами являются «Тросы нерастяжимы». Ясно, что правильное построение, учитывающее это условие, должно быть таким, как на рис. 43, откуда немедленно получаем `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`. Тогда в предельном случае, когда `alpha -> 0`, имеем `u -> v`, как и должно быть.
Заметим, что четырёхугольник на рис. 43 весьма мало похож на параллелограмм из предыдущего примера. Еще меньше будет похож на параллелограмм этот четырёхугольник, когда модули скоростей `v_1 != v_2` (см. рис. 44).
Две лодки буксируют третью с помощью двух тросов (рис. 45). В некоторый момент времени скорость 2-ой лодки в 2 раза больше, чем скорость 1-ой, `v_2 = 2v_1 = 2v`, а угол между тросами равен `90^@`. В каком направлении и с какой скоростью движется в этот момент буксируемая лодка? Тросы нерастяжимы.
В данном случае четырёхугольник на рис. 44 будет прямоугольником - см. рис. 46 (т. е. всё же параллелограммом).
По определению тангенса угла `"tg"varphi _1 = v_2 //v_1 = 2`, откуда, пользуясь калькулятором, находим `varphi _1 ~~63^@`; `varphi _2 = 90^@ - varphi _1 ~~ 27^@`.
Модуль скорости буксируемой лодки найдём по теореме Пифагора (раз уж у нас «случайно» появились прямоугольные треугольники):
`u = sqrt(v_1^2 + v_2^2) = sqrt(v^2 + (2v)^2) = sqrt5 * v ~~ 2,2 v`.
По взглядам учёных античных времён считалось, что для движения необходимо наличие действия других тел. Если же действие это прекращается, то тело останавливается и возвращается в состояние покоя. Таким образом, покой выступал к ак основное состояние тела, а движение – как временное состояние, обязательно прекращающееся.
Такая точка зрения просуществовала до XVI века, когда Галилеем были сформулированы суждения принципиально другого толка. Галилей считал, что любое тело сохраняет состояние, в котором оно находится, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы. Так, физическое тело, лежащее на столе, находится в покое, поскольку на него действует Земля и стол, а действия эти равны по величине и противоположны по направлению. Но тело может не только находиться в покое при равенстве действий других тел, но и двигаться равномерно и прямолинейно. Например, металлический шар, брошенный в воду, тонет с постоянной скоростью (на начальном участке движения это не так, но потом движение действительно станет равномерным). При этом действие Земли скомпенсировано действием воды. И, наконец, тело, движущееся вдали от других тел (современным примером было бы движение космического корабля вдали от гравитирующих масс), будет сохранять свою скорость постоянной относитель но некоторой системы отсчёта, потому что нет тел, которые своим действием изменили бы это состояние движения.
Ньютон попытался построить учение о движении тел, основываясь на свойствах пространства и времени. По его мнению следовало, что вследствие однородности и изотропности пространства тело сохраняет состояние, в котором оно находится. Если оно в какой-либо системе отсчёта находилось в покое, то и продолжает сохранять покой в этой с. о., если оно двигалось равномерно и прямолинейно, то сохраняет состояние движения. Само движение остаётся равномерным и прямолинейным , потому что пространство во всех точках имеет одинаковые свойства (однородно) и по всем направлениям так же имеет одинаковые свойства (изотропно).
называют явление сохранения скорости телом, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
относительно которой тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы.
Любая другая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, тоже является инерциальной.
Таким образом, достаточно найти хотя бы одну и иерциальную систему отсчёта (далее ИСО), чтобы потом выбирать удобную ИСО.
Ньютон считал, что прос ранство абсолютно и неподвижно и что с ним можно связать хотя бы одну ИСО, неподвижную относительно пространства.
Практический же поиск ИСО представляет целую научную проблему. Несмотря на сложность поиска ИСО, первый (основополагающий) закон Ньютона постулирует их существование.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы.
Первый закон Ньютона является следствием свойств пространства и времени, т. е. тело может двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в покое (если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы) только тогда, когда свойства пространства в разных точках и направления в нём (вдоль траектории движения тела) равноправны. Сами свойства пространства и времени являются содержанием первого закона (его физическим смыслом). И если хотя бы одна ИСО существует, то остальных ИСО сколько угодно, и все они выступают на равных правах!
Данное утверждение имеет огромное значение и называется принципом относительности Галилея, и потому выпишем отдельно:
1. Все ИСО равноправны.
2. При переходе из одной ИСО в другую форма зписи законов механики не меняется.
3. Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить равномерное прямолинейное движение.
Все три формулировки имеют одинаковый смысл, но разнообразие этих формулировок расширяет понимание данного принципа.
Например, третья формулировка говорит о следующем: пусть мы находимся в закрытом от внешнего мира пространстве (закрытый вагон на очень гладких прямолинейных рельсах без стыков) . Проводя внутри вагона разнообразные механические опыты и анализируя их результаты, мы не сможем ответить на вопрос – движемся ли мы равномерно и прямолинейно или находимся в покое относительно дороги (результаты опытов не зависят от места в пространстве и направления движения в нём).
Вторая формулировка утверждает, что результаты опытов, проведённых в вагоне (движущемся равномерно и прямолинейно), будут точно такими же, как и те, что получены при наблюдении за тем же опытом через окно вагона наблюдателем, стоящим на поверхности Земли неподвижно.
Первая формулировка лаконично обобщает все факты, но для полного понимания требуется пояснение или расшифровка, которая звучит в других формулировках.
Из перечисленных примеров вытекает, что вполне очевидной будет ситуация, в которой на тело действуют другие тела, а ускорения нет; и невероятной будет ситуация, когда на тело не действуют тела, а ускорение есть.
Из наблюдений можно заметить, что тела изменяют свою скорость только при наличии не скомпенсированного действия. Т. к. быстрота изменения скорости характеризуется ускорением тела, можем заключить, что причиной ускорения является некомпенсированное действие одного тела на другое. Но одно тело не может действовать на другое, не испытывая его действия на себе. Следовательно, ускорение появляется при взаимодействии тел. Ускорение приобретают оба взаимодействующие тела. Так же из наблюдений можно установить ещё один факт: при одинаковом действии разные тела приобретают разные ускорения.
Условились считать: чем меньше ускорение приобретает тело при взаимодействии, тем инертнее это тело.
это свойство тела сохранять свою скорость постоянной (то же, что и инерция). Проявляет себя в том, что для изменения скорости тела требуется некоторое время. Процесс изменения скорости не может быть мгновенным.
Например, движущийся по дороге автомобиль не может мгновенно остановиться, для уменьшения скорости требуется некоторое время, а за это время он успевает переместиться на довольно большое расстояние (десятки метров). (Осторожно переходите дорогу!!!)
Мерой инертности является инертная масса.
Масса (инертная) – мера инертности тела.
Чем инертнее тело, тем больше его масса. Чем больше инертность, тем меньше ускорение. Следовательно, чем больше масса тела, тем меньше его ускорение:
| `a~1/m` |
Данная зависимость записана единственно правильным способом, т. к. форма `m~1/m` не верна. Масса не может зависеть от ускорения, она является свойством тела, а ускорение является характеристикой состояния движения тела.
Данная зависимость подтверждается многочисленными опытными результатами.
Два тела, скреплённые между собой сжатой пружиной, после пережигания нити, удерживающей пружину, начинают двигаться некоторое время с ускорением (рис. 1).
Опыт показывает, что при любых взаимодействиях данных двух тел отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс:
`a_1/a_2=m_2/m_1`;
если взять первую массу за эталонную `(m_1=m_("эт"))`, то `m_2=m_("эт") (a_("эт"))/(a_2)`.
Масса, измеренная путём взаимодействия (измерения ускорения), называется инертной.
Измерение массы методом взвешивания тел.
Второй способ измерения масс основан на сравнении действия Земли на различные тела. Такое сравнение можно осуществить либо последовательно (сначала определяют растяжение пружины под действием эталонных масс, а потом под действием исследуемого тела в тех же условиях), либо одновременно располагают на равноплечих рычажных весах на одной чаше исследуемое тело, а на другой эталонные массы (рис. 2).
Масса, измеренная путём взвешивания, называется гравитационной.
Раньше в качестве эталона и той и другой массы была принята масса тела, выполненного в форме цилиндра высотой `39` мм и диаметром `39` мм, изготовленного из сплава `10 %` иридия и `90 %` платины (рис. 3).
Для создания нового эталона массы теперь применяется баланс Киббла – напоминающее весы устройство, которое определяет, какой ток нужен для того, чтобы создать электромагнитное поле, способное уравновесить чашу с тестируемым эталоном. Это позволяет вычислить постоянную Планка с беспрецедентной точностью. Знание постоянной Планка, в свою очередь, позволяет определить точную массу объекта в другом режиме работы баланса Киббла.
Преимущество нового эталона в том, что баланс Киббла всегда можно изготовить заново и провести с помощью него необходимые вычисления. Материальный эталон может быть потерян и уничтожен, кроме того, его масса не остается постоянной, хотя он всегда равен одному килограмму по определению.
Платиново-иридиевый цилиндр из Палаты мер и весов ушел из употребления 20 мая 2019 года.
В 1971 г наши соотечественники Брагинский и Панов придумали и провели опыт по сравнению массы гравитационной и инертной. Оказалось, что с точностью до `10^(-12)%` эти массы равны.
Данный факт известен был и ранее, и послужил основанием для формулировки Эйнштейном принципа эквивалентности.
утверждает, что
1) ускорение, вызванное гравитационным взаимодействием в малой области пространства, и за небольшой интервал времени, неотличимо от ускоренно движущейся системы отсчёта.
2) ускоренно движущееся тело эквивалентно неподвижному телу, находящемуся в гравитационном поле.
Два тела массами `400` г и `600` г двигались навстречу друг другу и после удара остановились. Какова скорость второго тела, если первое двигалось со скоростью `3` м/с?
Сила, возникающая при взаимодействии тел, конечно же, не остаётся постоянной, и ускорения тоже. Мы будем считать, что и силы, и ускорения принимают некоторые средние значения, причём одинаковые для любого момента времени. Отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс: `a_1/a_2=m_2/m_1`. В свою очередь, ускорение равно отношению изменения скорости ко времени изменения. Конечные скорости тел равны нулю, а время взаимодействия одинаково для обоих тел:
`m_2/m_1=a_1/a_2=((Deltav_1)/(Deltat))/((Deltav_2)/(Deltat))=(v_("к"1)-v_(01))/(v_("к"2)-v_(02))=(v_(01))/(v_(02))`,
откуда получим искомую скорость: `v_(02)=m_1/m_2v_(01)`.
Количественно ответ будет таким: `v_(02)=(0,4 "кг")/(0,6 "кг")*3"м"/"с"=2"м"/"с"`.
Сила является мерой взаимодействия (взаимного действия). Если действие велико (мало), то говорят о большой (малой) силе. Сила обозначается буквой `F` (первая буква слова force).
При взаимодействии чем больше сила, тем больше ускорение тела, на которое эта сила действует. Следовательно, ускорение прямо пропорционально действующей силе: `a~F`.
Но уже говорилось о том, что ускорение зависит от массы тела: `a~1/m`.
Обобщая эти зависимости получим:
`a=F/m`, или `F=ma`.
Теперь рассмотрим свойства силы, устанавливаемые опытным путём:
1) Результат действия (проявления) силы зависит от направления действующей силы, следовательно, сила – величина векторная.
2) Результат действия (проявления) силы зависит от величины приложенной силы.
3) Результат действия (проявления) силы зависит от точки приложения силы.
4) За единицу силы принято значение такой силы, которая вызывает ускорение `1 "м"//"c"^2` у тела массой `1` кг. Единицу силы назвали в честь Исаака Ньютона `1` Ньютон. (Произносить фамилию считается правильным таким образом, как произносится фамилия в том государстве, где проживал или проживает учёный.)
`[vecF]=1"H"=1 "кг"*"м"/("с"^2)` (Ньютон).
5) Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая сила действуетнезависимо от других. (Принцип суперпозиции сил). Тогда все силы необходимо сложить векторно и получить результирующую силу (рис. 4).
Из приведённых свойств силы следует, как обобщение опытных фактов, второй закон Ньютона:
Сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой суммой сил:
`sumvecF=mveca`.
Данное выражение можно представить и в другой форме: так как `veca=(vecv_"к"-vecv_0)/t`, то второй закон Ньютона примет вид: `sumvecF=m(vecv_"к"-vecv_0)/t`.
Произведение массы тела и его скорости называют импульсом тела: `vecp=mvecv`,
тогда получим новое выражение для второго закона Ньютона:
`sumvecF=(mvecv_"к"-mvecv_0)/t=(vecp_"к"-vecp_0)/t=(Deltavecp)/t`.
`sum vecF=(vecp_"к"-vecp_0)/t` – второй закон Ньютона в импульсной форме для среднего значения силы. Здесь `vecp_"к"-vecp_0=Deltavecp` – изменение импульса тела, `t` – время изменения импульса тела.
`sumvecF=(dvecp)/(dt)` – второй закон Ньютона в импульсной форме для мгновенного значения силы.
Из второго закона в частности следует, что ускорение тела, подвергающегося действию нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой:
`veca=sumveca_i=veca_1+veca_2+...+veca_i=(sumvecF)/m=`
`=(vecF_1+vecF_2+...+vecF_i)/m=(vecF_1)/m+(vecF_2)/m+...+(vecF_i)/m`.
Первая форма записи второго закона `(sumvecF=mveca)` справедлива только при малых скоростях по сравнению со скоростью света. И, разумеется, выполняется второй закон Ньютона только в инерциальных системах отсчёта. Также следует отметить, что второй закон Ньютона справедлив для тел неизменной массы, конечных размеров и движущихся поступательно.
Второе (импульсное) выражение имеет более общий характер и справедливо при любых скоростях.
Как правило, в школьном курсе физики сила со временем не меняется. Однако последняя импульсная форма записи позволяет учесть зависимость силы от времени, и тогда изменение импульса тела будет найдено с помощью определённого интеграла на исследуемом интервале времени. В более простых случаях (сила изменяется со временем по линейному закону) можно брать среднее значение силы.
Иногда очень полезно знать, что произведение `vecF*t` называют импульсом силы, и его значение `vecF*t=Deltavecp` равно изменению импульса тела.
Для постоянной силы на графике зависимости силы от времени можем получить, что площадь фигуры под графиком равна изменению импульса (рис. 5).
Но даже если сила будет изменяться со временем, то и в этом случае, разбивая время на малые интервалы `Deltat` такие, что величина силы на этом интервале остаётся неизменной (рис. 6), а потом, суммируя полученные «столбики», получим:
Площадь фигуры под графиком `F(t)` численно равна изменению импульса.
В наблюдаемых природных явлениях сила, как правило, меняется со временем. Мы же часто, применяя простые модели процессов, считаем силы постоянными. Сама же возможность использования простых моделей появляется из возможности подсчёта средней силы, т. е. такой постоянной силы, у которой площадь под графиком от времени будет равна площади под графиком реальной силы.
Следует добавить ещё одно очень важное следствие второго закона Ньютона, связанное с равенством инертной и гравитационной масс.
Неразличимость гравитационной и инертной масс означает, что и ускорения, вызванные гравитационным взаимодействием (законом всемирного тяготения) и любым другим тоже неразличимы.
Мяч массой `0,5` кг после удара, длящегося `0,02` с, приобретает скорость `10` м/с. Найти среднюю силу удара.
В данном случае рациональнее выбрать второй закон Ньютона в импульсной форме, т. к. известны начальная и конечная скорости, а не ускорение, и известно время действия силы. Также следует отметить, что сила, действующая на мяч, не остаётся постоянной. По какому закону меняется сила со временем, не известно. Для простоты мы будем пользоваться предположением, что сила постоянная, и её мы будем называть средней.
Тогда `sumvecF=(Deltavecp)/t`, т. е. `vecF_("ср")*t=Deltavecp`. В проекции на ось, направленной вдоль линии действия силы, получим: `F_"ср"*t=p_"к"-p_0=mv_"к"`. Окончательно для искомой силы получим:
`F_"ср"=(mv_"к")/t`.
Количественно ответ будет таким:
`F_"ср"=(0,5"кг"*10"м"/"с")/(0,02"с")=250"H"`.
Из анализов многочисленных опытов, как уже отмечалось, было получено соотношение масс взаимодействующих тел и их ускорений:
`m_2/m_1=a_1/a_2`, или `m_1a_1=m_2a_2`.
Но мы знаем из опытов, что при взаимодействии всегда ускорения тел противоположны друг другу: `veca_1 uarr darr veca_2`, следовательно, `m_1veca_1=m_2veca_2`.
Но произведение массы тела на ускорение этого тела равно действующей на это тело силе. Тогда
`vecF_1=-vecF_2`
Данное утверждение и представляет собой третий закон Ньютона.
При взаимодействии тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, противоположными по направлению, одинаковыми по природе и лежащими на прямой, проходящей через центры тел.
Данные проявления встречаются всюду:
1) при столкновении (упругом или неупругом) тела деформируются, при этом появляются силы упругости. Первое тело действует на второе с силой `F_(21)`, а второе на первое с силой `F_(12)`. Причём обе силы по природе своей являются силами упругости – силами взаимодействия между молекулами (электромагнитными). Силы лежат на одной прямой, лежащей на линии точек приложения сил. Силы противоположны.
2) при гравитационном взаимодействии двух тел (Земля и Луна, или Солнце и Юпитер и т. д.) возникают две гравитационные силы, которые тоже противоположны и равны друг другу.
3) при взаимодействии прямоугольного тела, стоящего на поверхности стола, тоже возникают две силы упругости: сила `F_(12)` возникает потому, что стол деформировался (прогнулся, деформация изгиба см. далее), а сила `F_(21)` возникает потому, что прямоугольное тело тоже деформировалось (сжалось под действием силы тяжести, подробнее см. далее). Обе силы равны друг другу и противоположны.
Рассмотрение примеров позволяет сформулировать следующие свойства сил, возникающих при взаимодействии:
Для растяжения пружины жёсткостью `50` Н/м, закреплённой одним концом на стене, на `20` см требуется сила `10` Н. Какую силу нужно приложить к этой пружине, чтобы растянуть её на `20` см, прикладывая силу с двух сторон и действуя в противоположных направлениях?
В первом случае в растянутом состоянии пружина находилась в состоянии покоя. Следовательно, по второму закону Ньютона сила, приложенная к пружине со стороны руки, скомпенсирована силой, приложенной к пружине со стороны стены. Значит, стена действует на пружину с силой `10` Н.
а) Первая пара сил: точка приложения силы со стороны руки неподвижна и находится в пружине, а сила упругости пружины приложена к точке, находящейся в руке, и тоже неподвижна. Эти две силы равны и противоположны по третьему закону Ньютона.
б) Вторая пара сил: во второй паре взаимодействующих тел (стены и пружины) силы тоже равны и противоположны по тому же закону.
Во втором случае пружина тоже находится в покое. Только теперь одна из сил создаётся одной рукой, а вторая сила второй рукой. Сила, создаваемая стеной в первом случае, заменяется силой, создаваемой второй рукой, во втором. Понятно, что неподвижной пружина останется во втором случае только тогда, когда величина силы тоже сохранит первоначальное значение. Следовательно, во втором случае к пружине нужно приложить силу `10` Н с обеих сторон.
