16 статей
связь, осуществляемая за счёт образования общих электронных пар, принадлежащих обоим атомам.
Существуют два механизма образования ковалентной связи: обменный и донорно-акцепторный.
При обменном механизме каждый из атомов отдаёт в общее пользование по одному неспаренному электрону. Таким образом построено большинство органических соединений (см. электронные формулы метана, этана, этена, ацетилена).
Ковалентная связь может быть образована также парой электронов, предоставляемой одним атомом, называемым донором электронов, и вакантной орбиталью другого атома, называемого акцептором электронов. Такой механизм образования ковалентной связи носит название донорно-акцепторным. Поясним механизм донорно-акцепторного взаимодействия на примере образовании хлорида метиламмония с помощью электронных формул (точками обозначены валентные электроны, а пустым квадратиком свободная `s`-орбиталь водорода):
В ионе метиламмония все связи, образованные по двум различным механизмам, равноценны.
Существуют и межмолекулярные взаимодействия, например, водородная связь. Она возникает при взаимодействии атома водорода, соединённого с электроноакцепторными атомами `("N"`, `"O"`, `"F")` и не поделённой электронной парой другого атома или другой молекулы. Графически водородная связь изображается пунктиром.
Водородную связь образуют только такие атомы водорода, которые соединены с более электроотрицательным атомом, чем сам водород. При этом на атоме водорода создаётся частичный положительный заряд `delta^+`, а на более электроотрицательном атоме частично отрицательный заряд `delta^-`.
Например, для уксусной кислоты возникновение водородной связи может привести к объединению молекул в пары с образованием циклической димерной структуры, и молекулярная масса уксусной кислоты, измеренная по плотности пара, оказывается удвоенной:
Межмолекулярные водородные связи влияют на многие физические свойства спиртов, кислот, производных аммиака. Они являются причиной образования вторичной структуры биологических полимеров - белков, нуклеиновых кислот.
Водородные связи чрезвычайно широко распространены в природе. Они обуславливают строение многих биологически важных молекул (белки, нуклеиновые кислоты). Относительная прочность водородных связей имеет свой биологический смысл: они являются достаточно прочными, чтобы выдерживать удары окружающих молекул, но способны разрываться при незначительных изменениях энергии сталкивающихся молекул.
Все органические соединения в зависимости от природы углеродного скелета можно разделить на ациклические и циклические.
называют также алифатическими. Они могут быть насыщенными (алканы и их производные) и ненасыщенными (алкены, алкадиены, алкины и их производные). Ациклические скелеты бывают неразветвленными (например, в н-гексане) и разветвленными (например, в `2,4`-диметилгексане):
 |
 |
|
| н-гексан | 2,4-диметилгексан |
Среди циклических соединений обычно выделяют карбоциклические, молекулы которых содержат кольца из углеродных атомов, и гетероциклические, кольца которых содержат кроме углерода атомы других элементов (кислорода, серы, азота и др.).
Карбоциклические соединения подразделяются на алициклические (предельные и непредельные) и ароматические.
Примеры алициклических соединений:
 |
 |
 |
||
| циклобутан | циклогексан | циклогексен |
ароматических соединений:
 |
 |
|
||
| бензол | анилин | нафталин |
гетероциклических соединений:
 |
 |
 |
||
| фуран | пиридин | этиленоксид |
Рассмотренную классификацию органических соединений можно представить в виде краткой схемы:
В самих углеродных скелетах полезно классифицировать отдельные атомы углерода по числу химически связанных с ними атомов углерода. Если данный атом углерода связан с одним атомом углерода, то его называют первичным, с двумя - вторичным, тремя -третичным и четырьмя - четвертичным. Ниже показаны различные атомы углерода в разветвленном насыщенном углеводороде (алкане).
Обозначения: первичный (п), вторичный (в), третичный (т), четвертичный (ч) атомы углерода.
В состав многих органических соединений кроме углерода и водорода входят и другие элементы, причём в виде функциональных групп – групп атомов, определяющих химические свойства данного класса соединений. Некоторые наиболее характерные функциональные группы и соответствующие им классы соединений приведены в таблице:
|
Функциональная группа |
Название группы |
Классы соединений |
Примеры |
|
`-"F"`, `-"Cl"`, `-"Br"`, `-"I"` |
Галогены |
Галоген- производные |
`"CH"_3"Cl"` - хлорметан |
|
`-"OH"` |
Гидроксил |
Спирты |
`"C"_2"H"_5"OH"` - этиловый спирт |
|
Фенолы |
фенол |
||
|
|
Карбонил |
Альдегиды |
|
|
Кетоны |
ацетон |
||
|
|
Карбоксил |
Карбоновые кислоты |
уксусная кислота |
 |
Аминогруппа |
Амины |
`"C"_2"H"_5"NH"_2`- этиламин |
|
`"CH"_3"NHCH"_3`- диметиламин |
|||
|
`-"NO"_2` |
Нитрогруппа |
Нитро- соединения |
`"CH"_3"NO"_2`- нитрометан |
Остановимся более подробно на некоторых из перечисленных классов органических соединений.
можно представить как продукты замещения атомов водорода в молекуле углеводорода гидроксильными группами `–"OH"`. Количество гидроксильных групп в молекуле определяет принадлежность спиртов к одноатомным, двухатомным, трехатомным и многоатомным.
Общая формула гомологического ряда предельных одноатомных спиртов - `"C"_n"H"_(2n+1)"OH"`.
называются продукты замещения в углеводородах атома водорода на 
группу, а кетоны содержат карбонильную группу 
, связанную с двумя углеводородными радикалами `"R"`.
Общая формула альдегидов и кетонов `"C"_n"H"_(2n)"O"`.
вещества с общей формулой
Здесь `"R"` - атом `"H"` или углеводородный радикал: `"CH"_3`, `"C"_2"H"_5`, `"C"_3"H"_7` и т. п. Функциональная группа карбоновых кислот - карбоксильная группа:
Карбоновые кислоты с одной группой `"COOH"` в молекуле - одноосновные, с двумя группами `"COOH"` - двухосновные и т. д. В зависимости от природы радикала `"R"` различают предельные, непредельные и ароматические карбоновые кислоты.
Огромное разнообразие органических соединений выдвигает на первый план проблемы систематизации и классификации. Каждое органическое соединение должно быть названо, причём следует помнить, что ему можно было поставить в соответствие только одну структуру.
Номенклатура органических соединений правила, по которым образованы названия органических соединений.
В первоначальный период развития органической химии соединениям давали тривиальные названия. Тривиальная номенклатура - система исторически сложившихся названий, широко применяемых до настоящего времени. В основном эти названия даны в самый ранний период развития органической химии. Например, муравьиная кислота, уксусная кислота, ацетон, молочная кислота и т. д.
Важнейший принцип номенклатуры - однозначность, а именно: каждой структуре должно соответствовать единственное название, и наоборот, данному названию должна отвечать единственная структура.
Все органические соединения рассматриваются как производные углеводородов, в молекулах которых часть водородных атомов заменена на функциональные группы или углеводородные радикалы.
В настоящее время признана систематическая номенклатура ИЮПАК (IUPAC - Международный союз теоретической и прикладной химии). Для того, чтобы назвать органическое соединение по номенклатуре ИЮПАК, следует соблюдать
1. В молекуле выбирают наиболее длинную углеродную цепь (главную). Главная цепь содержит максимальное число функциональных групп. Название углеводорода, соответствующего главной цепи, и будет корнем составляемого названия.
2. Атомы углерода в главной цепи нумеруются таким образом, чтобы атом, к которому присоединён заместитель (углеводородный радикал или функциональная группа), получил меньший номер.
3. Перед корнем указывается положение заместителя цифрой и название заместителя. Если в молекуле несколько одинаковых заместителей, то используют приставки умножения: `2` - ди-, `3` - три-, `4` - тетра-, `5` - пента- и т. д. Если же в молекуле имеются разные заместители, их названия перечисляются в алфавитном порядке.
4. Органическое вещество причисляется к тому или иному классу в зависимости от того, какая функциональная группа присутствует в его молекуле. Если в соединении присутствует только одна функциональная группа, то она всегда обозначается суффиксом. Такая группа называется старшей (главной), и главную цепь выбирают таким образом, чтобы к ней обязательно была прикреплена основная группа. Если в соединении присутствуют несколько функциональных групп, то выбор и нумерацию главной цепи определяет старшая из них (старшинство группы тем выше, чем выше она расположена в нижеприведённой таблице):
|
Класс |
Функциональная группа |
приставка |
суффикс |
|
Карбоновые кислоты |
`-"COOH"` |
карбокси |
овая кислота |
|
Альдегиды |
`-"CHO"` |
оксо |
аль |
|
Кетоны |
`>"C"="O"` |
оксо |
он |
|
Спирты |
`-"OH"` |
гидрокси |
ол |
|
Амины |
`-"NH"_2` |
амино |
амин |
|
Галоидпроизводные |
`"F", "Cl", "Br", "I"` |
фтор, хлор, бром, иод |
фторид, хлорид, бромид, иодид |
|
Нитро- соединения |
`-"NO"_2` |
нитро |
- |
Остальные функциональные группы рассматривают как боковые заместители и обозначают в полном названии приставками (префиксами).
В данном примере корнем будет пент. Далее идут суффиксы -ан (насыщенное соединение) и -он (класс кетонов). Заместителями в молекуле являются две метильные группы в положениях `2` и `4` и бром в положении `1` (нумерация произведена так, чтобы положения заместителей обозначались возможно меньшими номерами). Старшей функциональной группой является карбонильная группа, расположенная у третьего атома углерода. Полное название соединения будет таким:
`1`-бром-`2,4`-диметилпентанон-`3`.
Соединение содержит `7` атомов углерода, его корень – гепт, далее идет суффикс -ен, указывающий на наличие ненасыщенности (двойной связи). Порядок нумерации обеспечивает старшей группе `–"OH"` наименьший номер. Полное название заканчивается суффиксом -ол, обозначающим старшую группу (суффикс -ол указывает на наличие гидроксильной группы). Положение двойной связи и гидроксильной группы указывается цифрами. Следовательно, приведённое соединение называется
гептен-`6`-ол-`2`.
В основе соединения `3` атома углерода, поэтому корень в названии проп, далее идут суффиксы -ан (насыщенное соединение) `+` -овая кислота (класс карбоновых кислот) При втором атоме углерода – метильная группа, полное название
`2`-метилпропановая кислота.
Многие соединения имеют устоявшиеся несистематические названия, такие, как глюкоза, муравьиная кислота, уксусная кислота, ацетон. Многие из этих так называемых тривиальных названий узаконены правилами ИЮПАК. Например, `2`-метилпропановая кислота называется изомасляной кислотой. В разделе «гомологические ряды органических соединений» тривиальные названия указаны в скобках.
До появления теории химического строения А. М. Бутлерова оставалось неизвестным существование веществ, которые имеют один и тот же состав и одну и ту же молекулярную массу, но различающиеся расположением атомов. Эти вещества обладали разными свойствами. Способность атомов углерода к образованию четырёх ковалентных связей, в том числе и с другими атомами углерода, открывает возможность существования нескольких соединений одного элементного состава. Такое явление было названо изомерией.
До создания теории химического строения было известно всего лишь одно вещество состава `"C"_4"H"_(10)` - бутан, который имеет линейное строение углеродной цепи. А. М. Бутлеров предположил возможность существования ещё одного вещества с такой же молекулярной формулой, но с другой последовательностью расположения атомов углерода в молекуле. Таким образом, был получен изомер бутана, который получил название изобутана (имеет разветвлённое строение).
Для пентана существует три изомера:
Температуры кипения бутана и пентана отличаются между собой, что служит доказательством того, что свойства соединений находятся в зависимости от строения их молекул.
это вещества, которые имеют одинаковую молекулярную формулу, но различное химическое строение (различные структурные формулы), а, следовательно, обладают различными свойствами.
В органической химии существует несколько типов изомерии. Самым простым является структурная изомерия.
называют изомеры, отвечающие различным структурным формулам органических соединений (с разным порядком соединений атомов).
В этом случае изомеры отличаются друг от друга только порядком связи между атомами в молекуле. Структурная изомерия имеет несколько разновидностей.
Изомерия углеродного скелета зависит от порядка соединения между собой атомов углерода в цепи (см. изомеры бутана и пентана).
Для правильного составления изомеров углеродного скелета необходимо соблюдать некоторые правила:
1. Записать углеродный скелет согласно числу атомов углерода.
$$ \stackrel{1}{\mathrm{C}}-\stackrel{2}{\mathrm{C}}-\stackrel{3}{\mathrm{C}}-\stackrel{4}{\mathrm{C}}-\stackrel{5}{\mathrm{C}}$$
2. Отрывают крайние атомы углерода (`"C"_1` или `"C"_5`) и располагают их у оставшихся в цепи атомов углерода, добиваясь максимально возможного числа перестановок. В результате чего первоначально записанный углеродный скелет укорачивается и принимает разветвлённое строение:
Следует иметь в виду, что произвольное укорачивание углеродной цепи исходного углеводорода не приводит к появлению нового изомера, а зачастую представляют собой одно и то же соединения.
Например, приведённые ниже формулы представляют собой вещество - пентан.
3. Соблюдая условие четырёхвалентности атомов углерода, необходимо заполнить оставшиеся валентности атомами водорода
(*н – означает углеводород нормального (неразветвленного) строения).
Другой разновидностью структурной изомерии является
Например, положения кратной связи:
| `"CH"_2="CH"-"CH"_2-"CH"="CH"_2` | `"CH"_2="CH"-"CH"="CH"-"CH"_3` | |
| пентадиен-1,4 | пентадиен-1,3 |
Или изомерия положения функциональной группы:
Если гидроксильных групп две, то число изомеров может также определяться взаимным расположением этих групп:
| `"HOCH"_2-"CH"_2-"CH"_2"OH"` | `"HOCH"_2-"CH"("OH")-"CH"_3` | |
| пропандиол-1,3 | пропандиол-1,2 |
Ещё одним видом изомерия является
Например, одной и той же молекулярной формуле `"C"_2"H"_6"O"` соответствуют два разных по строению вещества, относящиеся к различным классам органических соединений - этиловый спирт и диметиловый эфир.
| `"CH"_3-"CH"_2-"OH"` | `"CH"_3-"O"-"CH"_3` |
Различное расположение в соединении атомов между собой является причиной различных химических свойств этих соединений. Например, кислотные свойства проявляет только этанол при взаимодействии с металлическим натрием. Этиловый спирт - жидкость, диметиловый эфир - газообразное вещество.
Другим примером межклассовой изомерии являются карбоновые кислоты и сложные эфиры, например:
| `"CH"_3-"CH"_2"COOH"` | `"CH"_3-"COOCH"_3` | `"HCOOC"_2"H"_5` | ||
| Пропановая кислота | Метилацетат | Этилформиат |
Виды пространственной изомерии
называют соединения, имеющий одинаковый состав и одинаковый порядок соединения атомов, но отличающиеся расположением атомов в пространстве.
Геометрическая изомерия характерна для соединений, содержащих двойную связь или цикл. В таких молекулах часто возможно провести условную плоскость таким образом, что заместители у различных атомов углерода могут оказаться по одну сторону (цис-) или по разные стороны (транс-) от этой плоскости. Если изменение ориентации этих заместителей относительно плоскости возможно только за счёт разрыва одной из химических связей, то говорят о наличии геометрических изомеров.
|
цис-1,3-диметициклолгексан |
транс-1,2-дихлорциклогексан |
|
|
цис-бутен-2 |
транс-бутен-2 |
Оптическая изомерия возникает тогда, когда предмет - органическая молекула - несовместим со своим изображением в зеркале. Такое свойство обозначается термином «хиральность», а пространственные изомеры называются зеркальными, оптическими антиподами, или энантиомерами. В виде энантиомеров существует, например, молочная кислота `"CH"_3-"CH"("OH")-"COOH"`:
Энантиомеры имеют одинаковые температуры плавления и кипения, растворимость, показатель преломления и другие характеристики. Их отличия проявляются только при изучении вращения веществом плоскости поляризации света или при взаимодействии с другим хиральным соединением. Способность вращать плоскость поляризации света называется оптической активностью. Смесь равных количеств энантиомеров называется рацематом.
Органические реакции классифицируют по различным признакам:
Рассмотрим подробно каждую классификацию.
Радикальные реакции сопровождаются гомолитическим разрывом связей и образованием радикалов – нейтральных частиц, содержащих один или несколько неспаренных электронов:
Радикальные реакции распространены в превращениях алканов. Например, в хлорировании метана атом хлора выступает в роли радикального реагента, а реакция протекает как реакции радикального замещения и обозначается `"S"_"R"`.
Ионные реакции протекают с участием ионов и сопровождаются гетеролитическим разрывом связей в субстрате:
$$ \mathrm{R} \overline{):} \mathrm{X}\to \underset{\mathrm{карбокатион}}{{\mathrm{R}}^{+}}+\underset{\mathrm{анион}}{{\mathrm{X}}^{-}},$$
$$ \mathrm{R} \overline{):} \mathrm{X}\to \underset{\mathrm{карбанион}}{{\mathrm{R}}^{-}}+\underset{\mathrm{катион}}{{\mathrm{X}}^{+}}.$$
Заряженную частицу, имеющую вакантную `p`-орбиталь на атоме углерода, называют карбокатионом.
Заряженную частицу, имеющую НЭП на атоме углерода, называют карбанионом.
Ионные реакции чаще других встречаются среди превращений органических соединений:
$$ \underset{\mathrm{метиламин}}{{\mathrm{CH}}_{3}-\stackrel{··}{\mathrm{N}}{\mathrm{H}}_{2}}+\underset{\mathrm{хлороводород}}{\mathrm{HCl}}\underset{\mathrm{метиламмонийхлорид}}{\rightleftarrows \left[{\mathrm{CH}}_{3}-\stackrel{+}{\mathrm{N}}{\mathrm{H}}_{3}\right]{\mathrm{Cl}}^{-}}$$
$$ \underset{\mathrm{гидроксид}\text{-}\mathrm{ион}}{{\mathrm{HO}}^{-}}+\underset{\mathrm{хлорметан}}{\overset{\mathrm{\delta }+ }{{\mathrm{CH}}_{3}}}\to \stackrel{\mathrm{\delta }-}{\mathrm{Cl}}\to \underset{\mathrm{метанол}}{\mathrm{HO}-{\mathrm{CH}}_{3}}+\underset{\mathrm{хлорид}\text{-}\mathrm{ион}}{{\mathrm{Cl}}^{-}}$$.
Нейтральные молекулы или положительно заряженные реагенты, которые в ходе реакции принимают электронную пару для образования ковалентной связи с субстратом, называют электрофильными реагентами или электрофилами (например, `"R"^+`, `"Cl"^+`, `"NO"_2^+` и т. д.).
Нейтральные молекулы или отрицательно заряженные реагенты, которые в ходе реакции отдают свою электронную пару для образования связи с субстратом, называют нуклеофильными реагентами или нуклеофилами (например, `"OH"^-`, `"C"_2"H"_5"O"^-`, `"Br"^-` и т. д.).
|
Тип химического превращения |
Обозначения органических реакций |
||
|
Радикалы |
нуклеофилы |
электрофилы |
|
|
Замещение `("S")` |
`"S"_"R"` |
`"S"_"N"` |
`"S"_"E"` |
|
Присоединение `("A")` |
`"A"_"R"` |
`"A"_"N"` |
`"A"_"E"` |
1) Реакция замещения - реакция, в ходе которой атом водорода или функциональная группа в исходной органической молекуле замещается на какую-либо функциональную группу или атом водорода. Исходные вещества принято называть реагентами. Для удобства один из реагентов принято называть субстратом, а другой - атакующей частицей. Субстрат имеет более сложное строение, атакующий реагент часто имеет неорганическую природу.
Различают радикальные, нуклеофильные и электрофильные реакции замещения. Рассмотрим примеры.
Реакция электрофильного замещения `"H"^+` на `"NO"_2^+` в бензольном кольце `("S"_"E")`:
Реакция нуклеофильного замещения `"Cl"^-` на `"OH"^-` в галогенпроизводных алканах `("S"_"N")`:
Реакция радикального замещения в алканах `("S"_"R")`
2) Реакция присоединения `(А)` - реакция, в ходе которой реагент присоединяется по кратным связям `("C"="C", "C"="O", "C"="N")` молекулы субстрата.
`"CH"_2="CH"_2+"H"_2"O" -> "CH"_3-"CH"_2"OH"`
3) Реакция отщепления (элиминирования) `(Е)` - реакция, в ходе которой от субстрата отщепляется молекула или частица (вода, галогеноводород).
4) Перегруппировка - реакция, в ходе которой замещение, присоединение или отщепление сопровождается также и изменениями углеродного скелета молекулы. В некоторых случаях соответствующее превращение идёт без изменения молекулярной формулы и представляет собой изомеризацию.
5) Реакция полимеризации - химический процесс, в котором молекулы ненасыщенного углеводорода присоединяются одна к другой за счёт разрыва `pi`-связей и образования новых `sigma`-связей.
$$ \underset{\mathrm{мономер}}{n{\mathrm{CH}}_{2}={\mathrm{CH}}_{2}}\to \underset{\mathrm{полимер}}{\overline{)(}{\mathrm{CH}}_{2}-{\mathrm{CH}}_{2}{\overline{))}}_{n}}$$, где `n` - степень полимеризации.
Некаталические реакции не требуют присутствия катализатора. Эти реакции ускоряются только при повышении температуры, иногда их называют термическими.
Каталитическими называют реакции, протекание которых требует присутсвия катализатора.
Фотохимические реакции - реакци, которые активируют облучением. Такой способ активирования обозначают `hnu`.
Брутто-формула химического вещества – формула, дающая информацию о том, какие атомы и в каком количестве присутствуют в молекуле данного соединения:
С12Н22О11 С2Н2О4 С3Н9N
сахароза щавелевая кислота триэтиламин
Чаще брутто-формулы называют молекулярными. Они удобны для проведения расчетов, связанных с молярными массами веществ, однако химики всё же предпочитают при написании брутто-формул вносить минимальную информацию о структуре молекул:
C2H5OH HCOOH C6H5COONa
этанол муравьиная кислота бензоат натрия
Структурная формула описывает порядок соединения атомов в молекуле. Химические связи изображаются чёрточками. Связь между водородом и остальными атомами обычно не указывается. Для изображения циклических структур широко используются общепринятые символы:
 |
 |
 |
| пропанол-2 | метилфениловый эфир | 2-метилцикло-пентанон |
Для изображения электронного строения молекул используются электронные формулы (структуры Льюиса, октетные формулы). При написании электронной формулы должно выполняться правило октета, согласно которому атом, участвуя в образовании химической связи (отдавая или принимая электроны), стремится приобрести электронную конфигурацию инертного газа – октет (восемь) валентных электронов. Исключение составляет атом водорода, для которого устойчивой является конфигурация гелия, т. е. 2 валентных электрона.
Общую пару электронов иногда обозначают чёрточкой, которая и символизирует внутримолекулярную химическую связь.
Соединения, сходные по строению и химическим свойствам и отличающиеся друг от друга на гомологическую разность `"CH"_2` или в общем случае на `("CH"_2)_n`, называются гомологами и образуют единый гомологический ряд. Ниже приведены некоторые представители гомологического ряда алканов и предельных одноосновных карбоновых кислот, а также их общие формулы:
|
`"CH"_4` - метан `"C"_2"H"_6` - этан `"C"_3"H"_8` - пропан `"C"_4"H"_(10)` - бутан `"C"_5"H"_(12)` - пентан `"C"_6"H"_(14)` - гексан `bb("C"_n"H"_(2n+2))` |
`"HCOOH"` - метановая (муравьиная) кислота `"CH"_3"COOH"` - этановая (уксусная) кислота `"C"_2"H"_5"COOH"` - пропановая (пропионовая) кислота `"CH"_3("CH"_2)_2"COOH"` - бутановая (масляная) кислота `"CH"_3("CH"_2)_3"COOH"` - пентановая (валериановая) кислота `"CH"_3("CH"_2)_4"COOH"` - гексановая (капроновая) кислота `bb("C"_n"H"_(2n+1)"COOH")` |
Простейшие представители гомологического ряда алкенов - `"CH"_2="CH"_2` (этен), а алкинов - `"CH"-="CH"` (этин, ацетилен). Структурные формулы их ближайших гомологов вместе с общей формулой имеют вид:
|
`"CH"_2="CH"-"CH"_3` - пропен `"CH"_2="CH"-"CH"_2-"CH"_3` - бутен-`1` `"CH"_2="CH"-"CH"_2-"CH"_2-"CH"_3`-пентен-`1` `bb("C"_n"H"_(2n))` |
`"CH"-="C"-"CH"_3` - пропин `"CH"-="C"-"CH"_2-"CH"_3` - бутин-`1` `"CH"-="C"-"CH"_2-"CH"_2-"CH"_3` -пентин-`1` `bb("C"_n"H"_(2n-2))` |
Гомологический ряд бензола имеет общую формулу `"C"_n"H"_(2n-6)`. Гомологи можно рассматривать как производные бензола, в котором один или несколько атомов водорода замещены различными углеводородными радикалами. Например:
`"C"_6"H"_5"CH"_3`- метилбензол (толуол)
`"C"_6"H"_4("CH"_3)_2` - диметилбензол (ксилол)
`"C"_6"H"_5"C"_2"H"_5` - этилбензол
`"C"_6"H"_5"CH"("CH"_3)_2` - изопропилбензол (кумол)
Часто химические связи образуются за счёт электронов, расположенных на разных атомных орбиталях. Казалось бы, и связи в молекуле по прочности должны быть неравноценными. Однако опыт показывает, что они равнозначны. Это явление объясняется представлением о гибридизации атомных орбиталей, введённым американским химиком Л. Полингом.
Рассмотрим образование молекулы метана. Атом углерода в возбужденном состоянии обладает четырьмя неспаренными электронами: одним s-электроном и тремя р-электронами – 1s22s12p3. Экспериментальные данные показали, что все четыре связи С-Н в молекуле метана СН4 одинаковы и направлены к вершинам тетраэдра (угол между ними составляет 109о28').
Одинаковая прочность связей объясняется гибридизацией валентных (внешних) орбиталей, то есть смешением их и выравниванием по форме и энергии. При этом число гибридных орбиталей равно числу исходных.
 |
Четыре совершенно одинаковые sp3 –гибридные орбитали атома углерода расположены под углом 109о28' друг к другу и направлены к вершинам тетраэдра, в центре которого находится атом углерода. На рисунке видно, что гибридная орбиталь асимметрична и сильно вытянута по одну сторону от ядра.
Это обусловливает более сильное перекрывание гибридных орбиталей с орбиталями других атомов по сравнению с перекрыванием «обычных» s- и р-орбиталей и приводит к образованию более прочных связей.
Ковалентная связь, которая образуется при перекрывании орбиталей вдоль линии, связывающей центры атомов, называется σ (сигма) – связью.
Так как гибридные электронные орбитали направлены к вершинам тетраэдра, то при образовании молекулы пропана С3Н8 направление химической связи между вторым и третьим атомами углерода не может совпадать с направлением связи между первым и вторым атомами углерода. Образуется угол 109о28'. Такие же углы существуют между четвертым, пятым и другими атомами углерода. Углеродная цепь принимает зигзагообразную форму:
Ещё один вид гибридизации осуществляется в соединениях углерода ряда этилена. В этом случае происходит гибридизация одной s- и двух р-орбиталей углерода (sp2 –гибридизация). При этом образуются три одинаковые sp2 –гибридные орбитали, расположенные под углом 120о друг к другу. Таким образом каждый атом углерода имеет по три гибридных электронных облака и по одному негибридному р-облаку. Гибридные электронные облака взаимно перекрываются и образуют между атомами углерода σ –связь:
Остальные гибридные электронные облака атомов углерода перекрываются с s-облаками атомов водорода и также образуют σ -связи. Негибридные p-орбитали взаимно перекрываются в плоскости, которая расположена перпендикулярно плоскости σ-связей:
Ковалентная связь, возникающая при перекрывании орбиталей по обе стороны линии, связывающей центры атомов, называется π (пи) – связью.
Ещё одним примером, где происходит sp2 –гибридизации углерода, является молекула бензола. Три атомные орбитали (одна s и две р) каждого углерода в молекуле бензола гибридизируются и образуют три σ -связи. Гибридные орбитали перекрываются друг с другом. Перекрывание всех электронных облаков на одном рисунке показать трудно, поэтому рассмотрим последовательно два рисунка. Ниже приведены схема образования σ -связей в молекуле бензола:
Негибридные р-электронные орбитали атомов углерода расположены перпендикулярно плоскости направления σ-связей, они также перекрываются друг с другом, образуя единую систему π-связей:
В молекуле ацетилена С2Н2 каждый атом углерода находится в sp-гибридном состоянии, образуя две гибридные связи, направленные под углом 180о друг к другу. Они, как уже упоминалось выше, называются σ - связями.
Но в молекуле ацетилена в каждом из атомов углерода содержится ещё по два p-электрона, которые не принимают участие в образование σ – связей. Молекула ацетилена имеет плоский линейный «скелет», поэтому оба р-электронных облака в каждом из атомов выступают из плоскости в перпендикулярном к ней направлении. При этом происходит некоторое взаимодействие электронных облаков, но менее сильное, чем при образовании σ – связей. В итоге в молекуле ацетилена образуются ещё две ковалентные углерод-углеродные π-связи:
Под воздействием реагентов π-связь легко разрывается, она значительно слабее, чем σ–связь. π –связь образуется не только между атомами углерода, но и в случае образования двойных и тройных связей между углеродом и кислородом, углеродом и азотом.
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы решений.
Прежде чем приступать к выполнению домашнего задания, рекомендуем проработать предложенный материал «с карандашом», параграф за параграфом: вспомнить одни и узнать другие теоремы, выписать и выучить формулы, прорешать приведённые примеры.
Контрольные вопросы составлены так, чтобы проверить, как Вы усвоили темы Задания, есть ли пробелы в знаниях, умеете ли Вы решать несложные задачи на доказательство, делать выводы из разобранных теорем, а также видеть «подводные камни» в вопросах и задачах.
Приступая к ответам на контрольные вопросы, сделайте рисунок (если надо) на черновике, уясните вопрос, подберите нужный пример или продумайте доказательство. Окончательные ответы должны быть достаточно подробные. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Примеры ответов приведены в конце задания.
Задачи могут Вам показаться сложнее решаемых в школе. Если задача не получается, найдите в тексте подобную ей задачу и разберите её решение. Либо подумайте, на какую тему – и повторите соответствующий параграф, а затем сделайте ещё одну попытку.
Может случиться, что не все задачи удалось решить. Печально, но не следует приходить в отчаяние. Ведь и не предполагается, что все поступившие в ЗФТШ уже все знают и умеют. Школа как раз и хочет научить Вас, поэтому высылайте то, что получилось. Обратно Вы получите проверенную Вашу тетрадь и, кроме того, подробные решения всех задач и ответы на все вопросы. Это даст Вам возможность разобрать «не поддавшиеся» задачи, узнать, как они решаются, и в другой раз, в следующем задании, в работе в школе, на олимпиаде, выступить успешнее.
Каждый ответ и решение каждой задачи оцениваются в очках. За полное правильное решение или верный ответ выставляется то число очков, которое указано в скобках после номера вопроса или задачи. За ошибки, недочёты снимается некоторое число очков. За неверный ответ на вопрос или неправильное решение задачи ставится ноль очков.
В решениях и доказательствах иногда делаем по 2 - 3 рисунка для того, чтобы легче было следить за ходом рассуждений.
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`c` - гипотенуза `AB`;
`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `"tg"alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
`a^2 = c * a_c`
`b^2 = c * b_c`
Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.
Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`. Аналогично доказывается второе равенство.
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
`h^2 = a_c * b_c`
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `"tg"alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `"tg"alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
`a * b = c * h`
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
`m_c = 1/2 c`
Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MK\Vert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`
.
Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MK\Vert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
`R = m_c = 1/2 c`
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`, `AN = AC - CN`, т. е. `BF = a - r` и `AN = b - r`.
Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b - r`.
Аналогично доказывается, что `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b - r) + (a - r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.
1. Пусть `a_c = 9`, `b_c = 16` (рис. 4), тогда `c = a_c + b_c = 25`.
2. По Свойству 1: `a = sqrt(c * a_c) = 15`, `b = sqrt(c * b_c) = 20`.
3. По Свойству 6: находим радиус `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.
1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1` (рис. 5), откуда `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)` и `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.
2. По условию `b = 2a`, значит `b^2 = 4a^2`, т. е. `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
Находим `c = (10)/3`, и `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5` и `b = 2a = 4/3 sqrt5`.
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.
основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6).
В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.
По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая медиана делится точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.
Пусть `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а).
Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, $$ EK\Vert AD)$$ и `DL = LC` `(/_ACB`, $$ AD\Vert FL)$$. Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $$ NK\Vert MD\Vert FL)$$, поэтому `BM = 2MF`.
Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.
Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.
Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.
Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8).
Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n` и `BO = 2/3 m`.
2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3` и `BN = 1/2 BC = 4`),
получим: $$
\left\{
\begin{aligned}
16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
\end{aligned}
\right.
$$
Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
3. Длина стороны `AB` находится из прямоугольного треугольника `AOB:`
`x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.
Итак, `AB = 2 sqrt5`.
Свойства высот и биссектрис будут далее рассмотрены в §3.
Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F'` подобны, то пишется `F ~ F'`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC ~ Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` - в `B_1`, `C` - в `C_1`.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC ~ Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,
`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.
Два треугольника подобны, если:
1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.
Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.
Доказательство
Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.
И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.
Решение
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MO\parallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому
`(MO)/(AD) = (BO)/(BD)` (1)
2. $$ AD\parallel BC$$, `Delta AOD ~ Delta COB` по двум углам (рис. 10б):
`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.
3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение
`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.
Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.
Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MN\parallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.
1. Пусть $$ BF\Vert CD$$ и $$ ME\Vert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME ~ Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.
2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` - параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x - a`; `AE = 5a - x`. Итак, имеем `(5a - x)/(x - a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.
Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.
Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.
Попытайтесь доказать это самостоятельно.
Прямоугольные треугольники подобны, если:
1. они имеют по равному острому углу;
2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;
3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.
Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.
СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС
Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` - его высоты, то `Delta A_1B_1C ~ Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).
Доказательство
Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).
В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` - прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.
В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` - прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.
В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.
Таким образом, `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12б), угол `C` - острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.
Рассуждения аналогичны:
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$
коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.
Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12в), угол `C` - тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.
`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ - /_ C`, `cos varphi = - cos C = |cos C|`.
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$
с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.
В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).
Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).
Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).
Решение
По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.
Аналогично `Delta AB_1C_1 ~ Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.
Так как `BB_1` - высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.
Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ - /_B`, т. е. луч `B_1B` - биссектриса угла `A_1B_1C_1`.
Аналогично доказывается, что `A A_1` - биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` - биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.
Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.
Решение
`Delta AHB_1 ~ Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.
Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.
Решение
1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ - C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` - острый, `/_ C = 45^@`.
Ответ:
`/_ C = 45^@`.
Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` - биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.
Доказательство
Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).
Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` - биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ AD\Vert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.
Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.
Решение
Пусть `AD` - биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).
По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x < 3x + 8)`, `3x < 5x + 8` и `ul (8 < 3x + 5x)`. Получаем ограничения `x<4` и `x > 1`.
Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16 < P < 40)`.
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если $$ {l}_{1}\parallel {l}_{2}$$, то `(AC)/(AB) = (AC_1)/(AB_1) = (C C_1)/(BB_1)` или `m/x = (m + n)/(x + y) = n/y`.
Точка `N` лежит на стороне `AC` треугольника `ABC` причём `AN:NC = 2:3`. Найти, в каком отношении медиана `AM` делит отрезок `BN`.
1. Пусть `O` - точка пересечения медианы `AM` и отрезка `BN`. Требуется найти отношение `BO:ON`. Обозначим `AN = 2x`, тогда `NC = 3x`. Отметим, что `BM = MC` (рис. 18а).
Проведём прямую `NK` параллельно медиане `AM` (рис. 18б).
Параллельные прямые `AM` и `NK` пересекают стороны угла `MCA`, следовательно, `(MK)/(KC) = 2/3`. Полагаем `ul (MK = 2y)`, тогда `KC = 3y`, а т. к. `BM = MC`, то `ul (BM = 5y)`.
2. Те же прямые пересекают стороны угла `NBC` (см. рис. 18в), поэтому `(BO)/(ON) = (BM)/(MK) = (5y)/(2y)`, т. е. `(BO)/(ON) = 5/2`.
Точки `D` и `F` лежат на сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` (рис. 19), при этом `AD:DB = 1:2` и `BF:FC = 2:3`. Прямая `DF` пересекает прямую `AC` в точке `K`. Найти отношение `AK:AC`.
1. Пусть `AD = x`, `BF = 2y`, `KA = z`. Тогда `DB = 2x` и `FC = 3y`.
Проводим прямую `AE`, параллельную стороне `CB`.
`Delta ADE ~ Delta BDF| => AE:BF = AD:BD => ul(AE = y)`.
2. `Delta KAE ~ Delta KCF | => (KA)/(KC) = (AE)/(CF)`, т. е. `z/(a + z) = y/(3y)`. Находим `a = 2z`.
`AK:AC = 1:2`.
В треугольнике `ABC` точки `D` и `K` лежат соответственно на сторонах `AB` и `AC`, отрезки `BK` и `CD` пересекаются в точке `O` (рис. 20), при этом `BO:OK = 3:2` и `CO:OD = 2:1`. Найти в каком отношении точка `K` делит сторону `AC`, т. е. `AK:KC`.
1. Полагаем `OD = x`, `OK = 2y`, тогда `OC = 2x` и `BO = 3y`.
Проводим прямую $$ KF\parallel CD$$ (рис. 20б).
Из $$ KF\parallel OD$$ `(/_ ABK)` следует `BD:DF = 3:2`. Обозначаем `DF = 2p`, тогда `BD = 3p`.
2. `Delta FBK ~ Delta DBO`, `FK:DO = FB:DB`, откуда `FK = (5p)/(3p) * x = 5/3 x`.
3. `Delta AFK ~ Delta ADC`, `AF:AD = FK:DC`. Обозначаем `AF = z`, имеем `z/(z + 2p) = (5/3 x)/(3x)`,
откуда `z = 5/2 p`, т. е. `AF = 5/2 p`.
4. Рассматриваем `/_ BAC`, $$ FK\parallel DC$$, по теореме `AK:KC = AF:FP`, т. е. `AK:KC = 5:4`.
Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.
Пусть в треугольнике `ABC` точка `A_1` лежит на стороне `BC`, точка `C_1` - на стороне `AB`, а точка `B_1` - на продолжении стороны `AC` за точку `C`.
Если точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
`(AC_1)/(C_1 B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`. `(**)`
Обратно, если выполняется равенство `(**)`, то точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать `B_1C_1` секущей треугольника `ABC`, а можно считать `BC` секущей треугольника `AB_1C_1`).
а) Предположим, что точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. Проведём $$ CK\parallel AB$$ (рис. 21). `Delta CKB_1 ~ Delta AC_1B_1`, поэтому `(CK)/(AC_1) = (CB_1)/(AB_1)`, откуда `CK = (CB_1)/(AB_1) * AC_1`.
Далее: `Delta CKA_1 ~ Delta BC_1A_1`, значит
`(CK)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`.
Подставляя сюда выражение для `CK`, получим `(CB_1)/(AB_1) * (AC_1)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`, т. е. `(AC_1)/(C_1B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`, ч. т. д.
б) Пусть выполнено равенство `(**)` для точек `A_1`, `B_1` и `C_1` (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.
Через две точки `A_1` и `B_1` проведём прямую, пусть `C_2` - её точка пересечения с прямой `AB` (точка пересечения будет лежать на отрезке `AB`).
Три точки `A_1`, `B_1` и `C_2` лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
`(AC_2)/(C_2B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.
Сравнив это равенство с равенством `(**)`, придём к выводу, что `(AC_2)/(C_2B) = (AC_1)/(C_1B)`. Точки `C_2` и `C_1` лежат на отрезке `AB` и делят его в одном отношении, считая от конца `A`. Следовательно, точка `C_2` совпадает с точкой `C_1`, т. е. точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой.
Стрелки на рисунке 21 (от точки `A`) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции `(**)`.
Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем `BO = m`, `ON = n` (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник `CBN` и секущую `AM`.
Имеем:
`(CM)/(BM) * (BO)/(ON) * (NA)/(AC) = 1`, т. е. `1/1 * m/n * (2x)/(5x) = 1`, откуда `m/n = 5/2`.
Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24).
Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $$ MP\parallel BC$$ и `AM = MB`. По теореме Фалеса `AP = PC`.
В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $$ MQ\parallel AD$$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $$ QN\parallel BC$$. По теореме Фалеса `CN = ND`.
Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Свойства 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`.
Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2` и `PQ = (a - b)/2`.
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).
Докажем, что эта прямая делит основания пополам.
Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`.
Имеем:
, т. е. `x/u = y/v`.
Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`, `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`, поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`, т. е. `x/v = y/u`.
Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует `x = y`, но тогда и `u = v`.
В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Проведём $$ CF\parallel BA$$ (рис. 26).
`ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно, `/_ 1 = /_ 3`.
В равнобокой трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27).
`BMCN` - прямоугольник, `MN = b`, тогда `ND = (a - b)/2`, а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`.
В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Свойства 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Свойства 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.
Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B` переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны.
Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Свойства 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`.
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна `6`. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен `4,5` (рис. 30). Найти другую диагональ.
1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
`ON = 1/2 AD`.
Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Свойству 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом, `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`, поэтому `AD + BC = 2MN = 9`.
2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`, значит, `BK = BC + AD = 9`. Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.
В равнобокой трапеции с периметром `10` и высотой `2` диагонали, пересекаясь, делятся в отношении `4:1`. Найти основания.
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и `AO:OC =BO:OD= 4:1`. Треугольники `AOD` и `COB` подобны, `AO:OC = AD:BC = 4`, т. е. `AD = 4BC`. Обозначим `BC = x`, тогда `AD = 4x`.
2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`, а как следует из Свойства 5,
`KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.
Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`. Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.
Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`, оно имеет единственный корень `x = 1`.
Итак, `BC = 1`, `AD = 4`.
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.
2. Если в контрольном вопросе сначала требуется сформулировать или доказать некоторую теорему, то формулировать теорему полностью, а ответ на сопутствующий вопрос надо постараться дать на основе этой теоремы.
3. Если в решении длина какого-либо отрезка выразится иррациональным числом (например, `a = sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.
4. Если в решении использовались тригонометрические функции и получилось, например, `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cosalpha`, `sin 2 alpha`, `sin (alpha + 45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам! Например
`cos alpha = - sqrt(1 - sin^2 alpha) = - 1/3`,
если угол `alpha` тупой и `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, а
`sin (alpha + 45^@) = sin alpha * cos 45^@ + cos alpha * sin 45^@ = (sqrt2)/2 (sin alpha + cos alpha)`.
5. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняю-щим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.
6. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 12 и рис. 15 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение или проверить его).
7. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1) … 2) … 3) … и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделять, например, так
`AD=3//2x`, `BC=1`.
Кроме того, вычисления разумно производить в кратких обозначениях (а математика – это здравый смысл), например
`x/y = u/v`, `x/v = y/v|=> x = y` и `u = v`
или `a = sqrt (c(c/2 - 1))`,
а не `BC = sqrt (AB((AB)/2 - MN))`.
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
Вопрос. Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?
Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
Из равенства треугольников следует
`CD = AB` (1)
и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из (1) заключаем: `BC = AB`. Утверждение доказано.
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число $$ a$$ называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число $$ a$$ называется решением неравенства, если при подстановке числа $$ a$$ вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (неравенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком $$ \varnothing $$).
Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: (1) $$ \iff $$ (2)).
Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:
а) $$ \left|x\right|=2$$ и $$ {x}^{4}-{x}^{2}-12=0$$;
б) $$ \sqrt{x-12}=24-x$$ и $$ x-12=(24-x{)}^{2}$$;
в) $$ {x}^{2}\le x$$ и $$ x\le 1$$;
г) $$ x\ge 0$$ и $$ \left|x\right|=x$$;
д) и $$ {x}^{2}+3x+3=0$$.
a) По определению модуля $$ \left|x\right|=2\iff $$ $$ \left[\begin{array}{l}x=2,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
Решим уравнение $$ {x}^{4}-{x}^{2}-12=0$$. Сделаем замену $$ {x}^{2}=t$$. Тогда получаем $$ {t}^{2}-t-12=0$$, откуда $$ \left[\begin{array}{l}t=4,\\ t=-3.\end{array}\right.$$
Поэтому $$ {x}^{4}-{x}^{2}-12=0\iff $$ $$ \left[\begin{array}{l}{x}^{2}=4,\\ {x}^{2}=-3\end{array}\right.$$ $$ \iff {x}^{2}=4\iff $$ $$ \left[\begin{array}{l}x=2,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
Значит, уравнения равносильны.
б) $$ x-12=(24-x{)}^{2}\iff x-12={x}^{2}-48x+576\iff $$
$$ \iff {x}^{2}-49x+588=0\iff \left[\begin{array}{c}x=21,\\ x=28.\end{array}\right.$$
Заметим, что $$ x=28$$ не является решением первого уравнения (при подстановке $$ x=28$$ получаем неверное равенство $$ 4=-4$$), поэтому уравнения не равносильны.
в) Чисо $$ x=-1$$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.
г) По определению модуля, уравнению $$ \left|x\right|=x$$ удовлетворяет любое $$ x\ge 0$$. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при левая часть положительна, а правая - отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.
д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.
При решении уравнений можно действовать двумя способами.
1) Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.
2) Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно, если корень потерялся, то его никак не вернёшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение). Тогда приходится делать только равносильные преобразования.
Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей, возведение обеих частей уравнения в квадрат и пр.), мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много реше-ний), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.
Рассмотрим два уравнения
$$ {f}_{1}\left(x\right)={g}_{1}\left(x\right)$$ (1)
$$ {f}_{2}\left(x\right)={g}_{2}\left(x\right)$$ (2)
Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут (1)$$ \Rightarrow $$(2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).
Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.
Например, $$ x=2\Rightarrow (x-2)(x-3)=0$$; $$ {x}^{2}+1=0\Rightarrow x=5$$ (действительно, множество решений первого уравнения пусто, а пустое множество является подмножеством любого множества). Таким образом, если уравнение (неравенство) не имеет корней, то из него следует любое другое уравнение (неравенство).
Квадратным называют уравнение
$$ a{x}^{2}+bx+c=0$$, (3)
где $$ a\ne 0$$.
Если разделить обе части уравнения (3) на $$ a$$ (это можно сделать, так как $$ a\ne 0$$) и обозначить коэффициенты $$ p=b/a$$ и $$ q=c/a$$, то получим уравнение
$$ {x}^{2}+px+q=0$$ (4)
называемое приведённым квадратным уравнением.
Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.
Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):
$$ a{x}^{2}+bx+c=a\left({x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right) =a\left({x}^{2}+2·\frac{b}{2a}·x+\frac{c}{a}\right)=$$
$$ =a\left({x}^{2}+2·\frac{b}{2a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^{2}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^{2}+\frac{c}{a}\right)=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^{2}-\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}\right)$$. (5)
Выражение $$ {b}^{2}-4ac$$ называется дискриминантом и обозначается буквой $$ D$$. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:
$$ {\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^{2}={\displaystyle \frac{D}{4{a}^{2}}}$$ (6)
Из (6) при $$ D\ge 0$$ получаем $$ {x}_{1}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{2a}}$$; $$ {x}_{2}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{2a}}$$.
Эти формулы можно объединить одной записью
$$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$$ (7)
Обратим внимание, что при $$ D=0$$ выходит, что $$ {x}_{1}={x}_{2}$$. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности `2`.
Если в уравнении (3) коэффициент $$ b$$ имеет вид $$ b=2k$$ (например, если $$ b$$ - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на `2` числителя и знаменателя:
| $$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-2k\pm \sqrt{4{k}^{2}-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-k\pm \sqrt{{k}^{2}-ac}}{a}}$$ |
`(7^')` |
Например, корни уравнения $$ 81{x}^{2}-42x+5=0$$ проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь $$ b=-42=2(-21)$$, поэтому
$$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{21\pm \sqrt{{21}^{2}-81·5}}{81}}={\displaystyle \frac{21\pm \sqrt{9({7}^{2}-9·5)}}{81}}= {\displaystyle \frac{21\pm 3\sqrt{4}}{81}}={\displaystyle \frac{7\pm 2}{27}}$$,
$$ {x}_{1}={\displaystyle \frac{5}{27}}, {x}_{2}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$.
Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:
`a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`
`=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.
Таким образом, если квадратный трёхчлен $$ a{x}^{2}+bx+c$$ имеет корни, то он раскладывается на множители $$ a{x}^{2}+bx+c=a(x-{x}_{1})(x-{x}_{2})$$. В случае $$ D=0$$ корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем $$ a{x}^{2}+bx+c=a(x-{x}_{0}{)}^{2}$$.
Заметим, что квадратный трёхчлен $$ a{x}^{2}+bx+c$$ имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;
`x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.
Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена $$ {x}^{2}+px+q$$ теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.
Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:
если числа $$ {x}_{1}$$ и $$ {x}_{2}$$ удоветворяют условиям $$ {x}_{1}+{x}_{2}=p$$, $$ {x}_{1}·{x}_{2}=q$$, то эти числа являются корнями уравнения $$ {x}^{2}-px+q=0$$.
Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.
Решите уравнение:
a) $$ {x}^{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{17})x+\sqrt{51}=0$$;
б) $$ 2016{x}^{2}+2017x+1=0$$;
в) $$ \sqrt{3}{x}^{2}+(5-2\sqrt{3})x+(\sqrt{3}-5)=0$$.
a) По теореме, обатной теореме Виета, $$ {x}_{1}=-\sqrt{3}$$ и $$ {x}_{2}=-\sqrt{17}$$ - корни данного уравнения.
$$ x=-\sqrt{3};x=-\sqrt{17}$$.
б) Заметим, что $$ {x}_{1}=-1$$ является корнем данного уравнения. Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение $$ {x}_{1} · {x}_{2} = {\displaystyle \frac{1}{2016}}$$, откуда $$ {x}_{2 }= {\displaystyle \frac{-1}{2016}}$$.
$$ x=-1;x={\displaystyle \frac{-1}{2016}}$$.
в) Заметим, что $$ {x}_{1}=1$$ является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю). Из условия $$ {x}_{1}·{x}_{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}}}$$ получаем, что $$ {x}_{2}=1-{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$$.
$$ x=1;x=1-{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$$.
Найти наибольшее значение выражения $$ 4+7x-3{x}^{2}$$.
Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.
$$ 4+7x-3{x}^{2}=-3\left({x}^{2}-{\displaystyle \frac{7}{3}}x\right)+4=-3\left({x}^{2}-2·{\displaystyle \frac{7}{6}}x +{\displaystyle \frac{49}{36}}-{\displaystyle \frac{49}{36}}\right)+4=$$ $$ -3\left({\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}-{\displaystyle \frac{49}{36}}\right)+4=-3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}+{\displaystyle \frac{49}{12}} +4=-3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}+{\displaystyle \frac{97}{12}}$$.
$$ -3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}\le 0$$ при всех $$ x$$, поэтому максимальное значение выражения достигается, если $$ -3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}=0$$. Значит, это максимальное значение равно $$ {\displaystyle \frac{97}{12}}$$ (достигается при $$ x={\displaystyle \frac{7}{6}}$$).
$$ {\displaystyle \frac{97}{12}}$$.
Пусть $$ {x}_{1}$$ и $$ {x}_{2}$$ - корни квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0$$. выразите $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$$ через коэффициенты уравнения.
По теореме Виета $$ {x}_{1}+{x}_{2}=-{\displaystyle \frac{b}{a}},{x}_{1}{x}_{2}={\displaystyle \frac{c}{a}}$$. Преобразуем $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$$, выделяя полный квадрат:
$$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+2{x}_{1}·{x}_{2}-2{x}_{1}·{x}_{2}=({x}_{1}+{x}_{2}{)}^{2}-2{x}_{1}·{x}_{2}$$.
Отсюда: $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2}-2{\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}}$$.
$$ {\displaystyle \frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}}$$.
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом, `a_0` - свободным членом.
Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.
Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна `4`; степень многочлена `25 + x^5 - 3x` равна `5`; степень многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена.
Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.
Число `a` называется корнем многочлена `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.
Приведём основные сведения о многочленах.
Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.
Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`
на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.
Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)` на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.
Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).
Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д.
Частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток равен `24x-10`.
Таким образом, `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.
Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).
1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.
2) Число `alpha` является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.
3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Многочлен степени `n` не может иметь более `n` корней.
1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что
`F(x) = (x-alpha) G(x) +C` (9)
Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.
Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.
Тогда `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.
Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим
`F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`. (10)
Первая часть доказана.
2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.
3) `alpha` - корень `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для всех значений переменной `x`) `x= beta`. Тогда `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.
`F(beta) = 0` (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0` (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`, т. е. `F(x)` делится на `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.
Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.
Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.
По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.
Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:
`F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.
Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,
`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`. (11)
Подставим в равенство (11) `x=3` и `x=-5`:
`F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда $$ \left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\ -5a+b=-9.\end{array}\right.$$
Решая эту систему, нахоим, что `a=(11)/8`, `b=- (17)/8`.
Докажите, что
$$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=4$$. (12)
Пусть $$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=x$$. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:
$$ 26-15\sqrt{3}+3\sqrt[3]{{\left(26-15\sqrt{3}\right)}^{2}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{{\left(26+15\sqrt{3}\right)}^{2}}+26+15\sqrt{3}={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{{26}^{2}-{\left(15\sqrt{3}\right)}^{2}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
`52+3x=x^3`;
`x^3-3x-52=0`. (13)
Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)). Поскольку `x=4` является корнем, многочлен `x^3 - 3x-52` делится на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:
$$ {x}^{3}-3x-52=0\iff \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+13\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x-4=0,\\ {x}^{2}+4x+13=0.\end{array}\right.$$
У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13) имеет ровно один корень `x=4`.
При каких `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?
1-й способ. Выполним деление с остатком:
Приравниваем коэффициенты остатка к нулю
$$ \left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\ b-6a-10=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.$$
2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.
Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями многочлена. То есть,
$$ \begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0, \\ F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\ 46+8a+b=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$
`a=-4`, `b=-14`.
уксусный альдегид
