16 статей
Сейчас мы познакомимся с шестью основными логическими операциями. Каждая из них имеет несколько названий и обозначений.
|
Названия операции |
Возможные обозначения |
|
Отрицание, инверсия. |
`-, ~|, not` |
|
Конъюнкция, логическое умножение, операция И, операция AND. |
`&, ^^, *,` по аналогии с алгебраическим умножением может никак не обозначаться
|
|
Дизъюнкция, нестрогая дизъюнкция, логическое сложение, операция ИЛИ, операция OR. |
`|``, vv, +` |
|
Строгая дизъюнкция, разделительная дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю `2`. |
`o+, Delta` |
|
Эквивалентность, эквиваленция, равенство, равнозначность. |
`iff, -=` |
|
Импликация, следование, следствие |
`=>, ->` |
Теперь для того чтобы строго определить эти логические операции, нам нужно для каждой из них выписать таблицу истинности. Все перечисленные операции кроме отрицания имеют два операнда. Знак операции в выражениях пишется между операндами (как в алгебре чисел). Операция отрицания имеет один операнд и в выражениях записывается либо в виде черты над операндом, либо в виде символа «приставка» слева от операнда.
Для того, чтобы не путаться и гарантированно перебрать все возможные комбинации значений операндов, принято записывать их в лексикографическом порядке (условно считается, что «ложь» `<` «истина»).
Таблица истинности для конъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb0` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для дизъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для строгой дизъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`1` |
`bb0` |
Таблица истинности для эквивалентности
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb1` |
|
`0` |
`1` |
`bb0` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для импликации
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb1` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для отрицания
|
Значение операнда |
Значение операции |
|
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`bb0` |
Теперь осталось лишь установить соответствие между логическими операциями и логическими связками в русском языке.
|
Логическая операция |
Логические связки в русском языке |
|
Отрицание |
Неверно что… |
|
Конъюнкция |
и, а, но, а также, при этом, одновременно с этим, хотя |
|
Дизъюнкция |
Или |
|
Строгая дизъюнкция |
или, либо |
|
Эквивалентность |
Тогда и только тогда когда, необходимо и достаточно чтобы |
|
Импликация |
если то, необходимо чтобы, достаточно чтобы |
Обратите внимание, что союз ИЛИ может означать, как строгую, так и нестрогую дизъюнкцию. Его интерпретация зависит от содержания (!!!) высказывания.
Рассмотрим высказывание: «Мы идём в кино в субботу или в воскресение». Здесь два простых высказывания: «Мы идём в кино в субботу» и «Мы идём в кино в воскресение». Между ними стоит союз ИЛИ, который можно интерпретировать двояко. В данном случае очевидно, что мы можем пойти в кино и в субботу, и в воскресение, поэтому дизъюнкция будет нестрогая. Возьмём две логические переменные – `p` и `q` и присвоим им простые высказывания. Тогда исходное высказывание в формализованном виде будет выглядеть, как `bb(pvvq)`.
Рассмотрим высказывание: «Я сейчас на севере Москвы или на юго-западе Москвы». Здесь тоже два простых высказывания, которые связаны союзом ИЛИ. Но в этом случае союз ИЛИ интерпретируется, как строгая дизъюнкция, поскольку нельзя одновременно находиться в двух местах. Таким образом, если снова взять логические переменные `p` и `q`, то получится следующая логическая формула: `bb(p"o+q)`.
Рассмотрим высказывание: «Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны». Здесь два простых высказывания: «Четырёхугольник является квадратом» и «Все стороны четырёхугольника равны». Присвоим их соответственно логическим переменным `p` и `q`. Логическая связка «необходимо, чтобы» - это импликация. Весь вопрос в том, что из чего следует. (Какая запись правильная: `bbp -> bbq` или `bbq ->bbp`?) Импликация ложна только в единственном случае: когда левый операнд имеет значение «истина», а правый – «ложь». Рассмотрим все возможные значения операндов и проанализируем, какая из ситуаций невозможна.
1) `p` и `q` ложны. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом и его стороны не равны. Это возможная ситуация.
2) `p` – ложно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом, но стороны у него равны. Это возможно (ромб).
3) `p` – истинно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом и стороны у него равны. Это возможная ситуация.
4) `p` – истинно, `q` – ложно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом, но стороны у него не равны. Это невозможная ситуация.
Анализ ситуаций показывает, что левым операндом импликации должна быть переменная `p`. Таким образом, в формализованном виде исходное высказывание выглядит как `bb(p -> q)`.
Очень часто вместо «присвоим логическим переменным эти высказывания» говорят «обозначим высказывания следующим образом». В дальнейшем мы тоже будем использовать этот речевой оборот.
Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.
Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.<
это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:
1) Законы поглощения констант
x `vv` 0 = x, x & 1 = x;
2) Законы поглощения переменных
x `vv` 1 = 1, x & 0 = 0;
3) Законы идемпотентности
x & x = х, x `vv` x = х;
4) Закон двойного отрицания
$$ \stackrel{=}{\mathrm{x}}$$ = x;
5) Закон противоречия
x & $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 0;
6) Закон исключённого третьего
x `vv` $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 1;
Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.
Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.
7) Законы коммутативности
x & y = y & x,
x `vv` y = y `vv` x;
Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.
8) Законы ассоциативности
(x & y) & z = x & (y & z),
(x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);
9) Законы дистрибутивности
x & (y `vv` z) = (x & y) `vv` (x & z),
x `vv` (y & z) = (x `vv` y) & (x `vv` z);
Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.
Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.
10) Законы де Моргана
$$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\&\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\vee\overline{\mathrm y},}$$
$$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\vee\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\;\&\;\overline{\mathrm y};}$$
11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)
x `vv` (x & y) = x;
x & (x `vv` y) = x.
Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.
|
`x` |
`Y` |
`x&y` |
`bar(x&y)` |
`barx` | `bary` |
`barx vv bary` |
|
`0` |
`0` |
`0` |
`1` |
`1` |
`1` |
`1` |
|
`0` |
`1` |
`0` |
`1` |
`1` |
`0` |
`1` |
|
`1` |
`0` |
`0` |
`1` |
`0` |
`1` |
`1` |
|
`1` |
`1` |
`1` |
`0` |
`0` |
`0` |
`0` |
Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.
В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.
Наше начальное выражение: x `vv` (x & y). Выносим `x` за скобки и получаем следующее выражение:
x &(1 `vv` y). Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x.
В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.
12) Закон преобразования импликации
`"x" -> "y" = bar("x") vv "y"`
Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.
1) Отрицание
2) Конъюнкция
3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность
4) Импликация
С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:
`bar C vv` (`A` & `С`) `vv` (`bar(A vv C vv bar(B)`)
Максимально упростить, это значит довести выражение до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.
Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.
1) Избавиться от операций импликации.
2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не будет стоять только над переменными (но не над операциями).
После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.
В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к правой скобке и получаем следующее логическое выражение:
`bar C vv ` (`A` & `C`) `vv` (`bar A` & `bar C` & `B`)
Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно, что к первому и третьему слагаемому можно применить первый закон поглощения, так как отрицание переменной `C` является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.
Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением, её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это логическое умножение, и её операнды называют множителями.
После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение:
`bar C` `vv` (`A` & `C`)
Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем:
(`bar C vv A`) & (`bar C vv C`)
Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы `1` и в итоге получаем выражение: `bar C vv A`, которое упростить уже нельзя.
Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения задачи.
Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело от трёх переменных (`A, B, C`) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (`A` и `C`). При этом выражения всё равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она является несущественной.
Укажите значения переменных `K`, `L`, `M`, `N`, при которых логическое выражение `(L vv M) ^^ (¬ K -> M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M` истинно.
Будем следовать стратегии, описанной в предыдущем примере. Первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:
`(L vv M) ^^ ( K vv M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M`
Отрицание вглубь продвигать не надо. Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся операцию конъюнкции никак не обозначать (по аналогии с алгеброй чисел).
`(LK vv LM vv MK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`
В первой скобке можно применить тождество поглощения, и «съесть» второе и третье слагаемое, которые содержат M в качестве множителя. Получается такое выражение:
`(LK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`
Выполнив оставшиеся операции умножения, получим следующий результат:
` LK¬ N¬ M`
Получили одну конъюнкцию. Следовательно, существует всего один набор значений переменных, при котором получится значение «1»: `L=1`, `K=1`, `N=0`, `M=0`.
Сколько решений имеет уравнение:
`(((K¬L¬N) (¬L -> M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N)=1`
Исходное выражение достаточно сложное, поэтому будем его упрощать. Первым делом избавимся от импликаций, получим:
`(((K¬L¬N) (L`\/ `M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N) = 1`
Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся не записывать слагаемые, куда одновременно входят некоторая переменная и её отрицание (они всё равно равны нулю):
`(K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬M` \/ `N¬L¬M) (K`\/`N) = 1`
Продолжаем раскрытие скобок. Получаем:
`K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬MN` \/ `KN¬L¬M` \/ `N¬L¬M = 1`
Ко второму, третьему и четвёртому слагаемому можно применить тождество поглощения. В итоге получится:
`K¬L¬NM` \/ `N¬L¬M = 1`
На этом упрощение закончено, теперь будем анализировать. Дизъюнкция равна единице, если хотя бы одно из слагаемых равно единице. Первое слагаемое равно единице на единственном наборе переменных: (`K=1`, `L=0`, `N=0`, `M=1`). Второе слагаемое равно единице на двух наборах: (`N=1`, `L=0`, `M=0`, `K` – любое (или `0` или `1`)). Соответственно, уравнение имеет три различных решения.
В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - Антипов (`A`), Борисов (`B`), Цветков (`C`) и Дмитриев (`D`). Известно, что:
1) Если `А` нарушил, то и `В` нарушил правила обмена валюты.
2) Если `B` нарушил, то и `C` нарушил или `A` не нарушал.
3) Если `D` не нарушил, то `A` нарушил, а `C` не нарушал.
4) Если `D` нарушил, то и `A` нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?
Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «`A` нарушил правила», «`B` нарушил правила», «`C` нарушил правила», и «`D` нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами `A`, `B`, `C`, `D`. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):
1) `A -> B`;
2) `B -> C` \/ `¬A`;
3) `¬D -> A¬ C`;
4) `D -> A`.
Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).
Итак, строим логическое выражение:
`(A -> B)( B -> C` \/ `¬A)( ¬D -> A¬C)( D -> A)`.
Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:
`(¬A` \/ `B)( ¬B` \/ `C` \/ `¬A)( D` \/ `A¬C)( ¬D` \/ `A)`.
Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой.
`(¬A¬B` \/ `¬AC` \/ `¬A` \/ `BC` \/ `B¬A) ( DA` \/ `A¬C¬D` \/ `A¬C)`.
Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе `A` с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое. В итоге получаем:
`( ¬A` \/ `BC ) ( DA` \/ `A¬C)`.
При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: `ABCD`. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).
Правила обмена валюты нарушили все.
Известно, что обе надписи на дверях либо истинны, либо ложны одновременно. Надпись на первой двери – "Клад за другой дверью", на второй двери – "Клада за этой дверью нет, а за другой – есть". Где находится клад?
По сути нас интересуют два простых высказывания: «Клад есть за первой дверью» и «Клад есть за второй дверью». Обозначим первое из них буквой `A`, а второе буквой `B`. Тогда изначальные предположения формализуются следующим образом:
1) `B`;
2) `¬BA`.
В этой задаче в отличие от предыдущей у нас две возможные ситуации относительно комбинирования начальных предположений – они либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что они оба истинны, тогда при их перемножении получится тождественный ноль, что означает невозможность данной ситуации.
Предположим, что оба высказывания ложны, тогда необходимо перед перемножением на каждое из них «навесить» отрицание (рассматривать истинность противоположных высказываний) В итоге получится следующее логическое выражение:
`¬B ¬(¬BA)`.
Упрощаем его по алгоритму: отрицание продвигаем вглубь, применяя тождество Де Моргана. Получаем:
`¬B (B` \/ `¬A)`.
Раскроем скобки. Первое слагаемое сокращается, а второе выглядит следующим образом: `¬B¬A`.
Полученный результат означает, что условия задачи выполняются, только в случае, когда оба высказывания ложны, а это означает, что клада нет ни за одной дверью. Не повезло нам `J`.
Клада нет ни за одной дверью.
В заключение приведём общую схему решения текстовых логических задач, которую мы уже применяли на практике при разборе примеров.
1) Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.
2) Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.
3) Составить единое логическое выражение для всех требований задачи (возможно не одно).
4) Используя законы алгебры логики попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения (Таблицу можно строить, если в выражении не более трёх логических переменных).
5) Выбрать решение — набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным;
6) Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.
Среди задач алгебры логики часто встречаются задачи на определение количества решений систем логических уравнений. Рассмотрим примеры некоторых их них.
Найдите количество решений системы уравнений:
`(x2-=x1)+x2&x3+ not x2& not x3=1`
`(x3-=x1)+x3&x4+ not x3& not x4=1`
`…`
`(x9-=x1)+x9 & x10+ not x9 & not x10=1`
`(x10 -= x1)=0`
где `x1 … x10` - неизвестные логические величины
Упростим исходные уравнения, заметив, что, `(x2&x3+ not x2& notx3=(x2-=x3)`. Исходную систему запишем в виде:
`(x2-=x1)+(x2-=x3)=1`
`(x3-=x1)+(x3-=x4)=1`
`…`
`(x9-=x1)+(x9-=x10)=1`
`(x10&x1)=0`
В первом уравнении используются три переменных `x1`, `x2` и `x3`. Значения `x1` и `x2` могут быть выбраны произвольно четырьмя способами:
|
`bb(x1)` |
`bb(x2)` |
`bb(x3)` |
|
`0` |
`0` |
`0` |
|
`0` |
`0` |
`1` |
|
`0` |
`1` |
`1` |
|
`1` |
`0` |
`0` |
|
`1` |
`1` |
`0` |
|
`1` |
`1` |
`1` |
Если `x2=x1`, то значение `x3` может быть любое (эти строки выделены серым цветом), а при `x2!=x1` получаем только один вариант: `x3=x2`.
Таким образом, при подключении первого уравнения число решений увеличивается на количество строк в таблице, для которых значения `x1` и `x2` (последней рассмотренной переменной) равны. В данном случае таких строк две, получаем 6 решений. Более того, в новой таблице снова осталось всего две строки (верхняя и нижняя), где `x3=x1`. Как следует из второго уравнения, именно эти (и только эти) строки на следующем шаге “раздваиваются”, дают по два решения. Таким образом, при подключении к системе очередного уравнения число решений увеличивается на `2`. Для двух уравнений получим 8 решений, для трёх - 10, а для восьми - 20 решений.
Остается учесть последнее (особое) уравнение, `(x10-=x1)=0`. Это означает, что `x10!=1`. Из анализа таблицы видно, что есть всего две строки (верхняя и нижняя), где первая и последняя переменные равны. Поэтому из полученных 20 решений нужно отбросить эти два, не удовлетворяющие последнему уравнению. В итоге исходная система имеет 18 решений.
Найдите количество решений системы уравнений:
`not x1+x2=1`
`not x2+x3=1`
`…`
`not x9+x10=1`
где `x1 … x10` - неизвестные логические величины
`(not x1 + x2)&( not x2 + x3) &…&(not x9 + x10)=1`
однако это не упрощает решения.
Можно заметить, что первое уравнение зависит только от `x1` и `x2`, а каждое новое уравнение добавляет по одной новой переменной. Поэтому можно решать систему последовательно с помощью построения таблицы. Первое уравнение, `not x1+x2=1`, обращается в истинное равенство в трех случаях:
| `bb(x1)` | `bb(x2)` |
| `0` | `0` |
| `0` | `1` |
| `1` | `1` |
Подключив второе уравнение, `not x2+x3=1`, заметим, что допустимые значения `x3` зависят от ранее выбранного значения `x2`: если `x2=0`, то `x3` может принимать любое значение (`0` или `1`), а если `x2=1`, то `x3=1`. Соответствующая таблица выглядят так:
|
`bb(x1)` |
`bb(x2)` |
`bb(x3)` |
|
`0` |
`0` |
`0` |
|
`1` |
||
|
`0` |
`1` |
`1` |
|
`1` |
`1` |
`1` |
Легко заметить, что при добавлении очередного уравнения верхняя строка таблицы дает два решения (они выделены серы м цветом), а остальные строки - по одному. Поэтому количество решений увеличивается на `1`. Таким образом, система из трёх уравнений имеет 5 решений, из четырех - 6, а исходная система из девяти уравнений - 11 решений.
11 решений.
Заметим, что часто перед решением больших систем логических уравнений сначала удобно упростить исходную систему с помощью законов алгебры логики, а также воспользоваться заменой переменных, если это возможно.
Подобно предыдущему заданию, теперь мы вновь перейдём к изучению программирования и применим полученные знания по алгебре логики на практике.
В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения – true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым – логические.
В языке Паскаль помимо арифметических операций ещё существует `6` операций сравнения: больше» `(>)`, «больше или равно» `(> =)`, «меньше» `(<)`, «меньше или равно» `(< =)`, «равно» `(=)`, и «не равно» `(<>)`. Операция «не равно» записывается, как последовательность знаков «меньше» и «больше». Результатом каждой из этих операций является логическое значение true или false. Например, операция `5 > 2` выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная `X` имеет любое значение, кроме `3`. Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false. При сравнении обязательно соблюдать правило совместимости типов, то есть можно сравнивать числа между собой (причём в отличие от оператора присваивания, здесь никаких ограничений нет). Можно сравнивать между собой логические значения. Но нельзя сравнивать логическое значение с числом любого типа.
Помимо операций сравнения, в паскале существуют четыре логические операции, абсолютно аналогичные операциям алгебры логики.
1) Операция AND (в алгебре логики – «конъюнкция»)
2) Операция OR (в алгебре логики – «дизъюнкция»)
3) Операция XOR (в алгебре логики – «строгая дизъюнкция»)
4) Операция NOT (в алгебре логики – «отрицание»)
Все операнды этих операций должны быть логического типа, а никак не числового. Причём, операции AND, OR и XOR имеют по `2` операнда, а операция NOT – один операнд, который записывается справа от названия операции (аналогично обозначению операции NOT при помощи `¬` в алгебре логики)
Теперь у нас есть достаточно много операций и нужно расставить их по приоритету выполнения. В Паскале есть четыре приоритета операций:
1) Операция not;
2) Операции группы умножения: *, /, div, mod, and;
3) Операции группы сложения: +, – , or, xor;
4) Операции группы сравнения: >, <, <=, >=, =, <>.
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем вне скобок.
Теперь рассмотрим несколько примеров задач на использование логического типа.
Записать на Паскале логическое выражение истинное при выполнении указанного условия и ложное в противном случае. Результат вычисления данного выражения присвоить переменной F.
Числовая переменная X имеет значение на отрезке [–1,1].
F:=abs(X)<=1;
Числовая переменная X имеет значение на отрезке [2,7].
F:=(X>=2)and(X<=7).
Обратите внимание на скобки. Они обязательны, поскольку операции сравнения имеют более низкий приоритет, чем операция and.
Числовая переменная X имеет значение на одном из 2 отрезков: [–10, 3] или [10, 20].
F:=(X>=-10)and(X<=3)or(X>=10)and(X<=20).
Логические переменные A и B имеют различные значения.
F:=A<>B.
По крайней мере 2 из логических переменных A, B и C имеют значение true.
F:=A and B or A and C or B and C.
:
