16 статей
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
| `f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)` | (1) |
или два уравнения
| `f_1 (x) = g_1 (x)` и `f_2 (x) = g_2 (x)` | (2) |
называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.
Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0` (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:
`f(x) = 0 hArr g(x) = 0` (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).
`sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.
Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).
При каких значениях параметра `a` системы
| и |
равносильны?
Решим сначала первую, более простую систему
Подставим `a = 3` во вторую систему
Следовательно, при `a = 3` системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.
При `a != 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе `y` входит только в чётной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему
Итак, таких `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a` вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.
1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).
2. `a=1`: Вторая система имеет вид
Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.
3.
и
Следовательно, системы при этом значении `a` равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.
`2; 3`.
При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.
1. Если функции `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве
| а) | `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`. | (УР 1) |
| б) | `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`. | (УР 2) |
2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`, | (УР 3) |
т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.
3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, | (УР 4) |
т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.
4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. | (УР 5) |
5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.
| `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`. | (УР 6) |
Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на `(–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.
6. Если обе части уравнения неотрицательны, то
| `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`. | (УР 7) |
7. Для любых `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального `n`
| `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. | (УР 8) |
8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,
| $$f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.$$ | (УР 9) |
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.
Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.
 |
| Рис. 1 |
Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`, `y = x + 1` и посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).
`[- 3; 1)`.
Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):
| `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. | (УР К1) |
| (УР К2) | |
| (УР К3) | |
| (УР К4) |
ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`
ОДЗ: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим неравенство
`sqrt(f(x)) >= g(x)`.
Докажем, что
|
`sqrt(f(x))>=g(x)`$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ |
(УР К5) |
1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`. Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`.
2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств
$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$
Тогда:
а) если `g(x) < 0` и `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:
б) если `g(x) >= 0` и
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,
то
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:
| `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ | (УР К6) |
Теперь рассмотрим неравенство вида
`sqrt(f(x)) <= g(x)`.
Докажем, что
| (УР К7) |
Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.
Первый способ
Воспользуемся (УР К5):
`3sqrt(3x^2-8x-3)>1-2x iff`$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-2x<0,\\3x^2-8x-3\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}1-2x\geq0,\\9\left(3x^2-8x-3\right)>\left(1-2x\right)^2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{-1}3\right]\cup\left[3;+\infty\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\cup\left(\dfrac{34+30\sqrt2}{23};+\infty\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\in\left[3;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\end{array}$$
`iff x in (- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
Второй способ
Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:
`3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.
Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.
1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.
2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`
`iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`
`iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.
Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.
Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.
Объединяя 1 и 2, получаем
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`
Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.
Докажем, что
| (УР К8) |
1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств
2. Если `x` является решением системы неравенств
то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.
При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.
Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.
Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.
`sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`
`[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.
ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x))>=0` `(<= 0)`
Роль сопряжённых выражений
Обычно при решении неравенств, имеющих ОДЗ, надо сначала найти ОДЗ. При нахождении ОДЗ такого сложного неравенства, как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`, учителя и школьники обычно решают систему . Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».
Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.
Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:
1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;
2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение
`(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`
имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило П К1:
| Если `g(x)>=0`, то знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком разности `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ. | (П К1) |
Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.
Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и двумя случаями, но без корней.
Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.
1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен в ОДЗ. Но тогда .
2. Если же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае
.
Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:
| (УР К9) |
Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.
Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.
ОДЗ*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`.
Теперь в ОДЗ преобразуем неравенство:
Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.
 |
| Рис. 2 |
Найдём эту абсциссу:
Заметим, что для решения уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:
А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение
Теперь можно записать
.
Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.
Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`.
Теперь воспользуемся (УР К9):
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
Систему неравенств решили классическим методом интервалов - рис. 3.
 |
| Рис. 3 |
`(- oo; 0) uu [1; 2]`.
`(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.
Неравенство довольно громоздкое и сложное.
Найдём сначала ОДЗ*:
`x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`.
Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.
1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и
$$\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x\in\left(-8;9\right)$$.
Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что `x in (-8;-7)`. Оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*.
2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда
с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
`(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
Роль сопряжённых выражений
Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и имеет место условие равносильности в ОДЗ
| (УР К10) |
или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
| (УР К11) |
Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):
| Знак разности `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)` в ОДЗ. | (П К2) |
Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Замечательный пример на применение (УР К11)!
Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда
`(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`
`iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`
`iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.
Неравенство решено методом интервалов - рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.
`[-2; -1) uu [0; 1], 3`.
Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Найдём сначала ОДЗ*: .
Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :
.
Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `1`.
`(2; 3), 1`.
ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.
Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.
Получим
| (УР10) |
Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.
Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}$$
`iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
`{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.
Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.
`|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.
1. `x-1>=0hArrx>=1`: `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.
Получаем в этом случае `x>=1`.
2. `x-1<0hArrx<1: {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.
 |
| Рис. 5 |
И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.
Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный
`(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.
Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.
`{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.
1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)uu[10;+oo)`.
Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.
2. `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.
Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.
3.
Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.
`(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.
ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`
Пусть в некоторой точке `a` выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|g(a)`.
Тогда имеет место рисунок 6
 |
| Рис. 6 |
и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.
И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности
| (УРМ1) |
ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|>g(x)`
Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е. `|f(x)|>g(x)`.
Это означает, что, или,
а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,
б) если `g(x)>=0`, имеет место рисунок 7
 |
| Рис. 7 |
и совокупность неравенств
И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств Тогда
а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено,
б) если `g(a)>=0`, то имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.
Следовательно, имеем равносильные соотношения
| $$\vert f(x)\vert>g(x)$$ $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$$ | (УР М2) |
Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.
$$ \begin{array}{l}\begin{array}{l}\left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\iff \right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2;\end{array}\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \right.\end{array}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ x\in [1;2],=2,\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{2}{3},\\ x\in (-\infty ;0]\cup [5;\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \end{array}$$
`iff x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;oo)`.
`(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.
ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)|`
Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, но сумма `|f(x)|+|g(x)|` всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`
`=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и
|
знак разности `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения `(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))` |
(П М1) |
Имеем ещё одно условие равносильности
| `|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`. | (УР М3) |
Решите неравенство $$ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0.$$
ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.
В ОДЗ* имеем $$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0\iff (\mathrm{в} \mathrm{силу} \mathrm{УРМ}3)\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(2{x}^{2}-8x+2\right){\displaystyle \left(-4x+8\right)}}}\le 0\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right){\displaystyle \left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}{\displaystyle )}}}\ge 0\iff \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-7x+6=0,\\ x\ne 2\pm \sqrt{3},\\ x\ne 2,\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x=6,\end{array}\right.\right.\\ \left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-2\right)>0\iff \left(2-\sqrt{3};2\right)\cup \left(2+\sqrt{3};+\infty \right).\end{array}\right.\end{array}$$
Учитывая ОДЗ*, получаем
 |
| Рис. 8 |
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на одно меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.
Однако очень часто при решении системы этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых систем существуют специальные приемы.
2. Однородные системы
3. Симметрические системы
4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.
Приведём примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.
1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.
2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,
| (УР С1) |
3. Если какое-нибудь уравнение системы умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной.
4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему.
Например,
| (УР С2) |
`a` - произвольное число.
5.
| (УРС3) |
Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)
6.
| (УР С4) |
Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!
7.
| (УР С5) |
т. к.
Решите систему уравнений
Выразим `y` из второго уравнения `y=1-z+2x`, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными
Теперь выразим из первого уравнения `z=x^2 +x-1` и, подставив во второе, получим уравнение с одним неизвестным
`x^4 +2x(x^2 +x-1) +2x-(x^2 +x-1)^2 -2(x^2 +x-1)=2 iff x^2 -1=0 =>`
`(1; 2; 1), (-1; 0; -1)`.
Решите систему уравнений
Выразим `x` из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему
Теперь прибавим ко второму уравнению третье
`(3, 3, 4), (12, 3, 1)`.
Решите систему уравнений
В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, `x`. Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырёх линейных систем.
`(-5; 3/2), (-4; 2), (-3; 1/2)`.
Решите систему уравнений
Заменим второе уравнение системы суммой
Заметим, что решение второго уравнения - это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.
`(1, -6)`.
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.
Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.
Система с двумя переменными , где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.
Если `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a` и вычтем одно из другого - получим равносильную систему
Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным.
Если `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным.
Решите систему
`(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида , где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметрической системой. Такие системы решаются чаще всего с помощью введения новых переменных `x+y=u`, `xy=v`.
Решите систему уравнений
Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой `x+y=u`, `xy=v`. Заметив, что
`x^3 +x^3 y^3 +y^3 =(x+y)(x^2 -xy+y^2 )+x^3 y^3 =`
`=(x+y)((x+y)^2 -3xy)+x^3 y^3 =u(u^2 -3v)+v^3`,
перепишем систему в виде
(в старых переменных)
`(2;1), (1;2)`.
Для успешного выполнения задания необходимо помнить, что строго монотонная функция любое своё значение принимает только один раз, т. е. если функция `y(x)` строго монотонна, то для любых `x^** in D(y)`, `x^(** **) in D(y)` следует, что `y(x^**) = y(x^(** **)) iff x^** = x^(** **)`.
Вспомним ещё свойства не просто монотонных функций, а нечётных монотонных.
Если функция нечётная, то при любом `x` из области определения
`f(x) =-f(-x) iff f(x) + f(-x) =0`,
т. е. функция в симметричных точках принимает «противоположные» значения.
В случае произвольной нечётной функции равенство `f(x_1) =-f(x_2)` может выполняться в нескольких точках (не только в симметричных): например,
`sin pi/3 =-sin (- (pi)/3) =- sin (- (2pi)/3)`.
Если же функция нечётная, а к тому же и строго монотонная, то равенство `f(x_1) + f(x_2) =0` выполняется только в симметричных точках - вспомним график функции `y=x^3` - рис. 9.
 |
| Рис. 9 |
Итак, если нечётная и строго монотонная функция, то
`f(x_1) =- f(x_2) iff f(x_1) + f(x_2) =0 iff x_2 =- x_1`.
Поэтому для такой функции `f(x):`
`f(x) + f(g(x)) =0 iff x=- g(x)`.
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. «То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете воспользоваться, когда в том возникнет необходимость» (это слова немецкого физика XVII столетия Лихтенберга, который известен своими афоризмами).
Итак, если хотите научиться решать задачи, приобрести навыки решения – учитесь этому, разбирайте решения в учебнике и нашем Задании, повторяйте эти решения (ведь так учатся всему), а затем пробуйте свои силы. У Вас получится.
Задание состоит из четырёх параграфов. В параграфе 1 повторяются признаки подобия треугольников, решается несколько характерных задач на эту тему, повторяются свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Во втором параграфе обсуждаются «задачи в делении отрезка» и доказывается теорема Менелая. Третий параграф посвящён свойствам касательных, хорд, секущих, вписанных и описанных четырёхугольников. В параграфе 4 рассматривается применение теорем синусов и косинусов, разобраны задачи, решение которых требует применение тригонометрии. Почти все эти темы разбирались в заданиях по геометрии в 9 и 10 классах ЗФТШ, поэтому более простые утверждения здесь приводятся без доказательства. Тем, кто поступил в ЗФТШ в 11 класс, рекомендуется доказать эти утверждения самостоятельно, а те, кто учится в ЗФТШ не первый год, найдут много новых интересных задач, подробно решённых в 19 примерах.
Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения; они оценены по трудности в очках, которые указаны в скобках после номера. Знаком * «звёздочка» отмечены более трудные вопросы и задачи.
За правильный ответ и верное решение задачи ставится полное число очков, за недочёты и ошибки определённое число очков снимается.
Работу над заданием рекомендуется начать с внимательного чтения его и самостоятельного решения (после ознакомления) всех приведённых в нём задач. Ответы на контрольные вопросы следует давать подробные, со ссылками на соответствующие теоремы учебника или данного задания, с доказательствами своих ответов. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Приведём примеры ответов на контрольные вопросы.
Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?
Ответ
 |
| Рис. 1 |
Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике биссектриса `BM` является медианой: (рис. 1). На продолжении биссектрисы отложим отрезок , равный . Треугольники и равны по первому признаку: у них углы при вершине равны как вертикальные и , . Из равенства треугольников следует
(1)
и . Но , поэтому , т. е. в треугольнике углы при основании равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: . Отсюда и из (1) заключаем: . Утверждение доказано.
 |
| Рис. 2 |
Могут ли длины сторон треугольника быть меньше `1` мм, а радиус описанной окружности больше `1` км?
ОТвет
Да, могут. Приведём пример. Из точки , лежащей на окружности радиуса `2` км, дугой радиуса мм отмечаем точки и , лежащие на большей окружности (рис. 2); очевидно, мм.
Треугольник вписан в окружность радиуса `2` км, а его наибольшая сторона < мм.
 |
| Рис. 3 |
Можно ли через точку окружности провести три равные между собой хорды?
Нет, нельзя. Действительно, предположим противное, т. е. предположим, что хорды , и окружности с центром в точке равны между собой (рис. 3). Тогда точки , и одинаково удалены от точки `A`, т. е. они лежат на окружности с центром в точке . Однако, этого не может быть, так как две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек. Значит предположение неверно.
 |
| Рис. 4 |
Верно ли, что , если , , ?
Нет, например, на рис. 4 показаны треугольники и , для которых, как легко видеть, выполнены все заданные равенства, но , так как .
Итак, при утвердительном ответе надо либо привести доказательство того, что данное утверждение верно (как в ответе на вопрос 1), либо привести конкретный пример реализации заданных условий (как в ответе на вопрос 2).
При отрицательном ответе надо либо привести рассуждения, приводящие к противоречию заданных условий аксиоме, теореме или определению (как в ответе на вопрос 3), либо построить один опровергающий пример (как в ответе на вопрос 4).
После повторения тем в §1 – 4 в заключительном пятом параграфе обсудим вопросы подходов к решению, важность хорошего рисунка, выбора переменных, а также остановимся на некоторых ошибках, допускаемых учащимися и абитуриентами.
Это задание вместе с присланным решением будут Вам полезны при подготовке к экзаменам.
Две фигуры $$ F$$ и $$ {F}^{\text{'}}$$ называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры $$ F$$ и $$ {F}^{\text{'}}$$ подобны, то пишется $$ F\sim {F}^{\text{'}}$$Напомним, что в записи подобия треугольников $$ ∆ABC~∆{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$ предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. $$ A$$ переходит в $$ {A}_{1}$$, $$ B$$ - в $$ {B}_{1}$$, $$ C$$ - в $$ {C}_{1}$$. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если $$ ∆ABC~∆{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$
$$ \angle A=\angle {A}_{1}, \angle B=\angle {B}_{1}, \angle C=\angle {C}_{1}, {\displaystyle \frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}}={\displaystyle \frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}}={\displaystyle \frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}}$$.
Два треугольника подобны:
Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:
1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.
 |
| Рис. 5 |
2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам, т. е. если $$ MN\left|\right|AC$$ (рис. 5), то
$$ {\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{p}{q}}=\frac{m+p}{n+q}$$
3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)
$$ {\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{m+p}{n+q}}$$ или $$ {\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{p}{q}}$$,
то $$ MN$$ параллельна $$ AC$$ (доказательство было дано в задании для 9 класса).
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках $$ M$$ и $$ N$$. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны $$ a$$ и $$ b$$.
Пусть $$ O$$ точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:
$$ AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.$$
$$1.\;\left.\begin{array}{l}BC\parallel AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(\mathrm{по}\;\mathrm{двум}\;\mathrm{углам})\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac ba=\dfrac pq$$ (1)
$$2.\;\left.\begin{array}{l}MO\parallel AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac xa=\dfrac p{p+q}$$. (2)
Из (1) и (2) следует $$ x=a{\displaystyle \frac{p}{p+q}}=q{\displaystyle \frac{p/q}{p/q+1}}={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$$, т. е. $$ MO={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}.$$
Аналогично устанавливаем, что $$ NO={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$$, поэтому $$ \overline{)MN={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}}$$.
Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить.
 |
| Рис. 6 |
Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.
 |
| Рис. 7 |
В прямоугольном треугольнике $$ ABC$$ из вершины $$ C$$ прямого угла проведена высота $$ CD$$ (рис. 7). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $$ ACD$$ и $$ BCD$$ равны соответственно $$ {r}_{1}$$ и $$ {r}_{2}$$. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник $$ ABC$$.
Обозначим искомый радиус $$ r$$, положим $$ AB=c$$, $$ AC=b$$, $$ BC=a$$. Из подобия прямоугольных треугольников $$ ACD$$ и $$ ABC$$ (у них равные углы при вершине $$ A$$) имеем $$ {\displaystyle \frac{r}{{r}_{1}}}={\displaystyle \frac{c}{b}}$$, откуда $$ b={\displaystyle \frac{{r}_{1}}{r}}c$$. Прямоугольные треугольники $$ BCD$$ и $$ BAC$$ также подобны, поэтому $$ {\displaystyle \frac{r}{{r}_{2}}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$$, - откуда $$ a={\displaystyle \frac{{r}_{2}}{r}}c$$. Так как $$ {a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}$$ то, возводя в квадрат выражения для $$ a$$ и $$ b$$ и складывая их, получим $$ {\left(\frac{{r}_{1}}{r}\right)}^{2}{c}^{2}+{\left(\frac{{r}_{2}}{r}\right)}^{2}{c}^{2}={c}^{2}$$ или $$ {\displaystyle \frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}}}=1$$. Находим $$ r=\sqrt{{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}$$.
Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.
 |
| Рис. 8 |
Через точку $$ M$$, лежащую внутри треугольника $$ ABC$$, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны $$ {S}_{1}$$, $$ {S}_{2}$$ и $$ {S}_{3}$$. Найти площадь треугольника $$ ABC$$.
Легко видеть, что треугольники $$ EKM$$, $$ MQF$$ и $$ PMN$$ подобны треугольнику $$ ABC$$.
Пусть $$ S$$ -площадь треугольника $$ ABC$$, тогда
$$ {\displaystyle \frac{{S}_{1}}{S}}={\left({\displaystyle \frac{EM}{AC}}\right)}^{2}; {\displaystyle \frac{{S}_{2}}{S}}={\left({\displaystyle \frac{MF}{AC}}\right)}^{2}; {\displaystyle \frac{{S}_{3}}{S}}={\left({\displaystyle \frac{PN}{AC}}\right)}^{2}.$$
Откуда находим
$$ EM=\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{1}}{S}}}AC, MF=\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{2}}{S}}}AC, PN=\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{3}}{S}}}AC.$$
А так как $$ EM=AP, MF=NC$$, то $$ EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC$$.
Таким образом, $$ AC=AC·\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{1}}{S}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{2}}{S}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{{S}_{3}}{S}}}\right)$$, откуда следует
$$ S={\left(\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{2}}+\sqrt{{S}_{3}}\right)}^{2}$$.
Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника
В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.
 |
| Рис. 9 |
Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.
Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.
(На рис. 9 площадь каждого из `6` треугольников с вершиной `M` и основанием, равным половине стороны, равна $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_{ABC}$$. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
Теорема 3. Пусть $$ BD$$ - медиана треугольника
$$ ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD={m}_{a})$$, тогда
$$ {m}_{c}^{2}={\displaystyle \frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{{c}^{2}}{4}}$$. (Доказательство приведено далее в §4 Задания).
 |
| Рис. 10 |
Медианы $$ A{A}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ пересекаются в точке $$ O$$, $$ A{A}_{1}=12$$ и $$ C{C}_{1}=6$$ и одна из сторон треугольника равна `12`. (рис. 10). Найти площадь треугольника $$ ABC$$.
1. По теореме 1 имеем $$ AO={\displaystyle \frac{2}{3}}A{A}_{1}=8$$, $$ CO={\displaystyle \frac{2}{3}}C{C}_{1}=4$$.
Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна `12`, сторона $$ AC$$ не может равняться `12`, иначе $$ AC=AO+OC$$ - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться `12` сторона $$ AB$$, так в этом случае $$ A{C}_{1}=6$$ и треугольник $$ AO{C}_{1}$$ со сторонами `8`, `2`, `6` не существует. Значит, $$ BC=12$$ и $$ A{C}_{1}=6$$.
2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:
$$ p=7, {S}_{{A}_{1}OC}=\sqrt{7·1·3·3}=3\sqrt{7}$$.
По теореме 2 площадь треугольника $$ ABC$$ в `6` раз больше, находим $$ {S}_{ABC}=18\sqrt{7}$$.
Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.
Были доказаны также две леммы о высотах
1-ая лемма.
Если $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ - высоты треугольника $$ ABC$$, то треугольник $$ {A}_{1}{B}_{1}C$$ подобен треугольнику $$ ABC$$ с коэффициентом подобия $$ k={\displaystyle \frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AB}}=\left|\mathrm{cos}C\right|$$. Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$, то образуется треугольник, подобный данному: $$ ∆{A}_{1}{B}_{1}C~∆ABC$$.
Из прямоугольных треугольников $$ AC{A}_{1}$$ следует $$ {A}_{1}C=AC·\mathrm{cos}C$$ или $$ {A}_{1}C=AC·\mathrm{cos}(180°-C)=AC\left|\mathrm{cos}C\right|$$ (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников $$ BC{B}_{1}$$ следует $$ {B}_{1}C=BC·\mathrm{cos}C$$ или $$ {B}_{1}C=BC·\mathrm{cos}(180°-C)=BC\left|\mathrm{cos}C\right|$$. Далее рассуждения очевидны.
 |
 |
| Рис. 11a | Рис. 11б |
2-ая лемма.
Если высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ (или их продолжения) пересекаются в точке $$ H$$, то справедливо равенство $$ AH·H{A}_{1}=BH·H{B}_{1}$$ (рис. 12а, б).
 |
 |
| Рис. 12a | Рис. 12б |
 |
| Рис. 13 |
Высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ пересекаются в точке $$ H$$ (рис. 13), при этом $$ AH=3H{A}_{1}$$ и $$ BH=H{B}_{1}$$. Найти косинус угла $$ ACB$$ и площадь треугольника $$ ABC$$, если $$ AC=a$$.
Обозначим $$ H{A}_{1}=x, H{B}_{1}=y$$,
1. Точка $$ H$$ - середина высоты (рис. 13). Если отрезок $$ MH$$ проходит через точку $$ H$$ и параллелен основаниям, то `MN` - средняя линия; `MN=a/2`.
2. $$\left.\triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\right|\Rightarrow\dfrac{HN}{AC}=\dfrac x{4x},\;HN=\dfrac14a.$$ Значит, $$ MH=HN={\displaystyle \frac{a}{4}}$$ и $$ A{B}_{1}={B}_{1}C={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ Треугольник $$ ABC$$ равнобедренный, $$ AB=BC$$.
3. $$ \angle {B}_{1}BC=90°-\angle C$$, поэтому `ul(/_BHA_1=/_AHB_1=/_C)`, а по второй лемме о высотах $$ AH·H{A}_{1}=BH·H{B}_{1}$$ т. е. $$ 3{x}^{2}={y}^{2}, y=x\sqrt{3}$$.
Далее, $$ \mathrm{cos}C=\mathrm{cos}(\angle AH{B}_{1})={\displaystyle \frac{y}{3x}}$$, находим $$ \mathrm{cos}C={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$.
4. $$ △AH{B}_{1}: A{B}_{1}^{2}=(3x{)}^{2}-{y}^{2}$$, $$ {\displaystyle \frac{{a}^{2}}{4}}=6{x}^{2}$$, $$ x={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{6}}}$$, $$ y={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{2}}}$$, тогда
$$ {S}_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AC·B{B}_{1}=ay={\displaystyle \frac{{a}^{2}\sqrt{2}}{4}}$$.
Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если $$ AD$$ - биссектриса треугольника $$ ABC$$ (рис. 14), то
$$ {\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}} \left({\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{c}{b}}\right)$$
Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам $$ ADB$$ и $$ ADC$$.
Теорема 6. Пусть $$ AD$$ - биссектриса треугольника $$ ABC$$ (рис. 14), тогда $$ AD=\sqrt{AB·AC-DB·DC}$$ (в обозначениях рисунка 14а)
`ul(AD=sqrt(bc-xy))`.
 |
 |
||
| Рис. 14 | Рис. 14а |
Эту теорему докажем. Опишем около треугольника $$ ABC$$ окружность, точку пересечения прямой $$ AD$$ и окружности обозначим $$ K$$ (рис. 14а).
Обозначим $$ AD=z, DK=m.△ABD\sim ∆AKC$$ $$ (\angle ABD=\angle AKC$$ и $$ \angle 1=\angle 2)$$. Из подобия следует $$ {\displaystyle \frac{AB}{AK}}={\displaystyle \frac{AD}{AC}}$$, т. е. $$ {\displaystyle \frac{c}{z+m}}={\displaystyle \frac{z}{b}}$$, откуда $$ {z}^{2}+zm=bc$$, $$ {z}^{2}=bc-zm$$.
По свойству пересекающихся хорд: $$ AD·DK=BD·CD$$, т. е. $$ z·m=x·y$$, тогда $$ {z}^{2}=bc-xy$$, $$ z=\sqrt{bc-xy}$$.
В треугольнике $$ ABC$$ со сторонами $$ AB=5$$, $$ AC=3$$ биссектриса $$ AD={\displaystyle \frac{15}{8}}$$. Найти сторону $$ BC$$ и радиус вписанной окружности.
По теореме 5 (см. рис. 14) имеем $$ {\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$$ Обозначим $$ x=5z$$, тогда $$ y=3z$$. По теореме 6 выполнено равенство $$ {\left({\displaystyle \frac{15}{8}}\right)}^{2}=5·3-5z·3z.$$ Легко находим $$ z={\displaystyle \frac{7}{8}}$$ значит `ul(BC=7)`. Радиус вписанной окружности найдём по формуле $$ S=pr$$ (`S` - площадь треугольника, `p` -полупериметр). Имеем $$ p={\displaystyle \frac{15}{2}}$$, по формуле Герона $$ S=\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}·{\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{10}{2}}·{\displaystyle \frac{9}{2}}}={\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{2}},$$ поэтому $$ r={\displaystyle \frac{S}{p}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.$$
Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению таких задач даёт теорема Менелая (далее напомним формулировку и доказательство, в задании 9-го класса это уже было сделано).
Точка $$ D$$ лежит на стороне $$ BC$$, точка $$ K$$ - на стороне $$ AB$$ треугольника $$ ABC$$, прямые $$ AD$$ и $$ CK$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 15). Найти отношение $$ AO:OD$$, если $$ AK:KB=1:3$$ и $$ BD:DC=2:3$$.
 |
| Рис. 15 |
Расставим на рисунке данные о делении сторон. Чтобы решение стало более понятным, сделаем ещё один рисунок (рис. 15а), на нём проведём $$ DS\left|\right|CK$$.
Рассматриваем треугольник $$ KBC$$. Из `DS``||``CK`
(второй признак подобия треугольников) следует $$ KS:KB=CD:CB$$, откуда $$ KS={\displaystyle \frac{3}{5}}·3x={\displaystyle \frac{9}{5}}x$$. (Ставим это на рисунке). На этом этапе удобно сделать ещё один рисунок (рис. 15б), либо на рисунке 15а провести прямую `AD` и отметить точку $$ O$$.
В треугольнике $$ ASD$$ по построению $$ SD\left|\right|KO$$, По утверждению $$ 2°$$ имеем $$ AO:OD=AK:KS$$, откуда следует $$ AO:OD=5:9$$
 |
 |
| Рис. 15a | Рис. 15б |
Точки `A_1` и `C_1`, расположенные на сторонах `BC` и `AB` треугольника `ABC`, и точка `B_1`, расположенная на продолжении стороны `AC` за точку `C`, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство:
$$ {\displaystyle \frac{A{C}_{1}}{{C}_{1}B}}·{\displaystyle \frac{B{A}_{1}}{{A}_{1}C}}·{\displaystyle \frac{C{B}_{1}}{{B}_{1}A}}=1$$. (`**`)
Проводим $$ CK\left|\right|AB$$ (рис. 16а):
$$\begin{array}{l}\left.\triangle A_1CK\sim\triangle A_1BC_1\right|\Rightarrow\dfrac{CK}{C_1B}=\dfrac{A_1C}{BA_1};\\\left.\triangle B_1AC_1\sim\triangle B_1CK\right|\Rightarrow\dfrac{AC_1}{CK}=\dfrac{B_1A}{B_1C}.\end{array}$$
Почленно перемножив, получим
$$ {\displaystyle \frac{A{C}_{1}}{{C}_{1}B}}={\displaystyle \frac{{A}_{1}C}{B{A}_{1}}}·{\displaystyle \frac{{B}_{1}A}{C{B}_{1}}}$$,
откуда и следует
$$ {\displaystyle \frac{A{C}_{1}}{{C}_{1}B}}·{\displaystyle \frac{B{A}_{1}}{{A}_{1}C}}·{\displaystyle \frac{C{B}_{1}}{{B}_{1}A}}=1$$
(стрелочки на рис. 16а показывают последовательность взятия отрезков, движение начинается в точке `A` и в ней же заканчивается).
 |
 |
| Рис. 16а | Рис. 16б |
2. Пусть имеет место равенство (`**`). Через две точки $$ {B}_{1}$$ и $$ {A}_{1}$$ проводим прямую, точку пересечения с отрезком $$ AB$$ обозначаем $$ {C}_{2}$$ (рис. 16б). Точки $$ {A}_{1},{B}_{1}$$ и $$ {C}_{2}$$ лежат на одной прямой, по доказанному имеет место
$$ {\displaystyle \frac{A{C}_{1}}{{C}_{1}B}}·{\displaystyle \frac{B{A}_{1}}{{A}_{1}C}}·{\displaystyle \frac{C{B}_{1}}{{B}_{1}A}}=1.$$
Сравнивая с равенством (`**`), устанавливаем, что $$ {\displaystyle \frac{A{C}_{2}}{{C}_{2}B}}={\displaystyle \frac{A{C}_{1}}{{C}_{1}B}}$$ и показываем, что точки $$ {C}_{2}$$ и $$ {C}_{1}$$ совпадают, т. к. делят отрезок $$ AB$$ на равные отрезки.
Применим теорему Менелая к решению примера 7 (см. рис. 15): рассматриваем треугольник $$ BAD$$ и секущую $$ CK$$ (она определяет три точки: $$ K,O,C$$ ). Имеем: $$ {\displaystyle \frac{BK}{KA}}·{\displaystyle \frac{AO}{OD}}·{\displaystyle \frac{DC}{CB}}=1$$,
т. е. $$ {\displaystyle \frac{3x}{x}}·{\displaystyle \frac{AO}{OD}}·{\displaystyle \frac{3y}{5y}}=1$$ откуда $$ {\displaystyle \frac{AO}{OD}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$.
Если при тех же условиях задачи 7 требуется определить, какую часть площади треугольника составляет, например, площадь четырёхугольника $$ KODB$$ то полезно сначала решить задачу о «делении отрезка» и найти, например, $$ AO:OD=5:9$$, а затем использовать тот факт, что площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как длины их оснований:
$$ {S}_{ABC}=S; {S}_{ADC}={\displaystyle \frac{3}{5}}S$$ $$ ($$ т. к. $$ DC={\displaystyle \frac{3}{5}}BC$$$$ )$$;
$$ {S}_{OCD}={\displaystyle \frac{9}{14}}{S}_{ADC}={\displaystyle \frac{9}{14}}\left({\displaystyle \frac{3}{5}}S\right)={\displaystyle \frac{27}{70}}S$$ $$ ($$ т. к. $$ OD={\displaystyle \frac{9}{14}}AD$$$$ )$$;
$$ {S}_{KCB}={\displaystyle \frac{3}{4}}S$$ $$ ($$ т. к. $$ BK={\displaystyle \frac{3}{4}}AB$$$$ )$$, поэтому
$$ {S}_{KODB}={S}_{KCB}-{S}_{OCD}={\displaystyle \frac{3}{4}}S-{\displaystyle \frac{27}{70}}S={\displaystyle \frac{51}{140}}S$$.
 |
| Рис. 17 |
Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).
Используя это свойство, легко решить следующую задачу.
На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.
 |
 |
| Рис. 18 | Рис. 18a |
Пусть $$ a>b.$$ Точки касания окружностей со сторонами треугольника $$ ABC$$ обозначим и $$ F$$ (рис. 18). Положим По свойству касательных:
$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:
$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим
$$ z+a-x-y=z+x+b-y$$, откуда находим $$ x={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$$.
Если $$ a
Итак: $$ MN={\displaystyle \frac{\left|a-b\right|}{2}}.$$
Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.
 |
| Рис. 19 |
Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19).
По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому
$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает
$$ AD+BC=AB+CD$$.
Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$
По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$
Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.
 |
| Рис. 20 |
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно.
Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.
 |
| Рис. 21 |
Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:
$$ AB=CD={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.$$
Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ - прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM={\displaystyle \frac{1}{2}}(AD-BC)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:
$$ BM=\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^{2}-{\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^{2}}=\sqrt{ab}$$.
Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому
радиус вписанной окружности равен $$ \overline{)r={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{ab}}$$.
Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ \overline{)\mathrm{cos}\alpha ={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}$$.
Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).
 |
| Рис. 22 |
Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ - центр окружности, то $$ OA\perp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ \angle AOB=2\alpha $$. Итак, $$ \alpha =\angle NAB={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle AOB.$$
Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.
Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.
Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.
Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство
$$ M{A}^{2}=MB·MC$$
т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.
Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ \angle MAC=\angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:
$$ {\displaystyle \frac{MA}{MB}}={\displaystyle \frac{MC}{MA}}$$
Откуда получаем: $$ M{A}^{2}=MB·MC$$.
 |
| Рис. 23 |
Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.
Проведём касательную $$ MA$$. По доказанной теореме $$ M{A}^{2}=MB·MC$$ и $$ M{A}^{2}=MK·ML$$, следовательно $$ MB·MC=MK·ML$$.
 |
| Рис. 24 |
Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5\sqrt{3}$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$.
Найти радиус окружности.
1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю
По теореме о касательной и секущей:
$$ A{B}^{2}=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$.
2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABD\sim △DCB$$. Из подобия имеем $$ {\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{AD}{BD}}{\displaystyle \frac{BD}{BC}}$$. Из последнего равенства находим, что $$ B{D}^{2}=AD·BC$$, т. е. $$ BD=\sqrt{AD·BC}=5\sqrt{3}$$, а из первого равенства находим $$ CD={\displaystyle \frac{AB·BD}{AB}}=5$$.
3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ - вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K{B}^{2}+B{D}^{2}=K{D}^{2},$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ - диаметр окружности.
Значит, её радиус равен `5`.
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.
Из этой теоремы следует:
a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;
б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.
 |
| Рис. 25 |
В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=\sqrt{3}.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$.
Так как
$$ \angle BAO={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle A$$ и $$ \angle ABO={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle B$$, то
$$ \angle DOF=\angle AOB=\pi -{\displaystyle \frac{1}{2}}(\angle A+\angle B)$$.
Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9:
$$ \angle DOF=\pi -\angle C$$, т. е. $$ \pi -{\displaystyle \frac{1}{2}}(\angle A+\angle B)=\pi -\angle C$$, откуда, учитывая, что $$ \angle A+\angle B+\angle C=\pi $$, находим $$ \angle С={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$.
Теперь заметим, что $$ O$$ - точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ - биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,
$$ \angle ODF=\angle OFD={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle C={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$.
Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=\sqrt{3}$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S={\displaystyle \frac{1}{2}}h·DF={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$.
Как обычно, в треугольнике $$ ABC$$ стороны, противолежащие углам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:
теорема косинусов: $$ {c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab\mathrm{cos}C;$$
теорема синусов: $$ {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sin}A}}={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sin}{\displaystyle B}}}={\displaystyle \frac{c}{\mathrm{sin}{\displaystyle C}}}=2R$$.
Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.
 |
| Рис. 26 |
Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть в параллелограмме $$ ABCD$$ (рис. 26) длины сторон равны длины диагоналей равны $$ {d}_{1}$$ и $$ {d}_{2}: AC={d}_{2}$$, $$ AB=DC=a$$, $$ BD={d}_{1}$$.
Если то Из треугольников $$ ABD$$ и $$ ACD$$ по теореме косинусов будем иметь:
Складывая почленно эти равенства и учитывая, что получим требуемое равенство: .
 |
| Рис. 26 |
Из решения данной задачи легко получить выражение медианы $$ {m}_{c}$$ треугольника через его стороны $$ a, b$$ и $$ c$$. Пусть в `ABD:AB=a`, `AD=b`, `BD=c`; `AM` - медиана, `AM=m_c` (рис. 26). Достроим этот треугольник $$ ABD$$ до параллелограмма $$ ABCD$$ и воспользуемся результатом задачи 11, получим:
$$ {c}^{2}+{\left(2{m}_{c}\right)}^{2}=2{a}^{2}+2{b}^{2}$$, откуда
.
 |
| Рис. 27 |
На стороне $$ AD$$ ромба $$ ABCD$$ взята точка $$ M$$, при этом $$ MD={\displaystyle \frac{3}{10}}AD, BM=MC=11.$$ Найти площадь треугольника $$ BCM.$$
1. Обозначим длину стороны ромба $$ x, \angle BAD=\varphi $$
(рис. 27). По условию $$ MD={\displaystyle \frac{3}{10}}x\Rightarrow AM={\displaystyle \frac{7}{10}}x.$$ Из треугольников $$ ABM$$ и $$ MCD$$ по теореме косинусов получаем:
$$ B{M}^{2}={x}^{2}+{\left({\displaystyle \frac{7}{10}}x\right)}^{2}-2x{\displaystyle \frac{7}{10}}x\mathrm{cos}\varphi $$,
$$ M{C}^{2}={x}^{2}+{\left({\displaystyle \frac{3}{10}}x\right)}^{2}-2x{\displaystyle \frac{3}{10}}x\mathrm{cos}(180°-\varphi )$$.
Приравниваем правые части (по условию $$ BM=MC$$), подставляем сокращаем на $$ {x}^{2},$$ приводим подобные члены и получаем $$ \mathrm{cos}\varphi ={\displaystyle \frac{1}{5}}.$$ Подставляя найденное значение $$ \mathrm{cos}\varphi $$ и $$ BM=11$$ в первое равенство, находим $$ x=10$$.
2. В равнобедренном треугольнике $$ BMC$$ основание равно `10`, находим высоту $$ MK$$:
$$ MK=\sqrt{B{M}^{2}-B{K}^{2}}=\sqrt{B{M}^{2}-{\displaystyle \frac{1}{4}}B{C}^{2}}=\sqrt{96}$$,
тогда площадь треугольника `BMC` равна $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}BC·MK=20\sqrt{6}$$.
 |
| Рис. 28 |
В равнобедренном треугольнике $$ ABC (AB=BC)$$ проведена биссектриса $$ AD$$ (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника $$ ABC$$ окружности, если $$ AD=4$$ и $$ DC=\sqrt{6}.$$
1. Углы при основании $$ AC$$ в треугольнике $$ ABC$$ равны, обозначим $$ \angle BAC=2\alpha ,$$ тогда $$ \angle DAC=\alpha .$$ По теореме синусов из треугольника $$ ADC$$ следует $$ {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{sin}2\alpha }}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\mathrm{sin}{\displaystyle \alpha }}}$$ откуда $$ \mathrm{cos}\alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$. Находим: $$ \mathrm{cos}2\alpha =2{\mathrm{cos}}^{2}\alpha -1={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ и $$ \mathrm{sin}2\alpha ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$.
2. Вычисляем сторону $$ AC$$:
$$ AC=AK+KC=AD\mathrm{cos}\alpha +DC\mathrm{cos}2\alpha ={\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{6}$$.
3. Как следует из теоремы синусов, радиус $$ R$$ описанной около треугольника `ABC` окружности может быть найден из равенства:
$$ R={\displaystyle \frac{AC}{2\mathrm{sin}B}}$$ т. е. $$ R={\displaystyle \frac{AC}{2\mathrm{sin}(180°-4\alpha )}}={\displaystyle \frac{AC}{4\mathrm{sin}2\alpha ·\mathrm{cos}2\alpha }}={\displaystyle \frac{15}{8}}\sqrt{3}$$.
В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 - 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.
В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление и решение является основным этапом всего решения задачи, а искомые элементы определяются через значения тригонометрических функций введённого угла.
 |
| Рис. 29 |
Точки $$ K$$ и $$ M$$ расположены соответственно на стороне $$ BC$$ и высоте $$ BD$$ остроугольного треугольника $$ ABC$$. Треугольник $$ AMK$$ - равносторонний (рис. 29). Найти его площадь, если $$ AD=3$$, $$ DC={\displaystyle \frac{11}{2}}$$, $$ BK:KC=10:1$$.
1. Обозначим сторону правильного треугольника $$ AMK$$ через $$ x, \angle KAC=\varphi $$ (рис. 29). Пусть $$ FK\left|\right|AC$$ и $$ KN\perp AC$$. Из подобия треугольников $$ CKN$$ и $$ CBD$$ следует $$ NC={\displaystyle \frac{1}{11}}DC={\displaystyle \frac{1}{2}}$$. Тогда $$ DN=5, AN=8.$$
2. Заметим, что $$ \angle FKA=\varphi $$ и $$ \angle MKF={\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}-\varphi $$. Из прямоугольных треугольников $$ AKN$$ и $$ MKF$$ следует:
$$ AN=AK\mathrm{cos}\varphi $$ и $$ FK=MK\mathrm{cos}({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}-\varphi )$$, т. е. $$ 8=x\mathrm{cos}\varphi $$ и $$ 5=x\mathrm{cos}({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}-\varphi )$$. Из тригонометрического уравнения `5cosvarphi=8cos(pi/3-varphi)` получаем
$$ \mathrm{cos}\varphi =4\sqrt{3}\mathrm{sin}\varphi $$ и $$ \mathrm{tg}\varphi ={\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{3}}}$$.
3. По формуле $$ \mathrm{cos}\varphi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^{2}\varphi }}}$$ находим $$ \mathrm{cos}\varphi ={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{7}}$$ и $$ x={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{cos}\varphi }}={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{3}}}$$. Площадь правильного треугольника со стороной $$ x$$ равна $$ {\displaystyle \frac{{x}^{2}\sqrt{3}}{4}}$$. Находим $$ {S}_{AMK}={\displaystyle \frac{49\sqrt{3}}{3}}$$.
Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.
 |
| Рис. 30 |
Окружность проходит через вершины $$ A$$ и $$ B$$ треугольника $$ ABC,$$ пресекает стороны $$ BC$$ и $$ AC$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно (рис. 30). Известно, что `AB=4`, `MN=2`, $$ \angle ACB=\mathrm{arcsin}\frac{3}{5}$$. Найти радиус окружности.
1. Обозначим $$ \angle ACB=\varphi $$ тогда $$ \mathrm{sin}\varphi ={\displaystyle \frac{3}{5}}$$, $$ \varphi $$ - острый угол, $$ \mathrm{cos}\varphi ={\displaystyle \frac{4}{5}}$$.
Надо найти радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: $$ \angle NMB=\alpha $$. Угол $$ ANB$$ - внешний для треугольника $$ BNC,$$ поэтому $$ \angle ANB=\alpha +\varphi $$.
2. Если $$ R$$ - радиус окружности, то $$ AB=2R\mathrm{sin}(\alpha +\varphi )$$, и $$ MN=2R\mathrm{sin}\alpha $$ т. е. получаем систему:
$$ \left\{\begin{array}{l}4=2R\mathrm{sin}(\alpha +\varphi ),\\ 2=2R\mathrm{sin}\alpha .\end{array}\right.$$
Исключая `R`, придём к уравнению $$ 2\mathrm{sin}\alpha =\mathrm{sin}(\alpha +\varphi )$$.
Так как $$ \mathrm{sin}(\alpha +\varphi )=\mathrm{sin}\alpha ·\mathrm{cos}\varphi +\mathrm{sin}\varphi ·\mathrm{cos}\alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{sin}\alpha +{\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{cos}\alpha $$,
то уравнение приводится к виду
$$ 10\mathrm{sin}\alpha =4\mathrm{sin}\alpha +3\mathrm{cos}\alpha $$, `6sinalpha=3cosalpha`, `"tg"alpha=1/2`.
3. Находим: $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\alpha }{\sqrt{1+\mathrm{tg}^{2}\alpha }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$$ тогда $$ R={\displaystyle \frac{MN}{2\mathrm{sin}\alpha }}=\sqrt{5}$$.
В задаче 15 угловая величина была задана значением $$ \mathrm{arcsin}{\displaystyle \frac{3}{5}}$$. По определению функции $$ y=\mathrm{arcsin}x$$ это означало, что заданный угол острый и $$ \mathrm{sin}\varphi ={\displaystyle \frac{3}{5}}$$. Мы заменили условие $$ \varphi =\mathrm{arcsin}{\displaystyle \frac{3}{5}}$$ равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде $$ \alpha =\pi -\mathrm{arccos}\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$, то это означает, что $$ \alpha $$ - тупой угол, $$ \mathrm{cos}\alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}} }$$, $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения $$ \mathrm{cos}2\alpha $$, $$ \mathrm{sin}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$ и т. п.
Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде $$ \alpha =3\mathrm{sin}\left(2\mathrm{arccos}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$$. Если далее это значение не записано в виде $$ a=2\sqrt{2}$$, то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).
В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.
 |
| Рис. 31 |
В треугольнике $$ ABC$$ высота $$ BD$$, медиана $$ CM$$ и биссектриса $$ AK$$ пересекаются в точке $$ O$$. (рис. 31). Найти угол $$ A$$, если известно, что он больше $$ 60°$$ и $$ AM=\sqrt{3}OM$$.
1. Обозначим
$$ AM=x$$ (тогда `AB=2x`), $$ \angle BAC=2\alpha $$ и $$ AO=y$$.
Из прямоугольных треугольников $$ AOD$$ и $$ ABD$$ имеем: $$ AD=y\mathrm{cos}\alpha $$ и $$ AD=2x\mathrm{cos}2\alpha $$. Выражаем $$ y={\displaystyle \frac{2x\mathrm{cos}2\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }}$$.
2. Применяем теорему косинусов к треугольнику $$ AMO$$, учитывая, что $$ M{O}^{2}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{2}: {\displaystyle \frac{{x}^{2}}{3}}={x}^{2}+{y}^{2}-2xy·\mathrm{cos}\alpha $$.
Подставляем выражение для $$ y$$, сокращаем на $$ {x}^{2},$$ приводим уравнение к виду:
$$ 2{\mathrm{cos}}^{2}\alpha +12{\mathrm{cos}}^{2}2\alpha -12\mathrm{cos}2\alpha ·{\mathrm{cos}}^{2}\alpha =0$$.
Используем тождество: $$ 2{\mathrm{cos}}^{2}\alpha =1+\mathrm{cos}2\alpha ,$$ получаем уравнение:
$$ 6{\mathrm{cos}}^{2}2\alpha -5\mathrm{cos}2\alpha +1=0$$.
Находим: $$ \mathrm{cos}2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ или $$ \mathrm{cos}2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$.
3. По условию: $$ 2\alpha =\angle BAC$$, $$ 2\alpha > {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}$$, значит $$ \mathrm{cos}2\alpha < {\displaystyle \frac{1}{2}}$$, поэтому
$$ \mathrm{cos}2\alpha =\mathrm{cos}A={\displaystyle \frac{1}{3}}$$, $$ \angle A=\mathrm{arccos}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$.
В заключении остановимся на ещё не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.
Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения к чему относятся, какие прямые перпендикулярны или параллельны, в каких точках имеет место касание и т. п. Кое-кому из них всё же удаётся верно решить задачу, но в большинстве случаев, особенно в задачах, требующих ряда шагов рассуждений и вычислений, такой рисунок скорее мешает решению, а не способствует успеху.
Рисунок в геометрической задаче – это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, фиксирующий и удерживающий внимание решающего, он даёт повод к размышлению и может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный путь в поисках решения. (Посмотрите, например, на рис. 27, 28, 29). Именно поэтому к построению рисунка полезно относиться вдумчиво. Сначала, чтобы понять задачу, её условия переводят на геометрический язык: делают от руки небольшой предварительный рисунок и отмечают на нём (если таковые есть) равные углы, пропорциональность отрезков, перпендикулярность и т. п. И лишь обдумав, как надо изменить рисунок, чтобы он соответствовал условиям задачи, делают аккуратный и достаточно большой рисунок, чтобы на нём уместились все введённые обозначения углов, отрезков и данные задачи. В ряде случаев «хороший» рисунок получается не с первой попытки и при его построении уже начинается процесс решения задачи, так как используются определения и известные геометрические факты относительно входящих в условие задачи элементов геометрической конфигурации.
Когда словами записываются геометрические свойства входящих в задачу элементов, устанавливаются метрические соотношения типа и т. п., проводятся некоторые вычисления, то охватить их взглядом, увидеть в целом, сделать нужный вывод бывает совсем непросто, а вот увидеть на рисунке след собственных рассуждений и не терять этого из виду обычно удаётся.
Мы говорим о работе с рисунком в процессе поиска решения. При окончательном изложении решения задачи каждое заключение должно быть обосновано (чаще всего ссылками на известные теоремы курса, реже – дополнительным доказательством). Сам по себе рисунок, даже самый аккуратный, выполненный циркулем и линейкой, ничего не доказывает, всё, что «увидено» из чертежа, должно иметь логическое обоснование.
И ещё одно замечание. Если задача не получается, «упирается», не достаёт ещё какого-то одного соотношения, связи элементов – вернитесь к условию задачи и вновь обсудите каждый входящий в него геометрический элемент. Скорее всего, вами использованы не все их свойства, сделаны не все возможные выводы.
Поясним наши рассуждения о рисунке и работе с ним примерами решения двух задач олимпиад МФТИ.
Продолжения медиан $$ AE$$ и $$ CF$$ треугольника $$ ABC$$ (рис. 32) пересекают описанную около него окружность в точках $$ D$$ и $$ N$$ соответственно так, что $$ AD:AE=2:1$$ и $$ CN:CF=4:3.$$ Найти углы треугольника.
 |
| Рис. 32 |
Делаем предварительный рисунок (кстати, его удобнее всего рисовать, начиная с окружности), отмечаем, что (это следует из условия $$ AD=2AE$$). Две хорды $$ BC$$ и $$ AD,$$ пересекаясь, делятся пополам. По свойству пересекающихся хорд $$ AE·DE=BE·CE$$ откуда следует, что $$ AE=BE=DE=CE$$. Точка $$ E$$ одинаково удалена от точек `A`, `B`, `D` и `C` окружности, значит точка $$ E$$ - центр окружности. Отсюда следует, что $$ BC$$ и $$ AD$$ - диаметры, и - прямой (опирается на диаметр). Поскольку далее должна рассматриваться медиана $$ AE,$$ а нами установлено, что $$ AE=DE=BE=CE,$$ то удобно ввести обозначение $$ AE=R.$$
 |
| Рис. 33 |
Обсудим следующие условия задачи: $$ FN={\displaystyle \frac{1}{3}}FC.$$ Обозначим $$ FN=x,$$ тогда $$ FC=3x.$$ Наконец обратим внимание, что в задаче есть две медианы треугольника, значит надо воспользоваться свойством медиан: пересекаясь, они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Итак, если обозначить через $$ O$$ точку пересечения медиан, то
$$ AO={\displaystyle \frac{2}{3}}R, CO=2x, OF=x.$$
Выполняем хороший большой рисунок с учётом всех установленных фактов. Посмотрим внимательно на рис. 33 и подумаем, может быть, еще что-то можно установить? Да! Хорда $$ CN,$$ пересекая диаметр $$ AD,$$ делится пополам, значит Отразим и этот последний факт.
Теперь решение.
1. По свойству пересекающихся хорд:
$$ AO·OD=CO·ON$$, т. е. $$ {\displaystyle \frac{2}{3}}R\frac{4}{3}R=4{x}^{2}$$ откуда $$ {x}^{2}=\frac{2}{9}{R}^{2}$$.
2. Из прямоугольного треугольника $$ COA$$ по теореме Пифагора:
$$ AC=\sqrt{{\left(2x\right)}^{2}+{\left(\frac{2}{3}R\right)}^{2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}R$$.
3. Из прямоугольного треугольника $$ ABC$$ находим:
$$ \mathrm{sin}B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$.
$$ \angle A={\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}$$, $$ \angle B=\mathrm{arcsin}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$, $$ \angle C={\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-\mathrm{arcsin}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$.
Длина стороны ромба $$ ABCD$$ равна `4`. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $$ ABD$$ и $$ ACD,$$ равно `3`. Найти радиусы окружностей.
Строим первый пробный рисунок (рис. 34) и начинаем рассуждать.
Поскольку в условии задачи задано расстояние между центрами, то необходимо установить их положение. Будем помнить, что четырёхугольник $$ ABCD$$ - ромб, характеризующее его свойство – диагонали, пересекаясь, делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Центр окружности, описанной около треугольника, есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Треугольники $$ ABD$$ и $$ ACD$$ имеют общую сторону $$ AD$$, следовательно, оба центра лежат на серединном перпендикуляре отрезка $$ AD$$.
Кроме того, центр $$ {O}_{1}$$ окружности, описанной около треугольника $$ ABD,$$ лежит на прямой $$ AC$$ (это серединный перпендикуляр отрезка $$ BD$$), а центр $$ {O}_{2}$$ окружности, описанной около треугольника $$ ACD,$$ лежит на прямой $$ BD$$ (это серединный перпендикуляр отрезка $$ AC$$). Итак, центры окружностей – это точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $$ AD$$ с прямыми $$ AC$$ и $$ BD.$$
 |
 |
| Рис. 34 | Рис. 35 |
Вот теперь строим новый рисунок, на который наносим также числовые данные задачи. Обратим внимание, что окружности рисовать уже нет необходимости.
Обозначим $$ A{O}_{1}={R}_{1}$$ и $$ D{O}_{2}={R}_{2}$$ и, поскольку имеем несколько подобных треугольников, вводим ещё угол $$ \angle MA{O}_{1}=\alpha .$$ Записываем вполне очевидные выводы:
$$ 1. \overline{)\begin{array}{l}∆A{O}_{1}M, \angle M=90°,\\ \angle MA{O}_{1}=\alpha \end{array}}\Rightarrow \begin{array}{l}2={R}_{1}\mathrm{cos}\alpha ,\\ {O}_{1}M={R}_{1}\mathrm{sin}\alpha .\end{array}$$
$$ 2.\overline{)\begin{array}{l}△D{O}_{2}M: \angle M=90°,\\ \angle M{O}_{2}D=\alpha \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{l}2={R}_{2}\mathrm{sin}\alpha ,\\ {O}_{2}M={R}_{2}\mathrm{cos}\alpha .\end{array}$$
$$ 3.\overline{)\begin{array}{l}\mathrm{По} \mathrm{условию} {O}_{1}{O}_{2}=3,\\ \mathrm{т}. \mathrm{е}. {O}_{2}M-{O}_{1}M=3\end{array}} \Rightarrow {R}_{2}\mathrm{cos}\alpha -{R}_{1}\mathrm{sin}\alpha =3.$$
Итак, получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
$$ {R}_{1}, {R}_{2}, \alpha : \left\{\begin{array}{l}2={R}_{1}\mathrm{cos}\alpha .\\ 2={R}_{2}\mathrm{sin}\alpha ,\\ 3={R}_{2}\mathrm{cos}\alpha -{R}_{1}\mathrm{sin}\alpha .\end{array}\right.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$
Решать эту систему можно по-разному, например, исключив `R_1` и `R_2`, получить тригонометрическое уравнение
$$ 3=2{\displaystyle \frac{\mathrm{cos}\alpha }{\mathrm{sin}\alpha }}-2{\displaystyle \frac{\mathrm{sin}\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }}$$, $$ 2{\mathrm{tg}}^{2}\alpha +3\mathrm{tg}\alpha -2=0$$, $$ \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ (угол `alpha` - острый), тогда
$$ \mathrm{cos}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^{2}\alpha }}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$$ и $$ {R}_{1}=\sqrt{5}, {R}_{2}=2\sqrt{5}$$
В этой задаче, оказавшейся совсем не простой для абитуриентов, трудность для многих была заключена в построении рисунка, обнажающего условие задачи и направляющего решение.
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$$ (`a` - основание, `h` - высота к `a`).
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab·\mathrm{sin}C$$ (`a`, `b`- стороны, `C` - угол между ними).
$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ (формула Герона, $$ 2p=a+b+c)$$.
$$ S=pr$$ (`p` - полупериметр,`r` - радиус вписанной окружности).
$$ S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$$, где `R` - радиус описанной окружности).
$$ S=(p-a){r}_{a}$$, где `p` - полупериметр, `r_a` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `a`.
$$ S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}h$$ (`a`, `b` - основания, `h` - высота).
$$ S=c·m$$ (`c` - боковая сторона, `m` - расстояние до нее от середины другой боковой стороны).
$$ S=ah$$ (`a` - сторона, `h` - высота к `a`).
$$ S=ab·\mathrm{sin}\alpha $$ (`a`, `b` - стороны, `alpha` - величина угла между ними).
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_{1}{d}_{2}\mathrm{sin}\varphi $$ (`d_1` и `d_2` - диагонали, `varphi` - величина угла между ними).
$$ {d}_{1}^{2}+{d}_{2}^{2}=2({a}^{2}+{b}^{2})$$ (`a` и `b` - стороны,`d_1`, `d_2` - диагонали).
$$ {m}_{c}^{2}={\displaystyle \frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{{c}^{2}}{4}}$$
1) $$ AD={\displaystyle \frac{2bc}{b+c}}\mathrm{cos}{\displaystyle \frac{A}{2}}, \left(b=AC, c=AB\right)$$.
2) $$ AD=\sqrt{bc-xy}, (x=BD, y=DC, {\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{c}{b}})$$.
$$ {d}^{2}={c}^{2}+ab$$ (`a`, `b` - основания, `c` - боковая сторона, `d` - диагональ).
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=(-1)^n arcsin a+pi n, n in Z`.
Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных `(n=2k+1, k in Z)n`. А именно
$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$
2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=+- arccosa+2pin, n in Z`.
3. `"tg"x=a`. При любом `a` `x="arctg"a+pin, n in Z`.
4. `"ctg"x=a`. При любом `a` `x="arcctg"a+pin, n in Z`.
Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.
а) `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.
б) `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.
в) `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.
г) `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.
Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.
I. Разложение на множители
Решить уравнение
`3sin2x-3cosx+2sinx-1=0`.
Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение
`6sinxcosx-3cosx+2sinx-1=0`,
`3cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)=0`,
`(2sinx-1)(3cosx+1)=0`.
Уравнение распадается на два:
1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.
2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.
Решить уравнение
`sin2x+cos(5x-pi/6)=0`.
Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.
Уравнение распадётся на два:
1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`3x+pi/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`.
2) `cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`; `(7x-(2pi)/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`7x-(2pi)/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
`x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.
По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,
поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.
`sinx(4sin^2x-3)=0`$$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=0, x=\pi n,n\in Z.\\ \mathrm{sin}x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).
`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.
Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.
Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.
Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.
`x=+-pi/4+pin,ninZ`. (1)
Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или
`x=pi/4+(pin)/2, ninZ`. (2)
Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.
`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.
III. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)
Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.
Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5"tg"^2x-4"tg"x-1=0`. Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
`x=pi/4+pin,ninZ`; `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5"tg"^2x-3"tg"x-2=0`.
Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
`x=pi/4+pin,ninZ`, `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.
Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.
Перепишем это уравнение так:
`sin^3x+13cos^3x-cosx(cos^2x+sin^2x)=0` или
`sin^3x+12cos^3x-cosxsin^2x=0`.
Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `"tg"x`
`"tg"^3x-"tg"^2x+12=0`.
Делаем замену: `t="tg"x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители
`(t+2)(t^2-3t+6)=0`.
Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак, `"tg"x=-2` или `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
`x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
IV. Использование формулы дополнительного угла
Напомним эту формулу `asin alpha +bcos alpha=sqrt(a^2+b^2)sin(alpha+varphi)`, где `varphi` определяется (неоднозначно) из равенств
`cosvarphi=a/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))(a^2+b^2!=0)`.
Например, `sinalpha+cos alpha=sqrt2sin(alpha+pi/4)`. Формулу дополнительного угла можно записать и в другом виде, например,
`asinalpha+bcosalpha=sqrt(a^2+b^2)cos(alpha+varphi)`, где
`cosvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=-a/(sqrt(a^2+b^2))`.
Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.
1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:
`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`, `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=-3/5`.
Можно взять `varphi=-arcsin 3/5`. Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`x=arcsin 3/5+pi/2+2pin,ninZ`.
2-й способ. Воспользуемся формулами:
`sinx=2sin x/2 cos x/2`, `cosx=cos^2 x/2 -sin^2 x/2`, `1=sin^2 x/2+cos^2 x/2`.
Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5` запишется в виде
`8sin x/2 cos x/2-3(cos^2 x/2-sin^2 x/2)=5(sin^2 x/2+cos^2 x/2)` или
`2sinx^2 x/2-8sin x/2cos x/2+8cos^2 x/2=0`.
Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2 x/2`, получим уравнение `"tg"^2 x/2-4"tg" x/2+4=0` или `("tg" x/2-2)^2=0`. Итак, `"tg" x/2=2`, значит `x/2="arctg"2+pin,ninZ`, или `x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
`x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.
Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.
Сделаем замену: `t=sinx+cosx`. Тогда
`t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x`.
Откуда `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:
`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.
Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`, то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)` имеет решения:
`x+pi/4=(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
`x=-pi/4+(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
Отметим, что подобным образом решаются уравнения вида: `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.
Рассмотрим ещё одно часто встречающееся приложение формулы дополнительного угла.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.
Преобразуем выражение, используя формулу `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:
`f(x)=(4-4cos2x)+3sin2x-11=3sin2x-4cos2x-7=`
`=5sin(2x+varphi)-7`.
Здесь можно взять `varphi=-arcsin 4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`, а значение `f(x)=-2` принимается при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.
Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.
V. Рациональные тригонометрические уравнения
Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.
ОДЗ `sinx!=-sqrt3/2`.
Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.
Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.
Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,
`cosx(2cosx+1)=0 iff`$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0, x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n,n\in Z,\\ \mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.
Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,
`x=pi/2+pin,ninZ`, `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.
ОДЗ $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}3x\ne 0\\ \mathrm{sin}x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi m}{3}},m\in Z.$$
Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:
`sin^2x+sin3x*sin5x=8sinxcosx*sin3x*cos3x`.
Преобразуем это уравнение:
`(1-cos2x)/2+1/2(cos2x-cos8x)=2sin2x*sin6x`.
Ещё раз воспользуемся формулой
`sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`
в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим
`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.
Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$
Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.
1. Изображаем точки
`x=(pin)/2,ninZ`, (3)
на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).
2. Изображаем точки
`x=(pim)/3,m inZ` (4)
которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).
Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки
`x=pi/2+pin,ninZ`.
С решениями уравнения
`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,
или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек - решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что
`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`
`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.
Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.
Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.
`x=pi/2+pin,ninZ`; `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`.
Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.
а) Решить уравнение `2/("tg"^2x)-1/("tg"x)-3=0`.
б) Указать корни, принадлежащие отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) Сделаем замену `t=1/("tg"x)`. Получим уравнение `2t^2-t-3=0`. Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.
1) `"tg"x=-1`. Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.
2) `"tg"x=2/3`. Тогда `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.
2) Аналогично решаем неравенство
`-(3pi)/2<="arctg"2/3+pin<=-pi/2`. (5)
Т. к. `ninZ`, то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<="arctg"2/3<=pi/2`, что верно, `n=-2` не удовлетворяет (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<="arctg"2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x="arctg"2/3+pin,ninZ`, только корень `("arctg"2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) `x=-pi/4+pin,ninZ`; `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) `x=-(5pi)/4` и `x="arctg"2/3-pi`.
Найти наименьший корень уравнения `"ctg"6x-"tg"5x=1/(cos5x)`,
принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.
Преобразуем данное уравнение
`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.
Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии `sin6x*cos5x!=0`.
Решаем уравнение `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:
`cos11x-cos(6x-pi/2)=0` или `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.
1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.
Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.
2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства
`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`.
Значит, `4<=n<=19,ninZ`. Итак, на отрезок `[(8pi)/17;(40pi)/17]` попадают числа `(17pi)/34, 21/34 pi, 25/34 pi,...`. Первое из них не удовлетворяет условию `cos5x!=0` `("т". "к". (17pi)/34=pi/2)` и, следовательно, не является решением уравнения. Число `(21pi)/34` удовлетворяет условию `sin6x*cos5x!=0`; значит, именно оно является минимальным корнем на данном отрезке.
`x=(21pi)/34`.
VI. Тригонометрические уравнения с корнем квадратным
Решить уравнение `sqrt(cos2x-5sinx)=-2cosx`.
Это уравнение равносильно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{cos}2x-5\mathrm{sin}x=4{\mathrm{cos}}^{2}x.\\ \mathrm{cos}x\le 0.\end{array}\right.$$
Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть уравнения равна корню квадратному, а он неотрицателен по определению. (Отметим, что в системе мы не пишем неравенство `cos2x-5sinx>=0`, т. е. подкоренное выражение неотрицательно, т. к. оно равно квадрату правой части). Решаем уравнение: `cos2x-5sinx=4cos^2x`. Преобразуем его:
`(1-2sin^2x)-5sinx=4(1-sin^2x)` или `2sin^2x-5sinx-3=0`.
Заменяя `sinx=t`, получим квадратное уравнение: `2t^2-5t-3=0`.
Откуда `t_1=3`, `t_2=-1/2`. Т. к. `|sinx|<=1`, то `t_1=3` не даёт решений.
Если же `sinx=-1/2`, то на тригонометрическом круге (рис. 5) имеем две точки. Но правая точка не подходит, т. к. должно быть `cosx<=0`. Итак,
`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `sqrt(5-cos2x)=cosx-3sinx`.
Это уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}5-\mathrm{cos}2x={\left(\mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\right)}^{2},\\ \mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\ge 0.\end{array}\right.$$
Решаем уравнение. Преобразуем его к однородному.
`5(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-6sinxcosx+9sin^2x`
или `3sin^2x-6sinxcosx-3cos^2x=0`.
Далее `2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=0` или `sin2x+cos2x=0`.
Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению `"tg"2x=-1`.
Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.
Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` - далее они повторяются).
Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно,
`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,
и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем
`x=-pi/8+2pin,ninZ`; `x=11/8pi+2pin,ninZ`.
VII. Уравнения с модулем
Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.
Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.
1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$
2)
Решаем первую систему. Уравнение `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:
`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`.
Значит,
$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$
Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят
`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.
Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8) решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. Значит, остаются в качестве решений системы
`x=pi/3+2pin,ninZ`.
Итак, решениями первой системы являются
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+2pin,ninZ`.
Решаем вторую систему. Уравнение `sin3x-sinx=sin2x` преобразуем:
`2cos2x*sinx=2sinxcosx`.
Т. к. в этой системе `sinx!=0`, то можно сократить уравнение на `2sinx`. Оно запишется:
`cos2x=cosx` или `2cos^2x-cosx-1=0`.
Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно
`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.
В ответе две серии решений
`x=pi/3+2pin,ninZ` и `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,
соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:
`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+pin,ninZ`.
Сначала рассмотрим простейший пример. Решить систему
Здесь `x` и `y` находятся независимо друг от друга. В этих случаях параметры надо обозначать различными буквами. Обозначение их одной буквой будет в таких случаях ошибкой.
Решаем каждое уравнение
`(x;y)=n;m),n,m in Z`,
т. е. на плоскости решениями системы являются все точки с целочисленными координатами. Если же мы будем считать `m=n`, то точки `(n;n),ninZ`, - это целочисленные точки, лежащие только на биссектрисе I и III координатных углов. Они не представляют все решения рассмотренной системы.
Решить систему
Преобразуем второе уравнение системы:
`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.
Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:
Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара
Переходя к (`x`; `y`), имеем:
Отсюда
Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:
`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.
Решить систему
Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:
Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.
Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ.
(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).
Решить систему уравнений
Перепишем систему
Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим
`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.
Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.
Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.
Подставляя `cosx=1` во второе уравнение первоначальной системы, находим, что
`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.
Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,
