16 статей
В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.
1. Векторный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.
Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.
В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.
Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.
Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.
Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_"cp"` тела за время `Delta t`:
`vecv_"cp"=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)
Вектор `vecv_"cp"` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.
Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.
Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:
`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.
Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.
В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).
Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.
Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:
`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)
При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!
Таким образом, зная зависимость `vec r(t)`, можно найти скорость `vec v` и ускорение $$ \overrightarrow{a}$$ тела в каждый момент времени. В этой связи возникает и обратная задача о нахождении скорости `vec v (t)` и радиус-вектора `vec t (t)` по известной зависимости от времени ускорения `vec a`. Для однозначного решения этой задачи необходимо знать начальные условия, т. е. скорость `vec v_0` и радиус-вектор `vec r_0` тела в начальный момент времени $$ t=0$$.
Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`"м"//"с"`) и метр на секунду в квадрате ( `"м"//"с"^2`).
2. Координатный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ \overrightarrow{r}$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=x\left(t\right)$$ и $$ y=y\left(t\right)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ \overrightarrow{v}$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ {v}_{x}$$ и $$ {x}_{y}$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.
Аналогично с помощью проецирования вектора $$ \overrightarrow{a}$$ определяются ускорения $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ тела по направлениям координатных осей.
Таким образом, зная зависимости $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$ ,можно найти не только положение тела, но и проекции его скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов $$ \overrightarrow{v}$$ и $$ \overrightarrow{a}$$в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости будет равен `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`, а его направление может быть задано углом между этим вектором и любой осью координат. Так, угол $$ \alpha $$ между вектором $$ \overrightarrow{v}$$ и осью `Ox` определяется отношением `"tg"alpha=v_y//v_x`. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора $$ \overrightarrow{a}$$.
Обратная задача – нахождение скорости и зависимостей $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$ по заданному ускорению – будет иметь однозначное решение, если кроме ускорения заданы ещё и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент времени $$ t=0$$.
3. Естественный (или траекторный) способ.
Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.
Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ l\left(t\right)$$.
Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` - это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.
Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.
Средней путевой скоростью `v_"cp"` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:
`v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)` (3)
Определённая ранее средняя скорость `v_"cp"` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.
Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_"cp"` и средняя путевая скорость `v_"cp"` троллейбуса?
Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_"ср"=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_"ср"|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:
`v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)=(72 "км")/(8 "ч")=9 "км"//"ч"`.
В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определённым правилам при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Пусть имеются две произвольные системы отсчёта `K` и `K^'` (рис. 6). Известны скорость `vecv^'` и ускорение `veca^'` тела (точки `A`) в `K^'` - системе.
Рассмотрим случай, когда `K^'`- система движется поступательно по отношению к `K` - системе, и определим значения скорости `vecv` и ускорения `veca` тела в `K`-системе.
Если за малый промежуток времени `Deltat` тело (точка `A`) переместилось относительно `K^'` - системы на величинy `Deltavecr^'`, а `K^'` - система переместилась относительно `K` - системы на `Deltavecr_0`, то из правила векторного сложения следует, что перемещение `Deltavecr` тела относительно `K` - системы будет равно `Deltavecr=Deltavecr_0+Deltavecr^'`. Разделив обе части этого равенства на $$ ∆t$$ и обозначив через скорость `K^'` - системы относительно `K` - системы, получим:
`vec v =vec v_o +vec v^'` (4)
Рассуждая аналогично,найдем формулу преобразования ускорения :
`vec a =vec a_o + vec a^'` (5)
Из формулы (5) вытекает важное следствие: при ускорения и `vec a^'` равны. Иными словами, если система отсчёта `K^'` движется поступательно без ускорения относительно системы отсчёта `K`, то ускорения тела в обеих системах отсчёта будут одинаковы.
Переход из одной системы отсчёта в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение некоторых физических задач, поэтому к данному приёму желательно привыкнуть и научиться умело его использовать.
Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчёта, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчёта, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. Относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчёта. Рассмотрим следующий пример.
Два корабля движутся с постоянными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{1}$$ и $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$ под углом $$ \alpha $$ друг к другу (рис. 7). Найти скорость первого корабля относительно второго.
Перейдём в систему отсчёта, связанную со вторым кораблём, движущимся со скоростью $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$. В этой системе отсчёта относительная скорость `vec v^'` первого корабля согласно (4) будет равна `vec v^'= vec v_1 -vec v_2`. Вектор $$ \overrightarrow{v}\text{'}$$ определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 8). Из треугольника `BDE` с помощью теоремы косинусов найдём модуль искомого вектора:
`v^' =sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha)`.
Направление вектора `vec v^'` зададим, например, углом `beta` (рис. 8), который определим из `DeltaBDE` по теореме синусов:
`(v_1)/(sinbeta)=(v^')/(sinalpha)`.
Отсюда
`sinbeta=(v_1)/(v^')sinalpha=(v_1 sinalpha)/(sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha))`.
Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.
1.Равномерное прямолинейное движение тела.
При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:
`vec v= "const"`. (6)
При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v t`, (7)
где `vec r_0` - радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ {\overrightarrow{r}}_{0}$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow{r}$$ тела в любой момент времени в процессе движения.
Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{x}\left(t\right),\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{y}\left(t\right)·\end{array}\right.$$ | (8) |
 |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm{tg}\alpha ={v}_{y}/{v}_{x}$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):
`y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`. (9)
Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.
Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:
$$ {x}_{0}=6$$ м, $$ {y}_{0}=0$$ , $$ {v}_{x} =3$$ м/c, $$ {v}_{y} =4$$ м/c.
Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):
`y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.
Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
 |
График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7): `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени `t`, определяется по формуле `Delta S = vt`, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.
В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:
`Delta S = vt = 5 "м"/"c"*5 "c" = 25 "м"`.
Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.
Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости $$ xOy $$ за время $$ t=2$$ c изменились от начальных значений $$ {x}_{0}=5$$ м, $$ {y}_{0}=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.
Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:
`v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.
Тогда модуль скорости `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}(x-5)+7$$, или $$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{13}{4}}$$.
Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ в общие уравнения движения (8):
$$ x\left(t\right)=5-4t,y\left(t\right)=7-3t$$.
Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.
Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.
(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)
2. Неравномерное движение тела.
Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.
Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью $$ {v}_{1}=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ {v}_{2}=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ {v}_{3}=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.
Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь `Delta S` на три участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:
`v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.
По условию задачи `Delta S_1 =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3 = Delta S //2`. Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:
`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,
`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,
`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.
Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:
`v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3))) =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.
Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.
Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.
3. Равнопеременное движение.
Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:
`vec a="const"` (10)
(при этом `vec v != "const"`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
При равнопеременном движении скорость $$ \overrightarrow{v}$$ тела изменяется с течением времени по закону
`vec v (t)=vec v_0 +vec at`, (11)
где `vecv_0` - скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`, (12)
где `vecr_0` - начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.
При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}\left(t\right)={v}_{0x}+{a}_{x}t,\\ {v}_{y}\left(t\right)={v}_{0y}+{a}_{y}t.\end{array}\right.$$ | (13) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}},\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{0y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}},\end{array}\right.$$ | (14) |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные абсцисса и ордината тела (при $$ t=0$$), $$ {v}_{0x}$$ и $$ {v}_{0y}$$ - проекции начальной скорости `vecv_0` тела на координатные оси, $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ - проекции вектора ускорения на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
В принципе формулы (11) и (12), или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.
В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось $$ Ox$$, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:
$$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$, $$ x={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}}$$.
Если на промежутке времени от $$ 0$$ до $$ t$$ направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность $$ x-{x}_{0}$$текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём $$ S$$, следовательно,
`S=v_(0x)t+(a_xt^2)/2`.
Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время $$ t$$, выраженное из уравнения $$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$ . Это время будет
`t=(v_x-v_(0x))/a_x`.
Тогда для пути $$ S$$ после несложных преобразований получим
`S=(v_x^2-v_(0x)^2)/(2a_x)`.
Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.
За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )
Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ {v}_{0}$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать `v=v_0+at`, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`.
За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь
`S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.
С учётом выражений для $$ {v}_{0}$$ и $$ a$$ получим `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.
Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow{a}$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow{g}$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.
Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.
Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ {y}_{0}=0,{v}_{0y}={v}_{0}$$.
Проекция ускорения тела на ось $$ Oy$$ в отсутствие сопротивления воздуха равна $$ {a}_{y}=-g$$ , т. к. вектор $$ \overrightarrow{g}$$ направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:
`v_y=v_0-g t`, (15)
`y=v_0t-(g t^2)/2`. (16)
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.
Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ {v}_{y}={v}_{0}-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ {v}_{y}={v}_{0}-2{v}_{0}=-{v}_{0}$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ {v}_{0}$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,{v}_{y}=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:
`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.
Из первого уравнения определяем время подъёма тела `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ {\tau }_{1}$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.
Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ {v}_{y}\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):
`"tg"alpha=-g`.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.
Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:
`a_x=0`, `a_y=-g`.
Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0},\\ {v}_{y}=-gt·\end{array}\right.$$ | (17) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x={v}_{0}t,\\ y=H-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (18) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:
$$ l={v}_{0}\tau $$, `0=H-(g tau^2)/2`.
Решая их ,находим:
`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.
В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ {v}_{x}={v}_{0},{v}_{y}=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=sqrt(v_0^2+2gH)`.
Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):
`"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.
Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):
`y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.
Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ {v}_{0}$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.
Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha ,\\ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -gt·\end{array}\right.$$ | (19) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t,\\ y=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (20) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:
$$ l=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)\tau $$, $$ 0=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)\tau -{\displaystyle \frac{g{\tau }^{2}}{2}}$$.
Откуда находим
$$ \tau ={\displaystyle \frac{2{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ l={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}}$$.
(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha =\mathrm{sin}2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm{sin}2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.
Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ {v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha $$, $$ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g\tau =-{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha $$.
Следовательно, $$ v=\sqrt{{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }={v}_{0}$$, (так как $$ {\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\alpha =1$$).
Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ {v}_{y}=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:
$$ 0={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g{\tau }_{1}$$, $$ H=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right){\tau }_{1}-{\displaystyle \frac{g{\tau }_{1}^{2}}{2}}$$.
Отсюда последовательно находим:
$$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ H={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }{2g}}$$.
Видим,что $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha }}{x}^{2}+\mathrm{tg}\alpha x$$.
График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.
Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями $$ {v}_{01}=5\mathrm{м}/\mathrm{c},{v}_{02}=8\mathrm{м}/\mathrm{c}$$, направленными под углами к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?
Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)$$ и $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)$$ имеем: $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{01}+{\overrightarrow{v}}_{01}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$, $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{02}+{\overrightarrow{v}}_{02}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$.
Искомое расстояние $$ l$$ равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то $$ {\overrightarrow{r}}_{01}={\overrightarrow{r}}_{02}$$ , следовательно:
$$ l=\mid {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)-{\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)\mid =\mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid t$$.
(Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):
`|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.
Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим $$ \mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid =7$$ м/с.
Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно
$$ l=7{\displaystyle \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}·{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{c}={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{м}\approx \mathrm{2,3} \mathrm{м}$$.
Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени $$ \tau $$, с одинаковыми начальными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для `v_0<g tau/2`.
Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
1) $$ {t}_{0}=0,{y}_{01}=0,{v}_{y01}={v}_{0}$$ ;
2) $$ {t}_{0}=\tau ,{y}_{02}=0,{v}_{y02}={v}_{0}$$.
Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны $$ {a}_{y1}={a}_{y2}=-g$$. Уравнения движения тел в проекциях на ось $$ Oy$$ с учётом начальных условий имеют вид:
`y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.
(Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`)
$$ {v}_{0}{t}_{x}-{\displaystyle \frac{g{t}_{x}^{2}}{2}}={v}_{0}({t}_{x}-\tau )-{\displaystyle \frac{g({t}_{x}-\tau {)}^{2}}{2}}$$.
Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: $$ {t}_{x}={\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}+{\displaystyle \frac{\tau }{2}}$$.
Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно $$ 2{v}_{0}/g$$. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то $$ \tau >2{v}_{0}/g$$. Это означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.
Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость $$ {v}_{0}$$, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.
Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): $$ {a}_{x}={g}_{x}=-g\mathrm{sin}\phi $$, $$ {a}_{y}={g}_{y}=-g\mathrm{cos}\phi $$. Здесь мы учли, что угол между вектором и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи $$ \phi =\alpha $$
Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:
$$ x\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{sin}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$, $$ y\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{cos}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$.
Время полёта $$ \tau $$ камня найдём из последнего уравнения, зная, что
$$ y\left(\tau \right)=0$$, $$ \mathrm{cos}\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$, $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$.
А именно $$ \tau ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}$$ . (Значение $$ \tau =0$$ мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
Подставляя найденное значение $$ \tau $$ в уравнение для $$ x\left(t\right)$$ определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):
$$ l=x\left(\tau \right)= {\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}}{g}}$$.
Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен $$ u=2{V}_{0}$$ причём вектор $$ \overrightarrow{u}$$составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)
Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось $$ Ox$$ направим горизонтально в направлении удара, а ось $$ Oy$$ вертикально вверх (рис. 23).
Движение мяча происходит с постоянным ускорением $$ \overrightarrow{a}$$причём $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=-g$$ где $$ g$$ - величина ускорения свободного падения.
Проекции начальной скорости $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ мяча на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ равны:
`v_(0,x)=V_(0,x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,
`v_(0,y)=V_(0,y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.
Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
Максимальную высоту подъёма `(y_"max")` и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:
$$ {v}_{y}^{2}-{v}_{0,y}^{2}=2{a}_{y}(y-{y}_{0}), y={y}_{0}+{v}_{0,y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}}$$.
Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль $$ ({v}_{y}=0)$$, а в момент приземления мяча $$ (t={T}_{\mathrm{полета}})$$ его координата по оси $$ Oy$$ обращается в ноль $$( y=0)$$, имеем:
$$ {y}_{\mathrm{max}}={\displaystyle \frac{{v}_{0,y}^{2}}{2g}}={\displaystyle \frac{3{V}_{0}^{2}}{2g}}, {T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}}{g}}$$.
За время полёта мяча платформа сместится на расстояние
$$ L={V}_{0}{T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}^{2}}{g}}$$,
которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.
В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения - true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть, логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым - логические. Так же можно выводить значения логических переменных на экран, а вот вводить их с клавиатуры нельзя!
В языке Pascal определены `6` операций сравнения, результатом которых является логическое значение:
1) «больше» (>)
2) «больше или равно» (>=)
3) «меньше» (<)
4) «меньше или равно» (<=)
5) «равно» (=)
6) «не равно» (<>).
Например, операция `5>2` всегда выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная `x` имеет любое значение, кроме `3`.
Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false.
При выполнении сравнений также необходимо соблюдать совместимость типов. То есть, можно сравнивать число с числом или логическое значение с логическим значением, но нельзя сравнивать число с логическим значением. Такое сравнение выдаст ошибку.
Помимо операций сравнения ещё существуют и логические операции:
1) and (конъюнкция, логическое умножение, операция «И»)
2) or (дизъюнкция, логическое сложение, операция «ИЛИ»)
3) not (отрицание, инверсия)
4) xor (строгая дизъюнкция, исключающее «ИЛИ», сложение по модулю `2`).
В скобках указаны возможные названия данных операций в алгебре логики.
Операнды этих операций должны быть логического типа. Результат вычислений также будет логический. При этом операции and, or, xor имеют по два операнда, а операция not - всего один, который записывается справа от названия операции. Названия логических операций являются служебными зарезервированными словами языка.
Приведём таблицы результатов логических операций для всех возможных значений операндов (в алгебре логики такие таблицы называются таблицами истинности):
|
X |
not x |
|
false |
true |
|
True |
false |
|
X |
y |
x and y |
x or y |
x xor y |
|
false |
false |
false |
False |
false |
|
false |
true |
false |
True |
True |
|
true |
false |
false |
True |
True |
|
true |
true |
true |
True |
False |
Логический результат даёт также стандартная функция odd(x), которая применяется к целочисленному аргументу х:
odd(x) = true, если `x` нечётно;
odd(x) = false, если `x` чётно.
Приоритет операций в сложном выражении (содержащем в себе все виды операций, изученных нами) следующий:
1) Операция not.
2) Операции группы умножения and, *, /, div, mod
3) Операции группы сложения or, xor, +, -
4) Операции сравнения >, <, >=, <=, =, <>
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем операции вне скобок.
Рассмотрим несколько примеров на построение логических выражений. Пусть нам требуется записать логическое выражение по синтаксису языка программирования, имеющее значение true, в случае выполнения указанного условия.
Целое число `n` делится на `13`.
n mod 13 = 0
Надо проверять, что остаток от деления на `13` является нулём.
Целое число `n` делится на `13` и `7`.
(n mod 13 = 0) and (n mod 7 = 0)
Здесь надо проверить одновременное выполнение двух условий.
Переменная `x` имеет значение из отрезков `[2,5]` или `[-1,1]`.
(x>=2) and (x<=5) or (abs(x)<=1)
Из чисел `x`, `y`, `z` хотя бы два равны между собой.
(x = y) or (x = z) or (y = z)
Числа `x`, `y`, `z` равны между собой.
(x = y) and (x = z)
Обратите внимание, что согласно таблице приоритетов, операции сравнения имеют самый низкий приоритет. Однако, как правило, в сложных выражениях нужно сначала выполнить сравнения, а потом группировать их результаты при помощи логических операций. Поэтому не нужно забывать брать операции сравнения в скобки, чтобы не получить неправильный порядок действий.
В рассматриваемых ранее задачах на программирование процесс вычисления был линейным, то есть программа не должна была выполнять разные действия в зависимости от того, какие данные ей ввели. Теперь рассмотрим задачи с ветвящимся алгоритмом.
Ввести номер года. Вывести слово YES, если год високосный, и NO, если он - не високосный.
По условию очевидно, что в зависимости от входных данных программа должна будет выполнить один из двух операторов вывода: Writeln('YES') или Writeln('NO'). При этом написать в программе нам придётся оба, а вот выполняться должен будет только один из них. Для того чтобы реализовывать подобные ветвления алгоритма, в языке Pascal существует условный оператор. В общем виде он выглядит следующим образом:
if логическое выражение
then оператор
else оператор
Слова if, then и else являются служебными зарезервированными словами языка. Работает эта конструкция так: сначала вычисляется логическое выражение, стоящее после if. Если получилось значение true, то выполняется оператор, стоящий после слова then, а если получилось значение false, то выполняется оператор, стоящий после слова else.
Обратите внимание, что внутри условного оператора нет никаких точек с запятой, поскольку он является единой конструкцией, а точка с запятой - это разделитель между операторами. Для удобства чтения и отладки программ принято условие записывать на одной строке, а ветви then и else начинать с новой строки, однако это не является синтаксическим правилом языка.
В качестве примера условного оператора рассмотрим решение задачи, поставленной выше. Год считается високосным, если он делится нацело на `400`, или если он делится нацело на `4`, но не делится нацело на `100`. Проверять делимость мы уже умеем, поэтому осталось только записать это условие в виде программы:
var y:integer;
begin
write('Введите номер года ');
readln(y);
if(y mod 400=0)or(y mod 4=0)and(y mod 100<>0)
then writeln('YES')
else writeln('NO');
end.
По грамматике языка после слов then и else должен стоять только один оператор языка. То есть запись if x>0 then x:=4; y:=0 else z:=9; является синтаксически неверной. А как быть, если всё-таки нужно выполнить более одного оператора? Для таких случаев в языке Pascal предусмотрен составной оператор, который позволяет превратить группу операторов в один. Выглядит он следующим образом: сначала записывается служебное зарезервированное слово begin, далее - интересующая нас последовательность операторов через точку с запятой, а в конце пишется служебное зарезервированное слово end. В отличие от конца программы, точка после этого слова не ставится. Слова begin и end называют операторными скобками. Запишем правильную версию условного оператора, приведённого выше: if x>0 then begin x:=4; y:=0 end else z:=9;
Обратите внимание на следующий тонкий момент: если требуется выполнить более одного оператора в ветке then, и при этом мы забудем написать операторные скобки, то это является синтаксической ошибкой, и программа просто не будет работать. Если же забыть написать операторные скобки в ветке else, то программа работать будет, но не так, как предполагалось.
Рассмотрим пример:
if x>0 then y:=9 else z:=8; c:=5;
В этом примере условный оператор заканчивается после z:=8; в то время как оператор c:=5; является следующим оператором программы и выполняется независимо от результата сравнения `x` с нулём. Если же написать операторные скобки, то присваивание в `c` числа `5` произойдёт только в случае x<=0.
Ещё один тонкий момент заключается в том, что в ветке else в качестве оператора может стоять и пустой оператор. Рассмотрим следующий пример.
Вводятся `3` целых числа – `a`, `b`, `c`. Требуется в переменную `a` записать минимальное из этих чисел, в `b` – среднее и в `c` – максимальное.
Алгоритм решения этой задачи такой: сначала сравним значения переменных `a` и `b`, если значение `a` - больше, поменяем их местами. После этого сравним значения переменных `a` и `с`, и если значение `a` - больше, поменяем их местами. После этих двух сравнений в переменной `a` гарантированно окажется наименьшее из трёх чисел. Осталось сравнить переменные `b` и `c`, и в случае, когда в переменной `b` находится большее значение, поменять их местами.
Очевидно, что в этом алгоритме у нас три сравнения, следовательно, три последовательных условных оператора. При этом в каждом из них какие-то действия (поменять местами значения двух переменных) нужно выполнять только в ветке then, в ветке else (например, если в первом сравнении в переменной a находится уже более маленькое число, чем в переменной `b`) никаких действий выполнять не нужно. Рассмортим код программы: В этом случае, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора.
var a,b,c,x:integer;
begin
writeln('введите три целых числа ');
readln(a,b,c);
if a>b then begin x:=a; a:=b; b:=x end;
if a>c then begin x:=a; a:=c; c:=x end;
if b>c then begin x:=b; b:=c; c:=x end;
writeln(a,b,c);
readln
end.
Как видно из примера, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else, в случае, когда там не надо выполнять никаких действий. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора. При использовании сокращённой формы условного оператора, если при вычислении логического выражения получилось значение false, то управление передаётся на следующий оператор программы.
Использование сокращённой формы условного оператора порождает проблему неоднозначности интерпретации логики действий программы в случае вложенных условных операторов. Рассмотрим следующий пример:
if x>0
then if y>0
then z:=0
else c:=7;
Вопрос состоит в том, какой из двух условных операторов является полным, а какой - сокращённым. К сожалению, ответ на этот вопрос существует только в виде дополнительного семантического правила языка программирования. Принято, что ветка else всегда относится к ближайшему if без else (по принципу правильной скобочной системы). То есть, в нашем случае внутренний условный оператор является полным, а внешний - сокращённым. Если же мы хотим добиться обратной логики действий (чтобы внешний условный оператор был полным), нам необходимо заключить внутренний условный оператор в операторные скобки. Выглядеть это будет следующим образом:
if x>0
then begin
if y>0
then z:=0
end
else c:=7;
При написании программ с ветвлениями очень часто возникает ситуация, когда ветвей становится слишком много. Поэтому приходится задумываться о том, как ничего не упустить из рассмотрения, как не рассматривать несущественные случаи и как обеспечить выполнение ровно одной ветви при разборе случаев.
Начнём с ответа на последний вопрос. Для того, чтобы обеспечить выполнение ровно одной ветви алгоритма, необходимо записывать весь разбор случаев в виде одного условного оператора. Конечно же, он будет сложный, с вложенными многоуровневыми проверками. Однако, если в итоге условный оператор, реализующий разбор случаев, один (а не несколько, записанных через точку с запятой), то это гарантирует нам, что в итоге выполнится ровно одна ветвь алгоритма.
Для того, чтобы не упустить из рассмотрения никаких случаев и не рассматривать несущественные случаи, нужно перебирать их не в случайном порядке, а по какой-либо стратегии. Сейчас мы рассмотрим одну из стратегий разбора случаев, которую условно можно назвать «Естественное возникновение». Её суть заключается в следующем: Изначально, мы решаем задачу так, будто бы никакого деления на случаи нет, а появляется оно лишь тогда, когда выполнить основной сценарий невозможно.
Рассмотрим следующий пример задачи:
Решить в целых числах линейное уравнение `ax=b`.
На вход программе здесь будут подаваться коэффициенты уравнения, а программа должна будет либо вычислить корень, либо вывести сообщение об особой ситуации (нет корней, бесконечно много корней и т. д.). Будем разбирать случаи согласно нашей стратегии. Сначала посмотрим, как мы в принципе решаем подобное уравнение. Для нахождения значения `x` нужно коэффициент `b` разделить на коэффициент `a`. Очевидно, что это невозможно сделать, если `a=0`. Поэтому первая проверка, которая делит всё множество случаев на две принципиально разные ветки: верно ли, что `a=0`? Если это так, то у нас получается уравнение `0x=b`, существование решений которого зависит от значения `b`. Если `b=0`, то решений бесконечно много, если же это не так, то решений нет вообще. Вернёмся к проверке коэффициента `a`. Если он не равен нулю, то это означает, что уравнение имеет единственное решение. Вопрос теперь в том, целое оно или нет. Поэтому здесь нужно будет проверить, что `b` нацело делится на `a` (остаток от деления должен быть равен нулю). Если это так, то находится единственное решение, если же нет, то целых решений у уравнения нет. Запишем теперь все наши рассуждения в виде программы:
var a,b:integer;
begin
readln(a,b);
if a=0
then if b=0
then writeln('many solutions')
else writeln('no solution')
else if b mod a = 0
then writeln( b div a)
else writeln('no solution')
end.
Мы видим, что программа получилось достаточно удобно читаемой и содержит только очень простые проверки (без логических связок). Простота проверок является одним из существенных достоинств используемой стратегии разбора случаев. К сожалению, это именно стратегия, а не алгоритм. Поэтому существует много задач, где такое рассуждение не сработает, однако рекомендуется взять данный метод на вооружение.
Теперь вам будут предложены контрольные вопросы и задачи. За каждый правильный ответ будут ставиться баллы. Максимальное количество баллов за задание указано в скобках после его номера. Если задание стоит более одного балла, то возможно получить частичный балл за частично верное решение. Имейте в виду, что более объёмные и сложные задания стоят дороже. Итоговая оценка будет определяться по сумме набранных баллов. Желаем успеха!
1.1 Алгоритмическая конструкция «Цикл»
Зачастую в задаче нужно повторять одни и те же действия много раз. Рассмотрим следующий пример: вывести на экран квадраты чисел от `1` до `100`.
Очевидно, что для решения этой задачи нам придётся `100` раз выполнять команду вывода соответствующего числа на экран. Писать `100` операторов вывода как-то не хочется (слишком трудоёмко), поэтому будем знакомиться с алгоритмической конструкцией, которая называется «цикл».
называется повторение фрагмента алгоритма несколько раз с возвратом в более раннюю точку исполнения алгоритма. Повторяемый при этом фрагмент алгоритма называется телом цикла.
Очевидно, что если возврат в более раннюю точку алгоритма происходит абсолютно всегда, то алгоритм никогда не доходит до своего завершения (выполняется бесконечно долго). Для предотвращения бесконечного повторения нужно поставить точку ветвления: в одной из веток будет возврат, а в другой - выход из цикла и дальнейшее продвижение по алгоритму.
В зависимости от положения точки ветвления выделяются циклы с предусловием (точка ветвления располагается перед телом цикла) и с постусловием (точка ветвления располагается после тела цикла).
1.2. Оператор while
В языке программирования есть несколько операторов цикла, реализующих как конструкцию с предусловием, так и конструкцию с постусловием. Познакомимся с ними.
Первый оператор цикла называется While и реализует алгоритмическую конструкцию с предусловием. В общем виде он записывается следующим образом:
while условие do оператор
Слова while и do являются служебными зарезервированными словами языка. Под условием (аналогично оператору if) понимается выражение, результат вычисления которого имеет тип boolean. Работает этот оператор следующим образом. Сначала вычисляется условие. Если в результате получилось true, то мы заходим в цикл, то есть выполняем тело цикла и возвращаемся вновь к вычислению условия. Если же получилось false, то происходит переход к следующему оператору в программы, и входа в цикл не будет. Фактически оператор while является многократным применением оператора if с пустой веткой else. Аналогично оператору if, тело цикла должно состоять из `1` оператора. Если нужно исполнить несколько, то следует использовать операторные скобки (begin end).
Возможна ситуация, когда цикл будет выполняться бесконечное количество раз (зациклится). Например, while 2*2=4 do… Что написать после do, совершенно не важно, важно, что оно будет выполняться, пока 2*2=4, а это всегда так, и никогда не изменится. Значит, чтобы избегать зацикливания, параметры условия должны быть переменными, например while x*x=4 do … Хотя это тоже не гарантирует отсутствие зацикливания. Поэтому при написании программ нужно всегда внимательно следить за тем, какие условия мы пишем в операторе цикла, чтобы не случилось ситуации зацикливания.
Также обратите внимание, что поскольку условие проверяется до входа в цикл, возможна ситуация, что при первой же проверке получится значение false и, соответственно, в цикл мы вообще не зайдём.
1.3. Примеры задач
Рассмотрим несколько примеров задач на оператор цикла.
Дано целое число, не меньшее `2`. Выведите его наименьший натуральный делитель, отличный от `1`.
Для решения этой задачи нам необходимо перебирать натуральные числа, начиная с двух и проверять каждое из них, не является ли оно делителем исходного числа. Процесс завершается, когда делитель найден. Очевидно, что процесс завершится всегда, поскольку в худшем случае число разделится само на себя. Приведём код программы.
var i,n:integer;
begin
readln(n);
i:=2;
while n mod i <> 0 do
i:=i+1;
end;
writeln (i);
end.
В первый день спортсмен пробежал `x` километров, а затем он каждый день увеличивал пробег на `10%` от предыдущего значения. По данному числу `y` определите номер дня, на который пробег спортсмена составит не менее `y` километров. Программа получает на вход действительные числа `x` и `y`. Программа должна вывести одно натуральное число.
В этой задаче нам нужно реализовать постепенное увеличение пробега. То есть, на каждом шаге цикла мы будем сохранять значение пробега в соответствующий день в одной переменной, а номер этого дня – в другой. Завершение, когда значение первой переменной станет не меньшим чем `y`. Приведём код программы. Все переменные, отвечающие за километры, имеют тип real (из условия).
var x,y:real; i:integer;
begin
readln(x,y);
i:=1;
while x<y do begin
x:=x/100*10+x;
i:=i+1;
end;
writeln(i);
end.
Дано натуральное число `N`. Вычислите его сумму цифр.
Для решения этой задачи на каждом шаге цикла нужно изменять наше число: при помощи операции mod можно выделить последнюю цифру из числа и прибавить её к сумме, а затем её надо выбросить из числа при помощи операции div. Делить нужно, естественно, на `10`. Критерий завершения – когда число станет равным нулю, ибо это будет означать, что мы уже рассмотрели все цифры и поделили на `10` однозначное число (по свойствам операции целочисленного деления известно, что при делении меньшего числа на большее получается ноль). Приведём код программы.
var a,n,s:integer;
begin
readln(n);
s:=0;
while n>0 do begin
a:=n mod 10;
s:=s+a;
n:=n div 10;
end;
writeln(s);
end.
Ввести целое число `n`. Вывести `"YES"`, если оно простое, и `"NO"`, если оно составное.
Эта задача демонстрирует сразу две важные вещи. Во-первых, как проверять делимость целых чисел, а во-вторых, технику флажков. Флажком называется переменная, которая имеет некоторое начальное значение и меняет его, если происходит определённое событие. Как правило, флажок имеет тип boolean.
В нашей задаче мы будем перебирать числа от `2` до квадратного корня из `n` и проверять, делится ли `n` на каждое из них. Изначально предположим, что `n` - простое, и присвоим флажку значение true, но если `n` поделится на какое-нибудь число, это будет значить, что оно составное, и, соответственно, флажок «упадёт» на значение false. Проверять на делимость нужно, сравнивая остаток от деления с нулём.
var n,i:integer;
f:boolean;
begin
readln(n);
f:=true;
for i:=2 to round(sqrt(n)) do
if n mod i = 0 then f:=false else;
if f=true
then writeln('YES')
else writeln('NO');
end.
1.4 Оператор repeat
Теперь познакомимся с другим оператором цикла, который реализует алгоритмическую конструкцию цикла с постусловием. Рассмотрим его синтаксис.
repeat
Оператор 1;
Оператор 2;
….
Оператор N
until условие
Все операторы, написанные между repeat и until, являются телом цикла. Это выгодно отличает оператор repeat от других циклов - составной оператор здесь не требуется, а операторными скобками можно считать слова repeat и until. Работает этот оператор по следующему алгоритму:
1) выполняется тело цикла;
2) вычисляется значение условия. Если получилось true, то выход из цикла и переход к следующему оператору программы, в противном случае переход к пункту 1.
Отличительная особенность оператора цикла repeat заключается в том, что тело всегда выполняется, по крайней мере, один раз. Это нужно учитывать в задачах при выборе оператора цикла. Аналогично оператору while, цикл repeat может зациклиться, правда в случае, когда условие никогда не принимает значение true, например, repeat…until 2*2=5.
Этот оператор цикла реализует следующую идею: «Повторять некоторую последовательность команд `N` раз, где `N` известно до начала повторения». Познакомимся с синтаксисом этого оператора.
for имя переменной := начальное значение to конечное значение do оператор
В этой конструкции переменная, стоящая после слова for, называется параметром или счётчиком цикла, а оператор, стоящий после слова do, называется телом цикла. Начальное и конечное значения, по сути, являются константами или выражениями одного типа со счётчиком. Алгоритм выполнения цикла for следующий:
1) вычисляются начальное и конечное значения;
2) счётчику цикла присваивается начальное значение;
3) значение счётчика сравнивается с конечным. Если оно больше ко-нечного, то выполнение цикла завершается и начинает выполняться следующий оператор программы, в противном случае переход к пункту 4;
4) выполняется тело цикла;
5) значение счётчика увеличивается на `1`;
6) переход к пункту 3.
В качестве примера рассмотрим решение задачи, поставленной в самом начале. В качестве счётчика будем использовать переменную i.
var i:integer;
begin
for i:=1 to 100 do write(i*i,' ');
end.
Согласитесь, что решение фактически в одну строчку выглядит гораздо приятнее, чем в `100` строк (если не пользоваться оператором цикла).
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу цикла for.
1) Типы счётчика начального и конечного значений должны совпадать, при этом в настоящий момент из известных нам типов можно использовать только integer и boolean. Вещественный тип использовать нельзя.
2) Начальное и конечное значения вычисляются один раз до начала цикла (и после не перевычисляются). Рассмотрим пример.
i:=1; for i:=i to i do writeln('HI');
Этот оператор цикла выполнится всего один раз, а не бесконечно много.
3) В теле цикла значение счётчика изменять нельзя. Так прописано в стандарте языка Pascal, и это требование поддерживается в системах семейства Delphi и PascalABC. Однако в системах семейства Borland Pascal значение счётчика изменять можно, что может приводить к непредсказуемым последствиям (поэтому будем считать, что независимо от системы значение счётчика изменять нельзя).
4) После завершения цикла значение счётчика не определено, то есть нельзя считать, что оно равно конечному значению или больше на единицу и пользоваться этим в дальнейшем алгоритме.
5) Тело цикла по грамматике должно состоять только из `1` оператора. Если же там по алгоритму должно быть несколько, нужно использовать составной оператор. В этом смысле оператор for солидарен с операторами if и while.
6) Можно слово to заменить на слово downto. В этом случае значение счётчика после каждого выполнения тела цикла будет уменьшаться на `1`, а выход из цикла произойдёт, когда значение счётчика окажется меньше, чем конечное.
Выполнение любого оператора цикла можно завершить досрочно, если использовать процедуру break. На данном этапе она особенно актуальна, если надо досрочно прервать цикл for. Выполнение этой процедуры передаст управление на оператор, который следует за прерываемым оператором цикла.
Проиллюстрируем её работу следующим примером:
вводится натуральное число `x` `(2 <= x <= 30000)`. Выведите наименьший делитель числа `x`, отличный от `1`.
Мы уже разбирали алгоритм решения этой задачи выше. Продемонстрируем его с использованием цикла for.
var a,i: integer;
begin
readln(a);
for i := 2 to a do
if a mod i = 0 then
begin
writeln(i);
break;
end;
end.
В данном классе формулировка всех задач начинается со слов: «Вводится последовательность чего-нибудь…». Для простоты будем считать, что чисел - с ними мы умеем работать, но в общем случае это необязательно так. Далее нам нужно оценить какое-то свойство данной последовательности. Например, сколько в ней нулей, является ли она возрастающей (каждое следующее число больше предыдущего) и т. д. Причём, для оценки данного свойства, сохранение всей последовательности в памяти не требуется.
Общий алгоритм решения задач этого класса таков: мы считываем очередной элемент последовательности, обрабатываем его так, как поставлено в задаче, и после про него забываем. Для реализации данного алгоритма нам придётся поместить оператор ввода внутрь цикла.
Рассмотрим стандартные шаблоны решения задач данного класса:
Количество элементов в последовательности известно заранее (`N`).
readln(N);
for j:=1 to N do begin
read(a);
{Содержательна обработка}
end;
Обращаем внимание, что внутрь оператора цикла обязательно помещается оператор read, а не readln. Дело в том, что, как правило, числа будут вводиться в строчку и оператор ввода будет на каждом шаге забирать из буфера по `1` числу. Оператор readln при этом ещё удаляет из буфера всё лишнее до конца строки, поэтому числа прочитаны не будут. Количество элементов последовательности, как правило, задаётся отдельным числом в первой строке, поэтому его логичнее читать оператором readln.
Рассмотрим примеры задач данного класса.
Вводится натуральное число `N`, а затем `N` натуральных чисел, сумму которых необходимо вычислить.
var i,N,a,s:integer;
begin
readln(N);
s:=0;
for i:=1 to N do begin
read(a);
s:=s+a;
end;
writeln(s)
end.
Вводится натуральное число `N`, а затем `N` целых чисел. Выведите `"YES"`, если среди введенных чисел есть хотя бы один ноль, или `"NO"` в противном случае.
var n,i,k,a,s:integer;
begin
s:=0;
readln(n);
for i:=1 to n do begin
read(a);
if a=0 then k:=k+1;
end;
if k<>0
then writeln('YES')
else writeln('NO')
end.
Теперь рассмотрим второй тип задач из класса «Обработка последовательностей», когда количество элементов неизвестно заранее, но известен признак конца.
Признак конца - это служебный элемент, который в саму последовательность не входит. При обработке числовых последовательностей чаще всего признаком конца является ноль (но может быть и любое другое число). Наиболее распространённая ошибка - обработать признак конца как содержательный элемент (например, при расчёте среднего арифметического элементов последовательности). Поэтому порядок действий должен быть таким:
1) Считывание
2) Проверка на признак конца
3) Содержательная обработка
За 3 пунктом алгоритм замыкается в цикл. Выход из цикла - на втором пункте, в случае положительного ответа. Соответственно, шаблон алгоритма должен отражать данную логику действий.
read(a);
while a<>0 do begin
{содержательная обработка};
read(a)
end;
В теле цикла оператор ввода ставится последним, чтобы следующим действием за вводом было вычисление условия цикла (то есть, проверка на признак конца).
Программа получает на вход последовательность целых неотрицательных чисел. Ноль - признак конца. Вывести количество членов последовательности (не считая завершающего числа `0`).
var a,k:integer;
begin
read(a);
k:=0;
while a<>0 do begin
k:=k+1;
read(a);
end;
writeln(k);
end.
Вводится последовательность целых чисел. Ноль - признак конца. Вывести, сколько элементов данной последовательности больше (строго) предыдущего элемента.
При решении этой задачи нам нужно будет сохранять в отдельную переменную значение предыдущего числа перед вводом нового. Приведём код программы.
var a,pr,k:integer;
begin
read(a);
pr:=a;
k:=0;
while a<>0 do begin
if (a > pr) then k:=k+1;
pr:=a;
read(a);
end;
writeln(k);
end.
Вводится последовательность натуральных чисел. Ноль - признак конца. Вывести значение максимального элемента.
Это очень важная эталонная задача, которую обязательно надо уметь решать. Для поиска максимума применяется следующая стратегия. Нужно каждый элемент сравнить с текущим значением максимума и, если элемент оказался больше, то обновить текущее значение максимума. Рассмотрим код программы.
var a,m:integer;
begin
read(a);
m:=a;
while a<>0 do begin
if (a > m) then m:=a;
read(a);
end;
writeln(m);
end.
При решении этой задачи ещё остался вопрос корректной инициализации. В общем случае есть два способа.
Первый вариант - в качестве начального значения максимума брать «минус бесконечность» (для минимума - плюс бесконечность). Под «минус бесконечностью» в данном случае понимается некое число, которое гарантированно меньше чем любой элемент, который может нам встретиться. Инициализация бесконечностью допустима, если мы заранее знаем диапазон элементов последовательности. Это её недостаток, зато она пишется в один оператор присваивания.
Второй вариант - в качестве начального значения брать первый подходящий элемент последовательности. В случае глобального максимума берётся просто первый элемент последовательности. Сложнее в ситуации, когда первый элемент может оказаться неподходящим.
Найти максимальный чётный элемент последовательности в предположении, что он существует.
var a,m:integer;
begin
read(a);
while (a<>0)and(a mod 2 <> 0) do read(a);
m:=a;
while a<>0 do begin
if (a mod 2 = 0)and(a>m) then m:=a;
read(a);
end;
writeln(m);
end.
Мы рады приветствовать вас на курсе Информатики. Данный курс рассчитан на три года обучения. Ориентировочно, это девятый, десятый и одиннадцатый классы средней школы. Поэтому в ходе изложения будут использоваться соответствующие знания из курсов математики.
Данный курс состоит из трёх больших частей, которые будут чередоваться по заданиям. Первая часть курса – теоретическая. В ней будут рассматриваться общие знания, которые необходимы любому человеку, собирающемуся связать свою жизнь с техническими специальностями. В частности, будут рассматриваться особенности представления информации различного вида (числовая, текстовая, графическая и т. д.), алгебра логики, математическая теория информации, теория алгоритмов и многое другое.
Вторая часть курса – программистская. В этой части мы будем рассматривать основные концепции языков программирования и учиться писать полноценные программы. Вас ждёт большое множес-тво задач самого разного вида. По завершении курса вы сможете не просто писать программы на одном языке программирования, но уже будете обладать достаточными знаниями, чтобы самостоятельно легко изучать другие языки.
Третья часть курса – технологическая. Здесь будут рассматриваться информационно-коммуникационные технологии. В частности, компьютерные сети, обработка баз данных, работа с электронными таблицами и т. д.
На первом году обучения теоретических заданий не будет, а основная масса будет посвящена программистской части курса. Основная цель первого года обучения – овладеть языком программирования как инструментом для дальнейшего использования. В качестве учебного языка программирования мы выберем язык Pascal. Тому есть несколько причин. Во-первых, этот язык изначально создавался для обучения программированию, и в нём нет большого количества сложных тонкостей, для понимания которых требуются глубокие специальные знания (как, например, в языках C/C++). Во-вторых, концептуально Pascal является каноническим языком процедурной парадигмы программирования, и после него можно очень легко переходить на любые другие языки.
Также нам будет интересно не просто решить конкретную задачу, а овладеть стратегиями для решения больших классов задач. Нужно будет научиться видеть общие моменты в предлагаемых задачах и сформировать определённые шаблоны для быстрого написания программ. Кроме того, особое внимание мы будем уделять красоте и эффективности алгоритмов.
Для выполнения заданий программистской части курса вам будет необходимо установить себе среду программирования, либо воспользоваться online-компилятором. Имейте в виду, что даже для языка Pascal различные среды программирования могут серьёзно различаться (например, free pascal и Pascal ABC.NET). Мы будем обращать внимание на данные различия по ходу изложения материала.
В рамках первого задания мы будем изучать основы языка программирования и особенности выполнения арифметических операций.
Основой изучения курса химии является атомно-молекулярная теория. Вещества состоят из молекул, а молекулы - из атомов. Атомы чрезвычайно малы и на кончике иглы помещаются миллиарды атомов. Тем не менее, наука достигла такого уровня, что различает атомы по размерам, массе и свойствам. В настоящее время различают 109 видов атомов, из которых состоят все вещества.
Химический элемент - это определенный вид атомов.
Каждый химический элемент имеет три формы существования - свободные атомы, простые вещества и сложные вещества. Атомы могут существовать изолированно друг от друга в виде свободных атомов, а могут объединяться друг с другом в молекулы. Если соединяются одинаковые атомы, то образуются простые вещества, если же разные - то сложные вещества.
Например, водород, на Солнце существует поодиночке, т. е. в виде изолированных атомов из-за высокой температуры. А на Земле - в молекулярном виде, два атома водорода соединяются друг с другом, и образуется простое вещество - водород, который является самым легким газом. Но элемент водород способен соединяться не только друг с другом, но и с другими атомами. Если два атома водорода соединяются с одним атомом кислорода, то получается молекула воды. Например, кварц состоит из атомов кислорода и кремния, негашеная известь - из атомов кальция и кислорода.
Свободные (изолированные атомы) - водород (на Солнце), инертные газы (на Земле), при очень высоких температурах - атомы всех химических элементов.
Простые вещества - водород, кислород, медь, железо, сера, золото, серебро.
Сложные вещества - вода, сахар, углекислый газ, соль.
Атомы имеют ничтожно малые размеры, следовательно, возникает необходимость выбора эталона атомной массы. Как известно, исторический путь выбора установления атомных масс был не простым и не прямым. Ученые на протяжении многих веков занимались этим вопросом. Массы атомов так малы, что даже на самых точных аналитических весах такую массу взвесить невозможно. Можно только установить относительные массы. В связи с этим возникает необходимость выбрать особую единицу измерения массы, особый эталон. В качестве первого эталона была выбрана масса атома водорода.
С помощью химического анализа Ж. Гей-Люссак установил, что в воде на `12,06` г водорода приходится `87,4` г кислорода. Какой вывод об относительной массе атомов кислорода вы сделали бы из полученных данных?
Из данных задачи можно рассчитать, во сколько раз масса атома кислорода больше массы атомов водорода:
`(m("O"))/(m("H"))=(8,74)/(12,06)=7,25`.
В современной науке (с 1961 года) за единицу атомной массы принята а. е .м., составляющая `1//12` часть массы атома изотопа углерода $$ {}^{12}\mathrm{C}$$.
Относительной атомной массой элемента называется отношение его массы к атомной единице массы и обозначается `A_r`.
Отсюда можно рассчитать относительную атомную массу, например, водорода:
`(A_r("H")=1,674*10^(-27) "кг")/(1//12*1,993*10^(-26) "кг")=1,0079`.
Атомную массу чрезвычайно редко измеряют в граммах, поэтому часто слово «относительная» опускают.
Под классификацией понимают объединение разнообразных и многочисленных соединений в определенные группы или классы, обладающие сходными свойствами. С проблемой классификации тесно связана проблема номенклатуры, т. е. системы названий этих соединений. Индивидуальные химические вещества принято делить на две группы: немногочисленную группу простых веществ (с учётом аллотропных модификаций насчитывают около `400`) и очень многочисленную группу сложных веществ.
Сложные вещества обычно подразделяют на четыре важнейших класса: оксиды, основания (гидроксиды), кислоты, соли.
Перед подробным изучением каждого класса неорганических соединений рассмотрим схему, отражающую генетическую связь между классами соединений.
В верхней части схемы помещены две группы простых веществ - металлы и неметаллы, а также водород, строение атома которого отличается от строения атомов других элементов. На валентном слое атома водорода находится один электрон, как у щелочных металлов; в то же время до заполнения электронного слоя оболочки ближайшего инертного газа - гелия - ему недостает также одного электрона, что роднит его с галогенами.
Волнистая черта отделяет простые вещества от сложных. Она символизирует пересечение этой границы, т. е. любая реакция простых веществ со сложными будет обязательно затрагивать валентные оболочки атомов в простых веществах, следовательно, любая реакция с участием простых веществ будет окислительно-восстановительной.
В левой части схемы под металлами помещены их типичные соединения - основные оксиды и основания, в правой части схемы помещены соединения, типичные для неметаллов - кислотные оксиды и кислоты. Водород, помещённый в верхней части схемы, даёт очень специфический, идеально амфотерный оксид - воду, которая в комбинации с основным оксидом даёт основание, а с кислотным - кислоту. Водород в сочетании с неметаллами образует бескислородные кислоты. В нижней части схемы помещены соли, которые, с одной стороны, отвечают соединению металла с неметаллом, а с другой - комбинации основного оксида с кислотным оксидом.
Рассмотрим подробнее отдельные классы неорганических соединений.
называются соединения, состоящие из двух элементов, одним из которых является кислород со степенью окисления `(– 2)`.
Многие элементы проявляют переменную валентность и дают оксиды различного состава, что учитывается по международной номенклатуре с указанием степени окисления элемента римскими цифрами, например, `"SO"_3` - оксид серы (VI), `"SO"_2` - оксид серы (IV).
Можно представить следующую схему:
Название оксида `=` «Оксид» `+` название элемента в род. падеже `+` (валентность римскими цифрами).
По своим химическим свойствам все оксиды подразделяются на солеобразующие и несолеобразующие. Солеобразующие оксиды принято делить на три основные группы: основные, амфотерные и кислотные.
Основные оксиды образованы металлами со степенью окисления `+1` и `+2` (`"Na"_2"O"`, `"CaO"`, `"CuO"`, `"FeO"` и т. д.). Исключение из II группы составляют `bb("BeO", "ZnO", "PbO")`, которые относятся к группе амфотерных оксидов.
Амфотерные оксиды образуют металлы со степенью окисления `+3`, `+4`. К ним относятся `"Al"_2"O"_3`, `"Cr"_2"O"_3`, `"TiO"_2`, `"Fe"_2"O"_3`, `"MnO"_2` `"PbO"_2`, а также оксиды металлов со степень окисления `+2:` `"BeO"`, `"ZnO"`, `"PbO"`.
Группа кислотных оксидов может быть образована как металлами со степенью окисления `+5` и выше, например, `"CrO"_3`, `"Mn"_2"O"_7`, `"V"_2"O"_5`, так и неметаллами (`"CO"_2`, `"SO"_3`, `"SO"_2`, `"N"_2"O"_3`, `"NO"_2`, `"N"_2"O"_5`, `"Cl"_2"O"_7` и т. д.).
Несолебразующими (индифферентными, безразличными) оксидами являются `bb("CO", "SiO", "N"_2"O", "NO")`.
Получение основных оксидов
`2"Mg"+"O"_2 → 2"MgO"`;
`"S"+"O"_2 → "SO"_2`.
Этот метод практически не применим для щелочных металлов, которые при окислении обычно дают пероксиды, поэтому оксиды натрия и калия крайне труднодоступны.
`2"CuS"+3"O"_2 -> 2"CuO"+2"SO"_2`;
`4"FeS"_2+11"O"_2 -> 2"Fe"_2"O"_3+8"SO"_2`.
Метод не применим для сульфидов активных металлов, окисляющихся до сульфатов.
`2"CO"+"O"_2 ->2"CO"_2`
`2"H"_2"S"+3"O"_2 -> 2"SO"_2+2"H"_2"O"`.
а) разложение нерастворимых гидроксидов:
нерастворимые основания при нагревании разлагаются на соответствующий оксид и воду:
$$ \mathrm{Cu}{\left(\mathrm{OH}\right)}_{2}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }\mathrm{CuO}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
Этим методом нельзя получить гидроксиды щелочных металлов.
б) разложение солей кислородсодержащих кислот:
карбонаты щелочноземельных металлов и магния разлагаются на соответствующие основный и кислотный оксиды:
$$ {\mathrm{BaCO}}_{3}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }\mathrm{BaO}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow $$.
Ниже приведены уравнения реакций разложения карбоната аммония и карбоната серебра:
$$ {\left({\mathrm{NH}}_{4}\right)}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}\stackrel{t°\mathrm{C}}{\to }2{\mathrm{NH}}_{3}\uparrow +{\mathrm{CO}}_{2}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ 2{\mathrm{Ag}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}\stackrel{t°\mathrm{C}}{\to }4\mathrm{Ag}\downarrow +2{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$.
Карбонаты щелочных металлов плавятся без разложения, исключение составляет карбонат лития :
$$ {\mathrm{Li}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }{\mathrm{Li}}_{2}\mathrm{O}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow $$.
гидрокарбонаты разлагаются на карбонат, воду и углекислый газ.
$$ 2{\mathrm{NaHCO}}_{3}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }{\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} + {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
разложение нитратов металлов определяется положением металла в электрохимическом ряду напряжений металлов:
$$ 2{\mathrm{KNO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }2{\mathrm{KNO}}_{2} + {\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$
(если металл в ряду напряжения стоит до магния),
$$ 2\mathrm{Pb}({\mathrm{NO}}_{3}{)}_{2} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 2\mathrm{PbO} + 4{\mathrm{NO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$
(если металл в ряду напряжения стоит от магния до меди включительно),
$$ 2{\mathrm{AgNO}}_{3}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 2\mathrm{Ag} + 2{\mathrm{NO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$
(если металл в ряду напряжения стоит после меди).
ВНИМАНИЕ!!!
$$ {\mathrm{NH}}_{4}{\mathrm{NO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{N}}_{2}\mathrm{O}\uparrow + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ 4{\mathrm{LiNO}}_{3}\stackrel{t°\mathrm{C}}{\to }2\mathrm{LiO}+4{\mathrm{NO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$;
$$ 4\mathrm{Fe}{\left({\mathrm{NO}}_{3}\right)}_{2}\stackrel{t°\mathrm{C}}{\to }2{\mathrm{Fe}}_{2}{\mathrm{O}}_{3}+8{\mathrm{NO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$;
$$ \mathrm{Mn}{\left({\mathrm{NO}}_{3}\right)}_{2}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }{\mathrm{MnO}}_{2}\downarrow +2{\mathrm{NO}}_{2}\uparrow $$.
$$ (\mathrm{ZnOH}{)}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 2\mathrm{ZnO} + {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
в) разложение кислородсодержащих кислот:
`"H"_2"SO"_3 → "SO"_2 + "H"_2"O"`.
г) обработка солей растворами кислот:
`"K"_2"Cr"_2"O"_7 + "H"_2"SO"_4 →2"CrO"_3+"K"_2"SO"_4+"H"_2"O"`,
`"Na"_2"SiO"_3+2"HCl" -> 2"NaCl"+"SiO"_2+"H"_2"O"`.
`2"Al"+"Fe"_2"O"_3 ->2"Fe"+"Al"_2"O"_3`;
`"Cu"+4"HNO"_(3("конц")) -> "Cu (NO"_3)_2+2"NO"_2uarr+2"H"_2"O"`,
`"C"+4"HNO"_(3("конц")) -> "CO"_2+4"NO"_2uarr+2"H"_2"O"`.
Химические свойства основных оксидов
Основные оксиды при нагревании могут вступать в реакции с кислотными и амфотерными оксидами, амфотерными гидроксидами, с кислотами.
1. С водой способны реагировать только основные оксиды (`"Li"_2"O"`, `"Na"_2"O"`, `"K"_2"O"`, `"Rb"_2"O"`, `"Cs"_2"O"`, `"BaO"`, `"CaO"`, `"SrO"`), которым соответствуют щелочи. Оксиды остальных металлов с водой практически не реагируют.
`"CaO" + "H"_2"O" → "Ca(OH")_2`;
$$ \mathrm{MgO}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }\mathrm{Mg}{\left(\mathrm{OH}\right)}_{2}$$.
2. Взаимодействие с кислотами:
`"ZnO" + "H"_2"SO"_4 -> "Zn""SO"_4 + "H"_2"O"`.
3. Взаимодействие с кислотными и амфотерными оксидами, амфотерными гидроксидами:
`"BaO"+"SiO"_2 ->"BaSiO"_3`;
`"CuO"+"N"_2"O"_5 -> "Cu(NO"_3)_2`;
`"MgO"+"Al"_2"O"_3 -> "Mg(AlO"_2)_2`:
`"K"_2"O"+"ZnO" -> "K"_2"ZnO"_2`;
`"Na"_2"O"+2"Al(OH")_3 -> 2"NaAlO"_2+3"H"_2"O"`.
4. Как и другие типы оксидов, основные оксиды могут вступать в окислительно-восстановительные реакции:
$$ {\mathrm{Fe}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + 2\mathrm{Al}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{Al}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + 2\mathrm{Fe}$$;
$$ 3\mathrm{CuO} + 2{\mathrm{NH}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 3\mathrm{Cu} +{\mathrm{N}}_{2}\uparrow +3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
5. Под действием окислителей некоторые основные оксиды (в которых металлы способны повышать степень окисления) могут выступать в качестве восстановителей:
`4"FeO"+"O"_2->2"Fe"_2"O"_3`.
Кислотные оксиды − оксиды неметаллов и оксиды переходных металлов, обычно в степенях окисления `+5, +6, +7` `("P"_2"O"_5, "CrO"_3, "Mn"_2"O"_7)`.
Большинство кислотных оксидов непосредственно взаимодействуют с водой с образованием кислот (исключение `"SiO"_2`):
`"P"_2"O"_5+3"H"_2"O" -> 2"H"_3"PO"_4`;
Оксиды, которым соответствуют неустойчивые кислоты, реагируют с водой обратимо и в очень малой степени.
$$ {\mathrm{CO}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\rightleftarrows {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}$$;
$$ {\mathrm{SO}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\rightleftarrows {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{3}$$.
Азот в оксидах способен проявлять в соединениях степени окисления `+1`, `+2`, `+3`, `+4`, `+5`. Оксиды `"N"_2"O"` и `"NO"` является несолеобразующими оксидами, оксиды `"N"_2"O"_3` и `"N"_2"O"_5` являются кислотными оксидами, которым соответствуют азотистая и азотная кислота соответственно:
$$ {\mathrm{N}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to 2{\mathrm{HNO}}_{2}$$;
$$ {\mathrm{N}}_{2}{\mathrm{O}}_{5} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to 2{\mathrm{HNO}}_{3}$$.
Оксид `"NO"_2` является кислотным оксидом, которому соответствуют сразу две кислоты:
$$ 2{\mathrm{NO}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to {\mathrm{HNO}}_{2} + {\mathrm{HNO}}_{3} $$.
Наряду с современной номенклатурой для кислотных оксидов до сих пор широко используется старинная система названий как ангидридов кислот – продуктов отщепления воды от соответствующих кислот. Например, `"SO"_3` – ангидрид серной кислоты, `"SO"_2` – ангидрид сернистой кислоты. Наиболее типичными для кислотных оксидов являются их реакции с основными и амфотерными оксидами, амфотерными гидроксидами, щелочами:
$$ {\mathrm{SO}}_{3} + \mathrm{CuO} \to {\mathrm{CuSO}}_{4}$$;
$$ {\mathrm{SO}}_{3} + {\mathrm{Na}}_{2}\mathrm{O} \to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}$$.
$$ {\mathrm{P}}_{2}{\mathrm{O}}_{5}+ {\mathrm{Al}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 2{\mathrm{AlPO}}_{4}$$;
$$ 3{\mathrm{SO}}_{3} + 2\mathrm{Al}(\mathrm{OH}{)}_{3} \to {\mathrm{Al}}_{2}({\mathrm{SO}}_{4}{)}_{3} +3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
$$ \mathrm{Ca}(\mathrm{OH}{)}_{2} + {\mathrm{CO}}_{2} \to {\mathrm{CaCO}}_{3} \downarrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ {\mathrm{SO}}_{3} + 2\mathrm{NaOH} \to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ {\mathrm{SO}}_{3} + \mathrm{NaOH} \to {\mathrm{NaHSO}}_{4}$$.
Кислотные оксиды слабых кислот взаимодействуют только с сильными основаниями (щелочами) и их оксидами:
$$ {\mathrm{Na}}_{2}\mathrm{O}+{\mathrm{CO}}_{2}\to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}$$;
`"CuO"+"CO"_2`$$ \overline{)\to }$$.
Выше упоминалось, что кислотные оксиды могут вступать в многочисленные окислительно-восстановительные реакции, например:
$$ {\mathrm{CO}}_{2} + \mathrm{C} \to 2\mathrm{CO}\uparrow $$;
$$ {\mathrm{SO}}_{2} + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{S} \to 3\mathrm{S}\downarrow + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
В состав амфотерного окcида входит элемент, который обладает амфотерными свойствами. Под амфотерностью понимают способность соединений проявлять в зависимости от условий кислотные и основные свойства. Например, оксид цинка `"ZnO"` может быть как основанием, так и кислотой (`"Zn"("OH")_2` и `"H"_2"ZnO"_2`). Амфотерность выражается в том, что в зависимости от условий амфотерные оксиды проявляют либо осно́вные, либо кислотные свойства:
$$ \mathrm{ZnO} + {\mathrm{CO}}_{2} \to {\mathrm{ZnCO}}_{3}$$;
$$ \mathrm{ZnO} + {\mathrm{Na}}_{2}\mathrm{O} \to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{ZnO}}_{2}$$;
$$ \mathrm{ZnO} + 2{\mathrm{NaOH}}_{\left(\mathrm{расплав}\right)} \to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{ZnO}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ \mathrm{ZnO} + 2\mathrm{NaOH} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to {\mathrm{Na}}_{2}[\mathrm{Zn} (\mathrm{OH}{)}_{4}]$$;
$$ \mathrm{ZnO} + 2\mathrm{HCl} \to {\mathrm{ZnCl}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
Оксиды взаимодействуют с водой, если в результате реакции образуются растворимые гидроксиды (щёлочи).
Все амфотерные гидроксиды являются осадками, поэтому амфотерные оксиды в реакцию с водой не вступают.
Гидроксиды металлов принято делить на две группы: растворимые в воде (образованные щелочными и щелочно-земельными металлами) и нерастворимыми в воде. Основное различие между ними заключается в том, что концентрация ионов `"OH"^-` в растворах щелочей достаточно высока, для нерастворимых же оснований она определяется раство-римостью вещества и обычно очень мала. Тем не мене небольшие равновесные концентрации ионов `"OH"^-` даже в растворах нерастворимых оснований определяют свойства этого класса соединений.
Классификация оснований
|
Признак классификации |
Тип оснований |
Примеры |
|
Число гидроксогрупп в молекуле |
Однокислотные |
`"NaOH", "KOH", "NH"_4"OH"` |
|
Двухкислотные |
`"Ca(OH")_2, "Fe(OH")_2` |
|
|
Трехкислотные |
`"Mn(OH")_3, "Co(OH")_3` |
|
|
Растворимость в воде и степень диссоциации |
Растворимые в воде сильные основания (щёлочи) |
`"LiOH", "NaOH", "KOH", "Ca(OH")_2, "Ba(OH")_2` |
|
Нерастворимые в воде, слабые основания |
`"Fe(OH)"_2, "Fe(OH)"_3, "Cu(OH)"_2` |
1. Взаимодействие щелочных и щелочно-земельных металлов с водой:
$$ 2\mathrm{Li} + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to 2\mathrm{LiOH} + {\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$,
$$ \mathrm{Ca} + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to \mathrm{Ca}(\mathrm{OH}{)}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$.
2. С водой способны реагировать только основные оксиды `("Li"_2"O"`, `"Na"_2"O"`, `"K"_2"O"`, `"Rb"_2"O"`, `"Cs"_2"O"`, `"BaO"`, `"CaO"`, `"SrO")`, которым соответствуют щёлочи. Оксиды остальных металлов с водой практически не реагируют.
$$ \mathrm{SrO} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to \mathrm{Sr}(\mathrm{OH}{)}_{2}$$,
$$ \mathrm{MgO} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }\mathrm{Mg}(\mathrm{OH}{)}_{2}$$.
3. Взаимодействие щелочей с растворимыми солями, если в результате образуется нерастворимое вещество:
`"K"_2"CO"_3+"Ca(OH")_2->2"KOH"+"CaCO"_3darr`.
`"CuSO"_4+2"KOH" -> "Cu"("OH")_2 darr + "K"_2"SO"_4`.
4. Электролиз водных растворов щелочей:
$$ 2\mathrm{NaCl} + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\stackrel{\mathrm{эл}.\mathrm{ток}}{\to }2\mathrm{NaOH} + {\mathrm{H}}_{2}\uparrow +{\mathrm{Cl}}_{2}\uparrow $$.
5. Гидролиз солей:
`"NiCl"_2+2"H"_2"O"->"Ni(OH")_2+2"HCl"uarr`.
Химические свойства оснований и амфотерных гидроксидов
Все нерастворимые в воде основания при нагревании разлагаются с образованием оксидов:
$$ 2\mathrm{Fe}(\mathrm{OH}{)}_{3}\stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{Fe}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + 3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
Наиболее характерной реакцией оснований является их взаимодействие с кислотами – реакция нейтрализации. В нее вступают как щелочи, так и нерастворимые основания, а также амфотерные гидроксиды:
`"Cu(OH)"_2+"H"_2"SO"_4 -> "CuSO"_4+2"H"_2"O"`.
Амфотерные гидроксиды реагируют со щелочами при сплавлении с образование солей:
$$ \mathrm{Al}(\mathrm{OH}{)}_{3} + \mathrm{NaOH} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{NaAlO}}_{2} + 2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
`2"Al"("OH")_3+3"H"_2"SO"_4 -> "Al"_2("SO"_4)_3+6"H"_2"O"`.
Гидроксид алюминия растворяется в щелочах, но не растворяется в растворе аммиака.
Амфотерные гидроксиды реагируют со щелочами при сплавлении с образование солей:
;
Однако, взаимодействие амфотерных гидроксидов с водными растворами щелочей приводит к образованию комплексных соединений:
`"Zn(OH)"_2+2"NaOH"->"Na"_2["Zn(OH)"_4]`;
Правильнее: `2"NaOH"+"ZnO"+"H"_2"O"->"Na"_2"[Zn(OH)"_4]`;
Гидроксид цинка растворяется как в щелочах, так и в растворе аммиака:
Гидроксид меди (II) не реагирует со щелочами, но растворяется в растворе аммиака:
`"Cu"("OH")_2+4"NH"_3 -> ["Cu"("NH"_3)_4]("OH")_2`.
Гидроксид магния не реагирует ни со щелочами, ни с аммиаком, но растворяется в растворе хлорида аммония:
`"Mg"("OH")_2+2"NH"_4"Cl"->"MgCl"_2+2"NH"_3 uarr +2"H"_2"O"`.
1. Щелочь `+` кислотный оксид `->`соль `+` вода;
`"Ba(OH)"_2+"N"_2"O"_5 ->"Ba(NO"_3)_2+"H"_2"O"`
`"Ca(OH)"_2+2"CO"_2->"Ca(HCO"_3)_2`;
`"Ca(OH)"_2+"CO"_2 ->"CaCO"_3darr+"H"_2"O"`
2. Щелочь + амфотерный оксид → соль + вода;
`2"NaOH"+"ZnO"->"Na"_2"ZnO"_2+"H"_2"O"`;
3. Щелочь `+` кислота `->` соль `+` вода;
`3"KON"+"H"_3"PO"_4->"K"_3"PO"_4+3"H"_2"O"`;
`"Ba(OH)"_2+2"HNO"_3->"Ba(NO"_3)_2+2"H"_2"O"`;
4. Щелочь `+` амфотерный гидроксид `->` комплексная соль (существует в водном растворе) ;
`2"NaOH"+"Zn(OH)"_2`$$ \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }$$`"Na"_2["Zn(OH)"_4]`;
$$ \mathrm{NaOH} + \mathrm{Al}(\mathrm{OH}{)}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } \mathrm{Na}[\mathrm{Al}\left(\mathrm{OH}{)}_{4}\right]$$.
5. Щелочь `+` растворимая соль `->` нерастворимое основание `+` соль;
`"Ca(OH")_2 + "Cu(NO"_3)_2 → "Cu(OH)"_2↓ +" Ca(NO"_3)_2`;
`3"KOH" + "FeCl"_3 → "Fe(OH)"_3↓ + 3"KCl"`;
6. Щелочь `+` металл `+` вода `->` соль `+` водород;
`2"NaOH" +"Zn" + 2"H"_2"O" → "Na"_2["Zn(OH")_4] + "H"_2↑`;
`2"KOH" + 2"Al" + 6"H"_2"O" → 2"K"["Al(OH)"_4] + 3"H"_2↑`.
Необходимо подчеркнуть способность растворов щелочей реагировать с галогенами, например, хлором:
`2"NaOH" + "Cl"_2 → "NaCl" + "NaClO" + "H"_2"O"` (на холоду);
`6"KOH" + 3"Cl"_2` $$ \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to }$$ `5"KCl" +"KClO"_3 + 3"H"_2"O"`.
Согласно протонной теории кислот и оснований, предложенной И. Бренстедом, кислотой называют вещество, отщепляющее протоны при данной температуре, а основанием – вещество, способное принимать протоны. Любая реакция отщепления протона выражается уравнением:
$$ \mathrm{кислота} \rightleftarrows \mathrm{основание} + {\mathrm{Н}}^{+}$$
На базе таких представлений понятным становятся основные свойства аммиака, который за счёт неподелённой пары электронов атома азота эффективно принимает протон при взаимодействии с кислотами, образуя за счёт связи по донорно-акцепторному механизму ион аммония:
$$ \underset{\mathrm{Кисл}.}{{\mathrm{HNO}}_{3}} + \underset{\mathrm{Осн}.}{{\mathrm{NH}}_{3}} \to \underset{\mathrm{Кисл}.}{{\mathrm{NH}}_{4}^{+}} + \underset{\mathrm{Осн}.}{{\mathrm{NO}}_{3}^{-}}$$
Возможно и ещё более общее определение кислот и оснований.
Г. Льюис предположил, что кислотно-основные взаимодействия совсем необязательно происходят с переносом протонов. В определении кислот и оснований по Льюису основная роль отводится участию электронных пар в химическом взаимодействии.
Катионы, анионы, нейтральные молекулы, способные принять одну или несколько пар электронов, называют кислотами Льюиса.
Катионы, анионы, нейтральные молекулы, способные отдавать электронные пары, называют основаниями Льюиса.
В таблице сопоставлены различные определения кислот и оснований, используемые в настоящее время при решении физико-химических задач.
Сопоставление определений кислот и оснований
|
Класс веществ |
Определение кислот и оснований |
||
|
По Аррениусу |
По Бренстеду-Лоури |
По Льюису |
|
|
кислоты |
отдают `"Н"^+` |
отдают `"Н"^+` |
принимают электронные пары |
|
основания |
отдают `"OН"^-` |
принимают `"Н"^+` |
отдают электронные пары |
Номенклатура кислот
|
Случай |
Правила составления названия |
Пример |
|
Бескислородная кислота |
К названию неметалла с окончанием -о добавляется слово водородная |
`"H"_2"S"` - сероводородная кислота `"HCl"` - хлороводородная кислота |
|
Кислородсодержащая: степень окисления соответствует номеру группу |
Суффикс -ная, или -вая |
`"HNO"_3` - азотная кислота `"H"_2"SiO"_3` - кремниевая кислота `"HClO"_4` - хлорная кислота |
|
Кислородсодержащая: степень окисления ниже максимальной |
Суффиксы -оватая, -истая, -оватистая |
`"HClO"_3` - хлорноватая кислота `"HClO"_2` - хлористая кислота `"HClO"` - хлорноватистая кислота |
|
Элемент в одной и той же степени окисления образует несколько кислородсодержащих кислот |
К названию кислоты с меньшим содержанием кислородсодержащих атомов добавляется префикс мета-: с большим - префикс орто- |
`"H"_2"SiO"_3` - метакремниевая кислота `"H"_4"SiO"_4` - ортокремниевая кислота |
Классификация кислот
|
Признак классификации |
Тип кислот |
Примеры |
|
Число атомов водорода в молекуле |
Одноосновные |
`"HCl"`, `"HClO"_3`, `"HNO"_3` |
|
Двухосновные |
`"H"_2"S"`, `"H"_2"SO"_4`, `"H"_2"SiO"_3` |
|
|
Трёхосновные |
`"H"_3"PO"_4`, `"H"_3"AsO"_4` |
|
|
Четырёхосновные |
`"H"_4"P"_2"O"_7` |
|
|
Содержание атомов кислорода в молекуле |
Бескислородные |
`"HI"`, `"HBr"` |
|
Кислородсодержащие |
`"H"_2"SO"_4`, `"HClO"_4` |
|
|
Агрегатное состояние
|
Растворы газов в воде |
`"HF"`, `"HCl"`, `"H"_2"S"`, `"H"_2"CO"_3` |
|
Жидкие |
`"HNO"_3`, `"H"_2"SO"_4` |
|
|
Твёрдые |
`"H"_3"BO"_3`, `"H"_2"SiO"_3` |
1. Бескислородные кислоты могут быть получены при непосредственном соединении неметаллов с водородом:
`"H"_2+"Cl"_2->2"HCl"`.
2. Кислородсодержащие кислоты могут быть получены при взаимодей-ствии кислотных оксидов с водой
`"SO"_3+"H"_2"O"->"H"_2"SO"_4`.
3. Как бескислородные, так и кислородсодержащие кислоты можно получить по реакциям обмена между солями и другими кислотами:
`"BaBr"_2+"H"_2"SO"_4->"BaSO"_4darr+2"HBr"`;
`"CuSO"_4+"H"_2"S"->"CuS"darr+"H"_2"SO"_4`.
Химические свойства кислот можно разделить на две группы: общие для всех кислот реакции, связанные с наличием в их растворах иона `"Н"^+` (иона гидроксония `"H"_3"O"^+`), и специфические, т. е. характерные только для конкретных кислот.
Ион водорода может, с одной стороны, вступать в окислительно-восстановительные реакции, восстанавливаясь до водорода, а с другой стороны – вступать в реакции соединения с отрицательно заряженными или нейтральными частицами, имеющими неподелённые пары электронов (кислотно-основное взаимодействие).
1. К первому типу превращений кислот относится реакция кислот с активными металлами, стоящими в ряду напряжений до водорода c выделением водорода (кроме азотной кислоты, в этом случае выделяются продукты восстановления азота), например:
`"Zn" + 2"HCl"->"ZnCl"_2 +"H"_2`;
`"Zn" + "2H"^+ -> "Zn"^(2+) + "H"_2uarr`.
`"Fe"+"H"_2"SO"_(4 ("разб".)) -> "FeSO"_4 + "H"_2uarr`.
`"HCl"+"Cu"`;
`4"HNO"_(3("конц".)) + "Cu" ->"Cu"("NO"_3 )_2 +2 "NO"_2uarr +2 "H"_2"O"`.
2. Кислота `+` основный оксид `->` соль `+` вода;
`2"HNO"_3 + "CuO"->"Cu(NO"_3)_2 + "H"_2"O"`.
3. Кислота `+` амфотерный оксид `->` соль `+` вода;
`3"H"_2"SO"_4 + "Cr"_2"O"_3 -> "Cr"_2("SO"_4)_3 + 3"H"_2"O"`;
`2"HBr" + "ZnO" -> "ZnBr"_2 + "H"_2"O"`.
4. Кислота`+` щелочь `->` соль `+` вода (реакция нейтрализации);
`"H"_2"SO"_4 + 2"KOH" -> "K"_2"SO"_4 + 2"H"_2"O"`.
5. Кислота `+` основание `->` соль `+` вода;
`2"HBr" + "Ni(OH")_2 -> "NiBr"_2 + 2"H"_2"O"`.
6. Кислота`+` амфотерный гидроксид `->` соль `+` вода;
`3"HCl" + "Cr(OH")_3 ->"CrCl"_3 + 3"H"_2"O"`;
`2"HNO"_3 + "Zn(OH")_2 -> "Zn(NO"_3)_2 + 2"H"_2"O"`.
7. Взаимодействие кислот со средними солями протекает при условии, что результатом данного взаимодействия будет либо выпадение осадка, либо выделение газа:
`2"HBr" + "CaCO"_3 -> "CaBr"_2 + "H"_2"O" + "CO"_2uarr`;
`"BaCl"_2+ "H"_2"SO"_4 -> "BaSO"_4darr + 2"HCl"`.
8. Некоторые кислоты способны разлагаться при нагревании:
$$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SiO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{SiO}}_{2}\downarrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{SO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
9. Специфические свойства кислот связаны, в первую очередь, с окислительно-восстановительными реакциями.
Бескислородные кислоты в водном растворе могут только окисляться:
`2"KMnO"_4 + 16"HCl"->5"Cl"_2uarr +2"KCl" + 2"MnCl"_2 + 8"H"_2"O"`;
`"H"_2"S" +"Br"_2 -> "S"darr + 2"HBr"`.
Кислородсодержащие кислоты могут окисляться, только когда центральный атом в них находится в промежуточной степени окисления, как, например, в сернистой кислоте:
`"H"_2"SO"_3 + "Cl"_2+ "H"_2"O" -> "H"_2"SO"_4 + 2"HCl"`.
Многие кислородсодержащие кислоты, в которых центральный атом имеет максимальную степень окисления, проявляют свойства сильных окислителей (`"H"_2"SO"_4` является сильным окислителем только при высокой концентрации):
`"Cu" + 2"H"_2"SO"_(4 "конц") -> "CuSO"_4 + "SO"_2uarr + 2"H"_2"O"`;
`"C"+2"H"_2"SO"_(4 "конц") -> "CO"_2uarr + 2"SO"_2uarr + 2"H"_2"O"`;
`"P" + 5"HNO"_(3 "конц") -> "H"_3"PO"_4 + 5"NO"_2uarr + "H"_2"O"`;
`"S"+6"HNO"_(3 "конц") -> "H"_2"SO"_4+6"NO"_2 uarr+2"H"_2"O"`;
`"S"+2"H"_2"SO"_(4 "конц") -> 3"SO"_2 uarr +2"H"_2"O"`.
сложные вещества, состоящие из атомов металлов (катионов) и анионов кислотного остатка. Соли по составу похожи на кислоты, только вместо ионов водорода содержат ионы металлов. Поэтому соли можно назвать продуктами замещения атомов водорода в кислоте на атом металла.
Соли принято делить на три группы: средние, кислые и основные.
продукты полного замещения атомов водорода в кислоте замещены металлом
(`"Na"_2"SO"_4`, `"KNO"_3`, `"BaSO"_4` и др.)
$$ 3\mathrm{NaOH} + {\mathrm{H}}_{3}{\mathrm{PO}}_{4} \to {\mathrm{Na}}_{3}{\mathrm{PO}}_{4} + 3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ \mathrm{Al}(\mathrm{OH}{)}_{3} + 3\mathrm{HCl} \to {\mathrm{AlCl}}_{3} + 3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
Кислые и основные соли
Кислые соли представляют собой продукт неполного замещения кислот и оснований. По международной номенклатуре атом водорода, входящий в состав кислой соли, обозначается приставкой гидро-, а группа `"OH"^-` – приставкой гидрокси, например: `"NaHS"` – гидросульфид натрия, `"NaHSO"_4` – гидросульфат натрия, `"Mg(OH)Cl"` – гидроксихлорид магния, `"Al(OH)"_2"Cl"` – дигидроксихлорид алюминия.
представляют собой продукты неполного замещения атомов водорода в кислоте на атом металла, например:
`2"NaOH" + "H"_3"PO"_4 -> "Na"_2"HPO"_4 + 2"H"_2"O"`;
гидрофосфат натрия
`"NaOH" + "H"_3"PO"_4 -> "NaH"_2"PO"_4 + "H"_2"O"`.
дигидрофосфат натрия
представляют собой продукты неполного замещения гидроксильных групп оснований кислотными остатками:
`"Al(OH)"_3 + "HCl" -> "Al(OH)"_2"Cl" + "H"_2"O"`;
дигидроксихлорид алюминия
`"Al(OH)"_3 + 2"HCl" -> "Al(OH)Cl"_2 + 2"H"_2"O"`;
гидроксихлорид алюминия
Существуют также некоторые другие типы солей, например, двойные соли, в которых содержатся два разных катиона и один анион:
`"CaCO"_3*"MgCO"_3` (доломит), `"KCl"*"NaCl"` (сильвинит), `"KAl(SO"_4)_2` - алюмокалиевые квасцы, или смешанные соли, в которых содержится один катион и два разных аниона: `"CaOCl"_2` или `"Ca(OCl)Cl"`.
Соли представляют собой ионные соединения, и их названия строятся по названиям катионов и анионов. Для солей бескислородных кислот к названию неметалла добавляется суффикс -ид, например, хлорид натрия `"NaCl"`.
При наименовании солей кислородсодержащих кислот к латинскому корню названия элемента добавляется окончание -ат для высшей степеней окисления, -ит для более низких (для некоторых кислот используется приставка гипо- для низких степеней окисления неметалла; для солей хлорной и марганцовой кислот используется приставка пер-):
|
`"CaCO"_3` - карбонат натрия |
`"КClO"` - гипохлорит калия
|
|
`"FeSO"_3` - сульфит железа (II) |
`"KClO"_2` - хлорит калия
|
|
`"KMnO"_4` - перманганат калия
|
`"KClO"_3` - хлорат калия
|
|
`"KNO"_2` - нитрит калия |
`"KClO"_4` - перхлорат калия
|
Способы получения средних солей
Соли тесно связаны со всеми остальными классами неорганических соединений и могут быть получены практически из любого класса. Большинство способов получения солей было разобрано выше.
Способы получения кислых и основных солей
Кислые соли могут быть получены либо неполной нейтрализацией кислот, либо действием избытка кислот на средние соли, щелочи, оксиды или соли:
`"NaOH" + "H"_2"SO"_4 -> "NaHSO"_4 + "H"_2"O"`;
`"Na"_2"SO"_4 + "H"_2"SO"_4 -> 2"NaHSO"_4`;
`"NaCl" + "H"_2"SO"_4 -> "NaHSO"_4 + "HCl"`;
`"CaCO"_3 + "CO"_2 + "H"_2"O" -> "Ca(HCO"_3)_2`.
Основные соли часто получаются при осторожном добавлении небольших количеств щелочей к растворам средних солей металлов, имеющих малорастворимые основания, или при действии солей слабых кислот на средние соли:
`"AlCl"_3 + 2"NaOH" -> "Al(OH)"_2"Cl" + 2"NaCl"`;
В общем виде способы получения кислых или основных солей из средних солей представим в виде следующей схемы:
Химические свойства солей
Многие соли устойчивы при нагревании. Однако соли аммония, а также некоторые соли малоактивных металлов, слабых кислот и кислот, в которых элементы проявляют высшие или низшие степени окисления, при нагревании разлагаются (также см. получение оксидов).
$$ {\mathrm{NH}}_{4}\mathrm{Cl} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{NH}}_{3}\uparrow + \mathrm{HCl}$$;
$$ 2{\mathrm{FeSO}}_{4} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{Fe}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + {\mathrm{SO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{SO}}_{3}\uparrow $$;
$$ 4{\mathrm{FeSO}}_{4} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } 2{\mathrm{Fe}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + 4{\mathrm{SO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$;
$$ ({\mathrm{NH}}_{4}{)}_{2}{\mathrm{Cr}}_{2}{\mathrm{O}}_{7} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{Cr}}_{2}{\mathrm{O}}_{3} + {\mathrm{N}}_{2}\uparrow + 4{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ 2{\mathrm{KClO}}_{3} \stackrel{150-300°\mathrm{C}, {\mathrm{MnO}}_{2}}{\to } 2\mathrm{KCl} + 3{\mathrm{O}}_{2}\uparrow $$;
$$ 4{\mathrm{KClO}}_{3} \stackrel{400°\mathrm{C}}{\to } 3{\mathrm{KClO}}_{4} + \mathrm{KCl}$$.
Взаимодействие растворов или расплавов солей менее активных металлов с более активными металлами:
`"Cu" + 2"AgNO"_3 -> 2"Ag"darr + "Cu(NO"_3)_2`.
Взаимодействие соли с кислотой, в результате которого образуется нерастворимое или летучее вещество:
`"AgNO"_3 + "HBr" → "AgBr"↓ + "HNO"_3`;
`"FeS" + 2"HCl" → "H"_2"S"↑ + "FeCl"_2`.
Взаимодействие раствора соли со щелочью, в результате которого образуется нерастворимое вещество:
`"CuCl"_2 + "KOH" → "Cu(OH)"_2 ↓+ 2"KCl"`;
`"Na"_2"CO"_3 + "Ca(OH)"_2 → "CaCO"_3↓ + 2"NaOH"`.
Взаимодействие растворов солей друг с другом, в результате которого образуется нерастворимое вещество:
`"Na"_2"CO"_3 + "Ba(NO"_3)_2 → "BaCO"_3 ↓+ 2"NaNO"_3`.
Участие в ОВР:
`2"FeCl"_2 + "Cl"_2 → 2"FeCl"_3`;
`2"NaNO"_2 + "O"_2 → 2"NaNO"_3`;
`"Na"_2"SO"_3 + "H"_2"O" + "Cl"_2 → "Na"_2"SO"_4 + 2"HCl"`.
Гидролиз некоторых солей:
$$ {\mathrm{MgCl}}_{2} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \rightleftarrows \mathrm{MgOHCl} + \mathrm{HCl}$$;
$$ {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \rightleftarrows {\mathrm{NaHCO}}_{3} + \mathrm{NaOH}$$.
При нагревании многие кислые соли разлагаются:
$$ 2{\mathrm{NaHCO}}_{3} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} + {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ \mathrm{Ca}({\mathrm{HCO}}_{3}{)}_{2} \stackrel{\mathrm{t}°\mathrm{C}}{\to } {\mathrm{CaCO}}_{3}\downarrow + {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
называется связь между веществами разных классов соединений, основанная на их взаимных превращениях и отражающая единство их происхождения.
Генетическая связь может быть отражена в генетических рядах.
Генетический ряд состоит из веществ, которые образованы одним химическим элементом, принадлежат к разным классам соединений и связаны взаимными превращениями.
В приведённой ниже таблице обобщены рассмотренные выше химические свойства важнейших классов неорганических соединений.
| Реагент | Основной оксид | Амфотерный оксид | Кислотный оксид | Щелочь | Амфотерный гидроксид | Кислота | Соль | `"H"_2"O"` |
| Основной оксид | `-` | соль | соль | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | щелочь |
| Амфотерный оксид | соль | `-` | соль | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | `-` |
| Кислотный оксид | соль | соль | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | `-` | кислота |
| Щелочь | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` основание |
дис- социация |
| Амфотерный гидроксид | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | |
| Кислота | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` `"H"_2"O"` | соль `+` `"H"_2"O"` | `-` | соль `+` кислота |
дис- социация |
| Соль | `-` | `-` | `-` | соль `+` основание | `-` | соль `+` кислота | соль `+` соль | гидролиз |
Известно, что существуют две основные причины прохождения электрического тока через проводники: либо за счёт движения электронов в электрическом поле, либо за счет движения ионов. Электрическая проводимость присуща, прежде всего, металлам. Ионная проводимость присуща многим химическим соединения, обладающим ионным строением, например, солям в твёрдом или расплавленном состояниях, а также многим водным и неводным растворам. В связи с этим все вещества принято условно делить на две категории:
а) вещества, растворы которых обладают ионной проводимостью, называются электролитами;
б) вещества, растворы которых не обладают ионной проводимостью, называются неэлектролитами.
К электролитам относится большинство неорганических кислот, оснований и солей. К неэлектролитам относятся многие органические соединения, например, спирты, углеводы.
Оказалось, что, кроме хорошей электропроводности, растворы электролитов обладают более низкими значениями давлениями пара растворителя и температуры плавления и более высокими температурами кипения по сравнению с соответствующими значениями для чистого растворителя или для раствора неэлектролита в этом же растворителе. Для объяснения этих свойств, шведский ученый С. Аррениус в 1887 г. предложил теорию электролитической диссоциации.
Под электролитической диссоциацией понимается распад молекул электролита в растворе с образованием положительно и отрицательно заряженных ионов - катионов и анионов под действием растворителя. Например, молекула уксусной кислоты может диссоциировать в водном растворе следующим образом:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{COOH}\rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{COO}}^{–}$$.
Сущность теории электролитической диссоциации С. Аррениуса
1. Электролиты при растворении в воде распадаются (диссоциируют) на ионы: положительные (катионы) и отрицательные (анионы).
2. Под действием электрического тока положительно заряженные ионы движутся к отрицательному полюсу источника тока - катоду, и поэтому называются катионами, а отрицательно заряженные ионы движутся к положительному полюсу источника тока - аноду, и поэтому называются анионами.
3. Электролитическая диссоциация - процесс обратимый для слабых электролитов, т. е. вместе с распадом молекул на ионы (диссоциация) идет процесс соединения ионов в молекулы (ассоциация).
Электролиты подразделяются в зависимости от степени диссоциации на сильные и слабые.
вещества, которые диссоциируют полностью и необратимо, т. е. в растворе присутствуют только гидратиро-ванные ионы. Относятся все соли, `"HI"`, `"HCl"`, `"HBr"`, `"HNO"_3`, `"H"_2"SO"_4`, `"HMnO"_4`, `"HClO"_4`, `"HClO"_3`, щелочи `"NaOH"`, `"LiOH"`, `"KOH"`, `"RbOH"`, `"CsOH"`, `"Ca"("OH")_2`, `"Ba"("OH")_2`, `"Sr"("OH")_2`.
С точки зрения теории электролитической диссоциации, кислотой называется соединение, образующее при диссоциации в водном растворе только ионы `"H"^+`:
`"HNO"_3 → "H"^+ + "NO"_3^-`
Если кислота является двухосновной, то диссоциация кислоты происходит ступенчато. Количество стадий определяется основностью кислоты:
$$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}\to {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{HSO}}_{4}^{-}$$
$$ {\mathrm{HSO}}_{4}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{SO}}_{4}^{2-}$$.
Сила бескислородных кислот возрастает в ряду однотипных соединений при переходе вниз по подгруппе кислотообразующего элемента: `"HCl"-"HBr"-"HI"`. Бромоводородная кислота `"HBr"` и йодоводородная `"HI"` кислоты сильнее хлороводородной, что объясняется увеличением межъядерных расстояний в их молекулах.
Фтороводородная (плавиковая) кислота `"HF"` растворяет стекло, но это вовсе не говорит о её силе. В ряду бескислородных галогенсодержащих кислот она относится к кислотам средней силы ввиду низкой концентрации в растворе ионов водорода из-за способности молекул `"HF"` к объединению (ассоциации), благодаря сильным водородным связям, возникающим при взаимодействии ионов `"F"^-` с молекулами `"HF"` (водородные связи) с образованием ионов `"HF"_2^-`, `"H"_2"F"_3^-` и других боле сложных частиц. В результате концентрация ионов водорода в водном растворе фтороводородной кислоты оказывается сильно пониженной.
Сила однотипных кислородных кислот изменяется в противоположном направлении, например, йодная кислота `"HIO"_4` слабее хлорной кислоты `"HClO"_4`. Если элемент образует несколько кислородных кислот, то наибольшей силой обладает кислота, в которой кислотообразующий элемент имеет самую высокую валентность.
Так, в ряду кислот `"HClO"-"HClO"_2-"HClO"_3-"HClO"_4` хлорная кислота наиболее сильная.
Схематически процесс распада (диссоциации) соляной кислоты на ионы можно представить следующим образом. Чтобы вещество в воде было электролитом, его молекула должна быть полярной.
Полярная молекула вещества окружена полярными молекулами воды, которые разрывают молекулу на две противоположные частицы – ионы.
с точки зрения теории электролитической диссоциации, представляет собой вещество, способное отдавать в растворе гидроксильную группу `"OH"^-`:
$$ \mathrm{NaOH} \to {\mathrm{Na}}^{+} + {\mathrm{OH}}^{–}$$.
Диссоциация многокислотного гидроксида происходит ступенчато, например:
$$ \mathrm{Ba}(\mathrm{OH}{)}_{2} \to {\mathrm{BaOH}}^{+} + {\mathrm{OH}}^{-}$$,
$$ {\mathrm{BaOH}}^{+}\rightleftarrows {\mathrm{Ba}}^{2+}+ {\mathrm{OH}}^{-}$$.
В свете теории электролитической диссоциации соли представляют собой соединения, образующие в водном растворе положительно заряженные ионы металла и отрицательно заряженные ионы кислотного остатка (для средних солей), а также кроме них ионы водорода (для кислых солей) и гидроксид-ионы (для основных солей):
Средняя соль:
$$ {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4} \to 2{\mathrm{Na}}^{+} + {\mathrm{SO}}_{4}^{2-}$$.
Кислая соль:
$$ {\mathrm{NaHSO}}_{4} \to {\mathrm{Na}}^{+}+{\mathrm{HSO}}_{4}^{-}$$;
$$ {\mathrm{HSO}}_{4}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{SO}}_{4}^{2-}$$.
Основная соль:
$$ \mathrm{MgOHCl} \to {\mathrm{MgOH}}^{+}+{\mathrm{Cl}}^{-}$$;
$$ {\mathrm{MgOH}}^{+} \rightleftarrows {\mathrm{Mg}}^{2+} +{\mathrm{OH}}^{-}$$.
вещества, которые диссоциируют частично и обратимо.
$$ {\mathrm{HNO}}_{2} \rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{NO}}_{2}^{-}$$
$$ {\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{COOH} \rightleftarrows {\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{COO}}^{–}+{\mathrm{H}}^{+}$$.
В растворе слабого электролита присутствуют гидратированные ионы и некоторая часть недиссоциированных молекул.
К слабым электролитам относятся:
1) вода;
2) соли `"Zn"`, `"Cd"`, `"Hg"`;
3) оставшиеся кислоты, не относящиеся к сильным, например, `"HF"`, `"H"_2"S"`, `"HNO"_2`, `"H"_3"PO"_4` и другие, а также незамещённые органические кислоты. При растворении углекислого газа в воде образуется его гидрат `"CO"_2*"H"_2"O"` и в незначительном количестве угольная кислота `"H"_2"CO"_3`. Тем не менее, для диссоциации воспользуемся формулой угольной кислоты:
$$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} \rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{HCO}}_{3}^{-}$$
$$ {\mathrm{HCO}}_{3}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{CO}}_{3}^{2-}$$.
Практически диссоциация осуществляется лишь по первой ступени. Образующийся гидрокарбонат-ион `"HCO"_3^-` ведёт себя как слабый электролит.
Причиной диссоциации электролита в водных растворах является его гидратация, т. е. взаимодействие электролита с молекулами воды и разрыв химической связи в нем. В результате такого взаимодействия образуются гидратированные, т. е. связанные с молекулами воды, ионы.
Диссоциации проходит благодаря тому, что при гидратации ионов выделяется больше энергии, чем требуется на разрыв связи в молекуле. Примерно также происходит растворение ионного кристалла в воде и образование ионов. У кристаллов энергия гидратации ионов выше энергии кристаллической решётки.
Следует учитывать, что в растворах электролитов хаотически движущиеся гидратированные ионы могут столкнуться и вновь объединиться между собой. Этот обратный процесс называется ассоциацией. При некоторой постоянной температуре в данной системе устанавливается химическое равновесие, при котором скорость диссоциации станет равной скорости ассоциации.
Также необходимо учитывать, что свойства гидратированных ионов отличаются от свойств негидратированных ионов. Например, негидратированный ион меди `"Cu"^(2+)` - белый в безводных кристаллах сульфата меди (II) `"СuSO"_4` и имеет голубой цвет, когда гидратирован, т. е. связан с молекулами воды `"Cu"^(2+)*"H"_2"O"`. Гидратированные ионы имеют как постоянное, так и переменное количество молекул воды.
Основные свойства гидроксидов одного и того же элемента усиливаются с уменьшением его валентности. Так, основные свойства у гидроксида железа (II) выражены сильнее, чем у гидроксида железа (III) и наоборот.
Слабым электролитом является гидроксид аммония `"NH"_4"OH"`. При растворении аммиака `"NH"_3` в воде образуется раствор, который слабо проводит электрический ток и имеет горько-мыльный вкус. Среда раствора основная. В растворе образуются гидрат аммиака `"NH"_3*"H"_2"O"` и в незначительном количестве гидроксид аммония `"NH"_4"OH"`, который диссоциирует как слабый электролит с образованием ионов аммония `"NH"_4^+` и гидроксид-иона `"OH"^-`.
$$ {\mathrm{NH}}_{4}\mathrm{OH} \rightleftarrows {\mathrm{NH}}_{4}^{+}+{\mathrm{OH}}^{-}$$.
К слабым электролитам относят некоторые соли, например хлорид цинка `"ZnCl"_2`, тиоцианат железа `"Fe"("NCS")_3`, цианид ртути `"Hg"("CN")_2`, которые также диссоциируют по ступеням.
Разделение электролитов на сильные, средние и слабые зависит от доли продиссоциированных молекул или степени диссоциации `alpha`, которая показывает отношение числа молекул, распавшихся на ионы `(N_"д")`, к общему числу введённых в раствор молекул `(N_"р")`:
`alpha=(N_"д")/(N_"р")*100%`
Электролиты со степенью диссоциации `30%` и более называют сильными, со степенью диссоциации `3`-`30%` называют средними (средней силы), со степенью диссоциации менее `3%` - слабыми.
Степень диссоциации не является строгим показателем силы электролита, т. к. она зависит от концентрации раствора, природы растворителя, присутствия в растворе другие электролитов.
При понижении концентрации степень диссоциации может повышаться, и в очень разбавленных растворах слабый электролит может находиться в состоянии почти полной диссоциации, в то же время в концентрированном растворе сильный электролит может вести себя как слабый и даже как неэлектролит.
Степень диссоциации как сильных, так и слабых электролитов зависит от концентрации раствора (степень диссоциации тем выше, чем более разбавлен раствор). Более точной характеристикой диссоциации электролита является константа диссоциации, которая от концентрации раствора не зависит.
Выражение для константы диссоциации можно получить, если записать уравнение реакции диссоциации электролита АК в общем виде:
$$ AK \rightleftarrows {A}^{-}+{K}^{+}$$.
Поскольку диссоциация слабого электролита является обратимым равновесным процессом, то к данной реакции применим закон действующих масс, и можно определить константу равновесия как
`K_"дис"=([A^-][K^+])/([AK])`,
где `K_"дис"` - константа диссоциации, которая зависит от температуры и природы электролита и растворителя, но не зависит от концентрации электролита;
`[AK]` – концентрация недиссоцированных молекул;
`[A^-]`, `[K^+]` - молярные концентрации анионов и катионов.
Рассчитайте количество ионов водорода в `1` л раствора серной кислоты с концентрацией `0,1` моль/л.
`"H"_2"SO"_4 → "H"^+ + "HSO"_4^-`
`0,1` моль `0,1` моль
Количество ионов водорода равно `0,1` моль.
Запишем уравнение диссоциации по второй ступени и по справочным данным определим степень диссоциации (`0,3`):
| $$ {\mathrm{HSO}}_{4}^{-}\rightleftarrows $$ | `"H"^+ +"SO"_4^(2-)`. |
| `0,1` моль | `0,03` моль |
Используем формулу для нахождения степени диссоциации (при решении задачи степень диссоциации удобно выразить в долях от единицы):
`alpha("H"_2"SO"_4)=(n("диссоцH"_2"SO"_4))/(n("общH"_2"SO"_4))`
`n("диссоцH"_2"SO"_4)=0,1` моль/л `*0,3=0,03` моль.
`n("H"^+)=n("диссоцH"_2"SO"_4)=0,03` моль.
Таким образом, в растворе появилось ионов `"H"^+`:
`0,1` моль `+ 0,03` моль `= 0,13` моль.
Следовательно, концентрация ионов водорода в растворе серной кислоты равна `0,13` моль/л.
Степень диссоциации гидроксида бария по первой ступени `- 92%`, по второй ступени `- 56%`. Рассчитайте число катионов бария и число гидроксид-ионов в `0,5` л `1,5 M` растворе.
Дано:
`alpha_1("Ba(OH")_2)=92%`
`alpha_2("Ba(OH")_2)=56%`
`V_"р-ра"("Ba(OH")_2)=0,5` л
`c("Ba(OH")_2)=1,5M=1,5 "моль"//"л"`
`N("Ba"^(2+))` - ?
`N("OH"^-)` - ?
1) Запишем уравнение электролитической диссоциации гидроксида бария:
1 ступень: `"Ba(OH")_2-> "BaOH"^+ + "OH"^-`,
2 ступень: $$ {\mathrm{BaOH}}^{+}\rightleftarrows {\mathrm{Ba}}^{2+}+{\mathrm{OH}}^{-}$$.
2) Найдём количество вещества гидроксида бария, содержащегося в данном образце раствора:
`nu("Ba(OH")_2)=c("Ba(OH")_2)*V_"р-ра"("Ba(OH")_2)=`
`=1,5"моль"//"л" * 0,5"л"=0,75"моль"`
3) Зная степень диссоциации вычислим число молекул `"Ba(OH")_2` распавшихся на ионы по первой ступени диссоциации:
`nu_"дис"("Ba"("OH")_2)=(alpha_1("Ba"("OH")_2)*nu("Ba"("OH")_2))/(100%)=`
`=(0,75 "моль"*92%)/(100%)=0,69 "моль"`.
Согласно диссоциации по `"I"` ступени, это количество вещества равно количеству вещества гидроксид-ионов, образовавшихся по первой ступени диссоциации, и количество ионов `"Ba(OH")^+`:
`nu("Ba(OH")^+ )=nu_1("OH"^-)=nu_"дис"("Ba(OH")_2)=0,69` моль.
4) Исходя из количества вещества гидроксокатионов бария, образовавшихся на первой стадии диссоциации, и степени диссоциации по второй ступени, вычислим количество ионов `"Ba"("OH")^+`, диссоциирующих по второй ступени:
`nu("Ba"("OH")^+)=(alpha_2("Ba"("OH")_2)*nu("Ba"("OH")^+))/(100%)=`
`=(56%*0,69 "моль")/(100%)=0,386 "моль"`.
В соответствии с диссоциацией по `"II"` ступени, это количество вещества равно количеству вещества катионов `"Ba"^(2+)` и количеству ионов `"OH"^-`, образовавшихся по `"II"` ступени диссоциации:
`nu("Ba"^(2+))=nu_2("OH"^-)=nu_"дис"("Ba(OH")^+)=0,386` моль.
5) Найдём число катионов `"Ba"^(2+)`, образующихся при диссоциации:
`N("Ba"^(2+))=nu("Ba"^(2+))*N_A=0,386 "моль"*6,02*10^(23) "моль"^(-1)=`
`=2,324*10^(23)`.
6) Вычислим количество вещества гидроксид-ионов, образовавшихся на обеих стадиях диссоциации, и их число:
`nu("OH"^-)=nu_1("OH"^-)+nu_2("OH"^-)=0,69 "моль"+0,386 "моль"=`
`=1,076"моль"`.
`N("OH"^-)=nu("OH"^-)*N_A=1,076 "моль"*6,02*10^(23) "моль"^(-1)=`
`=6,478*10^(23)`.
`N("Ba"^(2+))=2,324*10^(23)"моль"^(-1)`.
`N("OH"^-)=6,478*10^(23)`.
Поскольку электролиты в водных растворах образуют ионы, то для отражения сущности реакций часто используют так называемые ионные уравнения реакций. Написанием ионных уравнений подчеркивают тот факт, что, согласно теории диссоциации, в растворах происходят реакции не между молекулами, а между ионами.
Реакции между ионами называются ионными реакциями, а уравнения таких реакций - ионными уравнениями.
С точки зрения теории диссоциации в реакциях между ионами в растворах электролитов возможны два исхода.
1. Образующиеся вещества - сильные электролиты, хорошо растворимые в воде и полностью диссоциирующие на ионы.
2. Одно (или несколько) из образующихся веществ - газ, осадок или слабый электролит (хорошо растворимый в воде).
При составлении ионных уравнений реакций следует руководствоваться тем, что формулы малодиссоциирующих, нерастворимых и газообразных веществ записываются в молекулярном виде.
Если вещество выпадает в осадок, то рядом с его формулой ставят стрелку, направленную вниз, а если в ходе реакции выделяется газообразное вещество, то рядом с его формулой ставят стрелку, направленную вверх.
Итак, реакции в растворах электролитов идут в направлении связывания ионов. Рассмотрим основные формы связывания ионов.
Молекулярное уравнение:
$$ {\mathrm{AgNO}}_{3} + \mathrm{NaCl} \to \mathrm{AgCl}\downarrow + {\mathrm{NaNO}}_{3}$$.
Полное ионное уравнение:
$$ {\mathrm{Ag}}^{+} + {\mathrm{NO}}_{3}^{-}+ {\mathrm{Na}}^{+} + {\mathrm{Cl}}^{-} \to \mathrm{AgCl}\downarrow + {\mathrm{Na}}^{+} + {\mathrm{NO}}_{3}^{-}$$.
Сокращённое ионное уравнение:
$$ {\mathrm{Ag}}^{+} + {\mathrm{Cl}}^{-} \to \mathrm{AgCl}\downarrow $$.
Пример 1:
$$ {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} + 2\mathrm{HCl} \to 2\mathrm{NaCl} + {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ 2{\mathrm{Na}}^{+}+{\mathrm{CO}}_{3}^{2-}+2{\mathrm{H}}^{+}+2{\mathrm{Cl}}^{-}\to 2{\mathrm{Na}}^{+}+2{\mathrm{Cl}}^{-}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
$$ {\mathrm{CO}}_{3}^{2-}+2{\mathrm{H}}^{+}\to {\mathrm{CO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
Пример 2:
$$ 2\mathrm{Al}+2\mathrm{NaOH}+6{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\to 2\mathrm{Na}\left[\mathrm{Al}\right(\mathrm{OH}{)}_{4}]+3{\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$;
$$ 2\mathrm{Al}+2{\mathrm{Na}}^{+}+2{\mathrm{OH}}^{-}+6{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\to 2{\mathrm{Na}}^{+}+2\left[\mathrm{Al}\right(\mathrm{OH}{)}_{4}{]}^{-}+3{\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$;
$$ 2\mathrm{Al}+2{\mathrm{OH}}^{-}+6{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}=2\left[\mathrm{Al}\right(\mathrm{OH}{)}_{4}{]}^{ -}+3{\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$.
С учётом вышеизложенного можно сформулировать правило, которым удобно пользоваться при изучении процессов, протекающих в растворах электролитов:
реакции между ионами в растворах электролитов идут практически до конца в сторону образования осадков, газов или слабых электролитов.
