Abitu.Net

2 июня 2020 г.
0 комментариев
1342 просмотра

Сначала рассмотрим простейший пример. Решить систему

$\left\{\begin{array}{l}\sin\pi x=0,\\\sin\pi y=0.\end{array}\right.$

Здесь `x` и `y` находятся независимо друг от друга. В этих случаях параметры надо обозначать различными буквами. Обозначение их одной буквой будет в таких случаях ошибкой.

Решаем каждое уравнение

$\left\{\begin{array}{l}\pi x=\pi n,n\in Z,\\\pi y=\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$ `(x;y)=n;m),n,m in Z`,

т. е. на плоскости решениями системы являются все точки с целочисленными координатами. Если же мы будем считать `m=n`, то точки `(n;n),ninZ`, - это целочисленные точки, лежащие только на биссектрисе I и III координатных углов. Они не представляют все решения рассмотренной системы.

Пример 18

Решить систему

$\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=1,\\\cos2x-\cos2y=1.\end{array}\right.$

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.

Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:

$\left\{\begin{array}{l}u+v=1,\\u^2+v^2=\dfrac12.\end{array}\right.$

Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара $\left\{\begin{array}{l}u=\frac12,\\v=\frac12.\end{array}\right.$

Переходя к (`x`; `y`), имеем: $\left\{\begin{array}{l}\sin x=\dfrac12,\\\cos y=\dfrac12.\end{array}\right.$

Отсюда

$\left\{\begin{array}{l}x=\left(-1\right)^n\cdot\dfrac\pi6+\pi n,\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi m,\end{array}\right.n,m\in Z.$

Ответ

$\left\{\begin{array}{l}x=\left(-1\right)^n\cdot\dfrac\pi6+\pi n,\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi m,\end{array}\right.n,m\in Z.$

Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:

`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.

Пример 19

Решить систему

$\left\{\begin{array}{l}\cos x\cos y=\dfrac34,\\\sin x\sin y=-\dfrac14.\end{array}\right.$

Решение

Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:

$\left\{\begin{array}{l}\cos\left(x-y\right)=\dfrac12,\\\cos\left(x+y\right)=1.\end{array}\right.$

Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\\x+y=2\pi m,n,m\in Z.\end{array}\right.$

Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ.

Ответ

$\left\{\begin{array}{l}x=\pm\dfrac\pi6+\pi n+\pi m,\\y=\pi m\mp\dfrac\pi6-\pi n,\end{array}\right.m,n\in Z.$

(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).

Пример 20

Решить систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}\sin y=5\sin x,\\3\cos x+\cos y=2.\end{array}\right.$

Решение

Перепишем систему

$\left\{\begin{array}{l}\sin y=5\sin x,\\\cos y=2-3\cos x.\end{array}\right.$

Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим

`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.

Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.

Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.

Подставляя `cosx=1` во второе уравнение первоначальной системы, находим, что

`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.

Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,

Ответ

$\left\{\begin{array}{l}x=2\pi n,n\in Z,\\y=\pi+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$

§3 Тригонометрические неравенства

2 июня 2020 г.
0 комментариев
1803 просмотра

Тригонометрические неравенства надо сводить к простейшим, а простейшие легче решать на тригонометрическом круге.

Пример 21

Решить неравенство `sinx< -1/2`.

Решение

На тригонометрическом круге (рис. 11) отмечаем точки, в которых `sinx=-1/2` (точки `A` и `B`). Неравенству удовлетворяет дуга $A\overset{\underset\smile{}}mB$ . Она записывается так `(pi+pi/6;2pi-pi/6)` или `((7pi)/6; (11pi)/6)`. Учитывая период `2pi` синуса, получаем серию дуг

`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.

Ответ

`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.

Важно обратить внимание, чтобы при записи ответа левый конец интервала был меньше правого, и при увеличении угла в интервале пробегалась нужная дуга.

Пример 22

Решить неравенство `"tg"x<=2`.

Решение

Нарисуем тригонометрический круг и ось тангенса.

Отметим на правой единичной полуокружности (период тангенса равен `pi`, можно рассматривать полуокружность, а не всю окружность) точки, соответствующие углам, у которых тангенс меньше или равен `2` (рис.12). Это будет дуга $A\overset{\underset\smile{}}mB$ (точка `B` включена, а `A` – нет). Запишем её `(-pi/2; "arctg"2]`. Теперь учтём период тангенса. Получаем

Ответ

`(-pi/2+pin; "arctg"2+pin],ninZ`.

Пример 23 (МФТИ)

Решить неравенство $\sqrt[4]{\dfrac{7-\cos4x}2}>-2\cos x.$

Решение

По аналогии с алгебраическими неравенствами с корнем квадратным мы должны решить две системы и объединить их решения.

1) $\left\{\begin{array}{l}\cos x>0,\\\mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$ (6)

и

2) $\left\{\begin{array}{l}\cos x\leq0,\\\dfrac{7-\cos4x}2>\left(-2\cos x\right)^4\end{array}\right.$ (7)

В данном случае ОДЗ: `7-cos4x>=0` выполняется всегда, так что решение первой системы `cosx>0` (пока не будем находить `x`). Решаем вторую систему. Преобразуем неравенство (7):

`7-cos4x>32cos^4x`;

`7-(2cos^2 2x-1)>32cos^4x`,

`8-2cos^2 2x>32cos^4x`,

`4-(2cos^2x-1)^2>16cos^4x`,

`4-4cos^4x+4cos^2x-1>16cos^4x`,

`20cos^4x-4cos^2x-3<0`.

Обозначим `cos^2x=t`. Получим алгебраическое неравенство: `20t^2-4t-3<0`.

Откуда `-3/10<t<1/2`. Так как `t>=0,` то `t<1/2`. Далее `cos^2x<1/2 iff |cosx|<1/(sqrt2)`.

Учитывая (6): `cosx<=0`, получаем `-1/(sqrt2)<cosx<=0`.

Это решение системы 2). Объединяя решение 1) и 2) систем, получаем `-1/(sqrt2)<cosx`.

Решая это простейшее неравенство на тригонометрическом круге (рис. 13), имеем дугу $A\overset{\underset\smile{}}mB$ .

Ответ

`(-(3pi)/4+2pin;(3pi)/4+2pin),ninZ`.

§4. Некоторые нестандартные примеры и задачи с параметром

2 июня 2020 г.
0 комментариев
529 просмотров

Пример 24

Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`.

Решение

Так как

`3sin^5x<=3` (8)

и `4cos^3x<=4`, (9)

а неравенства одного знака можно складывать, то `3sin^5x+4cos^3x<=7`, причём если хотя бы в одном из неравенств (8) или (9) знак «`<=`» заменить на «`<`», то получим `3sin^5x+4cos^3<7`. Значит, чтобы `x` удовлетворяло уравнению необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система

$$ \left\{\begin{array}{l}3{\mathrm{sin}}^{5}x=3,\\ 4{\mathrm{cos}}^{3}x=4\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=1,\\ \mathrm{cos}x=1,\end{array}\right.$$

но это невозможно, т. к. `sin^2x+cos^2x=1`.

Ответ

Решений нет.

Пример 25

Решить уравнение `sin^4 2x+1=cos3x`.

Решение

Так как левая часть уравнения `sin^4 2x+1>=1`, а правая часть `cos3x<=1`, то уравнение эквивалентно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{4}2x+1=1,\\ \mathrm{cos}3x=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}3x=1.\end{array}\right.$$

Отсюда

$$ \left\{\begin{array}{l}2x=\pi n,n\in Z,\\ 3x=2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi n}{2}},n\in Z,\\ x={\displaystyle \frac{2\pi n}{3}},m\in Z.\end{array}\right.$$

На тригонометрическом круге изобразим решения первого уравнения последней системы на рис. 14, а второго- на рис. 15. Совпадение будет при `x=2pik,kinZ`.

Ответ

`x=2pik,kinZ`.

Пример 26

Решить уравнение `sin^2 4x+cos^2x=2sin4x*cos^4x`.

Решение

Перепишем уравнение `sin^2 4x-2sin4x*cos^4x+cos^2x=0`.

Будем решать его как квадратное относительно `sin4x`. Дискриминант уравнения

`D=4cos^8x-4cos^2x=4cos^2x(cos^6x-1)<=0`.

Значит, решения возможны только в случае `D=0` или $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0,\\ \mathrm{cos}x=\end{array}\right.\pm 1.$$ Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.

Отсюда `x=pi/2+pin,ninZ`.

Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`.

Пример 27 (МФТИ)

Решить систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\mathrm{sin}x-\sqrt{3}\mathrm{cos}y={\displaystyle \frac{5}{2}},\\ \mathrm{sin}y+\sqrt{2}\mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.\end{array}\right.$$

Решение

Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:

`sqrt2(sinx-cosx)-(siny+sqrt3cosy)=4`.

По формуле дополнительного угла имеем:

`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4` или `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`

Так как `sin(x-pi/4)<=1` и `-sin(y+pi/3)<=1`, то `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/3)<=2`,

причём равенство может достигаться только в случае, если

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ -\mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ \mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-1.\end{array}\right.$$

Решая эту систему, получаем

$$ \left\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z,\\ y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$$

Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае

`sinx=1/(sqrt2)`, `cosx=-1/(sqrt2)`, `siny=-1/2`, `cosy=-(sqrt3)/2`

и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,

Ответ

$$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m, n,m\in Z.\end{array}\right.$$

Пример 28 (МФТИ)

Решить уравнение `"arctg"3x=arccos8x`.

Решение

Напишем ОДЗ `|8x|<=1`, `|x|<=1/8`. Возьмём тангенс от обеих частей уравнения. Получим: `3x=(sin(arccos8x))/(8x)` или `24x^2=sqrt(1-64x^2)`.

Обозначим `t=8x^2`. Имеем уравнение `3t=sqrt(1-8t)` или `9t^2+8t-1=0`.

`t_1=-1`, `t_2=1/9`. Т. к. `t>=0`, то `t=1/9=8x^2`, `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).

Отсюда `x=+-1/(6sqrt2)`.

Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.

`x_1=-1/(6sqrt2)` не удовлетворяет уравнению, т. к. `"arctg"3x_1<0` (`"arctg"x<0`, если `x<0`), а `arccos8x_1>=0` (`arccosx>=0` всегда).

`x_2=1/(6sqrt2)` - удовлетворяет уравнению, т. к. углы `"arctg"3x_2 in (0;pi/2)` и

`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.

Ответ

`x=1/(6sqrt2)`

Пример 29

При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?

Решение

ОДЗ `arccos(x+3)`: `-1<=x+3<=1` или `-4<=x<= -2`. Решение уравнения:

$$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x+3=1\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x=-2.\end{array}\right.$$

Так как `x=-2 in`ОДЗ, то единственным решением может быть только `x=-2`. Значит должно выполняться:

$$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\notin \mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-2;+\infty \right).\end{array}\right.$$

Ответ

`a in (-oo;-4)uu[-2;+oo)`.

Пример 30 (МФТИ)

Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `2cos2x+2asinx+a=1` имеет единственное решение на интервале `(-pi/2;0)`.

Решение

Преобразуем уравнение

`2(1-2sin^2x)+2asinx+(a-1)=0`,

`4sin^2x-2asinx-(a+1)=0`.

Обозначим `sinx=t`. Решим уравнение `4t^2-2at-(a+1)=0`.

`D/4=a^2+4(a+1)=(a+2)^2`, $$ {t}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{a\pm \left(a+2\right)}{4}}=\left[\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$

Итак, $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \mathrm{sin}x={\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$ Но уравнение `sinx=-1/2` даёт один корень на `(-pi/2;0)` - он равен `(-pi/6)`.

Значит, для единственности решения задачи должно быть либо

`(a+1)/2=-1/2` и `a=-2`, либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале

`x in (-pi/2;0)`, т. е. $$ \left[\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+1}{2}}\ge 0,\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}\le -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a\ge -1,\\ a\le -3.\end{array}\right.$$ Итак,

Ответ

`ain(-oo;-3]uu{-2}uu[-1;+oo)`.

Пример 31 (ЕГЭ)

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.

Решение

Уравнение эквивалентно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x-\mathrm{cos}x=a\mathrm{sin}x-{a}^{2}\mathrm{cos}x,\\ \mathrm{sin}x-a\mathrm{cos}x\ne 0.\end{array}\right.$$

Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.

1) Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`, т. е. `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.

2) Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x-1=a\mathrm{tg}x-{a}^{2},\\ \mathrm{tg}x-a\ne 0,\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\left(a-1\right)\mathrm{tg}x={a}^{2}-1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$

Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из `(pi/2;pi]`.

Если же `a!=1`, то система становится такой: $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=a+1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$

Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось `a+1<=0`, т. е. `a<= -1` (см. рис. 16).