Статьи , страница 391

• 
  §3. Аналитические методы решения задач с параметрами

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 190 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §4. Графические методы решения задач с параметрами

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 103 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §1. Векторы в пространстве

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 182 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §2. Угол между прямыми

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 169 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §3. Расстояние от точки до прямой

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 142 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §4. Расстояние от точки до плоскости

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 162 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §5. Расстояние между скрещивающимися прямыми

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 163 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 203 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §7. Угол между плоскостями

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 158 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §8. Сфера, описанная около многогранника

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 162 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  I. Тригонометрические функции

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 214 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  II. Тригонометрические уравнения

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 172 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  III. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач. Задачи с использованием производной

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 193 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  1. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 166 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  2. Об изображении фигур в стереометрии

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 220 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  3. Сечения многогранников

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 200 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  4. Применение проектирования при построении сечений

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 157 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  5. Примеры решения задач на сечения многогранников

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 122 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  6. Перпендикулярность прямых и плоскостей

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 155 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  §1. Понятие равносильности уравнений и неравенств

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 408 просмотров

  Пусть на некоторых числовых множествах $Х_1,\;Х_2$ заданы соответственно функции $f(x),\;g(x)$ . 

  Определение

  Отношения вида $f(x)\gt g(x)$, $f(x)\leq g(x)$, $f(x)=g(x)$ называют неравенствами и уравнением с одной переменной.

  определение

  Если функции $f(x),\;g(x)$ - алгебраические, то неравенства и уравнения называются алгебраическими.

  ОПределение

  Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства или уравнения называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно определены обе части неравенства или уравнения, т. е. пересечение множеств $Х_1,\;Х_2$.

  Пример

  Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2-1}\leq\sqrt{4-x}$. Левая часть определена при $x^2-1\geq0$, а правая при $4-x\geq0$. Поэтому областью определения этого неравенства является множество $(-\infty;-1\rbrack\cup\lbrack1;4\rbrack$.

  

  Решить неравенство (уравнение) – это значит найти все числа $a$, после подстановки которых, вместо $x$ получается верное числовое неравенство (равенство), или доказать, что неравенство (уравнение) не имеет решений. Ясно, что число $a$ является решением только тогда, когдa $a$ принадлежит ОДЗ.

  При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и в нашем задании это будет играть большую роль.

  
  

  определение

  Два неравенства

   $f_1(x)>g_1(x)$ и $f_2(x)>g_2(x)$                                         (1)

  или два уравнения           

  $f_1(x)=g_1(x)$ и $f_2(x)=g_2(x)$                                         (2)

  называются равносильными на множестве $X$ , если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству $X$, является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее $X$, является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на $X$ не имеет решений, т. е. множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.

  Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на $X$, называют равносильным переходом на $X$. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой $\Leftrightarrow$.

  
  

  Пример

  $x^2\leq1\Leftrightarrow\left|x\right|\leq1$ ; а неравенства $\sqrt{4x+5}\leq2$ и $4x+5\leq4$ не равносильны, т. к., если $4x+5\leq0$, то первое неравенство не имеет решений, а второе имеет, например, $x=-2$

  Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

  
  

  Пример 1

  Равносильны ли уравнения $\sqrt{2x+3}=x$ и $2x+3=x^2$?

  
  

  Решение

  
  Нет, не равносильны, т. к. решение $x=-1$ второго уравнения не является решением первого.

  Пример 2

  Равносильны ли уравнения $\sin\;x=3$ и $\sqrt{-x^2}=1$?

  
  

  Решение

  
  Да, равносильны, т. к. ни одно из них не имеет решения.

  
  

  Приведём несколько примеров операций, приводящих к равносильным уравнениям или неравенствам.

  1. Если функции  $f(x),g(x),h(x)$ определены на множестве $X$, то на $X$
  а) $f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)\leq g(x)+h(x)$.
  б) $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x)$.

  2. Если $h(x) >0$ на $X$, то на $X$

  $f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) < g(x)h(x)$,

  т. е. при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется

  3. Если $h(x)\neq0$ на $X$, то на $X$

  $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x)=g(x)h(x)$.

  4. Если $h(x) < 0$ на $X$, то на $X$

  $f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) > g(x)h(x)$,

  т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

  5. Если $f(x)\geq0,g(x)\geq0$ на $X$, то на $X$

  
  а) $f(x) < g(x)\Leftrightarrow f^2(x) < g^2(x)$ ,

  т. е. если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству. 

  Если обе части неравенства неположительны, то умножим обе части на $-1$, придём к неравенству противоположного знака, но с неотрицательными частями, и теперь можно пользоваться свойством $5a$.
  Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к равносильному неравенству, так и к неравносильному: `-4<5` и `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя  возводить неравенство в квадрат.

  б) $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)$.

  6. Для любых $f(x)$ и $g(x)$ на $X$ и любого натурального $n$

  $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^{2n+1}(x)=g^{2n+1}(x)$.