16 статей
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения
Она особенно удобна, когда коэффициент при `x` число чётное.
Решите уравнение
Заметим, что использование других формул привело бы к более громоздким вычислениям.
Уравнение можно считать решённым, если удаётся найти замену переменных, сводящую заданное уравнение к квадратному.
Решите уравнение
Сделаем замену переменных
Тогда уравнение примет вид
В старых переменных
`2`.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2` при переходе через точку `a` знак не меняет,
в) квадратный трёхчлен `x^2+px+q`, `p^2-4q < 0`, имеющий положительный коэффициент при `x^2` и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.
Заметим, что:
1) двучлен `(x-a)` в любой нечётной степени `(x-a)^(2n-1)`, ведёт себя так же, как и `(x-a)`,
2) двучлен `(x-a)` в любой чётной степени `(x-a)^(2n)`, ведёт себя так же, как и `(x-a)^2`,
Важно, что при переходе через точку `a`, может изменить знак только один множитель `(x-a)^(2k-1)`, а выражение `(x-b)^(2n-1)`, при переходе через `a` ни при каком `n` знак не меняет.
Прежде чем расставлять знаки, необходимо все многочлены записать правильно. Это значит, что во всех скобках коэффициенты при старшей степени переменной должны быть положительны, множители при произведениях в числителе и знаменателе тоже положительны – при больших `x` (когда `x` больше самого большого корня) многочлен всегда принимает положительные значения.
Итак, сформулируем
1. Проверяем, все ли множители записаны «правильно».
2. Находим корни числителя и знаменателя.
3. Представляем числитель и знаменатель в виде произведения неприводимых множителей, т. е. множителей вида `(x-a)^k` (все квадратные трёхчлены, имеющие отрицательный дискриминант, не записываем – их «опускаем»).
4. Наносим на числовую ось корни числителя (точками, если неравенство нестрогое, или «дырками», если неравенство строгое) и знаменателя (в любом неравенстве «дырками»).
5. Расставляем знаки дроби в промежутках между корнями, учитывая, что многочлен меняет знак при переходе через точку `a`, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n-1}`, `ninN`
и не меняет знак, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n}`, `ninN`.
6. Отмечаем прямоугольниками решение заданного неравенства и «снимаем» с рисунка ответ. При этом помним, что,
а) если неравенство строгое, то решением являются открытые промежутки;
б) если неравенство нестрогое, то к предыдущим решениям добавляются все «точки».
Когда говорим: Решим неравенство методом интервалов, – имеется в виду, что будут выполнены именно вышеприведённые действия.
Метод интервалов затем распространяется на рациональные функции.
Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, т. е. в виде `{P(x)}/{Q(x)}`.
Например, функции `y=x-2`, `y={x^3-x+5}/{x+4}` - рациональные, а функция `y=sqrt(5x)` не является рациональной – она называется иррациональной.
Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.
Рациональные неравенства чаще всего решаются сравнением с нулём, т. е. решаются неравенства вида `{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)`.
Заметим, что дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые (противоположные) знаки, т. е.
`{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)hArrP(x)Q(x)>0(<0)`,
поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам.
В школе принято писать для дроби ОДЗ: `Q(x)!=0`, но это является совершенно излишним. В самом алгоритме решения таких неравенств учитывается условие, что знаменатель не равен `0` – нули знаменателя отмечаются всегда кружочками («дырками»). Именно поэтому ОДЗ для рациональной дроби не пишут.
Некоторые учащиеся после нахождения ОДЗ даже «бросают» знаменатель. Они не понимают, что решение зависит не от того, равен или не равен `0` знаменатель, а от того, где знаменатель положителен, а где отрицателен.
При применении этого метода интервалов нет необходимости в рассмотрении «пробных» точек.
Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства .
Переписываем наше неравенство в правильном виде:
и применяем метод интервалов - рис. 1.
 |
| Рис. 1 |
C рисунка снимаем ответ.
`3,25`.
Заметим, что на нашей картинке нет никаких «змеек». Такой способ отмечать решение неравенства (который, с непривычки, некоторые отвергают, не попробовав) имеет преимущество, потому что он выделяет именно решение, а, кроме того, он даёт возможность «красиво» решать системы неравенств.
Решите систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+\dfrac14\right)\left(x+\dfrac18\right)\geq0,\\\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{51}{50}}\right)}{\left(x+{\displaystyle\dfrac3{16}}\right)x}<0.\end{array}\right.$$
Здесь очень «плохие» пробные точки – дробные и близкие. Это сделано специально, чтобы привыкнуть их использовать.
Решаем сначала первое неравенство: наносим на числовую ось нули точками, т. к. неравенство нестрогое.
Теперь расставим знаки. Замечаем, что при больших `x` все множители положительны. При переходе через точку `x=1` функция меняет знак, т. к. `(x-1)` входит в нечётной (первой) степени. По этой же причине при переходе и через остальные точки функция опять меняет знак (рис. 2).
 |
| Рис. 2 |
Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравенства (рис. 3).
 |
| Рис. 3 |
Теперь решаем второе: наносим на числовую ось нули и числителя, и знаменателя кружочками (дырками), т. к. неравенство строгое. Получаем рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Теперь надо обе картинки поместить на одну ось. Надо ли соблюдать масштаб? А зачем? Не надо. Ведь нас интересует только взаимное расположение точек относительно друг друга, а расстояния между ними никакой роли не играют.
Теперь заштриховываем общие части прямоугольников – отлично виден ответ (рис. 5).
 |
| Рис. 5 |
`x in(-3/16;-1/8]uu(51/50;2)`.
Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства
`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0`.
При решении неравенств, левая часть которых содержит чётные степени, можно поступать по-разному.
Первый способ
Левая часть уже записана правильно, корни видны сразу. Отмечаем их точками на числовой оси, а затем по вышеприведённым правилам расставляем знаки и отмечаем решение прямоугольниками – рис. 6.
 |
| Рис. 6 |
С рисунка снимаем ответ, что `x in{-2;25}uu[-1,5;12]`. Отсюда следует, что наименьшая длина промежутка равна `25-(-2)=27`.
Второй способ
Можно заранее учесть, что бином `(x-a)^{2k}` принимает либо значение, равное `0`, либо положительно на всей числовой оси – поэтому можно записать в решение `x=a`, а бином «опустить», т. к. он не влияет на знак оставшегося выражения:
`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0 iff`
`27`.
Решите неравенство `x<={8x-2}/{x+5}`.
`x<={8x-2}/{x-5}hArr{x^2-3x+2}/{x+5}<=0hArr{(x-1)(x-2)}/{x+5}<=0`
 |
| Рис. 7 |
Из рис. 7 следует ответ
`(-oo;-5)uu[1;2]`.
Найти все пары целых чисел `x`, `y`, для которых верны неравенства
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x<45,\\x+y>24,\\3x-y<3.\end{array}\right.$$
Запишем систему в стандартном виде (для сравнения с нулём)
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0.\end{array}\right.$$
Заметим, что `y` входит в первое неравенство со знаком `« + »`, а во второе и третье со знаком `« – »`. Поэтому умножим сначала второе и третье неравенства на `3` (получились равносильные неравенства), а затем заменим второе и третье неравенства их суммами с первым – таким образом, мы исключим `y`. Итак,
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0,\end{array}\right.\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-3x-3y+72+3y-2x-45=-5x+27<0\Leftrightarrow x>\dfrac{27}5,\\9x-3y-9+3y-2x-45=7x-54<0\Leftrightarrow x<\dfrac{54}7\end{array}\right.\Rightarrow$$
(учтём, что мы ищем целые решения)
Подставим последовательно найденные значения `x` в систему.
$$x=6\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-57<0,\\-y+18<0,\\15-y<0\end{array}\right.\Rightarrow\varnothing.$$
$$x=7\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-59<0,\\-y+17<0,\Rightarrow y=19,\\-y+18<0.\end{array}\right.$$
`(7,19)`.
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
| $$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\f(x)=g(x),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f(x)<0,\\-f(x)=g(x).\end{array}\right.\end{array}\right.}\\\\\end{array}$$ | (УРМ1) |
Там, где `f(x)>=0`, `|f(x)|=f(x)`, уравнение примет вид `f(x)=g(x)`;
там, где `f(x)<0`, `|f(x)|=-f(x)`, уравнение примет вид `-f(x)=g(x)`.
И, наоборот, если `f(x)>=0` и `f(x)=g(x)`, то `|f(x)|=g(x)`, а если `f(x)<0` и `-f(x)=g(x)`, то опять `|f(x)|=g(x)`, при этом НЕ НАДО решать неравенства, а необходимо только подставить в них решения соответствующих уравнений.
Второй способ (это способ применяется обычно, если функция `g(x)` проще, чем `f(x)`).
Уравнение `|f(x)|=g(x)` не имеет решений, если `g(x)<0`. Если же `g(x)>=0`, то там, где `f(x)>=0` уравнение имеет вид `f(x)=g(x)`, а там, где `f(x)<0`, уравнение имеет вид `-f(x)=g(x)`. Отсюда следует
| (УРМ2) |
При решении вторым способом можно не писать условий равносильности, а просто решить совокупность уравнений и найденные корни подставить в условие `g(x)>=0`.
Решите уравнение .
Так как подмодульное выражение проще, чем правая часть, применим (УР М1):
$$\begin{array}{l}\left|x-7\right|=3x^2+4x-1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\x-7=3x^2+4x-1;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\-x+7=3x^2+4x-1,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\3x^2+3x+6=0\Leftrightarrow\varnothing;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\3x^2+5x-8=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm11}6,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac83\\x=1.\end{array}\right.\right.\end{array}$$
Решите уравнение `|x^2+x-3|=-2x+1`.
Так как правая часть проще, чем подмодульное выражение, применим (УР М2):
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
| (УРМ3) |
Оно удобно тем, что никак не связано со знаками `f(x)` и `g(x)`. Важно, что мы пишем разность квадратов, но в квадрат не возводим!
Решите уравнение `|3x-2|=|2x-3|`.
Воспользуемся условием равносильности для модулей (УР М3):
Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .
`(5x-1)sqrt(x^2-16)=0 iff`
`32`.
Решите уравнение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. Иногда точку пересечения удаётся найти подбором (если авторы, конечно, на это рассчитывали!).
Прежде всего, надо пробовать подставлять такие числа, чтобы корни извлекались нацело. Например, в нашем случае можно подставить `x=2`:
Решите уравнение
Заметим, что слева стоят монотонно возрастающие функции, а справа – монотонно убывающая – поэтому равенство возможно лишь в одной точке. Подставим точку, когда извлекаются все корни: `x=-3`.
`-3`.
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться “лишние” корни. Почему? Потому, что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: и , но на разных промежутках числовой оси: – там, где `g(x)>=0`, и – там, где `g(x)<=0`. «Лишние» корни – это корни второго уравнения, геометрически это пересечение графика функции `y=g(x)` с графиком функции `y=-sqrt{f(x)}`.
Как быть?
Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение `f(x)=g^2(x)`, при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически – поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства `f(x)>=0`!
Заметим, что уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение для `g(x)>=0`, но не имеет решений, если `g(x)<0`.
Вспомним, что, если `f(x)>=0`, `g(x)>=0`. то `f(x)=g(x)hArrf^2(x)=g^2(x)`.
Так как уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение лишь при условии `g(x)>=0` (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
| (УРК1) |
Это очень важное условие равносильности.
Во-первых, оно освобождает от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие `f(x)>=0` – неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия `g(x)>=0` неотрицательности правой части – это условие “отсекает” посторонние корни – корни уравнения `-sqrt{f(x)}=g(x)`. При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни “плохие”) заранее решать не надо.
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия `g(x)>=0` не всегда просто сделать.
При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
Решите уравнение `sqrt{2x^2-8x+9}=x-1`.
`2`; `4`. В этом примере не оказалось лишних корней.
`sqrt{2x^3+2x^2-3x+3}=x+1`.
Видно, что важным при решении является условие `x+1>=0`,
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.
Любопытно, что `x=-2` принадлежит ОДЗ корня `(-16+8+6+3>0)`, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие `x+1>=0`.
`0,5; 1`.
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
| (УРК2) |
Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .
Решение
`25`.
При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую функцию.
При решении уравнений ОДЗ пишем, но не находим, т. к. решение неравенств, определяющих ОДЗ, часто требует даже больше усилий, чем решение самого уравнения. Поэтому не надо тратить на это время.
1. Если при решении уравнения использовались только равносильные преобразования, то найденные корни достаточно подставить в ОДЗ. Если они принадлежат ОДЗ, то являются решениями уравнения.
2. Если при решении уравнения не следить за равносильностью преобразований, то после нахождения корней надо сделать проверку. Можно сначала подставить их в ОДЗ – если они не принадлежат ОДЗ, то не являются решениями уравнения, но, если принадлежат ОДЗ, то это ещё не значит, что они являются решениями уравнения – их надо теперь подставить в само уравнение.
Это была рекомендация, полезная при решении большинства уравнений, но, конечно, бывают исключения, когда изучение ОДЗ сразу приводит к решению.
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.
Какое утверждение
1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или отрицательны);
2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен;
3) уравнение имеет два корня разных знаков;
4) уравнение имеет только один корень, и он положителен;
верно по отношению к корням уравнения `sqrt{x+4}=3(x+1)`?
Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей (рис. 8).
 |
| Рис. 8 |
На оси надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение графиков происходит на отрицательной полуоси – это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось `Ox` правее, а ось `Oy` выше полупараболы.
`2`.
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`
`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.
При этом,
`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`
`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.
Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.
Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:
`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`
` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`
`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`
.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если
`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен:
`2`. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):
Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.
Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9. |
| Рис. 9 |
С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.
 |
| Рис. 10 |
Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.
`g(a)>0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет два отрицательных решения.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.
`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство
`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)` равно значению левой части в вершине, т. е.
`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.
 |
| Рис. 11 |
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.
Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.
Одним из разделов школьной математики является изучение функциональных зависимостей или функций.
Напомним, что функцией математики называют зависимость величины от одной или нескольких других величин. При этом независимые переменные величины принято называть аргументами, а зависимые – функциями. При этом важно не забывать, что каждому значению аргумента (или аргументов) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Наглядно функции изображают с помощью графика – специального набора точек на плоскости. Пусть имеется функция $$ y=f\left(x\right)$$ одной переменной $$ x$$. На плоскости введём декартову систему координат $$ xOy$$ и рассмотрим множество точек $$ G$$ с координатами $$ (x,f(x\left)\right)$$, где $$ x$$ принадлежит некоторому множеству $$ M$$, которое называется областью определения функции. А множество $$ G$$ называется графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ (рис. 1).
В школьном курсе математики вы изучали такие типы функций:
График линейной функции можно построить по двум точкам, поскольку это прямая линия. Однако стоит заметить, что не всякая прямая будет графиком линейной функции. Если взять вертикальную прямую $$ x=a$$, то такая линия не может быть графиком никакой функции (рис. 2).
Действительно, здесь одному значению переменной $$ x$$ ставится в соответствие несколько значений переменной $$ y$$. Итак,
прямая на плоскости $$ xOy$$ – график некоторой линейной функции тогда и только тогда, когда она не вертикальна.
Напомним геометрический смысл коэффициентов $$ k$$ и $$ b$$ в уравнении прямой $$ y=kx+b:$$ $$ k=\mathrm{tg} \alpha $$ – тангенс угла наклона прямой к оси $$ Ox$$, $$ b$$ – ордината точки пересечения прямой с осью $$ Oy$$. Поэтому две невертикальные прямые $$ y={k}_{1}x+{b}_{1}$$ и $$ y={k}_{2}x+{b}_{2}$$:
Условие перпендикулярности прямых несложно пояснить. Рассмотрим пару прямых, параллельных данным и проходящих через начало координат (см. рис. 3).
Из перпендикулярности этих прямых следует, что $$ \alpha =\phi $$. Поэтому если точка $$ A({a}_{0};{b}_{0})$$ лежит на первой прямой, то точка $$ B(-{b}_{0};{a}_{0})$$ лежит на второй. Ясно, что можно подобрать $$ {a}_{0}\ne 0$$ и $$ {b}_{0}\ne 0$$, откуда $$ {k}_{1}{k}_{2}={\displaystyle \frac{{b}_{0}}{{a}_{0}}}·{\displaystyle \frac{{a}_{0}}{-{b}_{0}}}=-1$$.
Теперь напомним основные сведения о функциях вида $$ f\left(x\right)=a{x}^{2}+bx+c$$.
Сразу отметим, что такая функция квадратична только при $$ a\ne 0$$. В случае же $$ a=0$$ эта функция квадратичной уже не будет. Если в задаче возможна такая ситуация, то случай $$ a=0$$ обязательно нуждается в отдельном рассмотрении. Нужно всегда обращать на это внимание!
Будем считать, что $$ a\ne 0$$. Тогда графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ будет парабола. Такие графики принято строить схематично, учитывая следующее:
Теперь поговорим о графиках степенной функции. Легко убедиться, что график функции
$$ f\left(x\right)={x}^{n}$$ ($$ n\in N$$) при $$ x\ge 0$$
выглядит так, как показано на рис. 4. Для чётных $$ n$$, очевидно, верно $$ f(-x)=f\left(x\right)$$, а для нечетных $$ n$$ верно $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$ для всякого $$ x$$. Поэтому в зависимости от чётности $$ n$$ графики функции $$ f\left(x\right)={x}^{n}$$ имеют такой вид (рис. 5 и 6).
Напомним, что функция, область допустимых значений которой симметрична относительно начала координат, называется чётной, если справедливо равенство $$ f(-x)=f\left(x\right)$$ и нечётной, если $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$. Наример, нетрудно проверить, что функция
$$ f\left(x\right)=|x-2|+|x+2|$$ – чётная,
а функция
$$ g\left(x\right)=|x-2|-|x+2|$$ – нечётная.
В случае нечётного $$ n$$ график симметричен относительно начала координат. Такие функции называют нечётными (рис. 5). Если же $$ n$$ четно, то график симметричен относительно оси ординат. Такие функции называют чётными (рис. 6).
Для построения графика $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$ нужно записать уравнение $$ y=\sqrt[n]{x}$$ или $$ x={y}^{n}$$. Это означает, что график имеет вид линии $$ y={x}^{n}$$, но при этом $$ x$$ и $$ y$$ меняются местами. Для чётных $$ n$$ при этом еще нужно учесть ОДЗ $$ x\ge 0$$. Поэтому график функции $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$ имеет следующий вид в зависимости от чётности натурального числа $$ n$$ (рис. 7, 8):
Рассмотрим теперь функции вида $$ f\left(x\right)=\frac{k}{x}$$.
Поскольку функция $$ f$$ нечётна, то график должен быть симметричным относительно начала координат. Схематический вид графика этой функции показан на рисунке 9.
Если $$ k<0$$, то график функции $$ y={\displaystyle \frac{k}{x}}$$ имеет примерно такой же вид, и его можно получить симметрией относительно оси $$ Oy$$ из графика функции $$ y={\displaystyle \frac{\left|k\right|}{x}}$$ (рис. 10).
Покажем, как меняется график функции $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{k}{x}}$$ при изменении параметра $$ k$$. Если $$ \left|{k}_{2}\right|>\left|{k}_{1}\right|$$, то линия $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{k}_{2}}{x}}$$ более удалена от осей координат, чем $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{k}_{1}}{x}}$$. Схематично это изображено на рис. 11, 12.
Во многих случаях характер зависимости одной переменной от другой может существенно меняться в зависимости от области, которой принадлежит значение аргумента. Функции, которые по-разному задаются на различных интервалах числовой прямой, будем называть кусочно-заданными. Рассмотрим примеры, показывающие, как строить графики таких функций.
Построим график . Ясно, что
Получаем при луч , а при луч (рис. 13).
Рассмотрим ещё несколько примеров построения графиков кусочно-заданных функций.
Построим график функции , где
(см. рис. 14).
Рассмотрим пример графика, содержащего часть гиперболы.
Построим график функции
График первой функции – гипербола `y =−2/x`. По условию берём только ту часть гиперболы, где .
График второй функции – прямая и мы учитываем только ту её часть, где . Получаем искомый график (см. рис. 15).
Рассмотрим интересный вид кусочно-заданных функций.
 |
Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее .
Например, , , а . Функцию легко можно задать на промежутках между парами соседних целых чисел:
`[x] = n` при `n<=x<n+1` для всякого фиксированного целого числа `n`.
Поэтому график этой функции имеет следующий вид (рис. 16).
Рассмотрим более трудный пример.
Построить график функции .
Ясно, что . Далее,
из определения целой части числа следует такое представление:
для всякого целого (рис. 17).
Рассмотрим ещё такой пример.
Изобразим на координатной плоскости множество точек , для которых .
Ясно, что означает, что для некоторого целого `n` верны неравенства и . Набор всех таких точек будет объединением квадратиков так, как показано на рисунке. Жирные участки границ входят в график, а пунктирные и выколотые точки – нет (рис. 18).
С целой частью числа тесно связана такая кусочно-линейная функция.
Дробной частью числа называется число .
К примеру, , , а .
Построим график функции . Ясно, что
при (рис. 19).
Часто возникают задачи, в которых требуется по графику функции $$ y=f\left(x\right)$$ построить график некоторой похожей функции. Такого типа задачи называют задачами на преобразование графиков функций. Наиболее известны два типа преобразований графиков – линейные преобразования графиков, а также преобразования графиков, связанные с модулями. Начнём со второго типа преобразований. Будем полагать, что нам задан график функции $$ y=f\left(x\right)$$.
Как построить график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$? По определению модуля:
$$ y = f\left(\right|x\left|\right) $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} x \ge 0,\\ f(-x), \mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$$
Поэтому график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ состоит из двух частей:
$$ y=f\left(x\right)$$ – в правой полуплоскости, $$ y=f(-x)$$ – в левой полуплоскости. Это означает, что можно сформулировать такое правило:
для построения графика $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$ при $$ x\ge 0$$ (т. е. на оси ординат и справа от неё), а также симметрично отразить эту часть относительно оси `Оy`; часть графика $$ y=f\left(x\right)$$ при $$ x<0$$ (т. е. слева от оси ординат) при этом нужно стереть.
Как построить график функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$? По определению модуля:
$$ y = \left|f\right(x\left)\right| $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right) \ge 0,\\ -f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right)<0.\end{array}\right.$$
Поэтому можно сформулировать такое правило:
для построения графика функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси `Ox`, а часть графика, лежащую ниже оси `Ox`, симметрично отразить относительно этой оси.
Отметим, что для построения графика функции $$ y=\left|f\right(\left|x\right|\left)\right|$$ нужно последовательно провести преобразования ПР1 и ПР2 (в любом порядке).
Рассмотрим ещё один тип преобразований графиков с модулями.
Как построить множество точек `(x, y)` таких, что $$ \left|y\right|=f\left(x\right)$$?
Сразу видно, что на новом графике не должно быть точек, для которых $$ f\left(x\right)<0$$. Поэтому нужно стереть часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую ниже оси абсцисс. Если же $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то $$ y=\pm f\left(x\right)$$ и на новом графике каждому такому значению $$ x$$ должно соответствовать две точки, симметричные относительно оси $$ Ox$$ (если $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то точка одна).
Это означает, что часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси абсцисс, нужно сохранить и симметрично отразить относительно оси $$ Ox$$.
Теперь перейдём к описанию так называемых линейных преобразований графиков. Выделяют, как правило, следующие три типа таких преобразований.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=af\left(x\right)$$, где $$ a\ne 1$$.
Если $$ a$$ – положительное число, то имеем два возможных случая:
а) $$ a>1$$. В данном случае рассматриваемый переход является растяжением графика от оси абсцисс в `a` раз. Покажем на примере линейной функции $$ y=x$$ (рис. 20). Положим $$ a=2$$ и получим график функции $$ y=2x$$ посредством растяжения имеющегося графика в два раза от оси абсцисс (рис. 21).
б) `0<a<1`. В данном случае рассматриваемый переход является сжатием графика к оси абсцисс в `1//a` раз. Пусть имеется линейная функция $$ y=x$$. Если $$ a=\mathrm{0,5}$$, то получим график функции $$ y=\mathrm{0,5}x$$ посредством сжатия имеющегося графика в $$ 1/a=2$$ раза к оси абсцисс (рис. 22).</a<1$$.>
Заметим, что при $$ a<0$$ нужно сначала построить график функции $$ y=\left|a\right|f\left(x\right)$$, а потом симметрично его отобразить относительно оси абсцисс.
В частности, при $$ a=–1$$ исходный график отражается относительно `Ox`.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f\left(x\right)+b$$, где $$ b\ne 0$$ – некоторое число. Рассматриваемый переход является параллельным переносом графика вдоль оси ординат на $$ b$$ единиц. Направление сдвига определяется знаком $$ b$$: если $$ b>0$$, то график сдвигается вверх, а если $$ b<0$$, то вниз.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f(x+c)$$, где $$ с\ne 0$$ – некоторое число. В этом случае исходный график сдвигается вдоль оси абсцисс на величину $$ \left|c\right|$$. Но направление сдвига противоположно знаку числа `c:` если $$ с>0$$, то график сдвигается влево, а если $$ с<0$$, то вправо.
Рассмотрим несколько примеров построения графиков с использованием упомянутого выше набора преобразований.
Для этого нужно выполнить цепочку таких действий (рис 23).
а) Строим график функции $$ y=x-1$$.
б) Выполняем ПР2: часть полученного графика, лежащая над осью $$ Ox$$ сохраняется; а его часть, лежащая под осью $$ Ox$$ отображается симметрично относительно оси $$ Ox$$.
с) Затем сдвигаем график вдоль оси $$ Oy$$ на `2` единицы вниз (ПР5).
д) Выполняем ПР2 снова: часть полученного в предыдущем пункте графика, лежащая выше оси $$ Ox$$, сохраняется, а часть этого графика, которая лежит ниже оси $$ Ox$$, отображается симметрично относительно неё.
Построим график функции $$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}$$.
ОДЗ: $$ \left|x\right|-3\ne 0$$, $$ \left|x\right|\ne 3$$, $$ x\ne 3$$, $$ x\ne -3$$.
Воспользуемся известным тождеством
$$ |x{|}^{2}={x}^{2}$$. Имеем:
$$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{|x{|}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{\left(\right|x|-3)\left(\right|x|+3)}{\left|x\right|-3}}=\left|x\right|+3$$.
Выполняем построения (рис. 24):
а) Строим график функции $$ y=\left|x\right|$$.
б) График $$ y=\left|x\right|$$ сдвигаем вдоль оси $$ Oy$$ на `3` единицы вверх (ПР5).
в) Исключаем из графика точки $$ x=3$$, $$ x=-3$$.
При решении задачи мы учли ОДЗ функции, исключив некоторые точки из графика. Такие точки изображаются, например, в виде выколотых точек (пустых не закрашенных кружков).
Рассмотрим специальный класс функций, графиками которых будут гиперболы.
Дробно-линейной называют всякую функцию вида
,
где и одновременно не равны `0`. Поскольку случай тривиален, то будем считать .
Выполним преобразования:
`f(x)=a/c*(cx+(bc)/a)/(cx+d)=a/c*(cx+d+(bc)/a-d)/(cx+d)=`
`=a/c*((cx+d)/(cx+d)+1/a*(bc-ad)/(cx+d))=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)`,
то есть
`f(x)=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.
Будем считать, что (иначе коэффициенты в числителе и знаменателе пропорциональны, дробь можно сократить и функция есть постоянная величина на области определения). Это означает, что график дробно-линейной функции можно получить из графика функции `f_0(x) =1/x`, выполнив цепочку преобразований:
1. ПР6: `f_1(x)=1/(x+d/c)`;
2. ПР4: `f_2(x)=((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`;
3. ПР5: `f_3(x)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.
На первом шаге нужно сдвинуть график на `−d/c` вдоль оси ,
на втором – сжать его или растянуть и, возможно, отразить в зависимости от коэффициента `(bc-ad)/c^2`, а
на третьем – сдвинуть вдоль оси .
Покажем на примере, как это нужно делать.
Построим график функции . Приведём данную функцию к такому виду:
.
Построим график функции `y=-2/x` (ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях) (рис. 25).
Далее, необходимо, воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинуть график `y=-2/x` на две единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 26). Получим график `y=-2/(x+2)`. Теперь используем преобразование ПР5 и поднимаем график на рис. 26 на единицу вверх. Получим необходимый график функции
(рис. 27).
Постройте график функции
.
Будем выполнять построения в таком порядке:
1) Преобразуем данную функцию:
`y=(3x+4)/(5x+6)=(3x+4)/(5x+6)-3/5+3/5=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.
2) Построим график функции
`y=1/(x+6//5)` (ПР6, см. рис. 28).
Далее, построим график `y=(2//25)/(x+6//5)`, сжав график относительно оси абсцисс в `2//25` раз (ПР4, см. рис. 29).
3) Осталось сдвинуть график на `3//5` единиц вверх и получим окончательный график (ПР6, см. рис. 30)
`y=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.
Построим график функции
.
Будем решать данный пример в таком порядке:
1. Построим гиперболу `y=2/x` (рис. 31).
2. Воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинем эту гиперболу на единицу вправо (вдоль оси абсцисс) и получим график функции `y=2/(x-1)` (рис. 32).
3. Теперь воспользуемся преобразованием ПР1 для построенного в п. 2. графика. Получим график функции `y=2/(|x|-1)` (рис. 33).
4. Воспользуемся преобразованием ПР2 и получим график искомой функции `y=|2/(|x|-1)|` (рис. 34).
Если нужно построить график функции вида , где – некоторые фиксированные числа, то в общем случае нет иного подхода, помимо раскрытия всех модулей. Ясно, что для всякого
Однако, например, в случае невозможно выполнение одновременно двух условий: и . Поэтому простое раскрытие модулей приведет к лишним действиям. Чтобы этого избежать, применяют так называемый метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Числа , упорядочивают по неубыванию и наносят на числовую ось (рис. 35). Если для определённости положить , то это будет выглядеть так:
Получаем, что числовая ось разбивается на интервалов. Если лежит в любом из них, то мы однозначно можем определить знаки всех выражений под модулями и раскрыть модули. В каждом из получившихся интервалов график функции выстраивается отдельно. Граничную точку можно включать в любой из промежутков, концом которого она является. Проиллюстрируем этот алгоритм на примере.
Графически найдите наименьшее значение функции
.
Как видим, функция зависит от четырёх модулей. Нанесём на числовую ось точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль.
Получено `5` интервалов (рис. 36). Для построения графика достаточно раскрыть модули в каждом из этих интервалов и построить соответствующую линию. В виде таблицы изобразим знаки подмодульных выражений и вид функции в рассматриваемых интервалах (граничные точки можно включать в любой из промежутков).
Имеем:
=
Итак, график функции построен (рис. 37)
Перед тем как перейти к нахождению наименьшего значения, сделаем небольшое теоретическое отступление.
С помощью графиков удобно исследовать функции на возрастание и убывание. Функцию называют строго возрастающей, если при . Строго убывающие функции определяются неравенством при . Если при верно , то функцию называют возрастающей, а если , то – убывающей. Для линейных функций признаком возрастания и убывания является знак коэффициента при . Если этот коэффициент отрицателен, то такая функция строго убывает на данном интервале. В случае положительности коэффициента функция строго возрастает. Таким образом, можно сделать такой вывод.
Характер возрастания (возрастание или убывание) функции вида
,
может меняться только в точках (здесь , а , – некоторые числа). Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции такого вида стoит обратить внимание на то, возрастает или убывает такая функция при и , а также сравнить значения функции в точках .
Возвращаемся к нашей задаче.
Как видим, наименьшее значение функции равно `–1` и достигается при . Чтобы это понять, нужно обратить внимание на знаки коэффициентов при x в разных интервалах в формуле для . Из выражения для видно, что эта функция убывает при и возрастает при . А при как раз и достигается искомый минимум .
Похожую схему рассуждений можно применить и в задачах следующего типа.
При каких a неравенство
верно при всех ?
Здесь стоит рассмотреть функцию
.
Это кусочно-линейная функция, так как при раскрытии модуля на каждом из интервалов (их число и расположение зависит от ) получается линейная функция. После раскрытия первого модуля при будет коэффициент , после раскрытия второго - . Поскольку , то в итоге на каждом интервале знак коэффициента при будет отрицательным, то есть строго убывает всюду на числовой прямой. А это означает, что неравенство при всех равносильно простому условию , то есть
.
Для решения последнего неравенства относительно достаточно рассмотреть всего два случая: и . При имеем: , то есть . При получаем: , то есть .
.
Аналог метода интервалов на числовой прямой естественно примени́м и в случае наличия в задаче двух переменных – и . Только тогда вместо интервалов на прямой появляются области на координатной плоскости, в которых определены знаки всех подмодульных выражений и можно раскрыть модули.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: `(|y|)/y=x|x|`.
Переменных две, поэтому рассматривать нужно четыре области на плоскости , задаваемые системами неравенств:
1) ; 2) ; 3) ; 4)
В первом и четвёртом случае после раскрытия модулей получается , то есть . В то же время во втором и третьем случаях получаем , что невозможно на действительной плоскости . После учёта условий на получаем множество точек, изображённое на рис. 38.
Пример 15. Построим множество точек , удовлетворяющих уравнению .
Преобразуем уравнение: . Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений или . Поэтому искомым множеством точек будет объединение этих двух прямых.
Построим множество точек таких, что
.
Преобразуем уравнение с помощью выделения полного квадрата: . Поскольку точные квадраты неотрицательны, то такому уравнению может удовлетворять лишь одна точка .
Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.
Построим множество точек таких, что . Преобразуем уравнение: . Так как модуль равен неотрицательному числу, то
т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка (см. рис. 39).
Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.
Построим множество точек таких, что
.
Равенство будет верно для всяких и , удовлетворяющих ОДЗ. Поэтому искомым множество точек будет ОДЗ, т. е. часть плоскости, ограниченная двумя прямыми и (рис. 40).
Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.
Построим множество точек, удовлетворяющих .
По определению модуля получаем: . Поэтому множество точек – объединение двух прямых линий (рис. 41).
Одним из самых известных уравнений, допускающих красивую геометрическую интерпретацию, является уравнение вида
. (ОКР)
Если заданы числа , и , то легко понять, что точка с координатами и удовлетворяет такому уравнению тогда и только тогда, когда она удалена от точки на расстояние . Поэтому данное уравнение – не что иное, как уравнение окружности с центром в точке и радиусом (при – точки ). К уравнению окружности (ОКР) часто приводятся уравнения, содержащие обе переменные как в первой, так и во второй степени. Например, приведем уравнение к виду (ОКР):
`x^2=7/2x+(7/(2*2))^2+y^2-5/2y+(5/(2*2))^2=(7/(2*2))^2+(5/(2*2))^2`
`(x+7/4)^2+(y-5/4)^2=74/16`.
Покажем примеры построения графиков, связанных с уравнением (ОКР).
Построим график функции .
Имеем систему:
или
График данной функции – полуокружность с центром в точке и радиусом (рис. 42). Отметим, что здесь также существенно преобразование выделения полного квадрата.
