16 статей
Квадратным называют уравнение
$$ a{x}^{2}+bx+c=0$$, (3)
где $$ a\ne 0$$.
Если разделить обе части уравнения (3) на $$ a$$ (это можно сделать, так как $$ a\ne 0$$) и обозначить коэффициенты $$ p=b/a$$ и $$ q=c/a$$, то получим уравнение
$$ {x}^{2}+px+q=0$$ (4)
называемое приведённым квадратным уравнением.
Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.
Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):
$$ a{x}^{2}+bx+c=a\left({x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right) =a\left({x}^{2}+2·\frac{b}{2a}·x+\frac{c}{a}\right)=$$
$$ =a\left({x}^{2}+2·\frac{b}{2a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^{2}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^{2}+\frac{c}{a}\right)=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^{2}-\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}\right)$$. (5)
Выражение $$ {b}^{2}-4ac$$ называется дискриминантом и обозначается буквой $$ D$$. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:
$$ {\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^{2}={\displaystyle \frac{D}{4{a}^{2}}}$$ (6)
Из (6) при $$ D\ge 0$$ получаем $$ {x}_{1}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{2a}}$$; $$ {x}_{2}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{2a}}$$.
Эти формулы можно объединить одной записью
$$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$$ (7)
Обратим внимание, что при $$ D=0$$ выходит, что $$ {x}_{1}={x}_{2}$$. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности `2`.
Если в уравнении (3) коэффициент $$ b$$ имеет вид $$ b=2k$$ (например, если $$ b$$ - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на `2` числителя и знаменателя:
| $$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-2k\pm \sqrt{4{k}^{2}-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-k\pm \sqrt{{k}^{2}-ac}}{a}}$$ |
`(7^')` |
Например, корни уравнения $$ 81{x}^{2}-42x+5=0$$ проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь $$ b=-42=2(-21)$$, поэтому
$$ {x}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{21\pm \sqrt{{21}^{2}-81·5}}{81}}={\displaystyle \frac{21\pm \sqrt{9({7}^{2}-9·5)}}{81}}= {\displaystyle \frac{21\pm 3\sqrt{4}}{81}}={\displaystyle \frac{7\pm 2}{27}}$$,
$$ {x}_{1}={\displaystyle \frac{5}{27}}, {x}_{2}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$.
Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:
`a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`
`=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.
Таким образом, если квадратный трёхчлен $$ a{x}^{2}+bx+c$$ имеет корни, то он раскладывается на множители $$ a{x}^{2}+bx+c=a(x-{x}_{1})(x-{x}_{2})$$. В случае $$ D=0$$ корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем $$ a{x}^{2}+bx+c=a(x-{x}_{0}{)}^{2}$$.
Заметим, что квадратный трёхчлен $$ a{x}^{2}+bx+c$$ имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;
`x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.
Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена $$ {x}^{2}+px+q$$ теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.
Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:
если числа $$ {x}_{1}$$ и $$ {x}_{2}$$ удоветворяют условиям $$ {x}_{1}+{x}_{2}=p$$, $$ {x}_{1}·{x}_{2}=q$$, то эти числа являются корнями уравнения $$ {x}^{2}-px+q=0$$.
Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.
Решите уравнение:
a) $$ {x}^{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{17})x+\sqrt{51}=0$$;
б) $$ 2016{x}^{2}+2017x+1=0$$;
в) $$ \sqrt{3}{x}^{2}+(5-2\sqrt{3})x+(\sqrt{3}-5)=0$$.
a) По теореме, обатной теореме Виета, $$ {x}_{1}=-\sqrt{3}$$ и $$ {x}_{2}=-\sqrt{17}$$ - корни данного уравнения.
$$ x=-\sqrt{3};x=-\sqrt{17}$$.
б) Заметим, что $$ {x}_{1}=-1$$ является корнем данного уравнения. Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение $$ {x}_{1} · {x}_{2} = {\displaystyle \frac{1}{2016}}$$, откуда $$ {x}_{2 }= {\displaystyle \frac{-1}{2016}}$$.
$$ x=-1;x={\displaystyle \frac{-1}{2016}}$$.
в) Заметим, что $$ {x}_{1}=1$$ является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю). Из условия $$ {x}_{1}·{x}_{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}}}$$ получаем, что $$ {x}_{2}=1-{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$$.
$$ x=1;x=1-{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$$.
Найти наибольшее значение выражения $$ 4+7x-3{x}^{2}$$.
Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.
$$ 4+7x-3{x}^{2}=-3\left({x}^{2}-{\displaystyle \frac{7}{3}}x\right)+4=-3\left({x}^{2}-2·{\displaystyle \frac{7}{6}}x +{\displaystyle \frac{49}{36}}-{\displaystyle \frac{49}{36}}\right)+4=$$ $$ -3\left({\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}-{\displaystyle \frac{49}{36}}\right)+4=-3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}+{\displaystyle \frac{49}{12}} +4=-3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}+{\displaystyle \frac{97}{12}}$$.
$$ -3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}\le 0$$ при всех $$ x$$, поэтому максимальное значение выражения достигается, если $$ -3{\left(x-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^{2}=0$$. Значит, это максимальное значение равно $$ {\displaystyle \frac{97}{12}}$$ (достигается при $$ x={\displaystyle \frac{7}{6}}$$).
$$ {\displaystyle \frac{97}{12}}$$.
Пусть $$ {x}_{1}$$ и $$ {x}_{2}$$ - корни квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0$$. выразите $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$$ через коэффициенты уравнения.
По теореме Виета $$ {x}_{1}+{x}_{2}=-{\displaystyle \frac{b}{a}},{x}_{1}{x}_{2}={\displaystyle \frac{c}{a}}$$. Преобразуем $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$$, выделяя полный квадрат:
$$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+2{x}_{1}·{x}_{2}-2{x}_{1}·{x}_{2}=({x}_{1}+{x}_{2}{)}^{2}-2{x}_{1}·{x}_{2}$$.
Отсюда: $$ {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2}-2{\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}}$$.
$$ {\displaystyle \frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}}$$.
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом, `a_0` - свободным членом.
Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.
Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна `4`; степень многочлена `25 + x^5 - 3x` равна `5`; степень многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена.
Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.
Число `a` называется корнем многочлена `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.
Приведём основные сведения о многочленах.
Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.
Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`
на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.
Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)` на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.
Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).
Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д.
Частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток равен `24x-10`.
Таким образом, `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.
Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).
1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.
2) Число `alpha` является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.
3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Многочлен степени `n` не может иметь более `n` корней.
1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что
`F(x) = (x-alpha) G(x) +C` (9)
Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.
Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.
Тогда `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.
Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим
`F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`. (10)
Первая часть доказана.
2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.
3) `alpha` - корень `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для всех значений переменной `x`) `x= beta`. Тогда `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.
`F(beta) = 0` (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0` (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`, т. е. `F(x)` делится на `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.
Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.
Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.
По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.
Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:
`F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.
Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,
`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`. (11)
Подставим в равенство (11) `x=3` и `x=-5`:
`F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда $$ \left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\ -5a+b=-9.\end{array}\right.$$
Решая эту систему, нахоим, что `a=(11)/8`, `b=- (17)/8`.
Докажите, что
$$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=4$$. (12)
Пусть $$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=x$$. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:
$$ 26-15\sqrt{3}+3\sqrt[3]{{\left(26-15\sqrt{3}\right)}^{2}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{{\left(26+15\sqrt{3}\right)}^{2}}+26+15\sqrt{3}={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{{26}^{2}-{\left(15\sqrt{3}\right)}^{2}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
`52+3x=x^3`;
`x^3-3x-52=0`. (13)
Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)). Поскольку `x=4` является корнем, многочлен `x^3 - 3x-52` делится на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:
$$ {x}^{3}-3x-52=0\iff \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+13\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x-4=0,\\ {x}^{2}+4x+13=0.\end{array}\right.$$
У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13) имеет ровно один корень `x=4`.
При каких `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?
1-й способ. Выполним деление с остатком:
Приравниваем коэффициенты остатка к нулю
$$ \left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\ b-6a-10=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.$$
2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.
Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями многочлена. То есть,
$$ \begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0, \\ F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\ 46+8a+b=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$
`a=-4`, `b=-14`.
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.
Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.
Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:
`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`
$$ \iff \left[\begin{array}{l}x-1=0,\\ {x}^{2}+5x+3=0,\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}}.\end{array}\right.$$
`x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.
Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.
Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.
Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что
`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ...``+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.
Умножим обе части на `q^n`, получаем:
`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.
Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:
`p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=-a_0q^n`. (14)
Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.
Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.
Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Решите уравнение
а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)
б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)
а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:
`539=7^2*11`.
Поэтому `p` может принимать значения:
`+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`.
Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:
`(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.
Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:
`(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.
`x=-7`; `x=-1`; `x=11`.
1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.
2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.
б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:
`+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,``+-5/6`.
Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем
`(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.
Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` - корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:
`(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.
Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.
`x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.
К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.
Разложите на множители:
а) `x^4+4`;
б)* `x^3-3x^2-3x-1`;
в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;
г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.
а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`
`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.
Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:
`a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`
`=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.
б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)`$$ ={\left(\sqrt[3]{2}x\right)}^{3}-{\left(x+1\right)}^{3}=$$
$$ =\left(\sqrt[3]{2}x-x-1\right)\left(\sqrt[3]{4}{x}^{2}+\sqrt[3]{2}x\left(x+1\right)+{\left(x+1\right)}^{2}\right)$$.
в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:
`x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=``x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.
Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:
`t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.
В итоге получаем:
`x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.
Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).
г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению
`x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.
Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.
Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть
`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`. (17)
Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:
`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`
`=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`. (18)
Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ b+ac+d=-20,\\ ad+bc=13,\\ bd=-2.\end{array}\right.$$ (19)
Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.
Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:
1) `b=1` и `d=-2`;
2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:
1) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-19,\\ -2a+c=13.\end{array}\right.$$
Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.
2) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-21,\\ -a+2c=13.\end{array}\right.$$
Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому
`x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.
Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.
Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.
Решите уравнение:
а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;
б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;
в) `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;
г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;
д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;
е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.
а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда $$ \left[\begin{array}{l}t=1,\\ t=-2.\end{array}\right.$$
Если `t=-2`, то решений нет.
Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`$$ \left[\begin{array}{l}x=3,\\ x=5.\end{array}\right.$$
`x=3`; `x=5`.
б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим
`(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`
`+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`
`ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.
Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.
`x=2`, `x=4`.
Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.
в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff`
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}+t+18\left({t}^{2}-4t\right)=18\left({t}^{2}-3t-4\right)\\ t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\ne 0\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-17t+72=0,\\ t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=8,\\ t=9.\end{array}\right.$$
Теперь найдём `x:`
$$ \left[\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^{2}=8,\\ {\left(x+1\right)}^{2}=9\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x+1=\pm 2\sqrt{2},\\ x+1=\pm 3\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1-2\sqrt{2},\\ x=-1+2\sqrt{2},\\ x=2,\\ x=-4.\end{array}\right.$$
`x=-1+-2sqrt2`; `x=2`; `x=-4`.
г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).
`((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`
`iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.
Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:
`(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,
откуда
$$ \left[\begin{array}{l}{x}^{2}+3x-19=21,\\ {x}^{2}+3x-19=-21\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^{2}+3x-40=0,\\ {x}^{2}+3x+2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5,\\ x=-8,\\ x=-1,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
`x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.
д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):
`4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`. Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда
$$ {\displaystyle \frac{4}{t}}+{\displaystyle \frac{3}{t-2}}=1\iff \left\{\begin{array}{l}4\left(t-2\right)+3t={t}^{2}-2t,\\ t\left(t-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-9t+8=0,\\ t\left(t-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1,\\ t=8.\end{array}\right.$$
Теперь найдём `x:` $$ \left[\begin{array}{l}4x+{\displaystyle \frac{7}{x}}-8=1,\\ 4x+{\displaystyle \frac{7}{x}}-8=8\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4{x}^{2}-9x+7=0,\\ 4{x}^{2}-16x+7=0.\end{array}\right.$$
Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа `x=7/2` и `x=1/2`.
`x=1/2`; `x=7/2`.
е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:
`25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`
`iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`
`iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.
Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`
`25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff5t^2-30t+144/5=0`.
Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:
`D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`.
Теперь найдём `x:`
$$ \left[\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{24}{5}},\\ x-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}5{x}^{2}-24x-5=0,\\ 5{x}^{2}-6x-5=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{1}{5}};\\ x=5;\\ x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{34}}{5}}.\end{array}\right.$$
`5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.
1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену `x+-1/x=t`.
2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы решений.
Прежде чем приступать к выполнению домашнего задания, рекомендуем проработать предложенный материал «с карандашом», параграф за параграфом: вспомнить одни и узнать другие теоремы, выписать и выучить формулы, прорешать приведённые примеры.
Контрольные вопросы составлены так, чтобы проверить, как Вы усвоили темы Задания, есть ли пробелы в знаниях, умеете ли Вы решать несложные задачи на доказательство, делать выводы из разобранных теорем, а также видеть «подводные камни» в вопросах и задачах.
Приступая к ответам на контрольные вопросы, сделайте рисунок (если надо) на черновике, уясните вопрос, подберите нужный пример или продумайте доказательство. Окончательные ответы должны быть достаточно подробные. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Примеры ответов приведены в конце задания.
Задачи могут Вам показаться сложнее решаемых в школе. Если задача не получается, найдите в тексте подобную ей задачу и разберите её решение. Либо подумайте, на какую тему – и повторите соответствующий параграф, а затем сделайте ещё одну попытку.
Может случиться, что не все задачи удалось решить. Печально, но не следует приходить в отчаяние. Ведь и не предполагается, что все поступившие в ЗФТШ уже все знают и умеют. Школа как раз и хочет научить Вас, поэтому высылайте то, что получилось. Обратно Вы получите проверенную Вашу тетрадь и, кроме того, подробные решения всех задач и ответы на все вопросы. Это даст Вам возможность разобрать «не поддавшиеся» задачи, узнать, как они решаются, и в другой раз, в следующем задании, в работе в школе, на олимпиаде, выступить успешнее.
Каждый ответ и решение каждой задачи оцениваются в очках. За полное правильное решение или верный ответ выставляется то число очков, которое указано в скобках после номера вопроса или задачи. За ошибки, недочёты снимается некоторое число очков. За неверный ответ на вопрос или неправильное решение задачи ставится ноль очков.
В решениях и доказательствах иногда делаем по 2 - 3 рисунка для того, чтобы легче было следить за ходом рассуждений.
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`c` - гипотенуза `AB`;
`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `"tg"alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
`a^2 = c * a_c`
`b^2 = c * b_c`
Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.
Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`. Аналогично доказывается второе равенство.
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
`h^2 = a_c * b_c`
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `"tg"alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `"tg"alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
`a * b = c * h`
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
`m_c = 1/2 c`
Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MK\Vert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`
.
Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MK\Vert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
`R = m_c = 1/2 c`
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`, `AN = AC - CN`, т. е. `BF = a - r` и `AN = b - r`.
Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b - r`.
Аналогично доказывается, что `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b - r) + (a - r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.
1. Пусть `a_c = 9`, `b_c = 16` (рис. 4), тогда `c = a_c + b_c = 25`.
2. По Свойству 1: `a = sqrt(c * a_c) = 15`, `b = sqrt(c * b_c) = 20`.
3. По Свойству 6: находим радиус `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.
1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1` (рис. 5), откуда `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)` и `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.
2. По условию `b = 2a`, значит `b^2 = 4a^2`, т. е. `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
Находим `c = (10)/3`, и `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5` и `b = 2a = 4/3 sqrt5`.
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.
основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6).
В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.
По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая медиана делится точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.
Пусть `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а).
Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, $$ EK\Vert AD)$$ и `DL = LC` `(/_ACB`, $$ AD\Vert FL)$$. Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $$ NK\Vert MD\Vert FL)$$, поэтому `BM = 2MF`.
Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.
Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.
Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.
Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8).
Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n` и `BO = 2/3 m`.
2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3` и `BN = 1/2 BC = 4`),
получим: $$
\left\{
\begin{aligned}
16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
\end{aligned}
\right.
$$
Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
3. Длина стороны `AB` находится из прямоугольного треугольника `AOB:`
`x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.
Итак, `AB = 2 sqrt5`.
Свойства высот и биссектрис будут далее рассмотрены в §3.
Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F'` подобны, то пишется `F ~ F'`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC ~ Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` - в `B_1`, `C` - в `C_1`.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC ~ Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,
`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.
Два треугольника подобны, если:
1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.
Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.
Доказательство
Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.
И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.
Решение
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MO\parallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому
`(MO)/(AD) = (BO)/(BD)` (1)
2. $$ AD\parallel BC$$, `Delta AOD ~ Delta COB` по двум углам (рис. 10б):
`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.
3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение
`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.
Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.
Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MN\parallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.
1. Пусть $$ BF\Vert CD$$ и $$ ME\Vert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME ~ Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.
2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` - параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x - a`; `AE = 5a - x`. Итак, имеем `(5a - x)/(x - a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.
Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.
Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.
Попытайтесь доказать это самостоятельно.
Прямоугольные треугольники подобны, если:
1. они имеют по равному острому углу;
2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;
3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.
Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.
СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС
Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` - его высоты, то `Delta A_1B_1C ~ Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).
Доказательство
Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).
В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` - прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.
В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` - прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.
В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.
Таким образом, `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12б), угол `C` - острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.
Рассуждения аналогичны:
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$
коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.
Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12в), угол `C` - тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.
`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ - /_ C`, `cos varphi = - cos C = |cos C|`.
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$
с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.
В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).
Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).
Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).
Решение
По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.
Аналогично `Delta AB_1C_1 ~ Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.
Так как `BB_1` - высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.
Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ - /_B`, т. е. луч `B_1B` - биссектриса угла `A_1B_1C_1`.
Аналогично доказывается, что `A A_1` - биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` - биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.
Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.
Решение
`Delta AHB_1 ~ Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.
Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.
Решение
1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ - C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` - острый, `/_ C = 45^@`.
Ответ:
`/_ C = 45^@`.
Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` - биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.
Доказательство
Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).
Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` - биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ AD\Vert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.
Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.
Решение
Пусть `AD` - биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).
По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x < 3x + 8)`, `3x < 5x + 8` и `ul (8 < 3x + 5x)`. Получаем ограничения `x<4` и `x > 1`.
Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16 < P < 40)`.
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если $$ {l}_{1}\parallel {l}_{2}$$, то `(AC)/(AB) = (AC_1)/(AB_1) = (C C_1)/(BB_1)` или `m/x = (m + n)/(x + y) = n/y`.
Точка `N` лежит на стороне `AC` треугольника `ABC` причём `AN:NC = 2:3`. Найти, в каком отношении медиана `AM` делит отрезок `BN`.
1. Пусть `O` - точка пересечения медианы `AM` и отрезка `BN`. Требуется найти отношение `BO:ON`. Обозначим `AN = 2x`, тогда `NC = 3x`. Отметим, что `BM = MC` (рис. 18а).
Проведём прямую `NK` параллельно медиане `AM` (рис. 18б).
Параллельные прямые `AM` и `NK` пересекают стороны угла `MCA`, следовательно, `(MK)/(KC) = 2/3`. Полагаем `ul (MK = 2y)`, тогда `KC = 3y`, а т. к. `BM = MC`, то `ul (BM = 5y)`.
2. Те же прямые пересекают стороны угла `NBC` (см. рис. 18в), поэтому `(BO)/(ON) = (BM)/(MK) = (5y)/(2y)`, т. е. `(BO)/(ON) = 5/2`.
Точки `D` и `F` лежат на сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` (рис. 19), при этом `AD:DB = 1:2` и `BF:FC = 2:3`. Прямая `DF` пересекает прямую `AC` в точке `K`. Найти отношение `AK:AC`.
1. Пусть `AD = x`, `BF = 2y`, `KA = z`. Тогда `DB = 2x` и `FC = 3y`.
Проводим прямую `AE`, параллельную стороне `CB`.
`Delta ADE ~ Delta BDF| => AE:BF = AD:BD => ul(AE = y)`.
2. `Delta KAE ~ Delta KCF | => (KA)/(KC) = (AE)/(CF)`, т. е. `z/(a + z) = y/(3y)`. Находим `a = 2z`.
`AK:AC = 1:2`.
В треугольнике `ABC` точки `D` и `K` лежат соответственно на сторонах `AB` и `AC`, отрезки `BK` и `CD` пересекаются в точке `O` (рис. 20), при этом `BO:OK = 3:2` и `CO:OD = 2:1`. Найти в каком отношении точка `K` делит сторону `AC`, т. е. `AK:KC`.
1. Полагаем `OD = x`, `OK = 2y`, тогда `OC = 2x` и `BO = 3y`.
Проводим прямую $$ KF\parallel CD$$ (рис. 20б).
Из $$ KF\parallel OD$$ `(/_ ABK)` следует `BD:DF = 3:2`. Обозначаем `DF = 2p`, тогда `BD = 3p`.
2. `Delta FBK ~ Delta DBO`, `FK:DO = FB:DB`, откуда `FK = (5p)/(3p) * x = 5/3 x`.
3. `Delta AFK ~ Delta ADC`, `AF:AD = FK:DC`. Обозначаем `AF = z`, имеем `z/(z + 2p) = (5/3 x)/(3x)`,
откуда `z = 5/2 p`, т. е. `AF = 5/2 p`.
4. Рассматриваем `/_ BAC`, $$ FK\parallel DC$$, по теореме `AK:KC = AF:FP`, т. е. `AK:KC = 5:4`.
Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.
Пусть в треугольнике `ABC` точка `A_1` лежит на стороне `BC`, точка `C_1` - на стороне `AB`, а точка `B_1` - на продолжении стороны `AC` за точку `C`.
Если точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
`(AC_1)/(C_1 B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`. `(**)`
Обратно, если выполняется равенство `(**)`, то точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать `B_1C_1` секущей треугольника `ABC`, а можно считать `BC` секущей треугольника `AB_1C_1`).
а) Предположим, что точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. Проведём $$ CK\parallel AB$$ (рис. 21). `Delta CKB_1 ~ Delta AC_1B_1`, поэтому `(CK)/(AC_1) = (CB_1)/(AB_1)`, откуда `CK = (CB_1)/(AB_1) * AC_1`.
Далее: `Delta CKA_1 ~ Delta BC_1A_1`, значит
`(CK)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`.
Подставляя сюда выражение для `CK`, получим `(CB_1)/(AB_1) * (AC_1)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`, т. е. `(AC_1)/(C_1B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`, ч. т. д.
б) Пусть выполнено равенство `(**)` для точек `A_1`, `B_1` и `C_1` (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.
Через две точки `A_1` и `B_1` проведём прямую, пусть `C_2` - её точка пересечения с прямой `AB` (точка пересечения будет лежать на отрезке `AB`).
Три точки `A_1`, `B_1` и `C_2` лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
`(AC_2)/(C_2B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.
Сравнив это равенство с равенством `(**)`, придём к выводу, что `(AC_2)/(C_2B) = (AC_1)/(C_1B)`. Точки `C_2` и `C_1` лежат на отрезке `AB` и делят его в одном отношении, считая от конца `A`. Следовательно, точка `C_2` совпадает с точкой `C_1`, т. е. точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой.
Стрелки на рисунке 21 (от точки `A`) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции `(**)`.
Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем `BO = m`, `ON = n` (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник `CBN` и секущую `AM`.
Имеем:
`(CM)/(BM) * (BO)/(ON) * (NA)/(AC) = 1`, т. е. `1/1 * m/n * (2x)/(5x) = 1`, откуда `m/n = 5/2`.
Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24).
Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $$ MP\parallel BC$$ и `AM = MB`. По теореме Фалеса `AP = PC`.
В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $$ MQ\parallel AD$$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $$ QN\parallel BC$$. По теореме Фалеса `CN = ND`.
Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Свойства 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`.
Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2` и `PQ = (a - b)/2`.
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).
Докажем, что эта прямая делит основания пополам.
Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`.
Имеем:
, т. е. `x/u = y/v`.
Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`, `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`, поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`, т. е. `x/v = y/u`.
Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует `x = y`, но тогда и `u = v`.
В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Проведём $$ CF\parallel BA$$ (рис. 26).
`ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно, `/_ 1 = /_ 3`.
В равнобокой трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27).
`BMCN` - прямоугольник, `MN = b`, тогда `ND = (a - b)/2`, а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`.
В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Свойства 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Свойства 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.
Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B` переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны.
Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Свойства 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`.
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна `6`. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен `4,5` (рис. 30). Найти другую диагональ.
1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
`ON = 1/2 AD`.
Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Свойству 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом, `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`, поэтому `AD + BC = 2MN = 9`.
2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`, значит, `BK = BC + AD = 9`. Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.
В равнобокой трапеции с периметром `10` и высотой `2` диагонали, пересекаясь, делятся в отношении `4:1`. Найти основания.
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и `AO:OC =BO:OD= 4:1`. Треугольники `AOD` и `COB` подобны, `AO:OC = AD:BC = 4`, т. е. `AD = 4BC`. Обозначим `BC = x`, тогда `AD = 4x`.
2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`, а как следует из Свойства 5,
`KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.
Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`. Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.
Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`, оно имеет единственный корень `x = 1`.
Итак, `BC = 1`, `AD = 4`.
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.
2. Если в контрольном вопросе сначала требуется сформулировать или доказать некоторую теорему, то формулировать теорему полностью, а ответ на сопутствующий вопрос надо постараться дать на основе этой теоремы.
3. Если в решении длина какого-либо отрезка выразится иррациональным числом (например, `a = sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.
4. Если в решении использовались тригонометрические функции и получилось, например, `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cosalpha`, `sin 2 alpha`, `sin (alpha + 45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам! Например
`cos alpha = - sqrt(1 - sin^2 alpha) = - 1/3`,
если угол `alpha` тупой и `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, а
`sin (alpha + 45^@) = sin alpha * cos 45^@ + cos alpha * sin 45^@ = (sqrt2)/2 (sin alpha + cos alpha)`.
5. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняю-щим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.
6. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 12 и рис. 15 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение или проверить его).
7. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1) … 2) … 3) … и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделять, например, так
`AD=3//2x`, `BC=1`.
Кроме того, вычисления разумно производить в кратких обозначениях (а математика – это здравый смысл), например
`x/y = u/v`, `x/v = y/v|=> x = y` и `u = v`
или `a = sqrt (c(c/2 - 1))`,
а не `BC = sqrt (AB((AB)/2 - MN))`.
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
Вопрос. Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?
Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
Из равенства треугольников следует
`CD = AB` (1)
и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из (1) заключаем: `BC = AB`. Утверждение доказано.
По взглядам учёных античных времён считалось, что для движения необходимо наличие действия других тел. Если же действие это прекращается, то тело останавливается и возвращается в состояние покоя. Таким образом, покой выступал к ак основное состояние тела, а движение – как временное состояние, обязательно прекращающееся.
Такая точка зрения просуществовала до XVI века, когда Галилеем были сформулированы суждения принципиально другого толка. Галилей считал, что любое тело сохраняет состояние, в котором оно находится, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы. Так, физическое тело, лежащее на столе, находится в покое, поскольку на него действует Земля и стол, а действия эти равны по величине и противоположны по направлению. Но тело может не только находиться в покое при равенстве действий других тел, но и двигаться равномерно и прямолинейно. Например, металлический шар, брошенный в воду, тонет с постоянной скоростью (на начальном участке движения это не так, но потом движение действительно станет равномерным). При этом действие Земли скомпенсировано действием воды. И, наконец, тело, движущееся вдали от других тел (современным примером было бы движение космического корабля вдали от гравитирующих масс), будет сохранять свою скорость постоянной относитель но некоторой системы отсчёта, потому что нет тел, которые своим действием изменили бы это состояние движения.
Ньютон попытался построить учение о движении тел, основываясь на свойствах пространства и времени. По его мнению следовало, что вследствие однородности и изотропности пространства тело сохраняет состояние, в котором оно находится. Если оно в какой-либо системе отсчёта находилось в покое, то и продолжает сохранять покой в этой с. о., если оно двигалось равномерно и прямолинейно, то сохраняет состояние движения. Само движение остаётся равномерным и прямолинейным , потому что пространство во всех точках имеет одинаковые свойства (однородно) и по всем направлениям так же имеет одинаковые свойства (изотропно).
называют явление сохранения скорости телом, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
относительно которой тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы.
Любая другая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, тоже является инерциальной.
Таким образом, достаточно найти хотя бы одну и иерциальную систему отсчёта (далее ИСО), чтобы потом выбирать удобную ИСО.
Ньютон считал, что прос ранство абсолютно и неподвижно и что с ним можно связать хотя бы одну ИСО, неподвижную относительно пространства.
Практический же поиск ИСО представляет целую научную проблему. Несмотря на сложность поиска ИСО, первый (основополагающий) закон Ньютона постулирует их существование.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы.
Первый закон Ньютона является следствием свойств пространства и времени, т. е. тело может двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в покое (если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы) только тогда, когда свойства пространства в разных точках и направления в нём (вдоль траектории движения тела) равноправны. Сами свойства пространства и времени являются содержанием первого закона (его физическим смыслом). И если хотя бы одна ИСО существует, то остальных ИСО сколько угодно, и все они выступают на равных правах!
Данное утверждение имеет огромное значение и называется принципом относительности Галилея, и потому выпишем отдельно:
1. Все ИСО равноправны.
2. При переходе из одной ИСО в другую форма зписи законов механики не меняется.
3. Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить равномерное прямолинейное движение.
Все три формулировки имеют одинаковый смысл, но разнообразие этих формулировок расширяет понимание данного принципа.
Например, третья формулировка говорит о следующем: пусть мы находимся в закрытом от внешнего мира пространстве (закрытый вагон на очень гладких прямолинейных рельсах без стыков) . Проводя внутри вагона разнообразные механические опыты и анализируя их результаты, мы не сможем ответить на вопрос – движемся ли мы равномерно и прямолинейно или находимся в покое относительно дороги (результаты опытов не зависят от места в пространстве и направления движения в нём).
Вторая формулировка утверждает, что результаты опытов, проведённых в вагоне (движущемся равномерно и прямолинейно), будут точно такими же, как и те, что получены при наблюдении за тем же опытом через окно вагона наблюдателем, стоящим на поверхности Земли неподвижно.
Первая формулировка лаконично обобщает все факты, но для полного понимания требуется пояснение или расшифровка, которая звучит в других формулировках.
Из перечисленных примеров вытекает, что вполне очевидной будет ситуация, в которой на тело действуют другие тела, а ускорения нет; и невероятной будет ситуация, когда на тело не действуют тела, а ускорение есть.
Из наблюдений можно заметить, что тела изменяют свою скорость только при наличии не скомпенсированного действия. Т. к. быстрота изменения скорости характеризуется ускорением тела, можем заключить, что причиной ускорения является некомпенсированное действие одного тела на другое. Но одно тело не может действовать на другое, не испытывая его действия на себе. Следовательно, ускорение появляется при взаимодействии тел. Ускорение приобретают оба взаимодействующие тела. Так же из наблюдений можно установить ещё один факт: при одинаковом действии разные тела приобретают разные ускорения.
Условились считать: чем меньше ускорение приобретает тело при взаимодействии, тем инертнее это тело.
это свойство тела сохранять свою скорость постоянной (то же, что и инерция). Проявляет себя в том, что для изменения скорости тела требуется некоторое время. Процесс изменения скорости не может быть мгновенным.
Например, движущийся по дороге автомобиль не может мгновенно остановиться, для уменьшения скорости требуется некоторое время, а за это время он успевает переместиться на довольно большое расстояние (десятки метров). (Осторожно переходите дорогу!!!)
Мерой инертности является инертная масса.
Масса (инертная) – мера инертности тела.
Чем инертнее тело, тем больше его масса. Чем больше инертность, тем меньше ускорение. Следовательно, чем больше масса тела, тем меньше его ускорение:
| `a~1/m` |
Данная зависимость записана единственно правильным способом, т. к. форма `m~1/m` не верна. Масса не может зависеть от ускорения, она является свойством тела, а ускорение является характеристикой состояния движения тела.
Данная зависимость подтверждается многочисленными опытными результатами.
Два тела, скреплённые между собой сжатой пружиной, после пережигания нити, удерживающей пружину, начинают двигаться некоторое время с ускорением (рис. 1).
Опыт показывает, что при любых взаимодействиях данных двух тел отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс:
`a_1/a_2=m_2/m_1`;
если взять первую массу за эталонную `(m_1=m_("эт"))`, то `m_2=m_("эт") (a_("эт"))/(a_2)`.
Масса, измеренная путём взаимодействия (измерения ускорения), называется инертной.
Измерение массы методом взвешивания тел.
Второй способ измерения масс основан на сравнении действия Земли на различные тела. Такое сравнение можно осуществить либо последовательно (сначала определяют растяжение пружины под действием эталонных масс, а потом под действием исследуемого тела в тех же условиях), либо одновременно располагают на равноплечих рычажных весах на одной чаше исследуемое тело, а на другой эталонные массы (рис. 2).
Масса, измеренная путём взвешивания, называется гравитационной.
Раньше в качестве эталона и той и другой массы была принята масса тела, выполненного в форме цилиндра высотой `39` мм и диаметром `39` мм, изготовленного из сплава `10 %` иридия и `90 %` платины (рис. 3).
Для создания нового эталона массы теперь применяется баланс Киббла – напоминающее весы устройство, которое определяет, какой ток нужен для того, чтобы создать электромагнитное поле, способное уравновесить чашу с тестируемым эталоном. Это позволяет вычислить постоянную Планка с беспрецедентной точностью. Знание постоянной Планка, в свою очередь, позволяет определить точную массу объекта в другом режиме работы баланса Киббла.
Преимущество нового эталона в том, что баланс Киббла всегда можно изготовить заново и провести с помощью него необходимые вычисления. Материальный эталон может быть потерян и уничтожен, кроме того, его масса не остается постоянной, хотя он всегда равен одному килограмму по определению.
Платиново-иридиевый цилиндр из Палаты мер и весов ушел из употребления 20 мая 2019 года.
В 1971 г наши соотечественники Брагинский и Панов придумали и провели опыт по сравнению массы гравитационной и инертной. Оказалось, что с точностью до `10^(-12)%` эти массы равны.
Данный факт известен был и ранее, и послужил основанием для формулировки Эйнштейном принципа эквивалентности.
утверждает, что
1) ускорение, вызванное гравитационным взаимодействием в малой области пространства, и за небольшой интервал времени, неотличимо от ускоренно движущейся системы отсчёта.
2) ускоренно движущееся тело эквивалентно неподвижному телу, находящемуся в гравитационном поле.
Два тела массами `400` г и `600` г двигались навстречу друг другу и после удара остановились. Какова скорость второго тела, если первое двигалось со скоростью `3` м/с?
Сила, возникающая при взаимодействии тел, конечно же, не остаётся постоянной, и ускорения тоже. Мы будем считать, что и силы, и ускорения принимают некоторые средние значения, причём одинаковые для любого момента времени. Отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс: `a_1/a_2=m_2/m_1`. В свою очередь, ускорение равно отношению изменения скорости ко времени изменения. Конечные скорости тел равны нулю, а время взаимодействия одинаково для обоих тел:
`m_2/m_1=a_1/a_2=((Deltav_1)/(Deltat))/((Deltav_2)/(Deltat))=(v_("к"1)-v_(01))/(v_("к"2)-v_(02))=(v_(01))/(v_(02))`,
откуда получим искомую скорость: `v_(02)=m_1/m_2v_(01)`.
Количественно ответ будет таким: `v_(02)=(0,4 "кг")/(0,6 "кг")*3"м"/"с"=2"м"/"с"`.
Сила является мерой взаимодействия (взаимного действия). Если действие велико (мало), то говорят о большой (малой) силе. Сила обозначается буквой `F` (первая буква слова force).
При взаимодействии чем больше сила, тем больше ускорение тела, на которое эта сила действует. Следовательно, ускорение прямо пропорционально действующей силе: `a~F`.
Но уже говорилось о том, что ускорение зависит от массы тела: `a~1/m`.
Обобщая эти зависимости получим:
`a=F/m`, или `F=ma`.
Теперь рассмотрим свойства силы, устанавливаемые опытным путём:
1) Результат действия (проявления) силы зависит от направления действующей силы, следовательно, сила – величина векторная.
2) Результат действия (проявления) силы зависит от величины приложенной силы.
3) Результат действия (проявления) силы зависит от точки приложения силы.
4) За единицу силы принято значение такой силы, которая вызывает ускорение `1 "м"//"c"^2` у тела массой `1` кг. Единицу силы назвали в честь Исаака Ньютона `1` Ньютон. (Произносить фамилию считается правильным таким образом, как произносится фамилия в том государстве, где проживал или проживает учёный.)
`[vecF]=1"H"=1 "кг"*"м"/("с"^2)` (Ньютон).
5) Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая сила действуетнезависимо от других. (Принцип суперпозиции сил). Тогда все силы необходимо сложить векторно и получить результирующую силу (рис. 4).
Из приведённых свойств силы следует, как обобщение опытных фактов, второй закон Ньютона:
Сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой суммой сил:
`sumvecF=mveca`.
Данное выражение можно представить и в другой форме: так как `veca=(vecv_"к"-vecv_0)/t`, то второй закон Ньютона примет вид: `sumvecF=m(vecv_"к"-vecv_0)/t`.
Произведение массы тела и его скорости называют импульсом тела: `vecp=mvecv`,
тогда получим новое выражение для второго закона Ньютона:
`sumvecF=(mvecv_"к"-mvecv_0)/t=(vecp_"к"-vecp_0)/t=(Deltavecp)/t`.
`sum vecF=(vecp_"к"-vecp_0)/t` – второй закон Ньютона в импульсной форме для среднего значения силы. Здесь `vecp_"к"-vecp_0=Deltavecp` – изменение импульса тела, `t` – время изменения импульса тела.
`sumvecF=(dvecp)/(dt)` – второй закон Ньютона в импульсной форме для мгновенного значения силы.
Из второго закона в частности следует, что ускорение тела, подвергающегося действию нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой:
`veca=sumveca_i=veca_1+veca_2+...+veca_i=(sumvecF)/m=`
`=(vecF_1+vecF_2+...+vecF_i)/m=(vecF_1)/m+(vecF_2)/m+...+(vecF_i)/m`.
Первая форма записи второго закона `(sumvecF=mveca)` справедлива только при малых скоростях по сравнению со скоростью света. И, разумеется, выполняется второй закон Ньютона только в инерциальных системах отсчёта. Также следует отметить, что второй закон Ньютона справедлив для тел неизменной массы, конечных размеров и движущихся поступательно.
Второе (импульсное) выражение имеет более общий характер и справедливо при любых скоростях.
Как правило, в школьном курсе физики сила со временем не меняется. Однако последняя импульсная форма записи позволяет учесть зависимость силы от времени, и тогда изменение импульса тела будет найдено с помощью определённого интеграла на исследуемом интервале времени. В более простых случаях (сила изменяется со временем по линейному закону) можно брать среднее значение силы.
Иногда очень полезно знать, что произведение `vecF*t` называют импульсом силы, и его значение `vecF*t=Deltavecp` равно изменению импульса тела.
Для постоянной силы на графике зависимости силы от времени можем получить, что площадь фигуры под графиком равна изменению импульса (рис. 5).
Но даже если сила будет изменяться со временем, то и в этом случае, разбивая время на малые интервалы `Deltat` такие, что величина силы на этом интервале остаётся неизменной (рис. 6), а потом, суммируя полученные «столбики», получим:
Площадь фигуры под графиком `F(t)` численно равна изменению импульса.
В наблюдаемых природных явлениях сила, как правило, меняется со временем. Мы же часто, применяя простые модели процессов, считаем силы постоянными. Сама же возможность использования простых моделей появляется из возможности подсчёта средней силы, т. е. такой постоянной силы, у которой площадь под графиком от времени будет равна площади под графиком реальной силы.
Следует добавить ещё одно очень важное следствие второго закона Ньютона, связанное с равенством инертной и гравитационной масс.
Неразличимость гравитационной и инертной масс означает, что и ускорения, вызванные гравитационным взаимодействием (законом всемирного тяготения) и любым другим тоже неразличимы.
Мяч массой `0,5` кг после удара, длящегося `0,02` с, приобретает скорость `10` м/с. Найти среднюю силу удара.
В данном случае рациональнее выбрать второй закон Ньютона в импульсной форме, т. к. известны начальная и конечная скорости, а не ускорение, и известно время действия силы. Также следует отметить, что сила, действующая на мяч, не остаётся постоянной. По какому закону меняется сила со временем, не известно. Для простоты мы будем пользоваться предположением, что сила постоянная, и её мы будем называть средней.
Тогда `sumvecF=(Deltavecp)/t`, т. е. `vecF_("ср")*t=Deltavecp`. В проекции на ось, направленной вдоль линии действия силы, получим: `F_"ср"*t=p_"к"-p_0=mv_"к"`. Окончательно для искомой силы получим:
`F_"ср"=(mv_"к")/t`.
Количественно ответ будет таким:
`F_"ср"=(0,5"кг"*10"м"/"с")/(0,02"с")=250"H"`.
Из анализов многочисленных опытов, как уже отмечалось, было получено соотношение масс взаимодействующих тел и их ускорений:
`m_2/m_1=a_1/a_2`, или `m_1a_1=m_2a_2`.
Но мы знаем из опытов, что при взаимодействии всегда ускорения тел противоположны друг другу: `veca_1 uarr darr veca_2`, следовательно, `m_1veca_1=m_2veca_2`.
Но произведение массы тела на ускорение этого тела равно действующей на это тело силе. Тогда
`vecF_1=-vecF_2`
Данное утверждение и представляет собой третий закон Ньютона.
При взаимодействии тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, противоположными по направлению, одинаковыми по природе и лежащими на прямой, проходящей через центры тел.
Данные проявления встречаются всюду:
1) при столкновении (упругом или неупругом) тела деформируются, при этом появляются силы упругости. Первое тело действует на второе с силой `F_(21)`, а второе на первое с силой `F_(12)`. Причём обе силы по природе своей являются силами упругости – силами взаимодействия между молекулами (электромагнитными). Силы лежат на одной прямой, лежащей на линии точек приложения сил. Силы противоположны.
2) при гравитационном взаимодействии двух тел (Земля и Луна, или Солнце и Юпитер и т. д.) возникают две гравитационные силы, которые тоже противоположны и равны друг другу.
3) при взаимодействии прямоугольного тела, стоящего на поверхности стола, тоже возникают две силы упругости: сила `F_(12)` возникает потому, что стол деформировался (прогнулся, деформация изгиба см. далее), а сила `F_(21)` возникает потому, что прямоугольное тело тоже деформировалось (сжалось под действием силы тяжести, подробнее см. далее). Обе силы равны друг другу и противоположны.
Рассмотрение примеров позволяет сформулировать следующие свойства сил, возникающих при взаимодействии:
Для растяжения пружины жёсткостью `50` Н/м, закреплённой одним концом на стене, на `20` см требуется сила `10` Н. Какую силу нужно приложить к этой пружине, чтобы растянуть её на `20` см, прикладывая силу с двух сторон и действуя в противоположных направлениях?
В первом случае в растянутом состоянии пружина находилась в состоянии покоя. Следовательно, по второму закону Ньютона сила, приложенная к пружине со стороны руки, скомпенсирована силой, приложенной к пружине со стороны стены. Значит, стена действует на пружину с силой `10` Н.
а) Первая пара сил: точка приложения силы со стороны руки неподвижна и находится в пружине, а сила упругости пружины приложена к точке, находящейся в руке, и тоже неподвижна. Эти две силы равны и противоположны по третьему закону Ньютона.
б) Вторая пара сил: во второй паре взаимодействующих тел (стены и пружины) силы тоже равны и противоположны по тому же закону.
Во втором случае пружина тоже находится в покое. Только теперь одна из сил создаётся одной рукой, а вторая сила второй рукой. Сила, создаваемая стеной в первом случае, заменяется силой, создаваемой второй рукой, во втором. Понятно, что неподвижной пружина останется во втором случае только тогда, когда величина силы тоже сохранит первоначальное значение. Следовательно, во втором случае к пружине нужно приложить силу `10` Н с обеих сторон.
Из наличия упругих свойств твёрдых тел можем заключить, что между молекулами и атомами существуют как силы притяжения, так и силы отталкивания. Исследования показали, что эти силы сильно зависят от расстояния между молекулами.
Если две молекулы разместить так, чтобы расстояние между их центрами составило примерно два радиуса, то сумма сил притяжения и отталкивания равна нулю.
При этом сила отталкивания представлена на графике зависимости силы от расстояния в виде кривой $$ f=a/{r}^{13}$$, а сила притяжения в виде другой кривой $$ f=-b/{r}^{7}$$ (рис. 7). Сумма этих графиков и есть сила взаимодействия между молекулами. По графику видно, что при сближении молекул на расстояние, меньшее $$ 2{r}_{0}$$ между центрами, возникает быстро растущая сила отталкивания, а при удалении этих молекул возникает сначала растущая (по модулю) сила притяжения, а потом эта сила начинает убывать и стремится к нулю на больших расстояниях.
 |
| рис. 7 |
Теперь понятно, что даже если сила притяжения или отталкивания между парой молекул мала, то при деформации макроскопического тела таких пар сил возникнет колоссально много, и они дадут в сумме макроскопическую силу упругости, компенсирующую внешнюю силу.
называют изменение формы и размеров тела под действием внешних сил.
Все деформации можно разделить на четыре вида: сжатия – растяжения, изгиб, сдвиг и кручение.
Деформация сжатия-растяжения.
Первоначальная длина тела равна $$ {l}_{0}$$, а конечная длина $$ {l}_{\mathrm{к}}$$. При такой деформации длина тела изменяется на величину:
`Deltal=l_"k"-l_0` - абсолютное удлинение
Величина деформации так же характеризуется безразмерной величиной:
`varepsilon =(Deltal)/l_0` - относительное удлинение.
Примеров таких деформаций очень много: ножки стула, стола, стены зданий, некоторые кости скелета, мачта парусника во время штиля и др.
Робертом Гуком экспериментально было установлено, что:
`(F_"упр")_X=-kDeltal` - закон Гука в интегральной форме (рис. 8).
`k` - коэффициент упругости или жёсткости тела.
 |
| Рис. 8 |
Сила упругости, возникающая при деформации, прямо пропорциональна смещению частиц и направлена в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Закон Гука стал средством для измерения сил. Т. к. чтобы определить величину (модуль) какой - либо силы, необходимо сравнить её с эталоном. Две силы считаются равными по модулю и противоположно направленными, если при их одновременном действии на одно и то же тело его общее ускорение равно нулю (скорость тела не изменяется). Таким образом, можно сравнивать силы и измерять их (если одну из них выбрать в качестве эталона).
На практике пружину, подчиняющуюся закону Гука, градуируют на разные значения силы для измерения силы. Далее воздействуют ею на тело так, чтобы тело стало двигаться равномерно. В этом состоянии сила, ранее действовавшая на тело, стано вится равной силе, действующей со стороны пружины, определяемой по граду и рованной шкале. Прибор для измерения силы называется динамометром.
К резиновому шнуру подвесили груз, под действием которого шнур растянулся на $$ 4 \mathrm{см}$$. Затем шнур сложили вдвое, закрепив сложенные концы вверху, а к середине снова подвесили тот же груз. На сколько шнур растянется во втором случае?
Если шнур в первом случае растянулся на $$ 4 \mathrm{см}$$, то каждая половина шнура растянулась на $$ 2 \mathrm{см}$$, а половины шнура были соединены между собой последовательно. Сила упругости внутри шнура везде одинакова и равна весу груза. Коэффициент жёсткости каждой половины можно представить в виде: $$ {k}_{2}={\displaystyle \frac{mg}{{x}_{0}/2}}$$.
Во втором случае половинки шнура соединены между собой параллельно, следовательно, условие равновесия груза теперь выглядит так:
\[mg = 2\cdot k_2x_2, \ \mathrm{откуда}\ x_2 = \dfrac{mg}{2k_2} = \dfrac{mg}{2\frac{mg}{x_0/2}} = \dfrac{x_0}{4} = 1\ \mathrm{см}.\]
Анализируя законы Кеплера, описывающие движение планет, И. Ньютон в 1667 году пришёл к открытию закона всемирного тяготения:
`F=G(Mm)/R^2`
где `G` - гравитационная постоянная.
Все тела во Вселенной взаимно притягиваются друг к другу с силами прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
В такой форме закон справедлив только для двух тел, которые можно считать материальными точками. Однако можно доказать, что для двух однородных тел шарообразной формы эта форма записи закона тоже справедлива.
Измерить величину гравитационной постоянной удалось английскому физику Г. Кавендишу в 1798 году.
С помощью крутильных весов и свинцовых шаров ему удалось получить значение гравитационной постоянной:
`G=6,67259*10^(-11)("H""м"^2)/"кг"^2`.
Второй закон Ньютона позволяет записать для силы, с которой тело притягивается к Земле: `F=G(Mm)/(R^2)=mg`, тогда `g=GM/R^2` - ускорение свободного падения на поверхности Земли (измерено Галилеем и Ньютоном), на расстоянии, большем радиуса на величину `h`, ускорение свободного падения находится по формуле:
`g=GM/((R+h)^2)` - ускорение свободного падения на высоте `h` от поверхности Земли.
называют силу, с которой тело притягивается к планете
`F=mg` - сила тяжести.
называют силу упругости, с которой тело действует на опору и подвес.
Рассмотрим твёрдое тело, расположенное на горизонтальной неподвижной опоре: под действием силы тяжести тело деформируется. Если тело находится на опоре, то на нижний слой действуют все верхние слои, и, как следствие, этот слой деформируется наибольшим образом. На предпоследний слой действует меньшее количество слоёв, и он деформируется меньше. Таким образом, тело, бывшее прямоугольным, примет вид трапеции. Нижний слой приблизился при такой деформации к центру тела, а значит, возникла сила упругости, направленная в сторону, противоположную направлению смещения частиц при деформации. Сила упругости, возникшая внутри данного тела, направлена перпендикулярно опоре. Эту силу, созданную деформированным телом и приложенную к опоре, называют весом тела. Опора под действием веса деформируется. Противоположная весу сила упругости действует на данное тело со стороны деформированной опоры и тоже направлена перпендикулярно опоре, но называется силой реакции опоры `N` (от слова normal - перпендикуляр).
На рисунке 9 тело не касается опоры для того, чтобы показать, что вес приложен к опоре, а сила реакции опоры к телу. В действительности площадь реального соприкосновения твёрдых тел невелика. Большей частью между телами находится тонкий слой воздуха.
Вполне очевидно, что если опоры нет, то и веса тело иметь не будет. Такое случится в том случае, если тело движется под действием только одной силы - силы тяготения.
называют состояние тела, когда оно движется под действием только силы тяготения.
Также легко понять, что если на тело действует две силы (сила тяжести и сила реакции опоры), то эти силы не обязательно равны друг другу. Одна из них может быть больше другой.
Рассмотрим движение тела, помещённого в лифт. Пусть сам лифт движется с ускорением `veca`.
Такое ускорение будет в двух случаях:
1) лифт поднимается равноускорено,
2) лифт опускается равнозамедленно.
Второй закон Ньютона для данного тела примет вид:
`vecN+mvecg=mveca`.
При рассмотрении данного движения из лабораторной неподвижной системы отсчёта `Oy` увидим, что в проекции на вертикальную ось `Oy` второй закон запишется следующим образом:
`N-mg=ma`,
откуда
`N=ma+mg=m(g+a)`.
Но по третьему закону Ньютона знаем, что сила реакции опоры и вес тела равны и противоположны, следовательно:
`N=P`,
тогда:
`P=m(g+a)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вверх (рис. 10).
Не трудно проследить за тем, что мы получим, если ускорение тела будет направлено вниз.
В проекции на ось `Oy` ускорение проецируется со знаком «`-`», что даст окончательную формулу для веса:
`P=m(g-a)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вниз.
Или в общем случае:
`P=m(g+-a)` - вес тела, движущегося с ускорением.
Подобным образом можно получить выражение для веса тела, движущегося равномерно по выпуклому участку дороги.
`P=m(g-a)=m(g-v^2/R)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вниз (выпуклая дорога).
`P=m(g+a)=m(g+v^2/R)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вверх (вогнутая дорога).
Важное дополнение:
Для рассматриваемой силы, называемой весом, важно понимать и уметь правильно изображать точку приложения этой силы.
На рисунке 11а показан лифт, у которого нет ускорения. Тогда сила тяжести равна силе реакции опоры. А по третьему закону Ньютона, сила реакции опоры равна весу тела. Точка приложения силы тяжести расположена в геометрическом центре тела, если тело однородно и правильной формы. Точка приложения силы реакции опоры должна быть изображена внутри тела вблизи с нижней поверхностью тела на линии действия силы тяжести. Последнее свойство на рисунке не выдержано для удобства изображения (иначе силы на рисунке будут накладываться друг на друга). Точка приложения веса тела находится внутри опоры (пола лифта) вблизи поверхности на линии действия силы реакции опоры.
На рисунке 11б ускорение лифта направлено вниз. Тогда сила реакции опоры меньше силы тяжести. А вес снова равен силе реакции опоры.
На рисунке 11в ускорение лифта направлено верх. Тогда сила реакции опоры больше силы тяжести. А вес снова равен силе реакции опоры.
Определить среднюю плотность Солнца, если его масса равна `2*10^(30)` кг, а ускорение свободного падения на поверхности приблизительно составляет `273,1 "м"//"с"^2`.
Так как `g=GM/R^2`, то можем найти радиус Солнца: `R=sqrt((GM)/g)`. Считая Солнце шаром найденного радиуса и известной массы, можем найти среднюю плотность.
`rho=M/V=M/(4/3piR^3)=(3M)/(4pi((GM)/g)^(3/2))= 3/(4pisqrtM)(g/G)^(3/2)`.
Количественно ответ будет таким: `rho=1400 "кг"//"м"^3`. Однако следует отметить, что этот ответ таков в данной модели. В действительности плотность Солнца не одинакова в недрах светила, и является функцией расстояния от центра. Мы же посчитали её везде одинаковой.
 |
На сколько изменится сила притяжения двух одинаковых шаров, изготовленных из одинакового вещества плотностью `rho`, если у одного из них создать полость сферической формы, расположенную внутри одного из них в его центре? Изначально шары касались друг друга и притягивались с силой `80` Н. Радиус полости равен половине радиуса шара (рис. 12).
Сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения. Т. к. формы тел шарообразные, то мы можем применить известную формулу закона:
`F_1=G(Mm)/R^2`.
Массы тел равны, обозначим их `m`. Масса извлечённой части
`m_0=4/3pi(R/2)^3rho=1/8m`.
Новая сила будет меньше первоначальной на величину силы взаимодействия извлечённой части с первым шаром (принцип суперпозиции сил). Следовательно:
`F_2=G(m_0m)/((2R)^2)=G(1/8mm)/((2R)^2)=1/8G(mm)/((2R)^2)=1/8F=10` H.
Сила притяжения шаров станет меньше на `10` Н, следовательно, станет равной `70` Н.
сила механического сопротивления, возникающая в плоскости соприкосновения двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении.
Сила сопротивления, действующая на тело, направлена противоположно относительному перемещению данного тела.
Сила трения возникает по двум причинам:
1) первая и основная причина заключается в том, что в местах соприкосновения молекулы веществ притягиваются друг к другу, и для преодоления их притяжения требуется совершить работу. Соприкасающиеся поверхности касаются друг друга лишь в очень небольших по площади местах. Их суммарная площадь составляет `0,01-:0,001` от общей (кажущейся) площади соприкосновения. При скольжении площадь реального соприкосновения не остается неизменной. Сила трения (скольжения) будет изменяться в процессе движения. Если тело, которое скользит, прижать сильнее к телу, по которому происходит скольжение, то вследствие деформации тел площадь пятен соприкосновения (и сила трения) увеличится пропорционально прижимающей силе.
`F_"тр"~F_"приж"`
2) вторая причина возникновения силы трения – это наличие шероховатостей (неровностей) поверхностей, и деформация их при движении одного тела по поверхности другого. Глубина проникновения (зацепления) шероховатостей зависит от прижимающей силы, а от этого зависит и величина деформаций. Последние, в свою очередь, определяют величину силы трения: `F_"тр"~F_"приж"`.
При относительном скольжении обе причины имеют место, потому характер взаимодействия имеет вид простого соотношения:
`F_"тр"=muN` – сила трения скольжения (формула Кулона – Амонтона), где
`mu` – коэффициент трения скольжения,
`N` – сила реакции опоры, равная прижимающей силе.
Величина коэффициента трения различна для разных комбинаций трущихся веществ даже при одинаковой их обработке (силы притяжения и упругие свойства зависят от рода вещества).
Если между трущимися поверхностями будет находится смазка, то сила притяжения изменится заметным образом (будут притягиваться другие молекулы, и сила трения скольжения частично заменится силой вязкого трения, которую мы рассмотрим ниже).
Если на тело, лежащее на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила `vecF`, то движение будет вызвано этой силой только в том случае, когда она станет больше некоторого значения `(muN)`. До начала движения внешняя сила скомпенсирована силой трения покоя. Сила трения покоя всегда равна внешней силе, параллельной поверхности, и возникает по причине притяжения между молекулами в областях пятен соприкосновения, и деформации шероховатостей.
 |
Сила трения покоя различна в разных участках поверхности, по которой будет происходить движение. Если тело долго лежит на поверхности, то вследствие вибраций (они всегда присутствуют на поверхности Земли) площадь пятен соприкосновения незначительно увеличится. Поэтому для начала движения придётся преодолеть немного большую силу трения, чем сила трения скольжения. Данное явление называется явлением застоя. С этим явлением мы сталкиваемся, например, передвигая мебель в комнате. (На рисунке 13 превосходство трения покоя над трением скольжения сильно преувеличено).
Силой трения покоя мы пользуемся для перемещения на лыжах или просто при ходьбе.
Рассмотренные виды силы трения относятся к сухому трению или внешнему. Но есть еще один вид силы трения – вязкое трение.
При движении тела в жидкости или газе происходят достаточно сложные процессы обмена молекулами между слоями обтекающей жидкости или газа. Эти процессы называют процессами переноса.
При небольших скоростях движения тела относительно газа или жидкости сила сопротивления будет определяться выражением:
`F_"тр"=6pietarv` – закон Стокса для шара, где
`eta` - вязкость вещества, в котором движется тело;
`r` - средний поперечный размер (радиус) тела;
`v` - относительная скорость тела;
`6pi` - коэффициент, соответствующий сферической форме тела.
Вывод о величине скорости (большая она или маленькая) можно сделать, определив безразмерный коэффициент, называемый числом Рейнольдса:
`Re=(rhorv)/eta` - число Рейнольдса, где
`rho` - плотность вещества, в которой движется тело.
Если `Re<1700`, то движение газа (жидкости) вокруг тела ламинарное (слоистое), и скорости можно считать малыми.
Если `Re>1700`, то движение газа (жидкости) вокруг тела турбулентное (с завихрениями), и скорости можно считать большими.
В последнем случае на образование вихрей тратится большая часть кинетической энергии тела, а значит, сила трения становится большей, а зависимость перестаёт быть линейной.
`F_"тр"=kv^2rhoS` - сила вязкого трения при больших скоростях, где
`S` - площадь поперечного сечения тела,
`k` - постоянная величина, зависящая от поперечных размеров тела.
Часто последнюю формулу можно видеть в виде:
`F_"тр"=betav^2`.
 |
Число Рейнольдса, выбранное равным `1700`, в действительности определяется конкретной задачей (условиями) и может принимать другие значения того же порядка. Объясняется это тем, что зависимость силы вязкого трения от скорости носит сложный характер: при некотором значении скорости `v_1` линейная зависимость начинает нарушаться, а при некотором значении скорости `v_2` эта зависимость становится квадратичной. В промежутке от `v_1` до `v_2` степень принимает дробные значения (рис. 14). Число Рейнольдса характеризует состояние динамической системы, при котором движение слоёв остаётся ламинарным, и сильно зависит от внешних условий. К примеру: стальной шар, двигаясь в воде вдали от границ жидкости (в океане, озере) сохраняет ламинарным движение слоёв при `Re=1700`, а тот же шар, движущийся в вертикальной трубе немного большего, чем шар, радиуса, заполненной водой, уже при `Re=2` вызовет появление завихрений воды вокруг шара. (Отметим, что число Рейнольдса не единственное, применяемое для описания подобного движения. Например, применяют ещё числа Фруда и Маха.)
Из-за такой сложной зависимости силы сопротивления от размеров, формы тела и его скорости рассчитать с необходимой точностью силу сопротивления невозможно. Потому приходится создавать макеты летательных аппаратов и измерять силу сопротивления опытным путём, продувая воздух в аэродинамических трубах.
Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению скорости на радиус капель: `F=krv`. Капли радиуса `0,1` мм, падая с большой высоты, у земли имеют скорость около `1` м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? В десять раз меньше?
Капля падает с постоянной скоростью, т. к. сила тяжести скомпенсирована силой вязкого трения о воздух: `krv=mg` или `krv=rho 4/3 pir^3g`, откуда `v=(4rho pig)/(3k)r^2`.
Из полученного результата следует, что скорость капли прямо пропорциональна квадрату радиуса. Если радиус капли уменьшится в два раза, то скорость её падения уменьшится в четыре раза, и составит `v_1~~0,25` м/с; а если радиус окажется в десять раз меньше, то скорость будет в сто раз меньше, т. е. `v_2~~0,01` м/с.
Задача любопытна тем, что может объяснить почему облака не падают. Ведь облака – это туман, который не падает из-за наличия восходящих потоков воздуха. На нижней границе облака находятся наиболее крупные капли. Поднимаясь, скорость потока уменьшается, т. к. он совершает работу над встретившимся воздухом и увеличивает свою потенциальную энергию. Раз скорость потока в верхней части облака меньше, то и размер капель там тоже меньше. Капли «висят» над поверхностью земли на постоянной высоте.
Какие силы действуют на человека во время ходьбы? Какая сила приводит его в движение?
На человека всегда действует сила тяжести `(mvecg)`. Она приложена ко всем частям организма, но принято её изображать приложенной к центру масс (на рис. 15 это не так). Во время ходьбы человек мышечными усилиями толкает ногу назад, относительно центра масс (туловища). На рисунке эта сила обозначена как `vecF_"м"`. Нога бы начала такое движение, если бы не было сцепления протектора подошвы и поверхности асфальта (пола). Вдоль поверхности возникает сила трения покоя. Нога толкает этой силой асфальт влево `(vecF_"тр")`, а асфальт толкает ногу вправо `(vecF_"тр")`, приводя её в движение относительно асфальта. Человек оказывает на поверхность асфальта действие, называемое весом `(vecP)`, а на человека действует противоположная сила реакции опоры `(vecN)`.
С каким ускорением будет двигаться тело массой `3` кг по поверхности стола с коэффициентом трения `0,3`, если к нему приложить силу `10` Н под углом `30^@` к горизонту?
Расставим силы. При расстановке сил пользуются, преимущественно, двумя моделями: 1) все силы прикладывают к центру масс тела, который символизирует материальную точку, в качестве которой рассматривается тело; 2) точки приложения сил изображают там, где сила приложена. Во втором случае требуется применять ряд дополнительных правил, которые на первых порах излишне усложняют решение. На данном рисунке 16 применены правила первой модели.
Далее запишем 2-ой закон Ньютона в векторной форме:
`mvecg+vecF_"тр"+vecN+vecF=mveca`.
Теперь пишем проекции этого уравнения на оси `Ox` и `Oy`.
Отметим, что оси удобнее всего выбирать из принципа удобства, что чаще всего соответствует направлению одной из осей вдоль ускорения, а второй оси перпендикулярно первой. Ели движутся несколько тел, то для каждого тела можно выбирать свою удобную пару осей.
`Ox: -F_"тр"+Fcosalpha=ma`,
`Oy: -mg+N+Fsinalpha=0`.
Вспомогательное уравнение (формула Кулона – Амонтона)
`F_"тр"=mu*N`.
Решая скалярную тройку уравнений, получим:
`a=F/m(mu*sinalpha+cosalpha)-mug`.
Подставим числовые значения и получим: `a~~0,39 "м"/"с"^2`.
При достаточной тренировке в решении задач запись в векторном виде становится излишней, и пишем сразу проекции на оси. На начальном этапе обучения пропускать эту запись не следует.
По наклонной плоскости с углом наклона при основании `alpha=30^@` соскальзывает тело. Найти ускорение тела при коэффициенте трения поверхности и тела, равным `0,2`.
На рисунке 17 расставим силы и выберем оси координат из принципа удобства (одна из осей вдоль ускорения).
Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:
`mvecg+vecF_"тр"+vecN=mveca`.
Далее проецируем его на оси координат:
`Ox: -F_"тр"+mg*sinalpha=ma`,
`Oy: -mg*cosalpha+N=0`.
Добавим формулу Кулона – Амонтона:
`F_"тр"=muN`.
Решая систему уравнений, получим:
`a=g(sinalpha=mucosalpha)`.
Числовой ответ даёт значение `a~~3,27 "м"/"с"^2`.
Рассмотрим способ с другими направлениями осей (рис. 18) (неудобными):
`Ox: -F_"тр"*cosalpha+N*sinalpha=ma*cosalpha`,
`Oy: -mg+N*cosalpha=-a*sinalpha`.
Добавим формулу Кулона – Амонтона: `F_"тр"=muN`.
Решение этой системы уравнений так же приведёт к тому же ответу (проверьте самостоятельно), но путь достижения цели будет и длиннее, и сложнее.
Пример показывает рациональность предлагаемого принципа удобства.
 |
Коэффициент трения между резиной и асфальтом `0,7`. Какой должна быть ширина дороги, чтобы на ней смог развернуться мотоциклист без уменьшения скорости, если его скорость равна `54` км/ч?
Если мотоциклист планирует развернуться, не уменьшая скорости, то движение его будет равномерным по окружности. Сила, приводящая к изменению направления скорости, будет сообщать центростремительное (нормальное) ускорение (рис. 19). Этой силой будет сила трения.
 |
Выберем ось `Ox` вдоль ускорения (рис. 20). Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на эту ось:
`F_"тр"=ma_n=mv^2/R`.
Так как `F_"тр"=muN`, а `N=mg`, то `mumg=mv^2/R`, откуда `R=v^2/(mug)`, тогда для разворота нужна ширина
`l=2R`; `l=(2v^2)/(mug)`; `l=64,3` м.
Из ответа видим, что для разворота на реальной дороге необходимо снизить скорость.
Два тела массами `m_1=2` кг `m_2=3` кг связаны нитью. Первое тело тянут вправо с силой `F=15` H по поверхности с коэффициентом трения `mu=0,1`. Определите силу натяжения нити, связывающей тела. С каким ускорением движутся тела? Оборвётся ли нить, если поместить тела на поверхность с коэффициентом трения `0,3`, а максимальная сила натяжения нити `10` Н?
Расставим силы, действующие на тела (рис. 21):
Выберем ось `Ox` вдоль силы `vecF` и ось `Oy` перпендикулярно ей.
Второй закон Ньютона для двух тел в проекции на ось `Ox`:
`F-F_("тр"1)-T+T-F_("тр"2)=(m_1+m_2)a`,
для первого тела на ось `Oy`:
`N_1-m_1g=0`, тогда `F_("тр"1)=mum_1g`;
для второго тела:
`N_2-m_2g=0`, тогда `F_("тр"2)=mum_2g`;
Выразим ускорение из проекции `Ox` подставляя силы трения:
`a=F/(m_1+m_2)-mug`,
`a=2"м"/"с"^2`.
Теперь запишем второй закон Ньютона для второго тела:
`Ox`: `T-F_("тр"2)=m_2a`,
откуда `T=F_("тр"2)=m_2a`,
`T=m_2(mug+a)`,
`T=m_2/(m_1+m_2)F=9`H.
Если `mu=0,3`, то `a=0`, тела движутся равномерно, а сила натяжения нити останется прежней, `T=9 "H"<10 "H"`. Нить не порвётся.
На вершине наклонной плоскости, с углом при основании `30^@` укреплён неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К нити привязаны два тела: `m_1=3` кг со стороны плоскости и `m_2=4` кг с другой. Коэффициент трения при движении тела по поверхности равен `0,2`. Какова сила натяжения нити и ускорения тел?
Силы, действующие на тела, представлены на рисунке 22.
Запишем 2-й закон Ньютона для первого тела в проекциях:
`Ox:` `T_1-F_"тр"-m_1gsinalpha=m_1a_1`,
`Oy:` `N-m_1gcosalpha=0`.
С учётом, что `F_"тр"=muN`, получим `T_1=mum_1gcosalpha-m_1gsinalpha=m_1a_1`.
Для второго тела в проекции на `Oz:`
`m_2g-T_2=m_2a_2`.
Решая совместно два уравнения, получим (учитывая, что `a_1=a_2=a` и `T_1=T_2=T`)
`a=(m_2-m_1sinalpha-mum_1cosalpha)/(m_1+m_2)g`,
`a~~2,83 "м"//"с"^2`.
Из этих же уравнений получим силу натяжения нити:
`T=g (m_1m_2)/(m_1+m_2)(1+sinalpha+mucosalpha)`
`T~~28,7 "H"`.
 |
Какую горизонтальную силу `F` нужно приложить к тележке массой `M`, чтобы бруски массой `2m` и `3m` (рис. 23) относительно неё не двигались? Трением пренебречь.
На рисунке 24 изображены силы, действующие на тела.
Если трения нет и бруски неподвижны относительно тележки, то 2-й закон Ньютона в проекциях для тел примет вид:
1) для тележки:
`Ox:` `F-P_1-T_4=Ma_0`,
`Oy:` `N_1+N_2-Mg_P_2-T_3=0`;
2) для бруска `3m:`
`Ox:` `T_2=3ma_2`,
`Oy:` `N_3-3mg=0`,
`N_3=P_2`;
3) для бруска `2m:`
`Ox:` `N_4=2ma_1`,
`Oy:` `T_1-2mg=0`,
`N_4=P_1`;
4) `T_1=T_2=T_3=T_4` (неть невесома),
5) `a_1=a_2=a_0` (нить нерастяжима).
Решая совместно, получим `F=a_0(M+5m)`.
Рассматривая уравнения двух брусков совместно, получим
`3ma_0=2mg` или `a_0=2/3g`.
Тогда `F=2/3g(M+5m)`.
 |
Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью `omega=20` рад/с вокруг вертикальной оси `OO^'` (рис. 25). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы `1` и `2` массами `m_1=0,2` кг и `m_2=0,1` кг радиусы их вращения `R_1=0,1` м, `R_2=0,2` м. Найти силы натяжения нитей.
Рассмотрим силы, действующие на тела, и ускорения тел (рис. 26).
Уравнение 2-го закона в проекциях имеет вид:
1) `T_1-T_2=m_1omega^2R_1`.
2) `T_2=m_2omega^2R_1`.
`T_1=T_2+m_1omega^2R_1=omega^2(m_1R_1+m_2R_1)`.
`T_1=16"H"`.
`T_2=8"H"`.
Два небольших по размерам груза с массами `3m` и `m` связаны нитью длиной `l_2` и прикреплены к оси `O O_1` нитью длиной `l_1`, составляющей угол `beta` с осью `O O_1` (см. рис. 27). Грузы находятся на горизонтальной платформе и вращаются вместе с ней вокруг вертикальной оси `O O_1`. При какой постоянной угловой скорости грузы будут давить на платформу с одной и той же силой? Трение между грузами и платформой пренебрежимо мало.
На рисунке 28 изображены силы, действующие на грузы.
Для первого груза уравнения 2-го Закона Ньютона в проекции имеют вид:
`Ox:` `T_1=momega^2(l_2+l_1sinbeta)`;
`Oy:` `N_1=mg`,
`N_1=P_1`;
Для второго груза:
`OX:` `T_3sinbeta-T_2=3momega^2l_1sinbeta`
`OY:` `T_3cosbeta+N_2=3mg`
`N_2=P_2`
`P_1=P_2` (по условию),
`T_1=T_2` (нить невесома).
Из равенства `P_1=P_2` следует `N_1=N_2`, поэтому `T_3=(2mg)/(cosbeta)`.
Тогда из проекции на `Ox` следует:
`2mg"tg"beta=momega^2 (l_2+l_1sinbeta+3l_1sinbeta)`
`omega=sqrt((2g"tg"beta)/(l_2+4l_1sinbeta))`.
 |
Найдите ускорения тел системы, изображённой на рисунке 29. Сила `F` приложена по направлению нити к одному из тел массы `m`. Участки нити по обе стороны от лёгкого блока, прикреплённого к телу массы `M`, параллельны.
Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 30.
Для первого тела
`Ox:` `F-T=ma_1` (1)
Для второго тела:
`Ox:` `-T=-ma_2` (2)
Для третьего тела:
`Ox:` `2T=Ma_3` (3)
Т. к. нить нерастяжима, то смещение второго тела к блоку `(l_2)` равно смещению первого тела от блока `(l_1)`. Т. к. блок сам смещается с ускорением, то к смещению первого блока добавится смещение `2l_3`:
`a_1=a_2+2a_3`. (4)
Из (2) и (3) следует `a_2=a_3 M/(2m)`.
Тогда, решая совместно (1), (4) и (2), получим
`a_3=F/(M+2m)`,
тогда
`a_2=F/((M+2m))*M/(2m)` и `a_1=(F/(M+2m))((M+4m)/(2m))`.
Традиционно курс физики начинается с изучения механического движения, которое определяют как изменение положения тел или их частей в пространстве относительно друг друга с течением времени. Уже описание движения простейшего объекта - материальной точки (тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь) - требует введения векторных величин: радиус-вектора `vec r (t)` (характеризующего положение точки в пространстве в каждый момент времени `t`), вектора перемещения `Delta vec r` (рис. 1), скорости и др.
Что же такое векторная величина? Напомним, что некоторые физические величины полностью характеризуются единственным числом, которое выражает отношение этой величины к единице измерения. Такие величины называются скалярными. Простейшие примеры их - масса, плотность, температура. Так, температура в Москве `25^@ "C"` полностью задана одним числом (`25^@ "C"`); нельзя, например, сказать, что она направлена под каким-то углом к горизонту, температура никуда не направлена. То же самое относится к массе тела (но не к силе тяжести!), плотности вещества.
С другой стороны, для характеристики таких физических величин, как перемещение, скорость, сила, необходимо также знать и их направление. Такие величины называются векторными. Они являются предметом изучения специального раздела математики, называемого векторной алгеброй.
