16 статей
Одним из самых известных уравнений, допускающих красивую геометрическую интерпретацию, является уравнение вида
. (ОКР)
Если заданы числа , и , то легко понять, что точка с координатами и удовлетворяет такому уравнению тогда и только тогда, когда она удалена от точки на расстояние . Поэтому данное уравнение – не что иное, как уравнение окружности с центром в точке и радиусом (при – точки ). К уравнению окружности (ОКР) часто приводятся уравнения, содержащие обе переменные как в первой, так и во второй степени. Например, приведем уравнение к виду (ОКР):
`x^2=7/2x+(7/(2*2))^2+y^2-5/2y+(5/(2*2))^2=(7/(2*2))^2+(5/(2*2))^2`
`(x+7/4)^2+(y-5/4)^2=74/16`.
Покажем примеры построения графиков, связанных с уравнением (ОКР).
Построим график функции .
Имеем систему:
или
График данной функции – полуокружность с центром в точке и радиусом (рис. 42). Отметим, что здесь также существенно преобразование выделения полного квадрата.
Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.
Найдём количество решений уравнения
$$ \sqrt{5+4\left|x\right|-{x}^{2}}=a$$
в зависимости от $$ a$$.
Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций
$$ {f}_{1}\left(x\right)=\sqrt{5+4\left|x\right|-{x}^{2}}$$ и $$ {f}_{2}\left(x\right)=a$$.
 |
График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ f\left(0\right)=\sqrt{5}$$.
Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a < 0$$ и $$a > 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$, при $$ a=3$$ и $$ a\in [0;\sqrt{5})$$ есть две точки пересечения, а при $$ a\in [\sqrt{5};3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=\sqrt{5}$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt{5})\bigcup \left\{3\right\}$$ – два решения, при $$ a\in \left\{\sqrt{5}\right\}$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt{5};3)$$ – четыре решения.
Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:
 |
$$ |x+5|+|x-3|=a$$.
Методом интервалов нетрудно построить график функции
$$ f\left(x\right)=|x+5|+|x-3|$$.
Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).
Проанализировав график, несложно выписать ответ.
При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.
Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Найдём количество решений системы уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4;\\ {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\end{array}\right.$$
в зависимости от $$ a$$.
Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:
График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.
Как видим, при $$|a| < 2\sqrt{2}$$ и $$|a| > 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt{2}$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt{2};2\sqrt{2})\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;
при $$ a\in \{-4;-2\sqrt{2};2\sqrt{2};4\}$$ система имеет 4 решения;
при $$ a\in (-4;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};4)$$ система имеет 8 решений.
В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$ {x}_{0}$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ (т. е. числа $$ x$$ и $$ {x}_{0}$$ достаточно близки) верно неравенство $$ f\left(x\right)\le f\left({x}_{0}\right)$$. Если же для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ верно $$ f\left(x\right)\ge f\left({x}_{0}\right)$$, то говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный минимум в точке $$ {x}_{0}$$. Точки локального максимума или минимума называют точками локального экстремума функции. В случае выполнения неравенств $$ f\left(x\right)\le f\left({x}_{0}\right)$$ или $$ f\left(x\right)\ge f\left({x}_{0}\right)$$ для произвольного $$ x$$ точку $$ {x}_{0}$$ называют точкой глобального экстремума функции. Ясно, что всякий глобальный экстремум будет локальным. Примером такой точки для квадратичной функции будет точка, соответствующая вершине параболы.
При каких $$ a$$ функция $$ f\left(x\right)={x}^{2}-3|x-{a}^{2}|-5x$$ имеет более двух точек локального экстремума?
$$\left|x-{a}^{2}\right|=\left\{\begin{array}{l}x-{a}^{2}, \mathrm{если} x\ge {a}^{2},\\ {a}^{2}-x, \mathrm{если} x<{a}^{2}.\end{array}\right.$$
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+3{a}^{2}, \mathrm{если} x\ge {a}^{2},\\ {x}^{2}-2x-3{a}^{2}, \mathrm{если} x<{a}^{2}.\end{array}\right.$$
При $$ x\ge {a}^{2}$$ график функции $$ f\left(x\right)$$ есть часть параболы $$ y={x}^{2}-8x+3{a}^{2}$$, лежащая справа от $$ x={a}^{2}$$, а при $$x < a^2$$ $$ f\left(x\right)={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ и графиком функции будет часть параболы $$ y={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ в полуплоскости слева от прямой $$ x={a}^{2}$$. Наибольшее возможное количество точек экстремума этой функции равно `3` (две вершины парабол и точка их пересечения, см. рис. 45).
Это возможно при условии $$1 < a^2 < 4$$, то есть $$ a\in (-2;-1)\bigcup (1;2)$$.
$$ a\in (-2;-1)\bigcup (1;2)$$.
Найдём все значения $$ a$$, при которых уравнение
$$ \sqrt{x-9}=ax+7a-3$$
имеет единственное решение.
Полагая $$ x+7=t$$, получим уравнение $$ \sqrt{t-16}=at-3$$. (1)
Требуется найти все значения $$ a$$, при которых графики функций $$ y=\sqrt{t-16}$$ и $$ y=at-3$$ имеют единственную общую точку. Заметим, что все прямые, задаваемые уравнением $$ y=at-3$$ проходят через $$ (0;-3)$$ (рис. 46).
Ясно, что если $$ a\le 0$$, то прямая $$ y=at-3$$ не имеет общих точек с параболой $$ y=\sqrt{t-16}$$. Угловой коэффициент прямой $$ y=at-3$$ равен $$ a$$. Найдем угловые коэффициенты $$ {a}_{1}$$ и $$ {a}_{2}$$ прямых $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ (см. рис. 46) (обе задаются уравнением вида $$ y=at-3$$), первая из которых проходит через точку $$ (16;0)$$, а вторая имеет ровно одну общую точку (касается) с параболой $$ y=\sqrt{t-16}$$. Подставляя в уравнение прямой значения $$ t=16$$, $$ y=0$$, находим $$ {a}_{1}={\displaystyle \frac{3}{16}}$$. И при `0<a<3/16` уравнение (1) имеет единственное решение. Число `a_2` является ещё одним значением `a`, при котором уравнение (1) имеет единственный корень `t_1>16`. Возводя обе части (1) в квадрат, получаем уравнение $$ {a}^{2}{t}^{2}-(6a+1)t+25=0$$, дискриминант которого $$ D=(6a+1{)}^{2}-(10a{)}^{2}$$. При $$ D=0$$ и $$a > 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=\sqrt{t-16}$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$\dfrac3{16}\leq a<\dfrac14$$, то прямая $$ y=at-3$$ и парабола $$ y=\sqrt{t-16}$$ имеют две общих точки, а при `a > 1/4` они не имеют общих точек.
`0<a<3/16`, `a=1/4`.
В следующем примере нам необходимо будет изобразить точки на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству $$ f(x,y)\le {a}_{0}$$ для заданной функции двух переменных $$ f$$ и некоторого фиксированного числа $$ {a}_{0}$$. Для этого нужно сначала выяснить вид множества точек $$ f(x,y)=a$$ при различных значениях $$ a$$ и заштриховать все точки координатной плоскости, принадлежащие линиям $$ f(x,y)=a$$ при $$ a\le {a}_{0}$$. Часто это бывает область на плоскости внутри, либо вне некоторой фигуры, которая задаётся равенством $$ f(x,y)=a$$. Например, неравенство $$ f(x,y)=(x-1{)}^{2}+(y+1{)}^{2}\le 1$$ задаёт круг радиуса $$ 1$$ с центром в точке $$ А(1,–1)$$.
Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система
$$ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+31\le 8\left(\right|x|+|y\left|\right),\\ {x}^{2}+{y}^{2}-2y={a}^{2}-1\end{array}\right.$$
имеет хотя бы одно решение.
Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ {x}^{2}-8\left|x\right|+16+{y}^{2}-8\left|y\right|+16\le 1$$ или $$ \left(\right|x|-4{)}^{2}+(\left|y\right|-4{)}^{2}\le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ {K}_{1}$$, $$ {K}_{2}$$, $$ {K}_{3}$$, $$ {K}_{4}$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ {O}_{1}(4;4)$$, $$ {O}_{2}(4;-4)$$, $$ {O}_{3}(-4;-4)$$, $$ {O}_{4}(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде
$$ {x}^{2}+(y-1{)}^{2}={a}^{2}$$.
 |
Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ в направлении точек $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Пусть $$ {A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}$$ – точки пересечения $$ {l}_{1}$$ и окружности с центром $$ {O}_{1}$$, $$ {A}_{2}$$ и $$ {B}_{2}$$ – точки пересечения $$ {l}_{2}$$ и окружности с центром $$ {O}_{2}$$. Тогда из геометрических соображений имеем:
$$ M{O}_{1}=5$$, $$ M{O}_{2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$$,
$$ M{A}_{1}=4$$, $$ M{B}_{1}=6$$, $$ M{A}_{2}=\sqrt{41}-1$$, $$ M{B}_{2}=\sqrt{41}+1$$.
При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ {\omega }_{1}$$ , а при $$ \sqrt{41}-1\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$ – с кругом $$ {\omega }_{2}$$.
Так как $$4 < \sqrt{41} − 1 < 6$$, то объединение отрезков $$ [4;6]$$ и $$ [\sqrt{41}-1;\sqrt{41}+1]$$ есть отрезок $$ [4;\sqrt{41}+1]$$, а искомое множество значений $$ a$$ определяется неравенством $$ 4\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$.
$$ 4\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$.
Найдём все значения параметра $$ b$$, при которых система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}y=|b-{x}^{2}|,\\ y=a(x-b)\end{array}\right.$$
имеет решение при любом значении параметра $$ a$$.
Рассмотрим три возможных случая: $$b < 0$$, $$ b=0$$,а также $$b > 0$$.
а) Если $$b < 0$$, то запишем систему в виде $$ \left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}+d,\\ y=a(x+d),\end{array}\right.$$ где $$d = −b > 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b < 0$$ не подходит.
б) Если $$ b=0$$, то система примет вид $$ \left\{\begin{array}{l}y={x}^{2},\\ y=ax.\end{array}\right.$$
Легко видеть, что она имеет решение $$ (0;0)$$ при любом $$ a$$, т.е. значение $$ b=0$$ подходит.
в) Пусть $$b > 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 < b ≤ 1$$ и $$b > 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt{b} < b$$. Пусть $$ a=1$$, тогда система примет вид $$ \left\{\begin{array}{l}y=|{x}^{2}-b|,\\ y=x-b.\end{array}\right.$$
Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 < b ≤ 1$$, то $$ \sqrt{b}\ge b$$. В этом случае прямая $$ y=a(x-b)$$ пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ при любом $$ a$$ (на рис. 49) представлен случай $$a > 0$$).
$$ 0\le b\le 1$$.
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.
Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение
`a|x-3|=5/(x+2)`
на промежутке `{0;+oo)` имеет ровно два корня.
Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.
Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.
При `a<=0` все значения функции `f(x)` на промежутке `[0;+oo)` неположительны, а все значения функции `g(x)` – положительны, поэтому при `a<=0` уравнение `f(x)=g(x)` не имеет решений на промежутке `[0;+oo)`. При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3)<g(3)` и `f(3+1/a)>g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a<=0` был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения `D=a^2-4a(5-6a)=25a^2-20a`, поэтому при `0<a<4/5` это уравнение не имеет корней; при `a=4/5` уравнение имеет единственный корень, равный `1/2`; при `a>4/5` уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a<=5/6`.
Таким образом, уравнение `a|x-3|=5/(x+2)` имеет следующее количество корней на промежутке `[0;+oo):
– нет корней при `a<=0`;
– один корень при `0<a<4/5`;
– два корня при `a=4/5` и `a>5/6`;
– три корня при `4/5<a<=5/6`.
`a=4/5`, `a>5/6`.
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода - рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left(\right|y+9|+|x+2|-2)({x}^{2}+{y}^{2}-3)=0,\\ (x+2{)}^{2}+(y+4{)}^{2}=a\end{array}\right.$$
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ {x}^{2}+{y}^{2}=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ \sqrt{3}$$ (см. рис. 52).
 |
Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt{a}$$.
Отметим, что при $$a < 0$$ второе уравнение задаёт пустое множество, при $$ a=0$$ одну точку $$ (-2;-4)$$. Поэтому при $$ a\le 0$$ трёх решений быть не может.
Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt{20}\pm \sqrt{3}$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt{20}-\sqrt{3};\sqrt{20}+\sqrt{3})$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.
1) $$ R=\sqrt{20}+\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3<\sqrt{20}+\sqrt3<7$$), т. е. у системы 3 решения.
2) $$ R=\sqrt{20}-\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$ и нет общих точек с квадратом $$ G$$ (т. к. $$\sqrt{20}-\sqrt3<3$$), т. е. у системы 1 решение.
3) $$ R=3$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и ровно `2` общие точки с окружностью $$ S$$ (т. к. $$\sqrt{20} − \sqrt{3} < 3 < \sqrt{20} + \sqrt{3}$$), т. е. у системы 3 решения.
4) $$ R=7$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и нет общих точек с окружностью $$ S$$ (т. к. $$7 > \sqrt{20} + \sqrt{3}$$), т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt{20}+\sqrt{3}$$. Тогда искомые значения параметра $$ a={3}^{2}=9$$ и $$ a=(\sqrt{20}+\sqrt{3}{)}^{2}=23+4\sqrt{15}$$.
$$ a=9$$, $$ a=23+4\sqrt{15}$$.
В зависимости от значений параметра а найдём количество решений уравнения
`a+[x]=sqrt(2x-x^2)`.
Количество решений соответствует количеству общих точек графиков `y=a+[x]` и `y=sqrt(2x-x^2)`.
$$ y=\sqrt{2x-{x}^{2}}\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge 0,\\ {\left(x-1\right)}^{2}+{y}^{2}=1.\end{array}\right.$$ (Рис. 53)
График функции `y=a+[x]` представлен на рисунке ниже (Рис. 54).
Общие точки возможны лишь при `x in [0;2]`. Рассмотрим несколько случаев расположения графиков.
1) Если `0<=x<1`, то `y=a+[x]=a`. В этом случае возможна одна общая точка с полуокружностью `y=sqrt(2x-x^2)` при `0<=a<1`.
2) Если `1<=x<2`, то `y=a+[x]=a+1`. Теперь одна общая точка возможна при `0<a+1<=1`, то есть `-1<a<=0`.
3) Если `x=2`, то `y=a+[x]=a+2`. Точка `(2;a+2)` лежит на графике `y=sqrt(2x-x^2) iff a=-2`.
При `a in (-oo;-2)uu(-2;-1]uu[1;+oo)` нет решений;
при `a in {-2}uu(-1;0)uu(0;1)` одно решение;
при `a=0` два решения.
Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня науки – дискретной математики. Дискретная математика – это тот раз-дел математики, где не используется понятие непрерывности.
1) Состоящий из отдельных частей.
2) Изменяющийся между несколькими стабильными состояниями.
3) Существующий лишь в отдельных точках.
Для того, чтобы лучше понять этот термин, рассмотрим следующий пример. Мы знаем, что график некоторой функции (например, `y=x^2`) является непрерывной линией (параболой), если аргумент функции принимает все значения из множества действительных чисел. А теперь представим, что `x` может принимать только значения из множества целых чисел. В этом случае график будет представлять собой бесконечное количество отдельных точек, располагающихся на координатной плоскости в определённом порядке. В расположении точек будет угадываться парабола, но непрерывной линии мы не увидим. Вместо неё мы увидим дискретную структуру.
В прошлом задании мы говорили о представлении чисел в компьютере, и знаем, что каждое число представляется в виде определённой последовательности значений битов. В каждом бите может храниться ноль или единица. То есть, по сути, представление чисел (в будущем мы увидим, что не только чисел, а вообще любых данных) в компьютере является дискретной структурой. Поэтому, изучение дискретных структур – важная часть информатики. В этом задании мы будем изучать наиболее простую дискретную структуру, которая называется высказыванием.
Высказывание – это повествовательное предложение, в отношении которого можно судить о его истинности либо ложности.
Например, предложение: «Я – твой друг» является высказыванием, а предложение: «Положи это сюда!» высказыванием не является, поскольку не является повествовательным предложением.
Истинность или ложность каждого высказывания зависит от трактовки его содержания. Например, высказывание: «Город Москва – столица России» является истинным, а высказывание: «Город Санкт-Петербург стоит на реке Лене» является ложным.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама по себе не является высказыванием.
Высказывание: «Эта шляпа – красная» является простым, в то время как высказывание: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую» является примером сложного высказывания, которое, по сути, состоит из трёх простых: «две прямые параллельны», «прямая пересекает одну из двух прямых», «прямая пересекает другую прямую». В сложном высказывании простые высказывания соединяются при помощи логических связок. В рассмотренном выше примере логической связкой является союз «если то».
Алгебра логики изучает структуру сложных логических высказываний и способы установления их истинности при помощи алгебраических методов. Причём, конкретное содержание высказываний предметом изучения алгебры логики не является, и, соответственно, интересовать нас в дальнейшем не будет.
В прошлом задании при изучении основ программирования мы столкнулись с понятиями констант и переменных. Константа – это некоторое конкретное значение, а переменная – это объект, который может менять свои значения и которому можно присваивать различные значения. Этими же понятиями пользуется и алгебра логики, чтобы абстрагироваться от конкретных содержаний высказываний. Будем считать, что любое простое высказывание – это есть константа. И введём понятие переменной в алгебре логики.
Переменной в алгебре логики называется объект, имеющий уникальное имя, и значением которого может являться любое простое высказывание.
В отличие от языков программирования в алгебре логики нет ограничений при именовании переменных. Переменные могут иметь абсолютно любые имена, но чаще всего их обозначают заглавными или строчными латинскими буквами (`A, B, C, x, y, z, s`), либо последовательностью, состоящей из заглавной или строчной латинской буквы и целого числа (`A1, A2, A4, A10000000`). Ещё одно отличие от языков программирования заключается в том, что после присвоения переменной высказывания можно говорить об её истинности либо ложности. То есть существует два понятия «значение логической переменной». С одной стороны – это конкретное высказывание, а с другой стороны – это истина, либо ложь.
Логическим выражением называется объект, состоящий из логических переменных и логических операций и имеющий значение истина, либо ложь. Процесс построения логического выражения по сложному высказыванию называется формализацией высказывания.
В процессе формализации нужно сделать следующие действия: выделить из сложного высказывания простые и превратить их в логические переменные. Затем каждая логическая связка превращается в логическую операцию. В описанных действиях остаётся два непонятных момента. Первый – что такое логическая операция, и второй – каким образом логические связки превращаются в логические операции. Будем последовательно отвечать на эти вопросы.
Для того чтобы определить операцию, необходимо указать количество операндов (объектов, над которыми выполняется операция) их тип и результат выполнения операции. Логические операции чаще всего имеют два операнда, как и математические. Однако мы также будем изучать операции, которые имеют всего один операнд. Независимо от количества операнды должны быть логического типа, то есть иметь значение истина, либо ложь. Результатом логической операции также является логическое значение – истина или ложь. Для того чтобы немного сократить запись, условимся в дальнейшем логическое значение «истина» обозначать единичкой `(1)`, а логическое значение – «ложь» – нулём `(0)`.
Очевидно, что если у операции два операнда, и значением каждого является `0` или `1`, то существует всего четыре набора значений операндов `(00, 01, 10, 11)`. Для каждого из наборов необходимо определить значение логической операции. Удобно это представлять в виде таблицы. Таблицы соответствия значений логических операций набору значений операндов называются таблицами истинности.
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Менелая, свойства касательных хорд и секущих, площадь треугольника и четырёхугольника.
Как и раньше, основное внимание уделяется приёмам решения задач. Подробные решения 19 задач демонстрируют различные методы и подходы, по ходу решения напоминаются теоремы и свойства фигур, при этом отобраны в определённом смысле характерные задачи по каждой теме; в некоторых задачах доказаны новые утверждения и получены полезные формулы.
Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения. Приступая к решению задания, сначала ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями по его оформлению и с примерами ответов на контрольные вопросы (этот материал размещён перед контрольными вопросами). Вопросы и задачи оценены по трудности в очках, указанных в скобках после номера. За правильный ответ и верное решение ставится полное число очков, за недочёты или ошибки определённое число очков снимается. Знаком (`**`) звёздочка отмечены более трудные задачи и вопросы.
Для тех, кто лишь в этом году поступил в ЗФТШ, сделаем дополнительные замечания. Работа над заданием потребует определённого времени. Надо прочитать и проработать каждый параграф: разобрать приведённые доказательства, выучить формулировки теорем, выписать и запомнить формулы. И, что очень важно, понять и воспроизвести решения приведённых в тексте примеров. После этого вы легко ответите на большинство контрольных вопросов и решите предложенные задачи.
Кроме того, рекомендуем найти на сайте ЗФТШ Задания №1 и №5 для 9-го класса, прочитать их, разобрать новые для Вас утверждения, формулы, (которые выучить), методы. Именно для тех, кто поступил в ЗФТШ в этом году, данное Задание и Задание №5 для 9 класса имеют пересечение - т. е. некоторые части текста у них одинаковые.
Задачи для самостоятельного решения различной сложности. Если какую-либо задачу не удалось решить, найдите аналогичную в тексте задания, разберите её и сделайте ещё одну попытку. Либо подумайте, на какую тему задача и какой параграф следует ещё раз повторить из этого Задания или Заданий для 9-го класса.
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно записать так:
`c^2=a^2+b^2-2abcosC`
`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)`
Напомним также, что
`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R` (1)
где `R` - радиус окружности, описанной около треугольника.
Покажем применение этих теорем.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть `ABC` - параллелограмм и `AB=CD=a`, `AD=BC=b`, `BD=d_1`, `AC=d_2`, (рис. 1). Если `varphi=/_BAD`, то `/_ADC=180^@-varphi`. Из треугольников `ABD` и `ACD` по теореме косинусов будем иметь:
`d_1^2=a^2+b^2-2abcosvarphi`,
`d_2^2=a^2+b^2-2abcos(180^@-varphi)`.
Складывая почленно эти равенства и учитывая, что `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`, получим требуемое равенство:
| `d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2`. |
Зная три стороны треугольника `a`, `b` и `c`, найти медиану `m_c` к стороне `c`.
Пусть в треугольнике `ABD` (рис. 1) `AB=a`, `AD=b`, `BD=c` и `AO` - медиана. Достроим треугольник `ABD` до параллелограмма (на прямой `AO` отложим `OC=AO` и соединим точки `B` с `C` и `D` с `C`; диагонали четырёхугольника `ABCD`, пересекаясь, делятся пополам, это параллелограмм). Так как `BD=c` и `AC=2m_c`, то по доказанному в теореме 1 имеем: `(2m_c)^2+c^2=2a^2+2b^2`; отсюда получаем формулу для медианы треугольника через его стороны:
| `m_c=sqrt((a^2+b^2)/2-c^2/4)`. |
В треугольнике `ABC` точки `M` и `N` лежат на сторонах `AB` и `AC` (рис. 2), при этом `BM=MN=NC`. Найти отношение `MN:BC`, если `AC:AB = 3:2`, и угол `A` равен `60^@`.
Обозначим `x=MN`, `2a=AB`, тогда `AC=3a`, `ul(AM=2a-x)` и `ul(AN=3a-x)`. Применим теорему косинусов к треугольнику `AMN`, в котором стороны выражены через `a` и `x` и известен угол `/_MAN=60^@`, получим `x^2=(2a-x)^2+(3a-x)^2-(2a-x)(3a-x)`, откуда находим `x=7/5 a`. По теореме косинусов выразим сторону `BC` через `a`:
`BC=sqrt(AB^2+AC^2-2AB*ACcos60^@)=sqrt7a`.
Теперь находим `(MN)/(BC)=x/(BC)=(sqrt7)/5`.
`(MN)/(BC)=(sqrt7)/5`.
Обратим внимание на применение теоремы косинусов. При доказательстве теоремы 1 использовался тот факт, что в фигуре (параллелограмме) есть дополнительные углы `/_A=varphi`, `/_D=180^@-varphi`, а `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`,
В примере 2 теорема косинусов применялась к треугольнику `AMN` с заданным углом `60^@`, стороны которого выражались через заданную величину `a` и неизвестную `x`.
В примере 5 (см. далее) Теорема косинусов позволяет найти косинус угла треугольника по трём известным его сторонам.
Следующие два примера на применение теоремы синусов.
В равнобедренном треугольнике `ABC` длины боковых сторон `AB` и `AC` равны `b`, а угол при вершине `A` равен `30^@` (рис. 3). Прямая, проходящая через вершину `B` и центр `O` описанной окружности, пересекает сторону `AC` в точке `D`. Найти длину отрезка `BD`.
Центр описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре `OK`, но т. к. высота равнобедренного треугольника является и медианой, то т. `O` лежит на высоте `AK`, которая является также и биссектрисой угла `A`. Таким образом,
`/_BAK=/_CAK=15^@`.
Треугольник `AOB` равнобедренный: `(AO=OB)` следовательно, `/_ABO=/_BAO=15^@`. Итак, в треугольнике `ABD` известны два угла, а т. к. сумма углов треугольника равна `180^@`, то `/_BDA=135^@`. По теореме
синусов из треугольника `ABD` имеем: `(BD)/(sin/_BAD)=(AB)/(sin/_BDA)`, откуда, учитывая, что `sin135^@=sin45^@`, находим:
`BD=b(sin30^@)/(sin45^@)=b/(sqrt2)`.
Точка `M` лежит на окружности с диаметром `BD`; точки `A` и `C` лежат на прямой `BD`, точка `C` лежит внутри окружности, а точка `B` - между точками `A` и `C`. Известно, что `AB=a`, `BC=b` и `/_AMB=/_BMC` (рис. 4). Найти радиус окружности.
1. Обозначим равные углы `AMC` и `BMC` через `alpha`, `BD=2R`, проведём хорду `MD` и обозначим `/_ADM=varphi`.
Угол `BMD` прямой (опирается на диаметр), тогда `/_AMD=90^@+alpha`, а `/_CMD=90^@-alpha`.
Применим теорему синусов к треугольникам `AMD` и `CMD`:
$$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{AD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°+\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R+a}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\\ {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{CD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°-\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R-b}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\end{array}>\iff {\displaystyle \frac{AM}{CM}}={\displaystyle \frac{2R+a}{2R-b}}.$$
2. По условию отрезок `MB` - биссектриса угла `AMC`, по свойству биссектрисы `(AM)/(CM)=(AB)/(BC)=a/b`.
Из равенства
`(2R+a)/(2R-b)=a/b iffR=(ab)/(a-b)`.
`R=(ab)/(a-b)`.
Заметим, что из формулы (1) следует тот факт, что радиус окружности, описанной около треугольника, определяется одной из сторон и величиной противолежащего угла, а именно
| `R=a/(2sinA)`. |
Это замечание поможет нам решить следующую задачу.
Из одной точки окружности проведены две хорды `AB` и `BC` длиной `9` и `17`. Отрезок `MN`, соединяющий середины этих хорд, равен `5` (рис. 5). Найти радиус окружности.
По теореме косинусов из треугольника `MBN` найдём
`cos/_B:(MB=9//2, BN=17//2):` `MN^2=MB^2+BN^2-2BM*BNcosB`,
откуда `cosB=(BM^2+BN^2-MN^2)/(2BM*BN)=15/17`.
Значит, `sin/_B=sqrt(1-cos^2B)=8/17`. Далее, т. к. `MN` - средняя линия треугольника `ABC`, то `AC=10` и `R=(AC)/(2sinB)=85/8`.
`10,625`.
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть `A`, `B` и `C` - углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` - противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` - высоты к этим сторонам; `r` - радиус вписанной окружности;`R` - радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` - периметр треугольника; `S` - площадь треугольника
| `S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`, | (1) |
| `S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`, | (2) |
| `S=pr`, | (3) |
| ``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` - формула Герона, | (4) |
| `S=(abc)/(4R)`. | (5) |
При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.
Для примера, рассмотрим два треугольника:
|
|
`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;
`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;
Надо найти площадь и радиус описанной окружности.
Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:
`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона
`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)
`R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.
Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь - найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов
`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,
тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):
`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,
тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).
Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:
$$ 2.{1}^{○}$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то
`(S_(DBC))/(S_(ABC))=(DC)/(AC)`.
$$ 2.{2}^{○}$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):
`(S_(KBL))/(S_(ABC))=(BK*BL)/(BA*BC)`.
$$ 2.{3}^{○}$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их
сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC~DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.
Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).
Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.
Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.
Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` - точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.
Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.
Точка `M` - середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.
`S_(BOM)=1/3(1/2S)=1/6S`.
Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.
1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).
2. Через точку `D` проведём прямую `DL``|\|``AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL``|\|``AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.
По той же теореме (`/_DCB`, `OK``|\|``DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.
3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.
(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`
`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).
Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.
`22/45`.
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).
Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).
В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.
Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.
Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.
В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.
Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.
Пусть `O` - точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.
По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.
Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:
`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.
Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.
Итак, `S=3`, `S_1=8`.
В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.
Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.
Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.
Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` - площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.
| `S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`. |
Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` - середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.
Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.
Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:
`S=pr=(14+1)*sqrt3=15sqrt3`.
Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.
Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.
В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.
Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:
| `x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`. |
называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.
Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.
Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` - точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.
Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:
`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда
`S_(ABC)=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)-S_(BCI_a)=1/2 cr_a+1/2br_a-1/2ar_a=`
`=r_a (c+b-a)/2=r_a(2p-2a)/2=r_a(p-a)`.
Итак,
| `S_(ABC)=r_a(p-a)`. |
В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма:
`S=a*h_a=b*h_b`, (6)
`S=a*bsinvarphi` (7)
Где `a` и `b` - стороны параллелограмма, `h_a` и `h_b` - высоты к ним, `varphi` - величина угла между сторонами параллелограмма.
Докажем теорему о площади четырёхугольника.
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, т. е
`S=1/2d_1d_2sinalpha` (8)
где `d_1` и `d_2` - диагонали четырёхугольника, `alpha` - величина угла между ними.
`ABCD` - выпуклый четырёхугольник, диагонали которого `AC` и `BD` пересекаются в точке `O` под углом `alpha` (рис. 15). Через вершины `A` и `C` проведём прямые, параллельные диагонали `BD`, а через вершины `B` и `D` проведём прямые, параллельные диагонали `AC`. Проведённые прямые в пересечении образуют параллелограмм со сторонами, равными диагоналям `BD` и `AC`, и углом `alpha`. Площадь параллелограмма равна `AC*BD*sinalpha`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна, как легко видеть, половине его площади, т. е.
`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это сразу следует из доказанной формулы, т. к. диагонали ромба перпендикулярны.
Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны `a` и `b` `(a!=b)`, а угол между диагоналями равен `alpha(alpha<90^@)`.
Пусть `O` - точка пересечения диагоналей параллелограмма `ABCD` (рис. 16), `AB=a`, `AD=b`. Обозначим `BD=2x`, `AC=2y`.
Применим теорему косинусов к треугольникам`AOB` и `AOD` (заметим, что `/_AOD=180^@-alpha)`, будем иметь: `a^2=x^2+y^2-2xycosalpha`, `b^2=x^2+y^2+2xycosalpha`. По теореме 3 площадь `S` параллелограмма `ABCD` будет равна `1/2AC*BDsinalpha=2xysinalpha`. Заметим, что это выражение легко можно найти, не определяя `x` и `y` из системы. Действительно, из двух уравнений для `x` и `y` получим `b^2-a^2=4xycosalpha`. По условию `b!=a`, следовательно, `cosa!=0` и `xy=(b^2-a^2)/(4cosalpha)`. Выражаем площадь параллелограмма по формуле (8):
`S=2xysinalpha=(b^2-a^2)/2 "tg"alpha`.
Середины сторон выпуклого четырёхугольника `ABCD` являются вершинами другого четырёхугольника (четырёхугольника Вариньона). Доказать, что четырёхугольник Вариньона - параллелограмм и его площадь равна половине площади `S` четырёхугольника `ABCD`.
1. Проведём диагонали `AC` и `BD`. Середины сторон обозначим `K`, `L`, `M` и `N` (рис. 17). По определению `KL` - средняя линия треугольника `ABC`, по теореме о средней линии `KL``|\|``AC`, `KL=1/2AC`.
Аналогично, `NM` - средняя линия треугольника `ADC`, `NM``|\|``AC`, `NM=1/2AC`.
В четырёхугольнике `KLMN` противоположные стороны `KL` и `NM` равны и параллельны, по признаку `KLMN` - параллелограмм.
Если рассмотреть стороны `LM` и `KN`, то точно также установим, что `LM``|\|``BD``|\|``KN` и `LM=KN=1/2BD`.
2. Из параллельности `KL``|\|``AC` и `KN``|\|``BD` следует, что угол `LKN` параллелограмма `KLMN` равен углу между диагоналями четырёхугольника `ABCD` (обозначим угол `alpha`).
Имеем `S_(KLMN)=KL*KNsinalpha=1/2AC*1/2BDsinalpha`, а по теореме 3
`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.
Из этого следует `S_(KLMN)=1/2S_(ABCD)`, ч. т. д.
Рассмотрим несколько задач, где определяется или используется площадь трапеции. Напомним,
что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на её высоту, т. е.
`S=(a+b)/2h`. (9)
Найти площадь трапеции, если её основания равны `16` и `44`, а боковые стороны равны `17` и `25`.
Через вершину `C` проведём `CK``|\|``BA` (рис. 18). `ABCK` - параллелограмм, его противоположные стороны равны, поэтому в треугольнике `KCD` определяются все стороны: `KC=AB=25`, `CD=17`, `KD=AD-BC=28`.
По формуле Герона вычисляем площадь этого треугольника: `p=36`, `S_(KCD)=210`.
С другой стороны, `S_(KCD)=1/2KD*CF`, если `CF_|_AD`. Отсюда находим `CF=(2S_(KCD))/(KD)=15` и вычисляем площадь трапеции
`S_(ABCD)=1/2(BC+AD)CF=450`.
Отрезок длины `m`, параллельный основаниям трапеции, разбивает её на две трапеции (рис. 19). Найти отношение площадей этих трапеций, если основания трапеции равны `a` и `b` `(b < a)`.
Пусть `BC=b`, `AD=a` и `MN=m`, и `MN``|\|``AD`. Проведём `CE``|\|``BA` и `NF``|\|``BA`, а также `CK_|_MN` и `NP_|_AD`. Обозначим `CK=h_1`, `NP=h_2`. Далее, т. к. `CE``|\|``NF`, то `/_ECN=/_FND`, а из `MN``|\|``AD` следует `/_ENC=/_FDN`. Следовательно, треугольники `ECN` и `FND` имеют по два равных угла, они подобны. Из подобия имеем `(EN)/(FD)=(CN)/(ND)`. Прямоугольные треугольники `KCN` и `PND` также подобны и `(CK)/(NP)=(CN)/(ND)`, поэтому `(EN)/(FD)=(CK)/(NP)`, т. е. `(m-b)/(a-m)=(h_1)/(h_2)`. Если `S_1` и `S_2` - площади трапеций `MBCN` и `AMND`, то
`S_1=1/2(b+m)h_1`, `S_2=1/2(a+m)h_2`
и
`(S_1)/(S_2)=((m+b)h_1)/((a+m)h_2)=(m^2-b^2)/(a^2-m^2`.
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.{1}^{○}$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям - подобны.
$$ 4.{2}^{○}$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.{3}^{○}$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.{4}^{○}$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.{5}^{○}$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.{6}^{○}$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.{7}^{○}$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.{8}^{○}$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
$$ 4.{9}^{○}$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` - диагональ, `c` - боковая сторона, `a` и `b` основания.
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.{10}^{○}$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.{11}^{○}$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Докажем, например, утверждение $$ 4.{9}^{○}$$.
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Складывая, получаем
`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_2^2-2(a-b)c_2cosvarphi)`. (2)
Проводим `CK``|\|``BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_1^2-(a-b)^2)=`
`=(a^2+b^2+c_2^2)+(c_1^2-a^2-b^2+2ab)`.
Окончательно имеем
| `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
| `d^2=c^2+ab`. |
.
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.{2}^{○}$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` - его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).
По построению `ACKD` - параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`
(т. к. угол `BDK` - это угол между диагоналями трапеции).
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
`S_(BDK)=1/2BK*DP=1/2(BC+AD)DP=S_(ABCD)`.
Итак, `S_(ABCD)=S=24`.
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` - высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.{1}^{○}$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
`S_1+S_2+2S_0=(sqrt(S_1)+sqrt(S_2))^2`.
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.{11}^{○}$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.{6}^{○}$$
`AK=(AD-BC)/2=1`, `KD=(AD+BC)/2=9`.
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
`R=(3sqrt(10))/(2*3//sqrt(10)) =5`.
$$ 4.{12}^{○}$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
$$ 4.{13}^{○}$$. Если `S_1` и `S_2` - площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.
$$ 4.{14}^{○}$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` - какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` - смотрящий на неё вписанный угол.
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.
2. Если в решении длина какого-либо отрезка выразилась иррациональным числом (например, `a=sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.
3. Если в решении использовалась тригонометрия и получилось, например, `sin alpha=(2sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cos alpha`, `sin2alpha`, `sin(alpha+45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам. Например, `cos alpha=-sqrt(1-sin^2 alpha)=-1/3`, если угол `alpha` тупой, и `sin alpha=(2sqrt2)/3`, а
`sin(alpha+45^@)=sin alpha*cos45^@+cos alpha*sin 45^@=(sqrt2)/2(sin alpha+cos alpha)`.
4. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняющим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.
5. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 4, 8(а, б) или рис. 30(а, б, в) Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение).
6. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду или почему такое равенство имеет место). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1)…, 2)…, 3)… и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделить, например, так или .
Кроме того, вычисления разумно (а математика – это здравый смысл) проводить в кратких обозначениях, например
`(h_1)/(h_2)=(m-b)/(a-m)`, а не `((CK)/(NP)=((MN-ME)/(AD-MF))`
или `c_1^2=(a-b)^2+c_2^2-2(a-b)c_2 cos varphi`,
(а не `CK^2=(AD-BC)^2-2(AD-BC)*CD*cos(/_ADC)`).
Примеры ответов на контрольные вопросы
Вопрос. Можно ли внутри прямоугольного треугольника с катетами `3` и `4` поместить круг площадью `25//8`?
Ответ: Да, можно. Докажем это.
В прямоугольном треугольнике с катетами `a` и `b` и гипотенузой `c` радиус `r` вписанной окружности выражается формулой `r=(a+b-c)/2` (рисунок 33 напоминает доказательство).
При `a=3`, `b=4` находим `c=5`, `r=1`. Площадь вписанного круга равна `pir^2=pi`; так как `25/8<(25,04)/8<3,13<3,14<pi`, то радиус `r_0` круга площадью `25//8` меньше `1`. Он помещается внутри вписанного круга (если совместить их центры) и, следовательно, внутри треугольника.
Вопрос. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый `n`- угольник при `n>3`?
Ответ: Три. Докажем это.
Из вершины (например `A_1`) выходит `(n-1)` отрезков, два из них `(A_1A_2` и `A_1A_n)` - стороны, остальные `(n-3)` - диагонали (рис. 34). Выпуклый `n`- угольник разбивается диагоналями на `(n-2)` треугольника.
Сумма углов каждого треугольника равна `180^@`, значит сумма всех углов выпуклого `n` - угольника равна `180^2(n-2)`.
Сумма углов внутренних и внешних (по одному при каждой вершине) очевидно равна `180^2 *n`, тогда сумма внешних углов равна `180^@ *n-180^@(n-2)=360^@` (!).
Наглядно: если приложить вектор к стороне `A_1A_2` и обойти по периметру `n` - угольник, двигая вектор, то вернувшись на сторону `A_1A_2`, обнаружим, что, сделав полный поворот, вектор принял прежнее положение. Угол поворота вектора равен сумме внешних углов.
Если предположить, что в выпуклом `n` - угольнике `(n>3)` хотя бы `4` острых угла, то сумма их внешних углов (они тупые) будет больше `90^@ *4=360^@`, что не может быть. Значит острых углов не более трёх.
Вопрос. Треугольники `A_1B_1C_1` и `ABC` таковы, что `a_1<a`, `b_1<b`, `c_1<c`. Верно ли, что площадь треугольника `A_1B_1C_1` меньше площади треугольника `ABC`.
Ответ: Нет. Приведём пример (рис. 35).
Рассмотрим два равнобедренных треугольника: `ul(Delta ABC)`, в котором `AC=BC=a`, `/_ACB=150^@`,
`AB=sqrt(a^2+a^2+2a^2(sqrt3)/2) =asqrt(2+sqrt3)`, `S_(ABC)=1/2 a^2 sin150^@=(a^2)/4`;
`DeltaA_1B_1C_1`, в котором `A_1C_1=B_1C_1=sqrt(3/4)a<a`, `/_A_1C_1B_1=90^@`,
`A_1B_1=(sqrt(3/4)a)sqrt2=sqrt(3/2)a<sqrt2a<sqrt(2+sqrt3)a=AB`,
а `S_(A_1B_1C_1)=1/2(sqrt(3/4)a)^2=3/8a^2>1/4a^2=S_(ABC)`.
Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция `x=x(n)`, определённая на множестве `N` натуральных чисел.
Аргумент `n` этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи `x(n)` используют запись `x_n`, а саму последовательность часто обозначают `(x_n)`. Число `x_n` называют `n`-м (читается: энным) членом последовательности `(x_n)`. Задать последовательность означает задать правило, по которому каждому натуральному `n` сопоставляется действительное число `x_n`. Приведём примеры.
(1) `1`; `1`; `1`; `...` (т. е. `x_n=1` для всех `n in N`);
(2) `1^2`; `2^2`; `3^2`; `...` (т. е. `x_n=n^2` для всех `n in N`);
(3) `1`; `1/2`; `1/3`; `...` (т. е. `x_n=1/n` для всех `n in N`);
(4) последовательность, `n`-й член которой равен `n`-му знаку после запятой в десятичной записи числа `8/33`;
(5) последовательность, `n`-й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих `n`;
(6) `x_1=1`, `x_2=1`, `x_n=x_(n-1)+x_(n-2)` для всех `n>=3` (последовательность Фибоначчи).
Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула `n`-го члена (примеры (1) – (3)). Закон соответствия между номером `n` и членом `x_n` может быть описан словесно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)).
Легко убедиться, что в примере (4) `x_1=2`, `x_2=4` `x_3=2`, `x_4=4` и т. д., т. е. `x_n=3+(-1)^n`. В примере (6) формулу `n`-го члена найти сложнее:
`x_n=1/sqrt5(((1+sqrt5)/2)^n-((1-sqrt5)/2)^n)`.
А вот явную формулу `n`-го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без формулы.
Напомним два важных примера числовых последовательностей: арифметическая и геометрическая прогрессии. Геометрическая прогрессия – последовательность, заданная рекуррентно соотношением `x_(n+1)=x_nq`, первым членом `x_1!=0` и знаменателем `q!=0`. Арифметическая прогрессия – последовательность, заданная равенством `x_(n+1)=x_n+d` и первым членом `x_1`.
Найти формулу `n`-го члена последовательности, заданной рекуррентно:
`x_1=1/2`; `x_(n+1)=2x_n+1,ninN`.
Рассмотрим вспомогательную последовательность `y_n=x_n+a`, где число `a` подбирается так, чтобы последовательность `y_n` была геометрической прогрессией. Подставляя `x_n=y_n-a` и `x_(n+1)=y_(n+1)-a` в рекуррентное соотношение, имеем `y_(n+1)-a=2(y_n-a)+1`, т. е. `y_(n+1)=2y_n+(1-a)`. Последовательность `y_n` будет геометрической прогрессией, если `1-a=0`, т. е. `a=1`. Поскольку `y_1=x_1+a=3/2`, формула общего члена геометрической прогрессии `y_n`запишется так:
`y_n=3/2 2^(n-1)` `(y_1=3/2, q=2)`.
Тогда `x_n=y_n-a=3*2^(n-2)-1`, `n>=2`.
`x_n=3*2^(n-2)-1,n>=2`.
Каким общим свойством обладают последовательности (1), (2), (5) и (6)?
Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдущего.
Последовательность `(x_n)` называется строго возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. `x_(n+1)>x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется строго убывающей, если `x_(n+1)<x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется нестрого убывающей, если `x_(n+1)<=x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется нестрого возрастающей, если `x_(n+1)>=x_n` для любого `ninN`.
Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются монотонными.
Выяснить, является ли монотонной последовательность `x_n=(3n)/(n+2)`.
Уточним, чему равен `x_(n+1)`. Для этого вместо `n` в `x_n=(3n)/(n+2)` подставим `n+1`, т. е. `x_(n+1)=(3(n+1))/(n+3)`. Рассмотрим разность
`x_(n+1)-x_n=(3(n+1))/(n+3)-(3n)/(n+2)=(3[(n+1)(n+2)-n(n+3)])/((n+2)(n+3))=`
`=6/((n+2)(n+3))>0`,
значит, `x_(n+1)>x_n` для любого `n in N`. По определению последовательность `(x_n)` является строго возрастающей.
Приведённые рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности `(x_n)`, можно установить её возрастание более простым способом. Запишем `x_n` в виде
`x_n=(3n+6-6)/(n+2)=3-6/(n+2)`, тогда `x_(n+1)=3-6/(n+3)>3-6/(n+2)=x_n`.
Выяснить, является ли монотонной последовательность `x_n=3+(-1)^n`.
Последовательность не является монотонной, поскольку `x_(2m-1)=2<4=x_(2m)` и `x_(2m)=4>2=x_(2m+1)` для всех натуральных `m`.
Каким общим свойством обладают последовательности (1), (3) и (4)?
Все их члены лежат на отрезке `[0;4]`.
Последовательность `(x_n)` называется ограниченной, если существует число `C>0` такое, что для любого натурального `n` выполняется неравенство `|x_n|<=C`.
Доказать, что последовательность `(x_n)` является ограниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке.
Пусть последовательность `(x_n)` ограничена. Тогда существует число `C>0` такое, что `|x_n|<=C` для любого `ninN`. Последнее неравенство можно переписать в виде `-C<=x_n<=C`, т. е. `x_n in[-C;C]`. Обратно, пусть все члены `(x_n)` лежат на некотором отрезке `[m;M]`. Выберем невырожденный симметричный отрезок `[-C;C]`, содержащий `[m;M]`, тогда `-C<=x_n<=C` и, следовательно, `|x_n|<=C`. В качестве такого `C` можно взять, например, `C=max{|m|,|M|}+1`.
Выяснить, является ли ограниченной последовательность `x_n=(10(-1)^n n)/(n^2+1)`.
Рассмотрим `|x_n|=(10n)/(n^2+1)`. Поскольку при уменьшении знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:
`|x_n|=(10n)/(n^2+1) <(10n)/(n^2)=10/n<=10`.
Значит, `|x_n|<=10` для любого `ninN`. По определению последовательность `(x_n)` является ограниченной.
Выяснить, является ли ограниченной последовательность `x_n=n^2`.
Предположим, что последовательность `(x_n)` является ограниченной. Это означает, что существует такое число `C>0`, что при всех `ninN` выполняется неравенство `|n^2|<=C`. Однако при `n>sqrt(C+1)` неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность `(x_n)` не является ограниченной.
При увеличении `n` члены последовательности `x_n=1//n` становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль - предел последовательности `x_n`. Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно - только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел `1,2,3,...,n,...`, мы наблюдаем за поведением `x_n`. Такие понятия плохо формализуются.
Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «`x_n` стремится к `a`». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку `a`. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии `a` каждый раз с новым оптическим увеличением. Число `a` будет пределом последовательности `(x_n)`, если `a` - «друг» `x_n`: на любой такой фотографии окажутся все `x_n`, начиная с некоторого номера.
Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности `x_n=1//n`. В качестве «фотографии» `a=0` можно взять симметричный интервал `(-epsilon, epsilon)^1`. [1 `epsilon` - греческая буква «эпсилон».] Оптическому увеличению соответствует уменьшение `epsilon`. Пусть `k=1//epsilon`, тогда `1//n<epsilon` при `n>k` и, следовательно, член `x_n` попадает на «фотографию», т. е. `-epsilon<x_n<epsilon`. Например, при `epsilon1//100` все члены `x_(101), x_(102), ...`, окажутся в интервале `(-1//100, 1//100)`, при `epsilon=1//1000` уже только члены `x_(1001), x_(1002), ...`, окажутся в интервале `(-1//1000, 1//1000)` и т. д.
Число `a` называется пределом последовательности `(x_n)`, если для любого положительного числа `epsilon` найдётся такое действительное число `k`, что при всех `n>k` выполняется неравенство
`|x_n-a|<epsilon`. (2.1)
В этом случае пишут `lim_(n->oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.
Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.
Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа `epsilon` интервал `(a-epsilon, a+epsilon)` называется `epsilon` - окрестностью точки `a`. Неравенство (2.1) равносильно двойному неравенству `-epsilon<x_n-a<epsilon` или
`a-epsilon<x_n<a+epsilon`. (2.2)
Неравенство (2.2) показывает, что все члены последовательности `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в `epsilon` - окрестность точки `a`. В определении предела число `epsilon` может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки `a` содержит все члены `(x_n)` за исключением, быть может, конечного числа (рис. 1а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми `x=a-epsilon` и `x=a+epsilon` может оказаться лишь конечное число точек графика `(x_n)` (рис. 1б).
В определении предела выбор числа `k`, вообще говоря, зависит от `epsilon`. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут `k=k(epsilon)`. Доказать, что последовательность `(x_n)` имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость `k` от `epsilon`. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами `A` и `B:A` задаёт точность приближения `epsilon`, в ответ `B` указывает число `k`, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (2.1) при всех `n>k`; уменьшает точность, `B` - указывает новое `k` и т. д.
Пусть `x_n=c` - постоянная последовательность. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=c`.
Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c|<epsilon`. Но это неравенство равносильно следующему: `|c-c|<epsilon`, или `0<epsilon`, что выполняется для всех номеров `n`. Это означает, что в качестве `k` можно выбрать любое число, например, `k=0`. Тогда для любого `n>k` имеет место неравенство `|x_n-c|<epsilon`. По определению `lim_(n->oo)x_n=c`.
В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.
Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.
Пусть фиксировано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|1/n -0|<epsilon`, или `n>1//epsilon`. Выберем `k=1//epsilon`. Тогда при `n>k` имеем: `|1/n-0|=1/n<1/k=epsilon`. По определению `lim_(n->oo) 1/n=0`.
Наглядное представление о пределе можно получить, считая, что `x_n` - какие-то физические величины, которые мы можем измерять с определённой точностью, допускаемой приборами. Пусть `epsilon` есть точность прибора, тогда неравенство `|x_n-a|<epsilon` означает, что мы не сможем отличить `x_n` от `a`. Таким образом, условие `lim_(n->oo)x_n=a` означает, что при любой точности измерения последовательность `(x_n)`, начиная с некоторого номера, не отличается от постоянной последовательности `a`, `a`, `a`, `...` .
Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?
Нет. Предположим, что два разных числа `a` и `b` являются пределами одной и той же последовательности `x_n)` и пусть, например, `b>a`. Положим `epsilon=(b-a)//3`, тогда `epsilon` - окрестности точек `a` и `b` не пересекаются (сделать чертёж!). Ввиду условия найдутся такие числа `k_1` и `k_2`, что при всяком `n>k_1` член `x_n` лежит в `epsilon` -окрестности точки `a` и при всяком `n>k_2` член `x_n` лежит в окрестности точки `b`. Если теперь взять какое-нибудь `n>max{k_1,k_2}`, то окажется, что `x_n` лежит одновременно в `epsilon` - окрестности точки `a` и в `epsilon` - окрестности точки `b`, а это невозможно, поскольку окрестности не пересекаются.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o` - произвольное. По определению предела найдётся `k` такое, что `|x_n-a|<epsilon` при всех `n>k`. Но если номер `n>k`, то также `n+1>k` и, следовательно, `|x_(n+1)-a|<epsilon`. Это означает, что `lim_(n->oo)x_(n+1)=a`.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<epsilon/2` при всех `n>k`?
Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|<alpha` при всех `n>k`.
Сформулируем необходимое условие существования предела.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Покажем, что последовательность `(x_n)` ограничена. Согласно примеру 1.4 для этого достаточно показать, что все её члены лежат на некотором отрезке. Возьмём `epsilon=1`. Тогда по определению предела найдётся число `k` такое, что все члены `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в интервал `(a-1; a+1)`. За пределами этого интервала может оказаться лишь конечное число членов `x_1, x_2, ..., x_N`, где `N` - наибольший из номеров `n<=k`. Добавим к этому набору числа `a-1` и `a+1` и из полученного набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через `m`) и наибольшее (обозначим его через `M`) Тогда отрезок `[m;M]` содержит уже все члены данной последовательности: `m<=x_n<=M` для всех `ninN`.
Доказать, что последовательность `x_n=n^2` не имеет предела.
В примере 1.6 было показано, что данная последователь-ность не является ограниченной. По теореме 2.1 заключаем, что последовательность `(x_n)` расходится.
Следующий пример показывает, что ограниченная последователь-ность может и не иметь предела, т. е. обратное утверждение к теореме 2.1 неверно.
Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.
Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<1` при всех `n>k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a|<1` и `|x_(N+1)-a|<1`. Но одно из чисел `x_N` и `x_(N+1)` равно `1`, а другое равно `-1`. Поэтому `|-1-a|<1` и `|1-a|<1`, т. е. одновременно `0<a<2` и `-2<a<0`. Полученное противоречие показывает, что последовательность `(x_n)` расходится.
При вычислении пределов на практике редко пользуются опреде-лением. Обычно применяют уже известные стандартные предельные равенства и следующую теорему об арифметических операциях с пределами.
Если последовательности `(x_n)` и `(y_n)` сходятся, то сходятся и последовательности `(x_n+y_n)`, `(x_n*y_n)` и `x_n//y_n` (в последнем случае предполагается `y_n!=0`, `lim_(n->oo)y_n!=0`). При этом
1) `lim_(n->oo)(x_n+y_n)=lim_(n->oo)x_n+lim_(n->oo)y_n`;
2) `lim_(n->oo)(x_n*y_n)=(lim_(n->oo)x_n)*(lim_(n->oo)y_n)`;
3) `lim_(n->oo)(x_n)/(y_n)=(lim_(n->oo)x_n)/(lim_(n->oo)y_n)`.
Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab|<epsilon` при всех `n>k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n|<=C` и `|y_n|<=C` при всех `n`, а также `|a|<=C`, `|b|<=C`. Заметим, что
`|x_ny_n-ab|=|x_ny_n-x_nb+x_nb-ab|=|x_n(y_n-b)+b(x_n-a)|`
и, следовательно, по неравенству `|x+y|<=|x|+|y|` имеем
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|`.
Ввиду условия существует число `k_1` такое, что `|x_n-a|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_2`. Если положить `k=max{k_1,k_2}`, то при `n>k` имеем:
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|<C epsilon/(2C)+C epsilon/(2C)=epsilon`,
что и требовалось.
Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. `lim_(n->oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.
В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)cx_n=lim_(n->oo)c*lim_(n->oo)x_n=clim_(n->oo)x_n`.
Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.
Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.
Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.
Найти `lim_(n->oo) ((n+2)^3-n(n-1)^2)/(n^2+11)`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:
`x_n=(8n^2+11n+8)/(n^2+11)=(n^2(8+11/n + 8/n^2))/(n^2(1+11/n^2))=(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)`.
Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:
`lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)=lim_(n->oo)8+11lim_(n->oo)1/n+8lim_(n->oo)1/n^2=8`,
`lim_(n->oo)(1+11/n^2)=lim_(n->oo)1+11lim_(n->oo)1/n^2=1`.
По пункту 3 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)=(lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2))/(lim_(n->oo)(1+11/n^2))=8/1=8`.
`8`.
Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.
Пусть `(x_n)`, `(y_n)` и `(z_n)` - такие последовательности, что `x_n<=y_n<=z_n` при всех `n inN` и `lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)z_n=a`. Тогда `lim_(n->oo)y_n=a`.
Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max{k_1,k_2}`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon<x_n<=y_n<=z_n<a+epsilon`, т. е. `y_n in(a-epsilon;a+epsilon)`, что и требовалось.
Дана последовательность `x_n=1/(sqrt(n^2+1))+1/(sqrt(n^2+2))+...+1/(sqrt(n^2+n))`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=1`.
Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.
Заметим, что `1/(sqrt(n^2+1))` - наибольшая, а `1/(sqrt(n^2+n))` - наименьшая дробь суммы `x_n`. Тогда верна оценка `n*1/(sqrt(n^2+n))<=x_n<=n*1/(sqrt(n^2+1))`.
Поскольку `n^2+n<n^2+2n+1`, тогда
`sqrt(n^2+n)<n+1 iff1/(sqrt(n^2+n))>1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.
Учитывая `n/(sqrt(n^2+1))<n/n=1`, получаем: `n/(n+1)<x_n<1`.
Поскольку `lim_(n->oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.
Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n<=b_n` и `lim_(n->oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a<=b`.
Предположим, что `a>b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a|<epsilon`, а для `n>k_2` выполняется `|b_n-b|<epsilon`. Положим `k=max{k_1,k_2,n_0}`. Тогда для `n>k` имеем `b_n<b+epsilon=(a+b)/2=a-epsilon<a_n`, что противоречит условию.
Предельный переход не обязан сохранять строгие неравенства. Например, `1/n<0` для всех `n inN`, но `lim_(n->oo)1/n=0`.
В теории пределов важную роль играет следующий факт.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».
Доказать, что если `|q|<1`, то `lim_(n->oo)q^n=0`.
Для `q=0` утверждение очевидно. Пусть `q in (0,1)`, тогда
`x_(n+1)=q*x_n`, (2.3)
следовательно, `x_(n+1)<x_n` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` является строго убывающей. В частности, `x_n<x_1` при всех `n`. Кроме того, очевидно `x_n>0` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` ограничена. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n`. Обозначим его через `a`. Тогда, переходя к пределу в равенстве (2.3), получаем `a=q*a`, т. е. `a=0`.
Пусть теперь `q in (-1;0)`, тогда справедливо неравенство
`-|q|^n<=q^n<=|q|^n`.
Поскольку `|q|in(0;1)`, то по доказанному выше `lim_(n->oo)|q|^n=0`, тогда согласно примеру 2.5 и `lim_(n->oo)(-|q|^n)=0`. По теореме о «зажатой» последовательности (теорема 2.3) `lim_(n->oo)q^n=0`.
Дадим обоснование одного способа приближённого извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах.
Последовательность `(x_n)` задана рекуррентно где
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)`, (2.4)
`x_1>0`, `a>0`. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=sqrta`.
Поскольку `x_1>0` и `a>0`, все члены последовательности положительные. Применяя неравенство `(c+d)//2>=sqrt(cd)` для среднего арифметического и среднего геометрического, получаем:
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)>=sqrt(x_na/x_n)=sqrta`,
т. е. `x_n>=sqrta` для всех `n>=2`. Отсюда вытекает, что
`x_(n+1)-x_n=(a-x_n^2)/(2x_n)<=0`,
т. е. последовательность `(x_n)` является нестрого убывающей при `n>=2`. Кроме того, `(x_n)` ограничена: `sqrta<=x_n<=x_2` для всех `n>=2`. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n=b` и по теореме 2.4 `b>=sqrta>0`. Переходя в равенстве (2.4) к пределу, получаем `b=1/2(b+a/b)`, откуда `b^2=a` и, значит, `b=sqrta`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`.
Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из области её определения такой, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a` выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=A`.
Обозначение: `lim_(n->oo)f(x)=A`, или `f(x)->A` при `x->a`.
В определении предела рассматриваются значения `x_n`, не равные `a`, поэтому в самой точке `a` функция `y=f(x)` может быть не определена; если значение `f(a)` определено, то оно не обязано совпадать с `A`. К тому же, поскольку последовательность `(f(x_n))` имеет не более одного предела, получаем, что если функция `y=f(x)` имеет предел при `x->a`, то этот предел единственный.
На рис. 2 изображена лишь одна последовательность `(x_n)`, которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что `lim_(n->oo)f(x_n)=A` для любой последовательности `(x_n)` с условием `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x=a`.
Очевидно, функция `f(x)=x` определена на любом интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность `(x_n)` такую, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда `f(x_n)=x_n` и, значит, `lim_(n->oo)f(x_n)=a`.
Доказать, что при `a>0lim_(n->a)sqrtx=sqrta`.
Функция `f(x)=sqrtx` определена при `x>=0` и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность неотрицательных чисел `x_n!=a`, что `lim_(n->oo)x_n=a`. Нам нужно показать, что `lim_(n->oo)sqrtx_n=sqrta`. Фиксируем произвольное `epsilon>0`, тогда найдётся такое число `k`, что при `n>k` выполняется неравенство `|x_n-a|<epsilonsqrta`. Следовательно,
`|sqrtx_n-sqrta|=(|(sqrt(x_n)-sqrta)(sqrt(x_n)+sqrta)|)/(sqrt(x_n)+sqrta)<(|x_n-a|)/(sqrta)<epsilon`,
что и требовалось.
Доказать, что `lim_(x->1)(x^2-1)/(x-1)=2`.
Функция `f(x)=(x^2-1)/(x-1)` определена на любом интервале, содержащем `x=1`, кроме этой точки. Поскольку при `x!=1` имеет место равенство `f(x)=x+1`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `x_n!=1` и `lim_(n->oo)x_n=1` выполняется `lim_(n->oo)f(x_n)=lim_(n->oo)x_n+1=2`.
Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` определены на некотором интервале, содержащем точку `a in R`, за исключением, быть может, самой точки `a`, `lim_(x->a)f(x)=A` и `lim_(x->a)g(x)=B`. Тогда
1) `lim_(x->a)(f(x)+g(x))=A+B`;
2) `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`;
3) если дополнительно `g(x)!=0` при `x!=a`, `B!=0`, то `lim_(x->a)(f(x))/(g(x))=A/B`.
Эти свойства вытекают из арифметических операций над пределами последовательностей (теорема 2.2). Приведём доказательство для свойства 2. Остальные доказываются аналогично.
Пусть некоторая произвольная последовательность `(x_n)` из интервала, на котором определены функции, такова что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда по определению предела функции `lim_(n->oo)f(x_n)=A` и `lim_(n->oo)g(x_n)=B`. По пункту 2 теоремы 2.2 `lim_(n->oo)f(x_n)g(x_n)=AB`. По определению предела функции получаем, что `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `a`. Функция `y=f(x)`называется непрерывной в точке `a`, если `lim_(x->a)f(x)=f(a)`, т. е. если для любой последовательности `(x_n)` из области определения функции такой, что `lim_(n->oo)x_n=a`, выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=f(a)`.
Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка `x_n!=a` здесь не нужна, т. к. при `x_n=a` значения `f(x_n)` равны `f(a)`. Во-вторых, важно понимать, что если функция `y=f(x)` непрерывна в точке `a`, то
1) она определена в точке `a`;
2) существует `lim_(x->a)f(x)=A` и
3) `A=f(a)`.
Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке `a`.
Многочлен является непрерывной на всей числовой прямой функцией.
Пусть `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` - многочлен степени `n, a in R`. Нам нужно показать, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`. В силу примера 3.1 `lim_(x->a)x=a`,, а в силу примера 2.1 для константы `c` ‑ `lim_(x->a)c=c`. Последовательно применяя пункт 2 теоремы 3.1, получаем, что `lim_(x->a)cx^m=ca^m` при любом натуральном `m`. Осталось `n+1` раз применить пункт 1 теоремы 3.1 и заключить, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`.
Из теоремы 3.1 вытекает, что если функции `y=f(x)`, `y=g(x)` непрерывны в точке `a`, то функции `y=f(x)+-g(x)`, `y=f(x)g(x)`, `y=f(x)//g(x)` `(g(a)!=0)` также непрерывны в `a`.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Функция `y=|x|` непрерывна на всей числовой прямой.
Функция `y=|x|` на промежутке `(-oo;0)` совпадает с функцией `y=-x`, а на промежутке `(0;+oo)` - с функцией `y=x`, которые непрерывны на этих промежутках. Осталось исследовать на непрерывность данную функцию в точке `x=0`. Поскольку `||x_n|-0|=|x_n-0|`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `lim_(n->oo)x_n=0` верно `lim_(n->oo)|x_n|=0`. По определению `lim_(x->0)|x|=0`, функция `y=|x|` непрерывна в точке `x=0`.
Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.
Найти `lim_(x->2)(x^3+sqrt((x-3)^2)+11)`.
Поскольку `sqrt((x+3)^2)=|x-3|` и `|x-3|=3-x` при `x<=3`,
то `f(x)=x^3+|x-3|+11=x^3-x+14` при `x<=3`.
Многочлен `P(x)=x^3-x+14` непрерывен на всей числовой прямой, и в частности, в точке `x=2`. Поэтому `lim_(x->2)f(x)=P(2)=2^3-2+14=20`.
Найти `lim_(x->5)(sqrt(x-1)-2)/(x-5)`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `f(x)`. В числителе и знаменателе дроби `f(x)` стоят функции, непрерывные в точке `x=5`. Предел этих функций при `x->5` равен их значению в точке `x=5`, т. е. равен `0`. В этом случае говорят, что имеет место неопределённость `(0/0)`. Для её «раскрытия» приходится прибегнуть к искусственному приёму – умножению числителя и знаменателя дроби `f(x)` на «сопряжённое выражение» `sqrt(x-1)+2`:
`lim_(x->5)f(x)=lim_(x->5)((sqrt(x-1)-2)(sqrt(x-1)+2))/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`
`=lim_(x->5)(x-5)/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`
`=lim_(x->5)1/(sqrt(x-1)+2)=1/(sqrt(5-1)+2)=1/4`.
Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции `y=1/(sqrt(x-1)+2)` в точке `x=5`.
`1/4`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале `(c;d)`, содержащем точку `ainR`. Функция `y=f(x)` называется дифференцируемой в точке , если существует конечный
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)`.
Этот предел называется производной функции `y=f(x)` в точке `a` и обозначается `f^'(a)`.
Для точек `x,ain(c;d)` введём обозначения: `Deltax=x-a` – приращение аргумента; `Deltaf=f(x)-f(a)` – приращение функции. Тогда дифференцируемость `y=f(x)` в точке `a` означает, что
`f^'(a)=lim_(x->a)(Deltaf)/(Deltax)`.
Функция называется дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Найти по определению производные функций:
а) `f(x)=c, cinR`, в произвольной точке;
б) `f(x)=x^n,ninN`, в произвольной точке;
в) `f(x)=sqrtx` в точке `a>0`.
а) Пусть `ainR`. Поскольку приращение постоянной функции `Deltaf=c-c=0`, то производная `f^'(a)=lim_(x->a)0/(x-a)=0`.
б) Приращение данной функции в точке `ainR` можно записать следующим образом: `Deltaf=x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))`. Тогда
`f^'(a)=lim_(x->a)(x^n-a^n)/(x-a)=lim_(x->a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))=na^(n-1)`.
Итак, `(x^n)^'=nx^(n-1)` для всех `xinR`.
в) Пусть `a>0`. Функция `s(x)=sqrtx` определена на некотором интервале, содержащем `a` (например, `(a//2,2a)`). Запишем отношение приращений
`(Deltaf)/(Deltax)=(sqrtx-sqrta)/(x-a)=(sqrtx-sqrta)/((sqrtx-sqrta)(sqrtx+sqrta))=1/(sqrtx+sqrta)`.
Тогда `f^'(a)=lim_(x->a)1/(sqrtx+sqrta)=1/(2sqrta)`, т. е. `(sqrtx)=1/(2sqrtx)` при `x>0`.
Укажем физический смысл производной. Пусть `s=s(t)` - расстояние, пройденное телом за время `t` (движение одномерное). Тогда частное `(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` выражает среднюю скорость за время от `t_0` до `t`. Если мы хотим узнать скорость тела в момент времени `t_0`, то нужно неограниченно уменьшать промежуток от `t_0` до `t`, т. е. устремлять `t` к `t_0`. Таким образом, `s^'(t_0)=lim_(t->t_0)(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` есть мгновенная скорость в `t_0`. Так что интуитивное представление о производной есть у каждого, кто видел спидометр автомобиля.
Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`, то она непрерывна в точке `a`.
Следующий пример показывает, что обратное утверждение к теореме 4.1 неверно.
Доказать, что функция `y=|x|` не дифференцируема (не имеет производной) в точке `x=0`.
Рассмотрим две последовательности `(x_n)` и `(bar(x)_n)` такие что `x_n->0`, `bar(x)_n->0` при `n->oo`, все `x_n>0`, а все `barx_n<0`. Тогда соответствующие отношения приращений функции к приращениям аргумента в точке `x=0` имеют вид `((Deltay)/(Deltax))_n=(|x_n|-0)/(x_n-0)=(x_n)/(x_n)=1` и `((Deltay)/(Deltax))_n=(|barx_n|-0)/(barx_n-0)=(-barx_n)/(barx_n)=-1` что означает отсутствие предела `lim_(x->0)(Deltay)/(Deltax)`, т. е. отсутствие `y^'(0)`.
Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` дифференцируемы в точке `a`, тогда в этой точке дифференцируемы функции `y=(f+g)(x)`, `y=c*f(x)` (где `cinR`), `y=(f*g)(x)` и, если `g(a)!=0`, то также `y=(f/g)(x)`,причём
1) `(f+-g)^'(a)=f^'(a)+-g^'(a)` и `(c*f)^'(a)=c*f^'(a)`;
2) `(f*g)^'(a)=f^'(a)g(a)+f(a)g^'(a)`;
3) `(f/g)^'(a)=(f^'(a)g(a)-f(a)g^'(a))/(g^2(a))`.
Из теоремы 4.2 и пунктов а) и б) примера 4.1 вытекает
Любой многочлен `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` является дифференцируемой на `R` функцией с производной `P^'(x)=a_n nx^(n-1)+a_(n-1)(n-1)x^(n-2)+...+a_1`.
Найти производную функции `y=(x+1)/(3x-6)` при `x!=2`.
На основании примера 4.1 и теоремы 4.2 получаем:
`y^'((x+1)^'(3x-6)-(x+1)(3x-6)^')/((3x-6)^2)=`
`=(3x-6-(x+1)*3)/(9(x-2)^2)=(-1)/((x-2)^2)`.
Вообще говоря, любая дробно-рациональная функция дифференцируема во всех точках, за исключением нулей знаменателя.
Пусть на множестве `X` задана функция `y=f(x)` и на множестве её значений задана функция `z=g(y)`. Тогда говорят, что на множестве `X` определена сложная функция (или композиция) `z=g(f(x))` функций `z=g(y)` и `y=f(x)`. Например, рассмотрим на луче `X=(-oo;-1]` функцию `y=x^2-1`. На множестве её значений `[0;+oo)` определена функция `z=g(y)=sqrty`. Тогда на `X` можно определить сложную функцию `z=g(f(x))=sqrt(x^2-1)`.
Пусть на множестве `X` определена сложная функция `z=g(f(x))`. Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `x_0`, а функция `z=g(y)` дифференцируема в точке `y_0=f(x_0)`, то сложная функция `z=g(f(x))` дифференцируема в точке `x_0` и `(g(f(x_0)))^'=g(y_0)f^'(x_0)`.
Найти производную функции `z(x)=sqrt(x^2-1)` в точке `x in(-oo;-1)`.
Данная функция является композицией двух функций `g(y)=sqrty` и `y=f(x)=x^2-1`. Поскольку `g^'(y)=1/(2sqrty)` (см. пример 4.1), а `y^'=f^'(x)=2x`, то по теореме 4.3 получаем
`z^'(x)=g^'(f(x))*f^'(x)=(1)/(2sqrt(f(x)))*f^'(x)=`
`=(2x)/(2sqrt(x^2-1))=x/(sqrt(x^2-1))`.
Пусть функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`. Касательной к графику `f` в точке `A(a;f(a))` называется прямая, проходящая через точку `A`, угловой коэффициент которой равен `f^'(a)`. Уравнение касательной в точке `A` имеет вид
`y=f(a)+f^'(a)(x-a)`.
Функция `f(x)=sqrt(1-x^2)` дифференцируема в каждой точке интервала `(-1;1)` с `f^'(x)=-x/(sqrt(1-x^2))`. Следовательно, уравнение касательной к графику этой функции в `A(a;f(a))` имеет вид `y=sqrt(1-a^2)-(a(x-a))/(sqrt(1-a^2))`, т. е. `y=(1-ax)/(sqrt(1-a^2)`. График `f` представляет собой полуокружность, а касательная к этой кривой была определена в геометрии. Докажем, что оба определения дают одну и ту же прямую.
 |
Рассмотрим случай `ain(0;1)`. Касательная, определенная при помощи производной, проходит через точку `A(a;f(a))` и угловой коэффициент её равен `f^'(a)=-a/(sqrt(1-a^2))`. Так как этот угловой коэффициент отрицателен, то угол `varphi`, образованный касательной с положительным направлением оси `Ox`, тупой: `"tg"varphi=f^'(a)`. Тогда тангенс острого угла `alpha` (см. рис. 3), образованного касательной с отрицательным направлением оси `Ox`, равен `a/(sqrt(1-a^2))`. Котангенс же острого угла `beta`, образованного прямой `OA` с положительным направлением оси `Ox`, равен `a/(f(a))=a/(sqrt(1-a^2))`. Итак, `"tg"alpha="ctg"beta`, оба угла `alpha` и `beta` острые, поэтому `beta=90^@-alpha`. А это значит, что касательная, определенная при помощи производной, перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку `A`, т. е. совпадает с касательной в смысле геометрического определения. Случай `ain(-1;0)` рассматривается аналогично. Этот случай (а также случай `a=0`) рекомендуем рассмотреть самостоятельно.
Часто требуется провести касательную к графику функции через произвольную точку плоскости. Такая задача может иметь два и более решений, а может и вообще не иметь решений.
Провести касательную к параболе `y=1+2x-x^2` через произвольную точку плоскости `(x_0;y_0)`. Исследовать решение.
Так как `(1+2x-x^2)^'=2-2x`, то уравнение касательной к параболе в точке `(a;1+2a-a^2)` имеет вид:
`y=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x-a)`.
Эта касательная должна проходить через точку `(x_0;y_0)`, откуда `y_0=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x_0-a)` и после преобразований получаем уравнение для нахождения абсциссы точки касания `a`:
`a^2-2x_0a+(1+2x_0-y_0)=0`. (*)
Если `D/4=x_0^2-2x_0-1+y_0<0`, т. е. `y_0<1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) не имеет решений.
Если `D/4>0`, т. е. `y_0>1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) имеет два решения `a=x_0+-sqrt(x_0^2-2x_0-1+y_0)`. Подставляя найденные `a` получим уравнения двух касательных, проходящих через точку `(x_0;y_0)`. Например, при `x_0=0`, `y_0=2` имеем `a+-1` и соответственно уравнения двух касательных: `y=2` (горизонтальная касательная, касающаяся параболы в её вершине `(1;2)`) и `y=4x+2` (наклонная касательная, касающаяся параболы в точке `(-1;-2)`, см. рис. 4). Наконец, если `D/4=0` т. е. `y_0=1+2x_0-x_0^2`, то уравнение имеет одно решение `a=x_0`. Геометрический смысл решения очень прост.
Если `y_0<1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «ниже» параболы, то через эту точку касательную провести нельзя.
Если `y_0>1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «выше» параболы, то через эту точку можно провести две касательные к параболе. Наконец, если `y_0=1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит на параболе, то через нее можно провести единственную касательную, касающуюся параболы в точке `(x_0;y_0)`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x)<f(a)`.
Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума функции `f`.
Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^'(a)=0`.
Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна.
Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие.
Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой.
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`.
1) Функция `y=f(x)` возрастает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)<f(y)`.
2) Функция `y=f(x)` убывает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)>f(y)`.
Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна на промежутке `I`.
Условия монотонности. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда
1) если `f^'(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`;
2) если `f^'(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.
Условия экстремума. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда
1) если `f^'(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;
2) если `f^'(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`.
Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения.
Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^'=3(x^2-1)`. Так как `y^'<0` при `x in(-1,1)`; `y^'>0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и `[1,+oo)` (на каждом из двух лучей в отдельности, но не на их объединении!), убывает на отрезке `[-1,1]`. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^'=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет.
Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной – задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) `[1;3]`.
а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`.
б) Так как на луче `[1,+oo)` функция возрастает, то `y(1)<=y(x)<=y(3)` для всех `x in[1;3]`, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`.
Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^'(x)=3x^2+12`, `f_2^'(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^'(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^'(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^'(x)=f_1^'(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^'(x)=f_2^'(x)<0` на `(-1;2)` и `y^'(x)=f_2^'(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице:
| `x` | `x=-4` | `(-4;-1)` | `x=-1` | `(-1;2)` | `x=2` | `(2;3)` | `x=3` |
| `y^'` |
|
`+` |
не сущ. |
`-` |
`0` |
`+` |
|
| `y` | `-100` |
возр. |
`-1` макс. |
убыв. |
`-28` мин. |
возр. |
`-21` |
`y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
