16 статей
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` - некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` - любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` - любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата `ABCD` (рис. 5).
Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис. 5. В итоге получим квадрат `ABCD` с рис. 5.
Найдите все решения уравнения `xy=6`, для которых `x` и `y` являются натуральными числами.
Очевидно, что натуральные числа `x` и `y` являются делителями числа `6`. Поэтому `x` и `y` могут принимать значения `1;` `2;` `3;` `6`. Следовательно, искомыми решениями являются числа `(1;6)`, `(2;3)`, `(3;2)`, `(6;1)`.
Найти все решения уравнения `x^2+4x=y^2+2y+8`, для которых значения `x` и `y` являются целыми числами.
Обычно такие примеры формулируют так: найти все решения данного уравнения в целых числах.
Преобразуем данное уравнение: `x^2+4x+4-4=y^2+2y+1+7`,
`(x+2)^2=(y+1)^2+11`,
`(x+2)^2-(y+1)^2=11`,
`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.
Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=1,\\ x+2+y+1=11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=11,\\ x+2+y+1=1;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\\ x+2+y+1=-11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\\ x+2+y+1=-1.\end{array}\right.$$
Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.
Решение многих задач сводится к решению систем линейных уравнений.
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными `x` и `y` называется система уравнений вида
$$ \left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1},\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2},\end{array}\right.$$
где `a_1`, `b_1`, `c_1`, `a_2`, `b_2`, `c_2` - некоторые числа.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное числовое равенство.
Например, пара чисел `(2;3)` является решением системы уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+3y=13,\\ x+5y=17,\end{array}\right.$$
а пара чисел `(1;1)` не является решением системы, т. к. эта пара не является решением каждого из уравнений системы.
Обозначим множество решений первого уравнения буквой `A`, а множество решений второго уравнения - `B`. Множество решений системы этих уравнений составляет пересечение множеств `A` и `B` (рис. 9). При этом возможны случаи, когда пересечение двух множеств является пустым (рис. 10) или совпадает с каждым из множеств `A` и `B` (рис. 11).
Графиком линейного уравнения `ax+by=c`, где `a^2+b^2>0`, является прямая. Следовательно, решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными для указанного случая сводится к нахождению на координатной плоскости общих точек двух прямых линий. А две прямые на плоскости могут:
1) пересекаться, т. е. иметь единственную общую точку;
2) быть параллельными, т. е. не иметь общих точек;
3) совпадать, т. е. иметь бесконечно много общих точек.
Значит, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может либо иметь единственное решение, либо вообще не иметь решения, либо иметь бесконечное множество решений.
Сколько решений имеет система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2y+3x=8,\\ y-x=-1?\end{array}\right.$$
Запишем первое уравнение системы в виде `y=-3/2x+4`, а второе уравнение системы в виде `y=x-1`. Мы получили две линейные функции, графиками которых являются прямые с разными угловыми коэффициентами у первой `k_1=-3/2`, а у второй `k_2=1`. Вам известно, что такие прямые пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, приравняем значения для `y`. Получаем
`-3/2x+4=x-1`, `-3/2x-x=-4-1`, `-5/2x=-5`, `x=2`,
тогда `y=2-1=1`.
Таким образом, система имеет единственное решение `(2;1)`.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\ 4x+2y=10.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения следует, что `y=5-2x`, а из второго уравнения получим `y=5-2x`. Графики этих уравнений совпадают. Уравнению удовлетворяет любая пара чисел `(x,5-2x)`, где `x` любое число, а `y=5-2x`. Система уравнений имеет бесконечно много решений.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=7,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$
Запишем первое уравнение системы в виде `y=-x+7` и второе уравнение системы в виде `y=-x+5`. Графиками этих уравнений являются две параллельные прямые, которые не пересекаются, т. к. `-x+7=-x+5`, `x*0=-2`, а это уравнение не имеет решений.
При решении систем применяют метод подстановки, метод сложения и метод введения новых переменных.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными способом подстановки
1. В одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое.
2. Подставить вместо этого неизвестного полученное выражение в другое уравнение системы.
3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.
4. Воспользовавшись найденным значением одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.
5. Записать ответ.
Покажем на конкретном примере, как применяется метод подстановки.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ 5x+3y=11.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения выражаем `y=4-2x`, и это значение для `y` подставляем во второе уравнение системы, получаем:
`5x+3(4-2x)=11`, `5x+12-6x=11`, `-x=-1`, `x=1`.
Подставляем это значение `x` в выражение для `y`, получаем: `y=4-2=2`. Пара чисел `(1;2)` является единственным решением системы уравнений.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными способом алгебраического сложения
1. Умножить или разделить одно (или оба) уравнения системы на некоторое число, не равное 0, так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях стали противоположными числами (или совпали).
2. Сложить (вычесть) уравнения.
3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.
4. Воспользовавшись найденными значениями одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.
5. Записать ответ.
Теперь приведём пример, где применяется метод сложения.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}3x-2y=5,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$
В этих уравнениях коэффициенты при переменной `y` отличаются знаком. Сложив уравнения системы, получаем
`3x-2y+2x+2y=5+10`, `5x=15`, `x=3`.
Подставляем найденное значение `x`, например, в первое уравнение системы, получаем:
`3*3-2y=5`, `-2y=-4`, `y=2`.
Система имеет единственное решение `(3;2)`.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}4x+3y=11,\\ 3x+7y=13.\end{array}\right.$$
Сделаем коэффициенты при $$ x$$ обоих уравнений противоположными числами, для этого умножим обе части первого уравнения на `3` и обе части второго уравнения на `(-4)`, получим систему
$$ \left\{\begin{array}{l}12x+9y=33,\\ -12x-28y=-52.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы:
`12x+9y-12x-28y=33-52`, `-19y=-19`, `y=1`.
Подставляем это значение для `y` в первое уравнение системы, получаем:
`12x+9=33`, `12x=24`, `x=2`.
Пара чисел `(2;1)` является единственным решением системы.
Метод введения новых переменных позволяет упростить вид системы.
Покажем на конкретном примере, как применяется метод введения новых переменных.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2x-y}}+{\displaystyle \frac{9}{3x+y}}=2,\\ {\displaystyle \frac{7}{2x-y}}-{\displaystyle \frac{18}{3x+y}}=5.\end{array}\right.$$
Введём новые переменные: `u=1/(2x-y)`, `v=1/(3x+y)`.
Для переменных `u` и `v` получим систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}u+9v=2,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$
Умножим обе части первого уравнения на `2`, получим систему
$$ \left\{\begin{array}{l}2u+18v=4,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы, получим `9u=9`, `u=1`. Из первого уравнения при `u=1` следует, что `v=1/9`.
Из условия `1/(2x-y)=1` следует, что `2x-y=1`, а из условия `1/(3x+y)=1/9` следует, что `3x+y=9`. Решаем систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x-y=1,\\ 3x+y=9.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы: `5x=10`, `x=2`, из первого уравнения получаем `4-y=1`, `y=3`.
`(2;3)`.
Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, теперь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными.
С помощью способа сложения сводим систему трёх уравнений с тремя неизвестными к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Покажем это на примере.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}10x-5y-3z=-9,\\ 6x+4y-5z=-1,\\ 3x-4y-6z=-23.\end{array}\right.$$
Уравняем коэффициенты при `x` в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на `3`, а второго уравнения – на `5`, получаем:
$$ \left\{\begin{array}{l}30x-15y-9z=-27,\\ 30x+20y-25z=-5.\end{array}\right.$$
Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое уравнение, получаем:
`35y-16z=22`.
Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на `2`, получаем:
`4y+8y-5z+12z=-1+46`, `12y+7z=45`.
Теперь решаем новую систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}35y-16z=22,\\ 12y+7z=45.\end{array}\right.$$
К первому уравнению новой системы, умноженному на `7`, прибавляем второе уравнение, умноженное на `16`, получаем:
`35*7y+12*16y=22*7+45*16`,
`245y+192y=154+720`, `437y=874`, `y=2`.
Подставляем `y=2` в уравнение `12y+7z=45`, получаем:
`24+7z=45`, `7z=21`, `z=3`.
Теперь подставляем `y=2`, `z=3` в первое уравнение исходной системы, получаем:
`10x-5*2-3*3=-9`, `10x-10-9=-9`, `10x=10`, `x=1`.
`(1;2;3)`.
При решении задач могут получаться системы уравнений с большим количеством неизвестных, их решение осуществляется аналогичным образом.
В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end{array}\right.$$
Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:
$$\left|x-y\right|=\left\{\begin{array}{l}x-y,\;\mathrm{или}\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm{или}\;x-y<0.\end{array}\right.$$
Следовательно, уравнение `|x-y|=5` при `x-y>=0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y<0` в виде `y-x=5`, и поэтому вместо одной системы уравнений с модулем нам придётся рассмотреть две соответствующие системы.
1 случай. Если `x-y>=0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x-y=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}3x-3y=15,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}5x=25,\\ x-y=5,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=5,\\ y=0.\end{array}\right.$$
Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.
2 случай. Если `x-y<0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2y-2x=10,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 5y=20,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=4.\end{array}\right.$$
При `x=-1`, `y=4`, условие `x-y<0` также выполняется.
Таким образом, система имеет два решения `(5;0)` и `(-1;4)`.
Итак, при решении уравнения с модулем мы выполнили следующие шаги:
1) «раскрыли» модуль;
2) решили системы для двух случаев;
3) проверили для каждой из систем, удовлетворяет ли найденная пара чисел рассматриваемому случаю.
Однако в системе уравнений может оказаться не один, а два, три или более модулей. В этом случае необходимо рассмотреть все возможные варианты раскрытия модулей.
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4\left|y\right|=3.\end{array}\right.$$
По определению модуля числа
$$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;\;\;x\geq0,\\-x,\;x<0,\end{array}\right.\;\;\left|y\right|=\left\{\begin{array}{l}y,\;\;\;\;y\geq0,\\-y,\;y<0.\end{array}\right.$$
Значит нужно рассмотреть 4 случая:
1) `x>=0`, `y>=0`;
2) `x>=0`, `y<0`;
3) `x<0`, `y>=0`;
4) `x<0`, `y<0`.
1 случай. `x>=0`, `y>=0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}8y=0,\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{1,5},\\ y=0.\end{array}\right.$$
Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.
2 случай. `x>=0`, `y<0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. x+2y=\mathrm{1,5}$$.
Получим равносильную систему, уравнения которой совпадают. Значит, исходная система равносильна каждому из данных уравнений. Следовательно, система имеет бесконечно много решений, где общие решения можно записывать в виде `(1,5-2y;y)`, где `y<0`. Очевидно, что при этом `x=1,5-2y>=0`.
3 случай. `x<0`, `y>=0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}-2x+4y+2x-4y=6,\\ -x+2y=\mathrm{1,5}.\end{array}\right.$$
Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.
4 случай. `x<0`, `y<0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}4x=0,\\ -x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=\mathrm{0,75}.\end{array}\right.$$
Значение `x` не удовлетворяет заданному условию: неравенство `0<0` логично. Значит, и в этом случае решений тоже нет.
Обобщая все 4 случая и учитывая, что пара чисел `(1,5;0)` имеет вид `(1,5-2y;y)` при `y=0`, мы можем записать множество решений исходной системы.
`(1,5-2y;y)`, где `y<=0`.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с модулем
1. Найти в уравнениях все выражения, содержащиеся под знаком модуля.
2. Рассмотреть всевозможные комбинации случаев, когда каждое из этих выражений принимает неотрицательные и отрицательные значения.
3. Для каждого возможного случая «раскрыть» модули, используя определение модуля.
4. Решить все полученные системы.
5. Для каждого случая отобрать те решение системы, которые ему удовлетворяют.
Можно и другим способом решать, например:
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2\left|x\right|-3\left|y-1\right|=3,\\ 3x-2y=5.\end{array}\right.$$
Из второго уравнения системы выражаем `x` через `y`, получаем `x=(2y+5)/3`, подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:
`2/3|2y+5|-3|y-1|=3`; `4/3|y+5/2|-3|y-1|=3`.
Выражение `y+5/2=0` при `y=-5/2`.
Если `y> -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y< -5/2`, то `|y+5/2|=-y-5/2`.
Выражение `y-1=0`, если `y=1`.
Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y<1`, то `|y-1|=1-y`.
Если `y>=1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:
`4/3(y+5/2)-3(y-1)=3`, `4/3y+10/3-3y+3=3`, `-5/3y=-10/3`, `y=2`.
Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.
Пусть теперь `-5/2 <=y<1`, тогда `|y-1|=1-y`; `|y+5/2|=y+5/2`.
Для нахождения `y` получаем уравнение
`4/3(y+5/2)+3y-3=3`, `4/3y+10/3+3y=6`, `13/3y=8/3`, `y=8/13`;
`x=1/3(2y+5)=1/3(16/13+5)=27/13`.
Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.
Если `y< -5/2`, то получаем уравнение:
`-4/3(y+5/2)+3y-3=3`, `-4/3y-10/3+3y=6`, `5/3y=28/3`, `y=28/5`.
Это значение больше, чем `(-5/2)`, поэтому решений нет.
Таким образом, система имеет два решения `(3;2)` и `(27/13;8/13)`.
Теперь рассмотрим решение систем содержащих параметр.
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод.
Рассмотрим систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}ax+4y=2a,\\ x+ay=a.\end{array}\right.$$
В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: `a`, `x`, `y`. Неизвестными считают `x` и `y`, `a` называют параметром. Требуется найти решения `(x, y)` данной системы при каждом значении параметра `a`.
Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную `x` из
второго уравнения системы: `x=a-ay`. Подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:
`a(a-ay)+4y=2a`,
`(2-a)(2+a)y=a(2-a)`.
Если `a=2`, то получаем уравнение `0*y=0`. Этому уравнению удовлетворяет любое число `y`, и тогда `x=2-2y`, т. е. при `a=2` пара чисел `(2-2y;y)` является решением системы. Так как `y` может быть любым числом, то система при `a=2` имеет бесконечно много решений.
Если `a=-2`, то получаем уравнение `0*y=-8`. Это уравнение не имеет ни одного решения.
Если теперь `a!=+-2`, то `y=(a(2-a))/((2-a)(2+a))=a/(2+a)`,
`x=a-ay=a-a^2/(2+a)=(2a)/(2+a)`.
При `a=2` система имеет бесконечно много решений вида `(2-2y;y)`, где `y` - любое число;
при `a=-2` система не имеет решений;
при `a!=+-2`, система имеет единственное решение `((2a)/(2+a); a/(2+a))`.
Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра `a` система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра `a` она не имеет решений.
При каких значениях параметра `a` система
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x+y=a\end{array}\right.$$
не имеет решений?
Левые части уравнений системы равны. Если будут равны и правые, то есть `a=5`, то получим `2` одинаковых уравнения `x+y=5`, и решением системы будут все пары `(x,y)`, которые удовлетворяют уравнению `x+y=5`, т. е. все точки прямой `y=-x+5`.
Но, если `a!=5`, то получим два уравнения, у которых левые части равны, а правые нет, это две параллельные прямые `y=-x+5` и `y=-x+a`.
Они не пересекаются, и значит, система не имеет решений.
При `a!=5` система не имеет решений.
Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за `2,5` часа. Если он увеличит скорость на `20` км/ч, то за `2` часа он проедет путь на `15` км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите расстояние от города до посёлка.
Обозначим через `S` расстояние между городом и посёлком и через `v` скорость автомобиля. Тогда для нахождения `S` получаем систему из двух уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}v=S,\\ \left(v+20\right)2=S+15.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения `v=S/(2,5)=2/5S`, подставляем это значение `v` во второе уравнение:
`(2/5S+20)2=S+15`, `1/5S=25`, `S=125`.
`125` км.
Сумма цифр двузначного числа равна `15`. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на `27` больше исходного. Найдите эти числа.
Пусть данное число `bar(ab)`, т. е. число десятков равно `a`, а число единиц равно `b`. Из первого условия задачи имеем: `a+b=15`. Если из числа `bar(ba)` вычесть число `bar(ab)`, то получится `27`, отсюда получаем второе уравнение: `10b+a-(10a+b)=27`.
Решаем систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ -9a+9b=27,\end{array}\right.$$ $$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ a-b=-3.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения последней системы, получаем: `2a=12`, `a=6`, тогда `b=9`. Заданное число `69`, второе число `96`.
`69` и `96`. ▲
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля `5%` и `40%`. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось `140` т стали с содержанием никеля `30%`?
Обозначим через `x` массу стали с `5%` содержанием никеля и через `y` массу стали с `40%` содержанием никеля. Тогда `x+y=140`. В `x` тоннах стали содержится `0,05x` никеля, а в `y` тоннах стали содержится `0,04y` никеля. Масса никеля равна `0,05x+0,4y` и составляет `30%` от `140` т, т. е. `3/10 140 "т"=42 "т"`. Получили второе уравнение
`0,05x+0,4y=42`.
Умножим обе части уравнения на `20`, получим: `x+8y=840`.
Для нахождения `x` и `y` получили систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=140,\\ x+8y=840.\end{array}\right.$$
Вычтем из второго уравнения первое уравнение, получим: `7y=700`, `y=100` тогда `x=140-y=40`.
`40` т, `100` т.
Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за `2` ч `24` мин. Если оператор будет работать `2` ч, а ученик `1` ч, то будет выполнено `2/3` всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи?
Обозначим всю работу за `1`, производительность оператора за `x` и производительность ученика за `y`. Учитываем, что
`2` ч `24` мин`=2 2/5` ч `=12/5` ч.
Из первого условия задачи следует, что `(x+y)12/5=1`. Из второго условия задачи следует, что `2x+y=2/3`. Получили систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)\frac{12}{5}=1,\\ 2x+y=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$$
Решаем эту систему методом подстановки:
`y=2/3-2x`; `(x+2/3-2x)12/5=1`; `(2/3-x)12/5=1`; `12/5x=8/5-1`;
`12/5x=3/5`; `x=1/4`; `y=2/3-1/2=1/6`.
Для оператора понадобится `4` часа `(1:1/4=4)`, а ученику `– 6` часов `(1:1/6=6)`.
В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.
Числовыми являются выражения $$ \mathrm{3,8}-\mathrm{2,1}\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{4}\right)$$, $$ 2+5(38:9)$$.
Выражения вида `2x+1`, $$ 3{x}^{2}+5$$ называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.
$$ 2{x}^{2}y+xy{z}^{3}$$, $$ 5{a}^{2}b{\left(x-y\right)}^{2}$$ , $$ 3{t}^{2}+{v}^{3}+1$$.
Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.
Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.
Соответственными значениями выражений $$ 2{x}^{2}+1$$ и $$ 3{x}^{2}+5x+1$$ при `x=1` являются числа $$ 3$$ и $$ 9$$.
Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком «`=`», называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть верными при одних значениях переменных и неверными при других значениях.
Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.
Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.
Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.
Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.
Выражения $$ 9,$$ $$ 25{x}^{2}$$ и $$ 34abx{y}^{4}$$ являются одночленами.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.
Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.
Стандартным видом одночлена $$ \mathrm{0,3}bxy(-2){a}^{2}{x}^{2}{y}^{3}$$ является одночлен $$ -\mathrm{0,6}{a}^{2}b{x}^{3}{y}^{4},$$ число $$ (-\mathrm{0,6})$$ является его коэффициентом, степень одночлена равна $$ 10.$$
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.
Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.
Одночлены $$ 2a{x}^{2}y$$ и $$ -5a{x}^{2}y$$ являются подобными.
Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.
$$ 2ax+3by-ax+\mathrm{0,5}by=ax+\mathrm{3,5}by.$$
Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.
Стандартным видом многочлена $$ 2a{x}^{5}+x{y}^{3}+3x{y}^{3}-2a{x}^{5}+5$$ является многочлен $$ 4x{y}^{3}+5,$$ его степень равна $$ 4.$$
Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$$ \left(x+y\right)\left(2{x}^{2}-y\right)=2{x}^{3}+2{x}^{2}y-xy-{y}^{2}.$$
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.
При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.
Разложите на множители многочлен $$ 2{x}^{2}y+{y}^{2}-2{x}^{3}-yx.$$
Решение
При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»:
| 1. Разность квадратов | $$ {a}^{2}-{b}^{2}=(a-b)(a+b)$$ |
|---|---|
| 2. Разность кубов | $$ {a}^{3}-{b}^{3}=(a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2})$$ |
| 3. Сумма кубов | $$ {a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})$$ |
| 4. Квадрат суммы | $$ (a+b{)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}$$ |
| 5. Квадрат разности | $$ (a-b{)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$$ |
| 6. Куб суммы | $$ (a+b{)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}$$ |
| Куб разности | $$ (a-b{)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}$$ |
Разложите на множители многочлен $$ {x}^{3}+{x}^{2}+x-3.$$
Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:
`x^3+x^2+x-3=(x^3-1)+(x^2-1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x^2+2x+3)`.
Разложите на множители многочлен $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y.$$
Сначала выносим общий множитель $$ 3{x}^{2}y$$ за скобку:
$$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y\left({y}^{3}-8{x}^{3}\right). $$
Затем к многочлену $$ {y}^{3}-8{x}^{3}$$ применим формулу для разности кубов:
$$ {y}^{3}-8{x}^{3}=\left(y-2x\right)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
В результате получим $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y(y-2x)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
Разложите на множители многочлен $$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1.$$
Заметим, что $$ {y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1={\left(y+1\right)}^{3},$$ а $$ 27{x}^{3}={\left(3x\right)}^{3},$$ тогда получаем
$$ {\left(3x\right)}^{3}+{\left(y+1\right)}^{3}.$$
Применяем формулу 3, получим
$$ (3x{)}^{3}+(y+1{)}^{3}=(3x+y+1){\left(9{x}^{2}-3x(y+1)+(y+1\right)}^{2}).$$
Таким образом,
$$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1=(3x+y+1)(9{x}^{2}-3xy-3x+{y}^{2}+2y+1). $$
Разложим на множители многочлен $$ {y}^{8}+{y}^{4}+1.$$
Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение $$ {y}^{4},$$ получаем:
$$ {y}^{8}+{y}^{4}+1+{y}^{4}-{y}^{4}={y}^{8}+2{y}^{4}+1-{y}^{4}={\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}$$.
А теперь применяем формулу для разности квадратов:
$$ {\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}=\left({y}^{4}+1+{y}^{2}\right)\left({y}^{4}+1-{y}^{2}\right)$$.
Выражения вида `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида где – произвольные числа, причём
Рассмотрим квадратный трёхчлен Запишем его в таком виде: Прибавим к этому выражению и вычтем получаем: Заметим, что поэтому
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена
Заметим, что `3x=2*1/2*3x`. Тогда
`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Теперь применяем формулу получаем:
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Теперь замечаем, что
Прибавляем к выражению слагаемое получаем:
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Мы не можем представить выражение как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно а при `x!=1/4` из числа вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее Таким образом, число является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`
`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`
`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.
Разложите на множители многочлен
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.
`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`
`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`
`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`
`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.
Преобразуем знаменатель дроби:
`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`
`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`
`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.
Например, уравнением с одной переменной является равенство $$ 2(3x+5)=4x-1.$$
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Например, число $$ 1$$ является решением уравнения $$ 3x+5=9x-1.$$ Уравнение $$ {x}^{2}+1=0$$ не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение $$ (x-1)(x+2)=0$$ имеет два корня: $$ {x}_{1}=1$$ и $$ {x}_{2}=-2.$$
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.
При решении уравнений используют следующие свойства
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $$ ax=b,$$ где $$ x - $$переменная, $$ a$$ и $$ b - $$ некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если $$ a\ne 0$$, то уравнение имеет единственное решение $$ x=\frac{b}{a}.$$
Если $$ a=0$$ и $$ b=0,$$ то уравнению удовлетворяет любое значение $$ x,$$ а если $$ a=0,$$ а $$ b\ne 0,$$ то уравнение не имеет решений, т. к. $$ 0·x=b$$ не выполняется ни при одном значении переменной.
Решите уравнение $$ \mathrm{2,5}x-(x+1)=(3x-1)-2x+1$$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с $$ x$$ в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие $$ x,$$ в правую часть, получаем:
$$ \mathrm{2,5}x-x-3x+2x=1-1+1, $$
$$ \mathrm{0,5}x=1,$$ $$ x=2.$$
Решите уравнение:
а) $$ 2{x}^{2}-3x=0$$;
б) $$ {x}^{3}-2{x}^{2}-9x+18=0$$;
в) $$ {x}^{2}+5x+6=0$$.
а) Преобразуем уравнение: $$ x(2x-3)=0.$$ Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем $$ {x}_{1}=0,$$ $$ {x}_{2}=\frac{3}{2}.$$
б) Разложим на множители левую часть уравнения:
$$ {x}^{2}(x-2)-9(x-2)=(x-2)({x}^{2}-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$$
Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа $$ {x}_{1}=2,$$ $$ {x}_{2}=3,$$ $$ {x}_{3}=-3.$$
$$ 2; 3; -3.$$
в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в 8-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим $$ 5x$$ как $$ 2x+3x,$$ тогда имеем:
$$ {x}^{2}+2x+3x+6=0,$$
$$ x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,$$
отсюда видно, что $$ {x}_{1}=-2,$$ $$ {x}_{2}=-3.$$
Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение $$ 5x=2·\frac{5}{2}x.$$ И прибавим и вычтем в левой части уравнения число $$ \frac{25}{4},$$ получаем:
`x^2+2*5/2*x+25/4-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-1/4=0`,
`(x+5/2)^2-(1/2)^2=0`,
`(x+5/2-1/2)(x+5/2+1/2)=0`,
`(x+2)(x+3)=0`.
Откуда следует, что $$ {x}_{1}=-2$$ и $$ {x}_{2}=-3.$$
$$ -2; -3.$$
Являются ли данные уравнения равносильными:
а) $$ \left|x-1\right|=2$$ и $$ 2x-5=1;$$
б) $$ \frac{(x-3)(x+7)}{x-3}=0$$ и $$ (x-3)(x+7)=0.$$
а) Если $$ \left|x-1\right|=2,$$ то $$ x-1=2, x=3, $$или $$ x-1=-2, x=-1.$$ Первое уравнение имеет два решения: $$ -1$$ и $$ 3.$$
Второе уравнение имеет одно решение $$ x=3.$$ Число $$ \left(-1\right)$$ является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.
б) Число $$ x=3$$ является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при $$ x=3$$ не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.
Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.
Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`.
Модуль нуля равен нулю.
Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
x, если {} x\geq 0,\\
-x, если {} x<0.
\end{matrix}\right.$$
Докажем некоторые свойства модуля.
Для любого числа $$ x$$ выполняется условие $$ \left|x\right|\ge 0$$.
Действительно, если $$ x>0$$, то $$ \left|x\right|=x$$ и тогда $$ \left|x\right|>0$$.
Если $$ x<0$$, то $$ \left|x\right|=-x$$, но $$ -x>0$$, значит $$ \left|x\right|>0$$. И если $$ x=0$$, то $$ \left|x\right|=0$$.
Таким образом, $$ \left|x\right|\ge 0$$ для любого $$ x$$. При этом заметим, что $$ \left|x\right|>0$$, если $$ x\ne 0$$, и $$ \left|x\right|=0$$, если $$ x=0$$.
При каких значениях $$ x$$ выполняются равенства:
а) $$ \left|x\right|=5$$ ;
б) $$ \left|x\right|=-3$$;
в) $$ \left|x-1\right|=2$$?
Решение
б) По свойству $$ 1$$ выполняется условие $$ \left|x\right|\ge 0$$, а у нас условие $$ \left|x\right|=-3<0$$. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
в) По определению модуля числа следует, что если $$ x-1\ge 0$$, т. е. $$ x\ge 1$$, то $$ \left|x-1\right|=x-1=2$$, отсюда следует, что $$ x=3$$. Если же $$ x<1$$, то $$ x-1<0$$ и $$ \left|x-1\right|=-(x-1)$$, получаем равенство $$ -x+1=2$$, $$ -x=1$$, $$ x=-1$$. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен $$ 2$$, то либо это выражение равно $$ 2$$, либо равно $$ (-2)$$. Если $$ \left|x-1\right|=2$$, то получаем два случая: $$ x-1=2$$, $$ x=3$$ и $$ x-1=-2$$, $$ x=-1$$.
Для любых чисел $$ x$$ и $$ y$$ выполняется условие
$$ \left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$$.
Если числа $$ x$$ и $$ y$$ положительные, то $$ xy>0$$, $$ \left|xy\right|=xy$$, $$ \left|x\right|=x$$, $$ \left|y\right|=y$$, получаем верное равенство $$ xy=xy$$.
Если числа $$ x$$ и $$ y$$ отрицательные, то $$ xy>0$$, $$ \left|xy\right|=xy$$, $$ \left|x\right|=-x$$, $$ \left|y\right|=-y$$, получаем верное равенство $$ xy=(-x)(-y)$$, $$ xy=xy$$.
Если $$ x>0$$, а $$ y<0$$, то $$ xy<0$$, $$ \left|xy\right|=-xy,$$ $$ \left|x\right|=x$$, $$ \left|y\right|=-y$$, получаем верное равенство $$ -xy=-xy$$.
Аналогично доказывается, если $$ x<0$$, a $$ y>0$$.
Если одно из чисел $$ x$$ и $$ y$$ равно нулю, то обе части равенства $$ \left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$$равны нулю, т. е. равенство верное.
При каких значениях $$ x$$ верно равенство $$ \left|-5x-10\right|=15$$.
$$ x+2=3$$, $$ x=1$$ и $$ x+2=-3$$, $$ x=-5$$.
$$ 1$$; $$ -5$$.
Аналогично свойству $$ 2$$ можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа $$ x$$ верно равенство $$ \left|x\right|=\left|-x\right|$$.
Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.
`|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`.
После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`.
Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`, если `x+1/3>=0`, т. е. `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`, если `x<-1/3`.
а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`. Число `1> -1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.
б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`, `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.
Решите уравнение $$ \left|x-1\right|+\left|x+1\right|=2$$.
Напомним определение модуля числа: $$ \left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}a, a\ge 0,\\ -a, a<0.\end{array}\right.$$
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа $$ x-1$$ и $$ x+1.$$
Если $$ x$$ меньше, чем $$ -1,$$ то число $$ x+1$$ отрицательное, тогда $$ \left|x+1\right|=-x-1.$$
А если $$ x>-1,$$ то $$ \left|x+1\right|=x+1.$$ При $$ x=-1$$ имеем $$ \left|x+1\right|=0.$$ Таким образом, $$ \left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}x+1, x\ge -1,\\ -x-1, x<-1.\end{array}\right.$$
Аналогично $$ \left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}x-1, x\ge 1,\\ -x+1, x<1.\end{array}\right.$$
а) Рассмотрим наше уравнение при $$ x\le -1,$$ оно равносильно уравнению $$ -x+1-x-1=2,$$ $$ -2x=2,$$ $$ x=-1.$$ Это число принадлежит множеству $$ x\le -1.$$
б) Пусть теперь `-1<x<=1`, тогда данное уравнение равносильно уравнению `-x+1+x+1=2`, `0*x=0`, последнему уравнению удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество `-1<x<=1`, значит, этому уравнению удовлетворяют все числа из этого множества.
в) Рассмотрим случай `x>1`. Уравнение равносильно уравнению `x-1+x+1=2`, `x=1`. Число `x=1` мы получили уже в пункте б).
Ответ
Решите уравнение: $$ \left|11x+5\right|=\left|9x+13\right|.$$
Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение:
$$ 11x+5=9x+13,$$ $$ 2x=8,$$ $$ x=4.$$
Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:
$$ 11x+5=-9x-13,$$ $$ 20x=-18,$$ $$ x=-\mathrm{0,9}.$$
Решите уравнение: $$ \left|5-\left|x+6\right|\right|+1=6$$.
Перенесём `1` в правую часть, получим $$ \left|5-\left|x+6\right|\right|=5$$. Теперь по определению модуля рассмотрим два случая: `5-|x+6|=5` и `5-|x+6|=-5`.
Решим каждое из них. `-|x+6|=5-5`, `|x+6|=0`, если модуль равен нулю, то выражение под модулем равно нулю `|x+6|=0`, `x=-6`.
Решим второе уравнение: `-|x+6|=-10`, `|x+6|=10`, опять получим два случая: `x+6=10` и `x+6=-10`. Решим их: `x=4` и `x=-16`.
Рассмотрим уравнение Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь - неизвестное , а - параметр. Требуется найти решение при любых значениях параметра
Если то уравнение принимает вид: этому уравнению удовлетворяет любое число т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Если то уравнение принимает вид: это уравнение не имеет решений.
Если и то обе части уравнения можно разделить на тогда получаем: `x={(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если и то уравнение имеет единственное решение и при этом `x={a+5}/{a-2}`.
Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `|x+a|=a-4` имеет один корень.
Для того чтобы уравнение имело один корень необходимо чтобы правая часть была равна нулю: `a-4=0`, то есть `a=4`.
При `a=4` уравнение имеет один корень.
Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `(a-2)x=2` не имеет корней.
Если `a=2`, то уравнение принимает вид: `0*x=2`, это уравнение не имеет решений.
При `a=2` уравнение не имеет корней.
Найдите целые значения параметра `a`, при которых корень уравнения `ax=-8` удовлетворяет неравенству `1,5<|x|<4`.
Из уравнения `x=-8/a`, `1,5<|-8/a|<4`, `a=4`, `a=-4`, `a=3`, `a=-3`, `a=5`, `a=-5`.
Функция вида $$ y=kx+b$$, где `k` и `b` - произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.
Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают значения равные нулю:
1) если `b=0`, то прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;
2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;
3) если `b=0`, `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.
Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.
Постройте график функции: а) $$ y=2x+3$$; б) $$ y=2$$.
а) При $$ x=0$$; $$ y=3$$; при $$ x=1$$; $$ y=5$$. Проводим прямую через точки $$ (0; 3)$$ и $$ (1; 5)$$. График прямой приведён на рисунке 1.
б) Для любого значения $$ x$$ значение $$ y=2$$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси $$ Ox$$ и проходящая через точку $$ (0; 2)$$. График этой функции приведён на рисунке 2.
График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` - произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` - положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` - отрицательно.
В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).
Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k<0` то угол наклона тупой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
Построим теперь график функции $$ y=\left|x\right|$$.
Из определения модуля числа следует, что $$ y=\left\{\begin{array}{c}x, \mathrm{если} x>0,\\ 0, \mathrm{если} x=0,\\ -x, \mathrm{если} x<0.\end{array}\right.$$
При $$ x\ge 0 y=x$$, графиком функции при $$ x\ge 0$$ является часть прямой $$ y=x$$. А при $$ x<0$$ графиком функции является часть прямой $$ y=-x$$. График функции $$ y=\left|x\right|$$ приведён на рисунке 3а.
Постройте график функции $$ y=\left|x+1\right|-\left|x-2\right|$$.
Выражение $$ x-2$$ равно нулю при $$ x=2$$. Если $$ x>2$$, то $$ x-2>0$$, поэтому $$ \left|x-2\right|=x-2$$. А если $$ x<2$$, то $$ x-2<0$$, тогда $$ \left|x-2\right|=-(x-2)=-x+2$$. Выражение $$ x+1$$ равно нулю, если $$ x=-1$$.
Если $$ x>-1$$, то $$ x+1>0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=x+1$$.
А если $$ x<-1$$, то $$ x+1<0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=-(x+1)=-x-1$$. Пусть $$ x\ge 2$$, тогда $$ \left|x-2\right|=x-2$$, $$ \left|x+1\right|=x+1$$, поэтому $$ y=x+1-(x-2)=3$$.
Если , то , , тогда .
Если $$ x\le -1$$, то , , тогда .
Таким образом,
Заметим, что прямая $$ y=2x-1$$ проходит через точки $$ (-1; -3)$$ и $$ (2; 3)$$. График данной функции приведён на рисунке 4.
Постройте график функции $$ y=\left\{\begin{array}{l}\left|x-3\right|, x\ge 0;\\ \left|x+4\right|-1, \text{если} x<0.\end{array}\right.$$
Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой $$ y=a$$ при различных значениях параметра $$ a$$.
Далее $$ \left|x+4\right|-1=\left\{\begin{array}{l}-4-x-1,\text{ если} x\le -4;\\ 4+x-1, \text{если} x\in (-4; 0).\end{array}\right.$$
График данной функции приведён на рисунке 5.
Если $$ a<-1$$, то прямая $$ y=a$$ не пересекает график данной функции.
Если $$ a=-1$$, то прямая пересекает график функции в точке $$ (-4; -1)$$.
Если $$ a\in (-1; 0)$$, то будет две точки пересечения.
Если $$ a=0$$, то прямая $$ y=0$$ пересекает график функции в точках $$ (-5; 0)$$, $$ (-3; 0)$$, $$ (3; 0)$$.
Если $$ a\in (0; 3)$$, то получается $$ 4$$ точки пересечения.
Если $$ a=3$$, то будет $$ 3$$ точки пересечения.
Если $$ a>3$$, то будет $$ 2$$ точки пересечения.
Дорогие ребята! Поздравляем вас с поступлением в заочную физико-техническую школу МФТИ. Вы получили первое задание по математике, в нем мало сложных задач, советуем вам внимательно изучить разработку, без ошибок ответить на контрольные вопросы и постараться решить предложенные вам задачи. Мало знать, как решить задачу, главное – уметь довести решение до конца и при этом не допустить арифметических ошибок. Не огорчайтесь, если вы не сможете справиться со всеми задачами. Вам вышлют решение задания, вы сможете посмотреть, как следует решать ту или иную задачу. В некоторых задачах мы указываем название учебного заведения (например, МГУ или МФТИ). Это означает, что данная задача предлагалась на вступительных экзаменах.
Обратите внимание, как оформлены решения в присланных вам заданиях и как записывают решения задач в ваших учебниках и задачниках.
Грамотный человек должен быть грамотным во всех предметах. Не забывайте о правилах грамматики, особенно о точках и запятых в ваших решениях. Постарайтесь аккуратно оформлять ваши решения.
Мы очень надеемся, что поможем вам в изучении математики. Рады будем видеть вас в будущем студентами нашего института.
Желаем вам больших успехов в этом году!
