16 статей
Контрольные задания. Часть II Химическая связь
За каждый правильный ответ – 2 балла. Всего за задание 12 баллов.
1. С учётом одного из важнейших свойств ковалентной связи – насыщаемо-сти – предложите доводы, согласно которым существуют молекулы и , но не образуются и .
2.Какова стереометрия следующих гибритизаций орбиталий центрального атома Каким геометрическим формам соответствуют частицы с гибридизацией орбиталей центрального атома? Дайте про-странственное изображение этих форм.
3. Известно, что в атомах бериллия и бора 2р-орбитали расположены вдоль осей х, y, z с углами между ними по °. Почему молекула 1линейная (а не угловая), а плоская, а не пирамидальная?
4. Дайте полный ответ на вопрос: почему лёд замерзает на поверхности реки, а не около дна? В чем причина уникальных физических свойств воды?
5. Укажите, какая кристаллическая решётка (атомная, молекулярная, ион-ная, металлическая) реализуется у следующих веществ, находящихся в твёр-дом агрегатном состоянии?
6. Известно, что существуют молекулы и , однако ион есть, а - нет. Почему?
Из курса химии средней школы вы знаете, что атом состоит из ядра и электронной оболочки. Ядро состоит из нуклонов - протонов и нейтронов, электронная оболочка - из электронов. Эти частицы называются элементарными.
В целом атом электронейтрален, так как заряды ядра и электронной оболочки компенсируют друг друга: число протонов в ядре равно числу электронов в электронной оболочке.
Таблица 1. Основные характеристики элементарных частиц
|
Частица |
Символ |
Масса |
Заряд* |
|
|
кг |
а. е. м. |
|||
|
Электрон |
`e^-` |
`9,109*10^(-31)` |
`1//1837` |
`–1` |
|
Протон |
`p^+` |
`1,673*10^(-27)` |
`1` |
`+1` |
|
Нейтрон |
`n^0` |
`1,675*10^(-27)` |
`1` |
`0` |
* Величина заряда электрона и протона равна `1,60*10^(-19)` Кл.
Масса атома в основном сосредоточена в ядре и определяется суммой масс протонов и нейтронов, т. к. электроны из-за своей малой массы на эту величину практически не влияют.
Сумма масс протонов и нейтронов называется массовым числом. При обозначении элемента она ставится как левый верхний индекс: $$ {}_{7}{}^{14}\mathrm{N}$$.
важнейшая характеристика атома, лежащая в основе его современного определения.
В Периодической системе Д.И. Менделеева порядковый номер элемента определяется именно зарядом ядра.
При обозначении элемента он ставится как левый нижний индекс.
Атомы с одинаковым зарядом ядра могут иметь разное количество нейтронов, то есть разные массы. Разновидности атомов одного и того же химического элемента, имеющие одинаковый заряд ядра, но разные массы, называют изотопами.
Изотопы одного и того же элемента имеют одинаковые химические свойства, так как масса атома не играет существенной роли непосредственно в формировании этих свойств.
Закон сохранения массы теоретически был описан в 1748 г, а экспериментально подтверждён в 1756 г. русским учёным М.В. Ломоносовым. М.В. Ломоносов определил, что если сосуд с металлом взвесить до и после нагревания, не вскрывая его, то масса останется неизменной. В 1789 г. французский учёный Антуан Лавуазье подтвердил выводы М.В. Ломоносова.
Формулировка закона сохранения массы:
масса веществ, вступивших в реакцию, равна массе продуктов реакции.
Атомно-молекулярное учение объясняет этот закон так: при химической реакции общее количество участвующих атомов не изменяется, а происходит лишь их перегруппировка. Так как число атомов до и после реакции не изменяется, то их общая масса тоже не изменяется.
С точки зрения атомно-молекулярного учения при химических реакциях атомы не образуются из ничего и не исчезают, поэтому число атомов всех видов в ходе химической реакции остается неизменным. А так как масса данного атома постоянна, то и общая масса исходных веществ, состоящих из этих атомов, равна массе продуктов реакции, которые состоят из того же набора атомов.
Например, для реакции
`2"H"_2 + "O"_2 → 2"H"_2"O"`
в соответствии с законом сохранения массы должно выполняться соотношение
`m("H"_2) + m//2("O"_2) = m("H"_2"O")`.
называют условную запись химической реакции с помощью химических формул, числовых коэффициентов и математических символов.
Уравнение химической реакции даёт качественную и количественную информацию о химической реакции, реагентах и продуктах реакции; его составление основывается на законах стехиометрии, в первую очередь, законе сохранения массы веществ в химических реакциях. Кроме уравнений используются полные и краткие схемы химических реакций — условные записи, дающие представление о природе реагентов и продуктов, то есть качественную информацию о химической реакции.
Для составления уравнений химических реакций, кроме знания формул реагентов и продуктов реакции, необходимо верно подобрать коэффициенты. Это можно сделать, используя несложные правила. В левой части уравнения записывают формулы (формулу) веществ, вступивших в реакцию, соединяя их знаком «плюс». В правой части уравнения записывают формулы (формулу) образовавшихся веществ, также соединённых знаком «плюс». Между частями уравнения ставят знак равенства или стрелку. Затем находят коэффициенты - числа, стоящие перед формулами веществ, чтобы число атомов одинаковых элементов в левой и правой частях уравнения было равным.
Зная закон сохранения массы, можно сформулировать правила составления химических уравнений:
1) необходимо знать формулы веществ, вступивших в реакцию (реагентов) и веществ, полученных в результате реакции (продуктов);
2) число атомов каждого элемента в левой части уравнения должно быть равно числу атомов этих же элементов в правой части уравнения;
3) нельзя переносить формулы веществ из одной части уравнения в другую.
Закон постоянства состава впервые сформулировал в 1808 г. французский учёный-химик Жозеф Луи Пруст.
Формулировка закона постоянства состава:
вещество, независимо от способа его получения, всегда имеет постоянный качественный и количественный состав.
Вещества с постоянным составом названы дальтонидами в честь английского химика Джона Дальтона.
Состав дальтонидов описывается химическими формулами с целыми стехиометрическими индексами, например `"H"_2"O"`, `"HCl"`, `"CH"_4`, `"CO"_2`, `"C"_2"H"_5"OH"`.
Из закона постоянства состава следует, что при образовании сложного вещества элементы простых веществ соединяются друг с другом в строго определенных массовых долях.
`omega_"э"` показывает, какую часть составляет масса данного элемента от массы всего вещества
`omega_"э"=(n*A_r)/(M_r)`,
где `n` – число атомов элемента в веществе;
`A_r` – относительная атомная масса элемента;
`M_r` – относительная молекулярная масса вещества.
Развитие химии показало, что наряду с веществами, имеющими постоянный состав, существуют вещества с переменным составом, который зависит от способа получения. Такие вещества назвали в честь французского химика Клода Бертолле – бертоллидами.
Бертоллиды не подчиняются законам стехиометрии. Примеры бертоллидов есть в классах оксидов, сульфидов, карбидов, гидридов.
Исходя из вышеизложенного, уточним формулировку закона постоянства состава: состав соединений с молекулярной структурой является постоянным независимо от способа получения. Состав же соединений с немолекулярной структурой (с атомной, ионной и металлической решеткой) не является постоянным и зависит от условий получения.
В 1803 г. английский учёный Джон Дальтон установил:
если два элемента образуют друг с другом несколько химических соединений, массы одного из элементов, приходящиеся в этих соединениях на одну и ту же массу другого, относятся между собой как небольшие целые числа.
Например, азот и кислород дают `5` оксидов:
`"N"_2"O"` `"NO"` `"N"_2"O"_3` `"NO"_2` `"N"_2"O"_5`.
Количества кислорода в них, приходящиеся на одно и то же количество азота, относятся как целые числа – `1 : 2 : 3 : 4 : 5`.
Это объясняется тем, что одинаковое количество атомов азота в молекулах разных оксидов связано с различным числом атомов кислорода.
Французский учёный Гей-Люссак, изучая соотношение между объёмами газов, вступающих в реакцию и образующихся в результате реакции, в 1805 г. пришёл к обобщению, известному как закон простых объёмных отношений:
объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре и давлении) относятся друг к другу как простые целые числа.
Например, в реакции синтеза хлороводорода, протекающей по уравнению:
|
`"H"_2` `1` моль `22,4` л |
`+` |
`"Cl"_2` `1` моль `22,4` л |
`->` |
`2"HCl"` `2` моль `2*22,4` л |
один объём водорода реагирует с одним объёмом хлора и образуется два объёма хлороводорода (при одинаковых условиях).
В 1811 г. итальянский физик А. Авогадро объяснил простые отношения между объёмами газообразных участников реакции на основании установленного им закона.
Закон Авогадро формулируется следующим образом:
в равных объёмах любых газов и паров при одинаковых условиях содержится одинаковое количество молекул.
Закону Авогадро подчиняются только газообразные вещества. В газах промежутки между молекулами велики по сравнению с их размерами, а собственный же объём молекул очень мал. Общий объём газов определяется, главным образом, расстояниями между молекулами, примерно одинаковыми у всех газов (при одинаковых внешних условиях).
Из закона Авогадро выведены следующие следствия.
`1` моль любого газа при нормальных условиях занимает один и тот же объём, равный приблизительно `22,4` л.
Этот объём называется молярным объёмом:
`V_m=22,4` л/моль
Масса одного и того же объёма газа тем больше, чем больше масса его молекул. Если в равных объёмах газов при одинаковых условиях содержится одинаковое число молекул, то, очевидно, что отношение масс равных объёмов газов будет равно отношению их молекулярных масс или отношению численно равных им молярных масс:
`m_1/m_2=M_1/M_2`
где `m_1` - масса объёма первого газа,
`m_2` - масса такого же объёма второго газа,
`M_1` - молярная масса первого газа,
`M_2` - молярная масса второго газа.
Отношение массы определённого объёма одного газа к массе такого же объёма другого газа, взятого при тех же условиях, называется относительной плотностью первого газа по второму - (обозначается `D`).
`m_1/m_2=D` при `V_1=V_2`
Относительная плотность первого газа по второму газу может быть рассчитана как отношение молярных масс этих газов.
`D=M_1/M_2`, откуда `M_1=D*M_2`.
Обычно плотность газов определяют по отношению к водороду `M("H"_2)=2` г/моль или к воздуху `M_"возд"=29` г/моль и обозначают $$ {D}_{{\mathrm{H}}_{2}}$$ или $$ {D}_{\mathrm{возд}}$$.
Таким образом, зная плотность газа по водороду или по воздуху, можно легко определить его молярную, а, следовательно, и относительную молекулярную массу и сформулировать второе следствие из закона Авогадро.
молярная масса вещества `(M)`, а значит, и относительная молекулярная масса `(M_r)` вещества в газообразном состоянии численно равна удвоенной плотности паров этого вещества по водороду.
Измерения объёмов газов обычно производят при условиях, отличных от нормальных.
Нормальными условиями считаются: давление `P_0= 101,325` кПа (`760` мм рт. ст., `1` атм.), температура `T_0=273` К. Для приведения объёма газа к нормальным условиям можно пользоваться уравнением, объединяющим газовые законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака:
`(p*V)/T=(p_0*V_0)/(T_0)`, `(p*V)/T="const"`,
где `V` – объём газа при давлении `p` и температуре `T`;
`V_0` – объём газа при нормальном давлении `p_0=101,325` кПа и температуре `T_0= 273` К.
Расчёты по уравнениям химических реакций
Расчёты по уравнениям химических реакций (стехиометрические расчёты) основаны на законе сохранения массы. Уравнение химической реакции показывает:
1) в каких количественных соотношениях реагируют и образуются вещества;
2) в каких отношениях масс реагируют и образуются вещества.
Если в реакции участвуют газообразные и парообразные вещества, то химическое уравнение реакции показывает, в каких объёмных соотношениях они реагируют и образуются.
Пользуясь уравнением химической реакции, можно производить вычисления, имеющие большое значение в лабораторной практике и на производстве. На основе химических уравнений вычисляют количество вещества реагирующих или полученных веществ, массу, объём (для газообразных веществ).
Уравнение химической реакции содержит обычно больше информации, чем нужно для решения задачи. Поэтому, прочитав условие задачи и написав уравнение химической реакции, надо обратить внимание на то, какая величина является данной и какая искомой. Далее надо определить, в каких единицах должен быть дан ответ (в единицах количества вещества, массы или объёма). Необходимо стремиться к наиболее рациональным вычислениям, что может быть достигнуто использованием различных единиц массы и объёма.
Расчёты количественных величин искомого вещества по уравнению химической реакции основываются на данных об известном веществе, которые могут быть указаны с использованием разных величин (массы, объёма, количества вещества).
Расчёт массы (объёма, количества вещества) продукта реакции, если одно из исходных веществ дано в виде раствора с определенной массовой долей растворенного вещества
В задачах данного вида исходное вещество содержится в растворе, поэтому найти массу растворённого вещества можно по формуле:
`m_(("р"."в".))=m_(("р-ва"))*omega_(("р"."в".))`.
Если заданы объём и плотность раствора, то массу растворённого вещества можно найти по формуле:
`m_(("р"."в".))=V*rho*omega_(("р"."в".))`.
Массовую долю вещества в смеси или растворе вычисляют как отношение массы вещества, входящего в состав смеси, к массе всей смеси. Выражают либо в долях единицы, либо в процентах (чаще всего).
$$ {\omega }_{\mathrm{в}-\mathrm{ва}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{в}-\mathrm{ва}}}{{m}_{\mathrm{раствора}}}}·100\%, {\omega }_{\mathrm{в}-\mathrm{ва}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{в}-\mathrm{ва}}}{{m}_{\mathrm{смеси}}}}·100\%$$.
Расчёт количества вещества, массы или объёма исходных веществ и продуктов реакции
По уравнениям химических реакций можно рассчитывать количество вещества, массу или объём реагирующих веществ и продуктов реакции. Количества вещества соединений, вступающих в химическую реакцию и образующихся в результате реакции, пропорциональны друг другу и относятся как коэффициенты перед формулами этих соединений в уравнении реакции.
Зная количество вещества одного из реагентов, можно найти количества вещества других участников данной реакции, а по количеству вещества достаточно легко выйти на массу или объём.
Расчёт массы, объёма продукта реакции, если одно из
реагирующих веществ находится в избытке
Вещества реагируют друг с другом в строго определенных количественных соотношениях. Для проведения химической реакции исходные вещества могут быть взяты в любых количествах, причём одно из реагирующих веществ может быть взято в избытке, другое – в недостатке. Главная задача - определить, какое из реагирующих веществ было взято в избытке, а какое в недостатке. Определив это, дальнейший расчёт задачи вести строго по тому веществу, которое было взято в недостатке. Это можно объяснить тем, что вещество, находящееся в недостатке, прореагирует полностью, и количество вещества данного реагента будет точно известно.
Для того чтобы определить, какое из реагирующих веществ будет в избытке, а какое – в недостатке, необходимо вычислить количества вещества реагентов и сравнить их. Если количества вещества реагентов, участвующих в химической реакции, одинаковы, то в избытке будет то вещество, количество которого больше в соответствии с условиями задачи. Если же вещества реагируют в неравных количествах, то для расчёта избытка и недостатка следует учитывать коэффициенты в уравнении реакции.
Расчёты, связанные с использованием доли выхода
продуктов реакции от теоретически возможного
При проведении расчётов по уравнениям химических реакций полагают, что исходные вещества полностью превратились в продукты реакции и что количества веществ, образующихся в результате реакции, строго соответствуют количествам вступивших в реакцию веществ.
Расчёты по уравнению химической реакции основаны на законе сохранения массы вещества. Осуществляя расчёты по химическому уравнению, мы получаем теоретический `100 %`-ный выход продукта реакции.
На самом деле масса образующихся продуктов часто бывает меньше той, которая должна образоваться в соответствии с расчётом по уравнению химической реакции. Это связано, прежде всего, с неполным протеканием реакций в реальных химических процессах и с некоторыми потерями веществ.
Выход продукта реакции – это отношение массы практически полученного продукта к массе вещества, которая должна получиться теоретически:
`eta=m_"практ"/m_"теор"*100%`.
Зная массу исходного вещества и долю выхода продукта реакции, можно рассчитать практическую массу образующегося в результате реакции вещества. Для этого вычисляют теоретические значения этих величин, а затем с использованием формул вычисляют их практические значения:
$$ {m}_{\mathrm{практ}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{теор}}·\eta }{100\%}}$$.
В случае газообразных веществ рассчитывают объёмную долю выхода продукта.
Объёмная доля выхода продукта – это отношение объёма практически полученного газообразного продукта к объёму газообразного вещества, который должен получиться теоретически:
`varphi=V_"практ"/V_"теор"*100%`.
Рассчитайте массу меди, образующейся при восстановлении `8` г оксида меди (II) избытком водорода.
Дано:
`ul(m"(CuO)"=8 "г")`.
`m("Cu")` - ?
I способ (c использованием расчётных формул):
| `ul("CuO") + "H"_2 →` | `ul("Cu") + "H"_2"O"`. |
|
`1` моль `0,1` моль |
`1` моль `x` моль |
`nu("CuO")=(m("CuO"))/(M("CuO"))=(8 "г")/(80 "г"//"моль")=0,1 "моль"`.
По уравнению реакции находим `x`:
`x=(0,1 "моль"*1 "моль")/(1"моль")=0,1 "моль"`.
`ν("CuO") = ν("Cu") = 0,1 "моль".`
`m("Cu") = M("Cu") * ν("Cu") = 64 "г"//"моль" * 0,1 "моль" = 6,4 "г"`.
`m("Cu")=6,4 "г"`.
II способ (по пропорции)
| `ul("CuO") + "H"_2 →` | `ul("Cu") + "H"_2"O"`. |
|
`8` г `1` моль `M=80` г/моль `m=80` г |
`x` г `1` моль `M=64` г/моль `m=64` г |
из `80 "г" "CuO"` образуется `64 "г" "Cu"`,
из `8 "г" "CuO"` образуется `x "г" "Cu"`.
`x=(8 "г"*64 "г")/(80 "г")=6,4 "г"`.
`m("Cu") = 6,4 "г"`.
Какой объём оксида углерода (IV) поглотится `3,7%`-ым раствором гидроксида кальция массой `100` г с образованием осадка?
Дано:
`omega("Cu"("OH")_2)=3,7%`.
`ul(m_"р-ва"=100 "г").`
`V("CO"_2)` - ?
I способ (использование расчётных формул):
1) `m("Ca"("OH")_2) = m("p-pa") * ω("Ca"("OH")_2)`.
`m("Ca"("OH")_2) = 100 "г"*0,037 = 3,7 "г"`.
2) `nu("Ca"("OH")_2)=m/M=(3,7 "г")/(74 "г"//"моль")=0,05 "моль"`.
| `ul("Ca"("OH")_2) +` | `ul("CO"_2 )→"CaCO"_3darr + "H"_2"O"`. |
|
`1` моль `0,05` моль |
`1` моль `x` моль |
3) `nu("Сa"("OH")_2) = nu("CO"_2) = 0,05` моль,
4) `V("CO"_2) =V_m*nu("CO"_2) = 22,4 "л"//"моль"*0,05 "моль" = 1,12 "л"`.
`("CO"_2) = 1,12` л.
II способ (вычисление по пропорции):
1) найдём массу гидроксида кальция, которая содержится в растворе:
`m("Ca"("OH")_2)=m_(("р-ра"))*omega("Ca"("OH")_2)=100 "г"*0,037=3,7` г;
2) запишем уравнение реакции:
| `ul("Ca"("OH")_2) +` | `ul("CO"_2 )→"CaCO"_3darr + "H"_2"O"`. |
|
`1` моль `3,7` г |
`1` моль `x` л |
`m("Ca(OH)"_2=M*nu=74` г/моль `*1` моль `=74` г,
`V ("CO"_2) =V_m*nu=22,4 "л"//"моль"*1 "моль" =22,4 "л"`;
3) по пропорции найдём объём оксида углерода (IV):
`74` г `"Ca"("OH")_2` реагируют с `22,4` л `"CO"_2`,
`3,7` г `"Ca"("OH")_2` реагируют с `x` л `"CO"_2`,
$$x=\frac{3,7\text{ }\mathrm{г}·22,4\text{ }\mathrm{л}}{74\text{ }\mathrm{г}}=1,12\text{ }\mathrm{л}.$$
`V("CO"_2)=1,12` л.
Определите массу технического алюминия (массовая доля алюминия `95,2%`), который потребуется для получения железа массой `16,8` кг из оксида железа (III) методом алюмотермии.
Дано:
`m("Fe")=16,6` кг.
`ul(omega("Al")=95,2%`.
`m("Al"_"техн")` - ?
.
| `"Fe"_2"O"_3+` | `ul(2"Al")->` | `ul(2"Fe")→"Al"_2"O"_3`. |
|
`2` моль `x` моль |
`2` моль `300` моль |
`nu("Fe")+(m("Fe"))/(M("Fe"))=(16,8 "кг")/(0,056 "кг"//"моль")=300` моль.
`ν("Fe") = ν ("Al") = 300` моль.
`m("Al"_"чист") = M("Al")*ν ("Al") = 0,027` кг/моль `*300` моль `= 8,1` кг.
`m("Al"_"техн")=(m("Al"_"чист"))/(omega("Al"))=(8,1 "кг")/(0,952)=8,5` кг.
`omega("Al"_"техн")=8,5` кг
При растворении в соляной кислоте `8,7` г сплава, содержащего алюминий и магний, выделилось `8,96` л водорода. Вычислите массовые доли (в `%`) компонентов в исходной смеси.
Дано:
`m("Al"+"Mg")=8,7` г
`ul(V("H"_2)=8,96 "л"`.
`omega("Al")` - ?
`omega("Mg")` - ?
I способ:
Обозначим массу алюминия в смеси через `x` г. Тогда масса магния равна `(8,7 – x)`, г.
`M("Al") = 27` г/моль, `M("Mg") =24` г/моль, следовательно,
$$\mathrm{\nu }\left(\mathrm{Al}\right)=\frac{m\left(\mathrm{Al}\right)}{M\left(\mathrm{Al}\right)}=\frac{x}{27}\mathrm{моль}$$,
$$\mathrm{\nu }\left(\mathrm{Mg}\right)=\frac{m\left(\mathrm{Mg}\right)}{M\left(\mathrm{Mg}\right)}=\frac{8,7\mathit{-}x}{27}\mathrm{моль}.$$
| `ul(2"Al") +6"HCl"` | `->` | `2"AlCl"_3+` | `ul(3"H"_2)uarr`. |
|
`2` моль |
|
`3` моль |
$$\frac{\mathrm{\nu }\left(\mathrm{Al}\right)}{{\mathrm{\nu }}_{1}\left({\mathrm{H}}_{2}\right)}=\frac{2}{3},\text{ }{\mathrm{\nu }}_{1}\left({\mathrm{H}}_{2}\right)=\frac{3}{2}·\mathrm{\nu }\left(\mathrm{Al}\right)=\frac{3}{2}·\frac{x}{27}=\frac{x}{18},$$
т. е. при растворении $$\mathrm{Al}$$ выделилось $$\frac{x}{18}$$ моль водорода.
| `ul("Mg") +2"HCl"` | `->` | `"MgCl"_2+` | `ul("H"_2)uarr`. |
|
`1` моль |
|
`1` моль |
$${\mathrm{\nu }}_{2}\left({\mathrm{H}}_{2}\right)=\mathrm{\nu }\left(\mathrm{Mg}\right)=\frac{8,7-x}{24}\text{ }\mathrm{моль},$$
`(8,7-x)/(24)` моль - такое количество вещества водорода выделилось при растворении `"Mg"`.
Объём водорода, выделившегося при растворении сплава, переведём в количество вещества:
`nu("H"_2)=(V("H"_2))/(Vm)=(8,96 "л")/(22,4 "л"//"моль")=0,4` моль.
Составим уравнение:
`x/18+(8,7-x)/(24)=0,4`
`24x+8,7*18-18x=0,4*18*24`
`24x+156,6-18x=172,8`
`6x=16,2`
$$x=2,7.$$
`x("Al")=2,7` г; `omega("Al")=2,7:8,7*100%=31%`
`m("Mg")=8,7` г `-2,7` г `=6` г:
`omega("Mg")=(m("Mg"))/(m("Al"+"Mg"))*100%=(6 "г")/(8,7 "г")*100%=69%`
`omega("Al")=31%`, `omega("Mg")=69%`.
II способ:
1) Обозначим содержание алюминия в сплаве через количество вещества `x` моль и выразим через массу
`(m_"в-ва"=M_"в-ва"*nu)=27x`, г.
2) Содержание магния в сплаве обозначим через количество вещества `y` моль и выразим через массу `24y`, г.
3) Количество выделившегося водорода в реакции (1) выразим через `x` моль, а во второй − через `y` моль в соответствии с уравнениями реакций.
4) Запишем уравнения реакций:
| `2"Al"+6"HCl"` | `->` | `2"AlCl"_3+` | `ul(3"H"_2)uarr` | (1) |
|
`2` моль `x` моль `27x` г |
|
`3` моль `1,5x` моль `1,5x` моль |
|
| `ul("Mg")+2"HCl"` | `->` | `"MgCl"_2+` | `ul("H"_2)uarr` | (2) |
|
`1` моль `y` моль `24y` г |
|
`1` моль `y` моль `y` моль |
|
5) По условию задачи:
− масса сплава `("Al" +"Mg")` равна `8,7` г, т. е.
`27x + 24y= 8,7`
− общее количество выделившегося водорода (моль) равно
`nu=(V_("H"_2))/(22,4 "л"//"моль")=(8,96 "л")/(22,4 "л"//"моль")=0,4` моль,
т. е. `1,5x + y= 0,4`.
6) Имеем систему уравнений с двумя неизвестными
`27x + 24y = 8,7`
`1,5x + y = 0,4`
В результате решения находим:
`x("Al")=0,1` моль `y("Mg") = 0,25` моль.
7) Соответственно, `ν("Al") = 0,1` моль, `ν("Mg") = 0,25` моль.
8) Рассчитаем массовые доли (в `%`) металлов в сплаве:
`m("Al") = ν("Al")*M("Al") = 0,1` моль `*27` г/моль `= 2,7` г.
`m("Mg") = ν("Mg")*M("Mg") = 0,25` моль `*24` г/моль `= 6` г.
`omega("Al")=(m("Al"))/(m("Al"+"Mg"))*100%=(2,7 "г")/(8,7 "г")*100%=31%`
`omega("Mg")=(m("Mg"))/(m("Al"+"Mg"))*100%=(6 "г")/(8,7 "г")*100%=69%`
`omega("Al")=31%`, `omega("Mg")=69%`.
Фосфорный ангидрид, полученный при окислении `6,2` г фосфора, растворили в `25` мл `25%`-го раствора гидроксида натрия `(ρ = 1,28 "г"//"мл")`. Какого состава образуется соль и какова её массовая доля в растворе (в `%`)?
Дано:
`m("P")=6,2` г
$$V\left(\text{ р-ра }\mathrm{NaOH}\right)=25\text{ }\mathrm{мл}$$
$$\mathrm{\omega }\left(\mathrm{NaOH}\right)=25\%$$
`ul(rho("р-ра" "NaOH")=1,28 "г"//"мл")`
`omega` (соли) - ?
`4"P"+5"O"_2->2"P"_2"O"_5` (1)
1) Запишем все возможные продукты взаимодействия раствора гидроксида натрия c оксидом фосфора (V):
`6"NaOH" + "P"_2"O"_5 → 2"Na"_3"PO"_4 + 3"H"_2"O"` (2);
`4"NaOH" + "P"_2"O"_5 → 2"Na"_2"HPO"_4 + "H"_2"O"` (3);
`2"NaOH" + "P"_2"O"_5 + "H"_2"O" → 2"NaH"_2"PO"_4` (4).
2)
| `ul(4"P") + 5"O"_2 →` | `ul(2"P"_2"O"_5)` |
|
`4` моль `0,2` моль |
`2` моль `x` моль |
`nu("P")=(m("P"))/(M("P"))=(6,2 "г")/(31 "г"//"моль")=0,2` моль.
`ν("P"_2"O"_5) =1/2ν("P")=1/2*0,2=0,1` моль.
3) `m("P"_2"O"_5) =142 "г"//"моль"*0,1 "моль"= 14,2` г.
4) `m("р-ра" "NaOH")= V("р-ра" "NaOH")*ρ("р-ра" "NaOH")`.
`m("р-ра" "NaOH")= 25` мл `*1,28` г/мл `= 32` г.
5) `m("NaOH")=m("р-ра" "NaOH")*omega("NaOH")`,
`m("NaOH")=32 "г"*0,25 = 8` г.
6) `nu("NaOH")=(m("NaOH"))/(M("NaOH"))=(8 "г")/(40 "г"//"моль")=0,2` моль.
7) При сравнении `ν("NaOH")` и `ν("P"_2"O"_5)` c коэффициентами в уравнениях реакций (2), (3) и (4) видно, что идёт реакция (4).
8) Из уравнения реакции (4):
`ν("P"_2"O"_5)=1/2ν("NaH"_2"PO"_4)`.
Значит, `ν("NaH"_2"PO"_4)=2ν("P"_2"O"_5)= 2*0,1 "моль"=0,2` моль.
9) `m("NaH"_2"PO"_4)=M("NaH"_2"PO"_4)*ν("NaH"_2"PO"_4)`.
`m("NaH"_2"PO"_4)= 120` г/моль `*0,2` моль `= 24` г.
10) `m("получ.р-ра")=m("р-р""NaOH")+m("P"_2"O"_5)`,
`m("получ.р-ра")=32` г `+14,2` г `=46,2` г.
11) `omega("NaH"_2"PO"_4)=(m("NaH"_2"PO"_4))/(m("получ.р-ра"))*100%=`
`=(24 "г")/(46,2 "г")*100%=51,9%`.
`omega("NaH"_2"PO"_4)=51,9%`
Раствор, содержащий `1,4` г гидроксида калия, полностью поглотил `336` мл оксида углерода (IV) (н. у.). Полученный раствор выпарили.
Определите состав сухого остатка.
Дано:
`m("р-ра" "KOH")=1,4 "г"`.
`ul(V("CO"_2)=336 "мл"`.
`m("K"_2"CO"_3)` - ?
`m("KHCO"_3)` - ?
При поглощении оксида углерода (IV) возможно протекание реакции по двум направлениям:
| `2"KOH"+"CO"_2->"K"_2"CO"_3+"H"_2"O"` | (1) |
| `"KOH"+"CO"_2->"KHCO"_3` | (2) |
1) `nu("CO"_2)=(V("CO"_2))/(V_m)=(0,336 "л")/(22,4 "л"//"моль")=0,015` моль.
`nu("KOH")=(m("KOH"))/(M("KOH"))=(1,4 "г")/(56 "г"//"моль")=0,025` моль.
Сравнивания `ν("KOH")` и `ν("CO"_2)` с коэффициентами в уравнениях (1) и (2), делаем вывод, что пойдут обе реакции, т. е. получится смесь средней и кислой солей.
$$\stackrel{2x\text{ }\mathrm{моль}}{2\mathrm{KOH}}+\stackrel{x\text{ }\mathrm{моль}}{{\mathrm{CO}}_{2}}\to {\mathrm{K}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$
$$\stackrel{\mathrm{y}\text{ }моль}{\mathrm{KOH}}+{\stackrel{y\text{ }моль}{\mathrm{C}\mathrm{O}}}_{2}\to {\mathrm{K}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}}_{3}$$
$$\mathrm{\nu }(\mathrm{KOH}{)}_{\mathrm{общ}}=0,025\text{ }\mathrm{моль},\text{ }\mathrm{\nu }({\mathrm{CO}}_{2}{)}_{\mathrm{общ}}=0,015\text{ }\mathrm{моль}.$$
Составим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0,025\\ x+y=0,015\end{array}\right.\Rightarrow x=0,01;\text{ } y=0,005\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$
`nu("K"_2"CO"_3)=0,01` моль
`m("K"_2"CO"_3)=M("K"_2"CO"_3)*nu("K"_2"CO"_3)=138`г/моль`*0,01`моль`=1,38`г.
`nu("KHCO"_3)=0,005` моль
`m("KHCO"_3)=M("KHCO"_3)*nu("KHCO"_3)=`
`=100 "г"//"моль"*0,005 "моль"=0,5` г.
`m("K"_2"CO"_3)=1,38 "г"`, `m("KHCO"_3)=0,5 "г"`.
Для растворения трёхвалентного металла массой `3,6` г потребовалось `84,74` мл раствора серной кислоты с массовой долей `20%` и плотностью `1,143` г/мл. Определите металл.
Дано:
`m("Me)=3,6 "г"`.
`V("р-ра" "H"_2"SO"_4)=84,74 "мл"`.
`omega("H"_2"SO"_4)=20%`.
`ul(rho("р-ра" "H"_2"SO"_4)=1,143 "г"//"мл")`.
`"Me"` - ?
`2"Me"+3"H"_2"SO"_4->"Me"_2("SO"_4)_3+3"H"_2uarr`.
`m("H"_2"SO"_4)=V("р-ра" "H"_2"SO"_4)*rho("р-ра" "H"_2"SO"_4)*omega("H"_2"SO"_4)`,
`m("H"_2"SO"_4)=84,74 "мл"*1,143 "г"//"мл"*0,2=19,37 "г"`.
`nu("H"_2"SO"_4)=(m("H"_2"SO"_4))/(M("H"_2"SO"_4))=(19,37 "г")/(98 "г"//"моль")=0,1976` моль.
`nu("Me")=2/3*nu("H"_2"SO"_4)=2/3*0,1976` моль `=0,1317` моль.
`nu("Me")=(m("Me"))/(M("Me"))`.
`M("Me")=(m("Me"))/(nu("Me"))=(3,6 "г")/(0,1317 "моль")=27` г/моль.
Следовательно, `"Me"` – алюминий.
Алюминий.
К раствору, содержащему `4,76` г хлорида металла II группы, прибавили избыток раствора нитрата серебра. Образовался осадок массой `8,61` г. Определите металл.
Дано:
`m("MeCl"_2)= 4,76` г
`ul(m("AgCl") = 8,61 "г")`
`"Me"` – ?
$${\mathrm{MeCl}}_{2}+2{\mathrm{AgNO}}_{3}\to 2\mathrm{AgCl}\downarrow +\mathrm{Me}({\mathrm{NO}}_{3}{)}_{2}$$
Пусть `M("Me")=x` г/моль, тогда `M("MeCl"_2)=(x+71)` г/моль.
`M("AgCl")=143,5` г/моль,
`nu("AgCl")=(m("AgCl"))/(M("AgCl"))=(8,61 "г")/(143,5 "г")=0,06` моль,
`nu("MeCl"_2)=1/2nu("AgCl")=(0,06 "моль,")/2=0,03` моль,
`nu("MeCl"_2)=(m("MeCl"_2))/(M("MeCl"_2))=(4,76 "г")/((x+71) "г"/"моль,")=0,03` моль,
`4,76 = 0,03x + 2,13`.
`2,63 = 0,03x`.
`x = 87,6`.
`M("Me")=87,6` г/моль, следовательно, металл – стронций `"Sr"`.
Стронций.
Определите массу соли, полученной при смешении раствора объёмом `40` мл с массовой долей азотной кислоты `20%` и плотностью `1,12` г/мл с раствором объёмом `36` мл с массовой долей гидроксида натрия `15%` и плотностью `1,17` г/мл.
Дано:
`V("р-ра""HNO"_3)=40 "мл"`.
`omega("HNO"_3)=20%`.
`rho("р-ра""HNO"_3)=1,12 "г"//"мл"`.
`V("р-ра""NaOH")=36 "мл"`.
`omega("NaOH")=15%`.
`ul(rho("р-ра""NaOH")=1,17 "г"//"мл")`.
`m("NaNO"_3)` - ?
1) `m("HNO"_3)=V("р-ра""HNO"_3)*rho("р-ра""HNO"_3)*omega("HNO"_3)`.
`m("HNO"_3)=40`мл`*1,12`г/мл`*0,2=8,96`г.
2) `m("NaOH")=V("р-ра""NaOH")*rho("р-ра""NaOH")*omega("NaOH")`.
`m("NaOH")=36`мл`*1,17`г/мл`*0,15=6,32`г.
3) `nu("HNO"_3)=(m("HNO"_3))/(M("HNO"_3))=(8,96 "г")/(63 "г"//"моль")=0,142` моль.
4) `nu("NaOH")=(m("NaOH"))/(M("NaOH"))=(6,32 "г")/(40 "г"//"моль")=0,158` моль.
| `ul("HNO"_3)+` | `ul("NaOH")->` | `ul("NaNO"_3)+"H"_2"O"`. |
|
`1` моль `0,142` моль |
`1` моль `0,158` моль |
`1` моль `x` моль |
Определим, какое вещество дано в избытке:
Способ 1:
Из уравнения реакции следует, что
`ν("HNO"_3) : ν("NaOH") = 1: 1`,
тогда как по условию задачи
`ν("HNO"_3) : ν("NaOH") = 0,142:0,158`.
`ν("HNO"_3) : ν("NaOH") = 1: 1,1`.
Значит, гидроксид натрия находится в избытке.
Способ 2:
`(nu("NaOH") "по усл.")/(nu("NaOH") "по ур-ю")=(0,158)/1=0,158` моль.
`(nu("HNO"_3) "по усл.")/(nu("HNO"_3) "по ур-ю")=(0,142)/1=0,142` моль.
`(0,158` моль`>0,142`моль`)`. Значит, гидроксид натрия взят в избытке.
Расчёт массы нитрата натрия ведём по количеству вещества, взятому в недостатке. Следовательно,
`nu("HNO"_3)=nu("NaNO"_3)=0,142` моль.
`m("NaNO"_3)=nu("NaNO"_3)*M("NaNO"_3)=0,142` моль`*85`г/моль`=12,07`г.
`m("NaNO"_3)=12,07` г.
Рассчитайте массу азотной кислоты, которую можно получить действием концентрированной серной кислоты на `3,4` г нитрата натрия, если массовая доля выхода кислоты равна `96%`?
Дано:
`m("NaNO"_3)=3,4` г
`ul(eta("HNO"_3)=96%)`
`m("HNO"_3)_"практ"` - ?
`nu("NaNO"_3)=(m("NaNO"_3))/(M("NaNO"_3))=(3,4 "г")/(85 "г"//"моль")=0,04` моль
| `ul(2"NaNO"_(3("тв")))+` | `"H"_2"SO"_(4("конц"))->` | `"NaHSO"_4+` | `ul("HNO"_3)uarr`. |
|
`1` моль `0,04` моль |
`1` моль `x` моль |
`nu("HNO"_3)=nu("NaNO"_3)=0,04` моль.
`m("HNO"_3)_"теор"=nu("HNO"_3)*M("HNO"_3)`.
`m("HNO"_3)_"теор"=0,04 "моль"*63 "г"//"моль"=2,52` г.
`m("HNO"_3)_"практ"=m("HNO"_3)_"теор"*eta`,
`m("HNO"_3)_"практ"=2,52` г `*0,96=2,42` г.
`m("HNO"_3)_"практ"=2,42` г.
При прокаливании `8,4` г карбоната магния масса твёрдого остатка составила `6,64` г. Определите качественный и количественный состав остатка.
Дано:
`m("MgCO"_3)=8,4 "г"`.
`ul(m("остатка")=6,64 "г")`.
Состав остатка - ?
`nu("MgCO"_3)=(m("MgCO"_3))/(M("MgCO"_3))=(8,4 "г")/(84 "г"//"моль")=0,1` моль.
Если бы весь карбонат магния разложился в реакции,
`m("MgO")"ост" = 0,1` моль`*40` г/моль `= 4` г.
Поскольку масса твёрдого остатка по условию задачи значительно больше, то можно сделать вывод, что не весь карбонат магния подвергался разложению.
Пусть `x` моль – количество вещества карбоната магния, разложившегося в реакции, тогда в результате реакции образуется `x` моль оксида магния.
$${\mathrm{MgCO}}_{3}\stackrel{t°\mathrm{C}}{\to }\mathrm{MgO}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow$$
Состав твёрдого остатка после прокаливания:
`x` моль `"MgO"` и `(0,1 – x)` моль `"MgCO"_3`.
Так как масса твёрдого остатка по условию задачи равна `6,64` г, то составим уравнение:
`40x + 84(0,1 – x) = 6,64`.
`x=0,04` моль.
Масса разложившегося карбоната магния равна:
`m("MgCO"_3)_"разл"= 84` г/моль `*0,04` моль `= 3,36` г.
Масса неразложившегося карбоната магния равна:
`m("MgCO"_3)_"неразл"= 8,4` г `- 3,36` г `= 5,04` г.
Тогда, `m("MgO")_"в остатке"= 40` г/моль `*0,04` моль `= 1,6` г.
`m("MgO") = 1,6` г; `m("MgCO"_3)_"неразл" = 5,04` г.
К `100` г `24,5%`-го раствора серной кислоты прибавили `200` г `5%`-го раствора гидроксида натрия. Определите среду раствора и массовую долю соли натрия в нём.
Дано:
`m("р-ра""H"_2"SO"_4)=100 "г"`
`omega("H"_2"SO"_4)=24,5%`
`m("р-ра""NaOH")=200 "г"`
`ul(omega("NaOH")=5%)`
`m("соли")-?`
`m("H"_2"SO"_4)=m("р-р""H"_2"SO"_4)*omega("H"_2"SO"_4)=100`г`*0,245=24,5`г.
`nu("H"_2"SO"_4)=(m("H"_2"SO"_4))/(M("H"_2"SO"_4))=(24,5 "г")/(98 "г"//"моль")=0,25` моль.
`m("NaOH")=m("р-р""NaOH")*omega("NaOH")=200`г`*0,05=10`г.
`nu("NaOH")=(m("NaOH"))/(M("NaOH"))=(10 "г")/(40 "г"//"моль")=0,25` моль.
| `ul("H"_2"SO"_4)+` | `ul("NaOH")->` | `ul("NaHSO"_4)+"H"_2"O"`. | (1) |
|
`1` моль `0,25` моль |
`1` моль `0,25` моль |
`1` моль `0,25` моль |
|
| `"NaHSO"_4+"NaOH"->"Na"_2"SO"_4+"H"_2"O"` | (2) |
`nu("NaHSO"_4)=nu("NaOH")=nu("H"_2"SO"_4)`
Поскольку вещества реагируют в соотношении `1:1`, следовательно, среда кислая (образуется кислая соль, а не средняя).
`m("NaHSO"_4)=M*nu=120`г/моль`*0,25`моль`=30`г
`m("р-р""NaHSO"_4)=m("р-р""H"_2"SO"_4)+m("р-р""NaOH")=100`г`+200`г`=300`г.
`omega("NaHSO"_4)=(m("NaHSO"_4))/(m("р-р""NaHSO"_4))*100%=(30 "г")/(300 "г")*100%=10%`.
`omega("NaHSO"_4)=10%`.
К раствору гидроксида калия массой `840` г прибавили `490` г `20 %`-го раствора серной кислоты. Для нейтрализации получившегося раствора потребовалось `71,5` г кристаллической соды `"Na"_2"CO"_3*10"H"_2"O"`. Рассчитайте массу и массовую долю гидроксида калия в исходном растворе.
Дано:
`m("р-ра""KOH")=840 "г"`
`m("р-ра""H"_2"SO"_4)=490 "г"`
`omega("H"_2"SO"_4)=20%`
`ul(m("Na"_2"CO"_3*10"H"_2"O")=71,5 "г")`.
`m("NaOH")` - ?
`omega("NaOH")` - ?
1) $$ 2\mathrm{KOH}+{\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}\to {\mathrm{K}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}+2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$;
2) $$ {\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}+{\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3} \to {\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow +{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
`m("H"_2"SO"_4)=m("р-ра""H"_2"SO"_4)*omega("H"_2"SO"_4)=490 "г"*0,2=98 "г"`.
Рассчитаем общее количество серной кислоты, а также количество серной кислоты, которое прореагировало с содой:
`nu("H"_2"SO"_4)_"общ"=(m("H"_2"SO"_4))/(M("H"_2"SO"_4))=(98 "г")/(98 "г"//"моль")=1` моль,
`nu("Na"_2"CO"_3*10"H"_2"O")=m/M=(71,5 "г")/(286 "г"//"моль")=0,25 "моль"`,
`nu("H"_2"SO"_4)_"прореаг. с содой"=nu("Na"_2"CO"_3*10"H"_2"O")=0,25 "моль"`.
Рассчитаем количество вещества серной кислоты, которое вступило в реакцию с гидроксидом калия:
`nu("H"_2"SO"_4)_"прореаг. с KOH"=1 "моль"-0,25 "моль"=0,75 "моль"`.
По уравнению реакции (1):
`nu("KOH")=2nu("H"_2"SO"_4)_"прореаг. с KOH"=2*0,75 "моль"=1,5 "моль"`,
`m("KOH")= 1,5 "моль"*56 "г"//"моль" = 84` г.
`omega("KOH")=(m("KOH"))/(m("р-ра""KOH"))*100%=(84 "г")/(840 "г"//"моль")*100%=10%`.
`m("KOH")=84` г, `omega("KOH")=10%`.
В `1,5` л воды при н. у. последовательно растворили сначала `15` л аммиака, затем `18` л бромоводорода. Определите массовую долю бромида аммония в полученном растворе.
Дано:
`V("H"_2"O")= 1,5 "л"`
`V("NH"_3)= 15 "л"`
`ul(V("HBr")= 18 "л")`
`omega("NH"_4"Br")`- ?
1) $$ {\mathrm{NH}}_{3} + {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to {\mathrm{NH}}_{4}\mathrm{OH}$$
| 2) | `ul("NH"_4"OH") +` | `ul("HBr")->` | `ul("NH"_4"Br") +"H"_2"O"` |
| `0,67` моль | `0,804` моль | `x` моль |
$$\nu \left({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}\right)=\frac{\mathit{V}{(\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3})}{{\mathit{V}}_{m}\left({\mathrm{NH}}_{3}\right)}=\frac{15л}{22,4л/моль}=0,67моль$$,
$$\mathrm{\nu }\left(\mathrm{HBr}\right)=\frac{V\left(\mathrm{HBr}\right)}{{V}_{\mathit{m}}\left(\mathrm{HBr}\right)}=\frac{18\text{ }\mathrm{л}}{22,4\text{ }\mathrm{л}/\mathrm{моль}}=0,804\text{ }\mathrm{моль},$$
$$m\left({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}\right)=M\left({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}\right)·\nu \left(\mathrm{N}{\mathrm{H}}_{3}\right)=17\text{ }\mathrm{г}/\mathrm{моль}·0,67\text{ }\mathrm{моль}=11,39\text{ }\mathrm{г},$$
$$m\left(\mathrm{HBr}\right)=M\left(\mathrm{HBr}\right)·\mathrm{\nu }\left(\mathrm{HBr}\right)=81\text{ }\mathrm{г}/\mathrm{моль}·0,804\text{ }\mathrm{моль}=65,124\text{ }\mathrm{г},$$
$$m{(\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O})=V·\rho =1500\text{ м}л·1\text{ г}/мл=1500\text{ г}.$$
По уравнению реакции (1) `nu("NH"_4"OH")=nu("NH"_3)=0,67 "моль"`.
По стехиометрии уравнения реакции (2) находим количество вещества бромида аммония. Количество вещества бромоводорода находится в избытке, следовательно, расчёт ведём по количеству вещества гидроксида аммония, т. е. по недостатку:
`nu("NH"_4"Br")=nu("NH"_4"OH")=0,67` моль.
Тогда, `m("NH"_4"Br")=M*nu=98 "г"//"моль"*0,67 "моль"=65,66` г.
$$\omega ({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{4}\mathrm{B}\mathrm{r})=\frac{m({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{4}\mathrm{B}\mathrm{r})}{m(р‐ра\text{ }{\mathrm{N}\mathrm{H}}_{4}\mathrm{B}\mathrm{r})}·100\mathrm{\%}=\frac{m({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{4}\mathrm{B}\mathrm{r})}{m\left({\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}\right)+m({\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O})+m(\mathrm{H}\mathrm{B}\mathrm{r})}·100\mathrm{\%},$$
`omega("NH"_4"Br")=(65,66 "г")/(11,39 "г"+1500 "г"+65,124 "г")*100%=4,2%`.
При термическом разложении `16,72` г смеси карбонатов кальция и магния выделилось `4,032` л (н. у.) газа. Определите массы веществ в исходной смеси.
Дано:
`m("CaCO"_3+"MgCO"_3)= 16,72 "г"`
`ul(V("CO"_2)=4,032 "л")`
`m("CaCO"_3)` - ?
`m("MgCO"_3)` - ?
| $$\underset{yмоль}{\underset{¯}{{\mathrm{CaCO}}_{3}}}\stackrel{t°,\mathrm{C}}{\to }\mathrm{CaO}+\underset{yмоль}{\underset{¯}{{\mathrm{C}\mathrm{O}}_{2}}\uparrow }$$, | (1) |
| $$ \underset{y \mathrm{моль}}{\underset{¯}{{\mathrm{MgCO}}_{3}}} \stackrel{t°,\mathrm{C}}{\to }\mathrm{MgO} +\underset{y \mathrm{моль}}{ \underset{¯}{{\mathrm{CO}}_{2}}\uparrow }$$, | (2) |
Введём некоторые обозначения:
`nu("CaCO"_3)=x` моль, `M("CaCO"_3)= 100` г/моль.
`nu("MgCO"_3)= y` моль, `M("MgCO"_3)=84` г/моль.
По условию задачи `m("CaCO"_3)+m("MgCO"_3)=16,72` г.
Следовательно, `100x +84y=16,72`.
`nu("CaCO"_3)=nu_1("CO"_2)=x` моль, `V_1("CO"_2)+V_m*nu_1=22,4x` л.
`nu("MgCO"_3)=nu_2("CO"_2)=y` моль, `V_2("CO"_2)+V_m*nu_2=22,4y` л.
По условию задачи `V_1("CO"_2)+V_2("CO"_2)=4,032` л.
Составим систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}100x+84y=\mathrm{16,72},\\ \mathrm{22,4}x+\mathrm{22,4}y=\mathrm{4,032},\end{array}\right.$$
`x = 0,1`,
`y = 0,08`.
Тогда, `m("CaCO"_3)= M*nu=100 "г"//"моль"*0,1 "моль"=10` г,
`m("MgCO"_3)=M*nu=84 "г"//"моль"*0,08 "моль"= 6,72` г.
Оксид, образовавшийся при сжигании `18,6` г фосфора в `44,8` л (н. у.) кислорода, растворили в `100` мл дистиллированной воды. Рассчитайте массовую долю ортофосфорной кислоты в полученном растворе.
Дано:
`m("P")= 18,6 "г"`
`V("O"_2)= 44,8 "л"`
`ul(V("H"_2"O")=100 "мл")`
`omega("H"_3"PO"_4)` - ?
$$ 4\mathrm{P} + 5{\mathrm{O}}_{2} \to 2{\mathrm{P}}_{2}{\mathrm{O}}_{5}$$,
$$ {\mathrm{P}}_{2}{\mathrm{O}}_{5}+3{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} \to 2{\mathrm{H}}_{3}{\mathrm{PO}}_{4}$$.
`m("H"_2"O")= V*rho=100 "мл"*1 "г"//"мл"=100` г,
`nu("H"_2"O")=(m("H"_2"O"))/(M("H"_2"O"))=(100 "г")/(18 "г"//"моль")=5,56` моль,
`nu("O"_2)=(V("O"_2))/(V_m("O"_2))=(44,8 "л")/(22,4 "л"//"моль")=2` моль,
`nu("P")=(m("P"))/(M("P"))=(18,6 "г")/(31 "г"//"моль")=0,6` моль.
| `ul(4"P")+` | `5ul("O"_2)->` | `2ul("P"_2"O"_5)` |
| `4` моль | `5` моль | `2` моль |
| `0,6` моль | `2` моль | `x` моль |
В избытке взято `nu("O"_2)`. Следовательно, рассчитываем количество вещества оксида фосфора (V) по веществу, взятому в недостатке, т. е. по количеству вещества фосфора.
Тогда `x=nu("P"_2"O"_5)=(0,6 "моль"*2 "моль")/(4 "моль")=0,3 "моль"`,
`m("P"_2"O"_5)=M("P"_2"O"_5)*nu("P"_2"O"_5)= 142 "г"//"моль"*0,3 "моль" = 42,6` г.
| `ul("P"_2"O"_5)+` | `3ul("H"_2"O")->` | `2ul("H"_3"PO"_4)` |
| `1` моль | `3` моль | `2` моль |
| `0,3` моль | `5,56` моль | `y` моль |
В избытке взято `nu("H"_2"O")`. Следовательно, рассчитываем количество вещества ортофосфорной кислоты по количеству вещества оксида фосфора (V).
Следовательно, `y=nu("H"_3"PO"_4)=(0,3 "моль"*2 "моль")/(1 "моль")=0,6` моль,
`m("H"_3"PO"_4)=M("H"_3"PO"_4)*nu("H"_3"PO"_4)=98 "г"//"моль"*0,6 "моль" = 58,8` г,
`omega("H"_3"PO"_4)=(m("H"_3"PO"_4))/(m("р-ра""H"_3"PO"_4))*100%`,
`m("р-ра""H"_3"PO"_4)=m("P"_2"O"_5)+m("H"_2"O")=42,6 "г"+100 "г"=142,6 "г"`,
`omega("H"_3"PO"_4)=(m("H"_3"PO"_4))/(m("р-ра""H"_3"PO"_4))*100%=(58,8 "г")/(142,6 "г")*100%=41,23%`.
`omega("H"_3"PO"_4)=41,23%`.
В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.
Числовыми являются выражения $$ \mathrm{3,8}-\mathrm{2,1}\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{4}\right)$$, $$ 2+5(38:9)$$.
Выражения вида `2x+1`, $$ 3{x}^{2}+5$$ называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.
$$ 2{x}^{2}y+xy{z}^{3}$$, $$ 5{a}^{2}b{\left(x-y\right)}^{2}$$ , $$ 3{t}^{2}+{v}^{3}+1$$.
Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.
Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.
Соответственными значениями выражений $$ 2{x}^{2}+1$$ и $$ 3{x}^{2}+5x+1$$ при `x=1` являются числа $$ 3$$ и $$ 9$$.
Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком «`=`», называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть верными при одних значениях переменных и неверными при других значениях.
Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.
Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.
Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.
Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.
Выражения $$ 9,$$ $$ 25{x}^{2}$$ и $$ 34abx{y}^{4}$$ являются одночленами.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.
Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.
Стандартным видом одночлена $$ \mathrm{0,3}bxy(-2){a}^{2}{x}^{2}{y}^{3}$$ является одночлен $$ -\mathrm{0,6}{a}^{2}b{x}^{3}{y}^{4},$$ число $$ (-\mathrm{0,6})$$ является его коэффициентом, степень одночлена равна $$ 10.$$
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.
Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.
Одночлены $$ 2a{x}^{2}y$$ и $$ -5a{x}^{2}y$$ являются подобными.
Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.
$$ 2ax+3by-ax+\mathrm{0,5}by=ax+\mathrm{3,5}by.$$
Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.
Стандартным видом многочлена $$ 2a{x}^{5}+x{y}^{3}+3x{y}^{3}-2a{x}^{5}+5$$ является многочлен $$ 4x{y}^{3}+5,$$ его степень равна $$ 4.$$
Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$$ \left(x+y\right)\left(2{x}^{2}-y\right)=2{x}^{3}+2{x}^{2}y-xy-{y}^{2}.$$
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.
При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.
Разложите на множители многочлен $$ 2{x}^{2}y+{y}^{2}-2{x}^{3}-yx.$$
Решение
При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»:
| 1. Разность квадратов | $$ {a}^{2}-{b}^{2}=(a-b)(a+b)$$ |
|---|---|
| 2. Разность кубов | $$ {a}^{3}-{b}^{3}=(a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2})$$ |
| 3. Сумма кубов | $$ {a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})$$ |
| 4. Квадрат суммы | $$ (a+b{)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}$$ |
| 5. Квадрат разности | $$ (a-b{)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$$ |
| 6. Куб суммы | $$ (a+b{)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}$$ |
| Куб разности | $$ (a-b{)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}$$ |
Разложите на множители многочлен $$ {x}^{3}+{x}^{2}+x-3.$$
Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:
`x^3+x^2+x-3=(x^3-1)+(x^2-1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x^2+2x+3)`.
Разложите на множители многочлен $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y.$$
Сначала выносим общий множитель $$ 3{x}^{2}y$$ за скобку:
$$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y\left({y}^{3}-8{x}^{3}\right). $$
Затем к многочлену $$ {y}^{3}-8{x}^{3}$$ применим формулу для разности кубов:
$$ {y}^{3}-8{x}^{3}=\left(y-2x\right)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
В результате получим $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y(y-2x)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
Разложите на множители многочлен $$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1.$$
Заметим, что $$ {y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1={\left(y+1\right)}^{3},$$ а $$ 27{x}^{3}={\left(3x\right)}^{3},$$ тогда получаем
$$ {\left(3x\right)}^{3}+{\left(y+1\right)}^{3}.$$
Применяем формулу 3, получим
$$ (3x{)}^{3}+(y+1{)}^{3}=(3x+y+1){\left(9{x}^{2}-3x(y+1)+(y+1\right)}^{2}).$$
Таким образом,
$$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1=(3x+y+1)(9{x}^{2}-3xy-3x+{y}^{2}+2y+1). $$
Разложим на множители многочлен $$ {y}^{8}+{y}^{4}+1.$$
Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение $$ {y}^{4},$$ получаем:
$$ {y}^{8}+{y}^{4}+1+{y}^{4}-{y}^{4}={y}^{8}+2{y}^{4}+1-{y}^{4}={\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}$$.
А теперь применяем формулу для разности квадратов:
$$ {\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}=\left({y}^{4}+1+{y}^{2}\right)\left({y}^{4}+1-{y}^{2}\right)$$.
Выражения вида `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида где – произвольные числа, причём
Рассмотрим квадратный трёхчлен Запишем его в таком виде: Прибавим к этому выражению и вычтем получаем: Заметим, что поэтому
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена
Заметим, что `3x=2*1/2*3x`. Тогда
`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Теперь применяем формулу получаем:
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Теперь замечаем, что
Прибавляем к выражению слагаемое получаем:
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
Разложите на множители квадратный трёхчлен
Мы не можем представить выражение как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно а при `x!=1/4` из числа вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее Таким образом, число является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`
`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`
`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.
Разложите на множители многочлен
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.
`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`
`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`
`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`
`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.
Преобразуем знаменатель дроби:
`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`
`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`
`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.
Например, уравнением с одной переменной является равенство $$ 2(3x+5)=4x-1.$$
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Например, число $$ 1$$ является решением уравнения $$ 3x+5=9x-1.$$ Уравнение $$ {x}^{2}+1=0$$ не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение $$ (x-1)(x+2)=0$$ имеет два корня: $$ {x}_{1}=1$$ и $$ {x}_{2}=-2.$$
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.
При решении уравнений используют следующие свойства
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $$ ax=b,$$ где $$ x - $$переменная, $$ a$$ и $$ b - $$ некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если $$ a\ne 0$$, то уравнение имеет единственное решение $$ x=\frac{b}{a}.$$
Если $$ a=0$$ и $$ b=0,$$ то уравнению удовлетворяет любое значение $$ x,$$ а если $$ a=0,$$ а $$ b\ne 0,$$ то уравнение не имеет решений, т. к. $$ 0·x=b$$ не выполняется ни при одном значении переменной.
Решите уравнение $$ \mathrm{2,5}x-(x+1)=(3x-1)-2x+1$$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с $$ x$$ в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие $$ x,$$ в правую часть, получаем:
$$ \mathrm{2,5}x-x-3x+2x=1-1+1, $$
$$ \mathrm{0,5}x=1,$$ $$ x=2.$$
Решите уравнение:
а) $$ 2{x}^{2}-3x=0$$;
б) $$ {x}^{3}-2{x}^{2}-9x+18=0$$;
в) $$ {x}^{2}+5x+6=0$$.
а) Преобразуем уравнение: $$ x(2x-3)=0.$$ Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем $$ {x}_{1}=0,$$ $$ {x}_{2}=\frac{3}{2}.$$
б) Разложим на множители левую часть уравнения:
$$ {x}^{2}(x-2)-9(x-2)=(x-2)({x}^{2}-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$$
Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа $$ {x}_{1}=2,$$ $$ {x}_{2}=3,$$ $$ {x}_{3}=-3.$$
$$ 2; 3; -3.$$
в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в 8-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим $$ 5x$$ как $$ 2x+3x,$$ тогда имеем:
$$ {x}^{2}+2x+3x+6=0,$$
$$ x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,$$
отсюда видно, что $$ {x}_{1}=-2,$$ $$ {x}_{2}=-3.$$
Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение $$ 5x=2·\frac{5}{2}x.$$ И прибавим и вычтем в левой части уравнения число $$ \frac{25}{4},$$ получаем:
`x^2+2*5/2*x+25/4-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-1/4=0`,
`(x+5/2)^2-(1/2)^2=0`,
`(x+5/2-1/2)(x+5/2+1/2)=0`,
`(x+2)(x+3)=0`.
Откуда следует, что $$ {x}_{1}=-2$$ и $$ {x}_{2}=-3.$$
$$ -2; -3.$$
Являются ли данные уравнения равносильными:
а) $$ \left|x-1\right|=2$$ и $$ 2x-5=1;$$
б) $$ \frac{(x-3)(x+7)}{x-3}=0$$ и $$ (x-3)(x+7)=0.$$
а) Если $$ \left|x-1\right|=2,$$ то $$ x-1=2, x=3, $$или $$ x-1=-2, x=-1.$$ Первое уравнение имеет два решения: $$ -1$$ и $$ 3.$$
Второе уравнение имеет одно решение $$ x=3.$$ Число $$ \left(-1\right)$$ является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.
б) Число $$ x=3$$ является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при $$ x=3$$ не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.
Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.
Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`.
Модуль нуля равен нулю.
Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
x, если {} x\geq 0,\\
-x, если {} x<0.
\end{matrix}\right.$$
Докажем некоторые свойства модуля.
Для любого числа $$ x$$ выполняется условие $$ \left|x\right|\ge 0$$.
Действительно, если $$ x>0$$, то $$ \left|x\right|=x$$ и тогда $$ \left|x\right|>0$$.
Если $$ x<0$$, то $$ \left|x\right|=-x$$, но $$ -x>0$$, значит $$ \left|x\right|>0$$. И если $$ x=0$$, то $$ \left|x\right|=0$$.
Таким образом, $$ \left|x\right|\ge 0$$ для любого $$ x$$. При этом заметим, что $$ \left|x\right|>0$$, если $$ x\ne 0$$, и $$ \left|x\right|=0$$, если $$ x=0$$.
При каких значениях $$ x$$ выполняются равенства:
а) $$ \left|x\right|=5$$ ;
б) $$ \left|x\right|=-3$$;
в) $$ \left|x-1\right|=2$$?
Решение
б) По свойству $$ 1$$ выполняется условие $$ \left|x\right|\ge 0$$, а у нас условие $$ \left|x\right|=-3<0$$. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
в) По определению модуля числа следует, что если $$ x-1\ge 0$$, т. е. $$ x\ge 1$$, то $$ \left|x-1\right|=x-1=2$$, отсюда следует, что $$ x=3$$. Если же $$ x<1$$, то $$ x-1<0$$ и $$ \left|x-1\right|=-(x-1)$$, получаем равенство $$ -x+1=2$$, $$ -x=1$$, $$ x=-1$$. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен $$ 2$$, то либо это выражение равно $$ 2$$, либо равно $$ (-2)$$. Если $$ \left|x-1\right|=2$$, то получаем два случая: $$ x-1=2$$, $$ x=3$$ и $$ x-1=-2$$, $$ x=-1$$.
Для любых чисел $$ x$$ и $$ y$$ выполняется условие
$$ \left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$$.
Если числа $$ x$$ и $$ y$$ положительные, то $$ xy>0$$, $$ \left|xy\right|=xy$$, $$ \left|x\right|=x$$, $$ \left|y\right|=y$$, получаем верное равенство $$ xy=xy$$.
Если числа $$ x$$ и $$ y$$ отрицательные, то $$ xy>0$$, $$ \left|xy\right|=xy$$, $$ \left|x\right|=-x$$, $$ \left|y\right|=-y$$, получаем верное равенство $$ xy=(-x)(-y)$$, $$ xy=xy$$.
Если $$ x>0$$, а $$ y<0$$, то $$ xy<0$$, $$ \left|xy\right|=-xy,$$ $$ \left|x\right|=x$$, $$ \left|y\right|=-y$$, получаем верное равенство $$ -xy=-xy$$.
Аналогично доказывается, если $$ x<0$$, a $$ y>0$$.
Если одно из чисел $$ x$$ и $$ y$$ равно нулю, то обе части равенства $$ \left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$$равны нулю, т. е. равенство верное.
При каких значениях $$ x$$ верно равенство $$ \left|-5x-10\right|=15$$.
$$ x+2=3$$, $$ x=1$$ и $$ x+2=-3$$, $$ x=-5$$.
$$ 1$$; $$ -5$$.
Аналогично свойству $$ 2$$ можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа $$ x$$ верно равенство $$ \left|x\right|=\left|-x\right|$$.
Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.
`|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`.
После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`.
Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`, если `x+1/3>=0`, т. е. `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`, если `x<-1/3`.
а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`. Число `1> -1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.
б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`, `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.
Решите уравнение $$ \left|x-1\right|+\left|x+1\right|=2$$.
Напомним определение модуля числа: $$ \left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}a, a\ge 0,\\ -a, a<0.\end{array}\right.$$
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа $$ x-1$$ и $$ x+1.$$
Если $$ x$$ меньше, чем $$ -1,$$ то число $$ x+1$$ отрицательное, тогда $$ \left|x+1\right|=-x-1.$$
А если $$ x>-1,$$ то $$ \left|x+1\right|=x+1.$$ При $$ x=-1$$ имеем $$ \left|x+1\right|=0.$$ Таким образом, $$ \left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}x+1, x\ge -1,\\ -x-1, x<-1.\end{array}\right.$$
Аналогично $$ \left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}x-1, x\ge 1,\\ -x+1, x<1.\end{array}\right.$$
а) Рассмотрим наше уравнение при $$ x\le -1,$$ оно равносильно уравнению $$ -x+1-x-1=2,$$ $$ -2x=2,$$ $$ x=-1.$$ Это число принадлежит множеству $$ x\le -1.$$
б) Пусть теперь `-1<x<=1`, тогда данное уравнение равносильно уравнению `-x+1+x+1=2`, `0*x=0`, последнему уравнению удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество `-1<x<=1`, значит, этому уравнению удовлетворяют все числа из этого множества.
в) Рассмотрим случай `x>1`. Уравнение равносильно уравнению `x-1+x+1=2`, `x=1`. Число `x=1` мы получили уже в пункте б).
Ответ
Решите уравнение: $$ \left|11x+5\right|=\left|9x+13\right|.$$
Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение:
$$ 11x+5=9x+13,$$ $$ 2x=8,$$ $$ x=4.$$
Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:
$$ 11x+5=-9x-13,$$ $$ 20x=-18,$$ $$ x=-\mathrm{0,9}.$$
Решите уравнение: $$ \left|5-\left|x+6\right|\right|+1=6$$.
Перенесём `1` в правую часть, получим $$ \left|5-\left|x+6\right|\right|=5$$. Теперь по определению модуля рассмотрим два случая: `5-|x+6|=5` и `5-|x+6|=-5`.
Решим каждое из них. `-|x+6|=5-5`, `|x+6|=0`, если модуль равен нулю, то выражение под модулем равно нулю `|x+6|=0`, `x=-6`.
Решим второе уравнение: `-|x+6|=-10`, `|x+6|=10`, опять получим два случая: `x+6=10` и `x+6=-10`. Решим их: `x=4` и `x=-16`.
Рассмотрим уравнение Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь - неизвестное , а - параметр. Требуется найти решение при любых значениях параметра
Если то уравнение принимает вид: этому уравнению удовлетворяет любое число т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Если то уравнение принимает вид: это уравнение не имеет решений.
Если и то обе части уравнения можно разделить на тогда получаем: `x={(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если и то уравнение имеет единственное решение и при этом `x={a+5}/{a-2}`.
Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `|x+a|=a-4` имеет один корень.
Для того чтобы уравнение имело один корень необходимо чтобы правая часть была равна нулю: `a-4=0`, то есть `a=4`.
При `a=4` уравнение имеет один корень.
Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `(a-2)x=2` не имеет корней.
Если `a=2`, то уравнение принимает вид: `0*x=2`, это уравнение не имеет решений.
При `a=2` уравнение не имеет корней.
Найдите целые значения параметра `a`, при которых корень уравнения `ax=-8` удовлетворяет неравенству `1,5<|x|<4`.
Из уравнения `x=-8/a`, `1,5<|-8/a|<4`, `a=4`, `a=-4`, `a=3`, `a=-3`, `a=5`, `a=-5`.
Функция вида $$ y=kx+b$$, где `k` и `b` - произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.
Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают значения равные нулю:
1) если `b=0`, то прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;
2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;
3) если `b=0`, `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.
Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.
Постройте график функции: а) $$ y=2x+3$$; б) $$ y=2$$.
а) При $$ x=0$$; $$ y=3$$; при $$ x=1$$; $$ y=5$$. Проводим прямую через точки $$ (0; 3)$$ и $$ (1; 5)$$. График прямой приведён на рисунке 1.
б) Для любого значения $$ x$$ значение $$ y=2$$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси $$ Ox$$ и проходящая через точку $$ (0; 2)$$. График этой функции приведён на рисунке 2.
График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` - произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` - положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` - отрицательно.
В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).
Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k<0` то угол наклона тупой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
Построим теперь график функции $$ y=\left|x\right|$$.
Из определения модуля числа следует, что $$ y=\left\{\begin{array}{c}x, \mathrm{если} x>0,\\ 0, \mathrm{если} x=0,\\ -x, \mathrm{если} x<0.\end{array}\right.$$
При $$ x\ge 0 y=x$$, графиком функции при $$ x\ge 0$$ является часть прямой $$ y=x$$. А при $$ x<0$$ графиком функции является часть прямой $$ y=-x$$. График функции $$ y=\left|x\right|$$ приведён на рисунке 3а.
Постройте график функции $$ y=\left|x+1\right|-\left|x-2\right|$$.
Выражение $$ x-2$$ равно нулю при $$ x=2$$. Если $$ x>2$$, то $$ x-2>0$$, поэтому $$ \left|x-2\right|=x-2$$. А если $$ x<2$$, то $$ x-2<0$$, тогда $$ \left|x-2\right|=-(x-2)=-x+2$$. Выражение $$ x+1$$ равно нулю, если $$ x=-1$$.
Если $$ x>-1$$, то $$ x+1>0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=x+1$$.
А если $$ x<-1$$, то $$ x+1<0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=-(x+1)=-x-1$$. Пусть $$ x\ge 2$$, тогда $$ \left|x-2\right|=x-2$$, $$ \left|x+1\right|=x+1$$, поэтому $$ y=x+1-(x-2)=3$$.
Если , то , , тогда .
Если $$ x\le -1$$, то , , тогда .
Таким образом,
Заметим, что прямая $$ y=2x-1$$ проходит через точки $$ (-1; -3)$$ и $$ (2; 3)$$. График данной функции приведён на рисунке 4.
Постройте график функции $$ y=\left\{\begin{array}{l}\left|x-3\right|, x\ge 0;\\ \left|x+4\right|-1, \text{если} x<0.\end{array}\right.$$
Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой $$ y=a$$ при различных значениях параметра $$ a$$.
Далее $$ \left|x+4\right|-1=\left\{\begin{array}{l}-4-x-1,\text{ если} x\le -4;\\ 4+x-1, \text{если} x\in (-4; 0).\end{array}\right.$$
График данной функции приведён на рисунке 5.
Если $$ a<-1$$, то прямая $$ y=a$$ не пересекает график данной функции.
Если $$ a=-1$$, то прямая пересекает график функции в точке $$ (-4; -1)$$.
Если $$ a\in (-1; 0)$$, то будет две точки пересечения.
Если $$ a=0$$, то прямая $$ y=0$$ пересекает график функции в точках $$ (-5; 0)$$, $$ (-3; 0)$$, $$ (3; 0)$$.
Если $$ a\in (0; 3)$$, то получается $$ 4$$ точки пересечения.
Если $$ a=3$$, то будет $$ 3$$ точки пересечения.
Если $$ a>3$$, то будет $$ 2$$ точки пересечения.
Дорогие ребята! Поздравляем вас с поступлением в заочную физико-техническую школу МФТИ. Вы получили первое задание по математике, в нем мало сложных задач, советуем вам внимательно изучить разработку, без ошибок ответить на контрольные вопросы и постараться решить предложенные вам задачи. Мало знать, как решить задачу, главное – уметь довести решение до конца и при этом не допустить арифметических ошибок. Не огорчайтесь, если вы не сможете справиться со всеми задачами. Вам вышлют решение задания, вы сможете посмотреть, как следует решать ту или иную задачу. В некоторых задачах мы указываем название учебного заведения (например, МГУ или МФТИ). Это означает, что данная задача предлагалась на вступительных экзаменах.
Обратите внимание, как оформлены решения в присланных вам заданиях и как записывают решения задач в ваших учебниках и задачниках.
Грамотный человек должен быть грамотным во всех предметах. Не забывайте о правилах грамматики, особенно о точках и запятых в ваших решениях. Постарайтесь аккуратно оформлять ваши решения.
Мы очень надеемся, что поможем вам в изучении математики. Рады будем видеть вас в будущем студентами нашего института.
Желаем вам больших успехов в этом году!
