Статьи , страница 424

• 
  § 10. Глаз и очки

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 200 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 11. Поперечное и продольное увеличение

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 245 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 12. Примеры решения задач

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 106 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 2. Логические операции. Формализация высказываний

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 63139 просмотров

  Сейчас мы познакомимся с шестью основными логическими  операциями.  Каждая  из  них имеет несколько названий и обозначений. 

  Названия операции	Возможные обозначения
  Отрицание, инверсия.	`-, ~|, not`
  Конъюнкция, логическое умножение, операция И, операция AND.	`&, ^^, *,` по аналогии с алгебраическим умножением может никак не обозначаться
  Дизъюнкция, нестрогая дизъюнкция, логическое сложение, операция ИЛИ, операция OR.	`|``, vv, +`
  Строгая дизъюнкция, разделительная дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю `2`.	`o+, Delta`
  Эквивалентность, эквиваленция, равенство, равнозначность.	`iff, -=`
  Импликация, следование, следствие	`=>, ->`

  
  

  Теперь для того чтобы строго определить эти логические операции, нам нужно для каждой из них выписать таблицу истинности. Все перечисленные операции кроме отрицания имеют два операнда. Знак операции в выражениях пишется между операндами (как в алгебре чисел). Операция отрицания имеет один операнд и в выражениях записывается либо в виде черты над операндом, либо в виде символа «приставка» слева от операнда.

  Для того, чтобы не путаться и гарантированно перебрать все возможные комбинации значений операндов, принято записывать их в лексикографическом порядке (условно считается, что «ложь» `<` «истина»).

  Таблица истинности для конъюнкции

  Первый операнд	Второй операнд	Значение операции
  `0`	`0`	`bb0`
  `0`	`1`	`bb0`
  `1`	`0`	`bb0`
  `1`	`1`	`bb1`

   

  Таблица истинности для дизъюнкции

  Первый операнд	Второй операнд	Значение операции
  `0`	`0`	`bb0`
  `0`	`1`	`bb1`
  `1`	`0`	`bb1`
  `1`	`1`	`bb1`

   

  Таблица истинности для строгой дизъюнкции

  Первый операнд	Второй операнд	Значение операции
  `0`	`0`	`bb0`
  `0`	`1`	`bb1`
  `1`	`0`	`bb1`
  `1`	`1`	`bb0`

  
  

  Таблица истинности для эквивалентности

  Первый операнд	Второй операнд	Значение операции
  `0`	`0`	`bb1`
  `0`	`1`	`bb0`
  `1`	`0`	`bb0`
  `1`	`1`	`bb1`

   

  Таблица истинности для импликации

  Первый операнд	Второй операнд	Значение операции
  `0`	`0`	`bb1`
  `0`	`1`	`bb1`
  `1`	`0`	`bb0`
  `1`	`1`	`bb1`

                   

  Таблица истинности для отрицания

  Значение операнда	Значение операции
  `0`	`bb1`
  `1`	`bb0`

  Теперь осталось лишь установить соответствие между логическими операциями и логическими связками в русском языке.

  Логическая операция	Логические связки в русском языке
  Отрицание	Неверно что…
  Конъюнкция	и, а, но,  а также, при этом, одновременно с этим, хотя
  Дизъюнкция	Или
  Строгая дизъюнкция	или, либо
  Эквивалентность	Тогда и только тогда когда, необходимо и достаточно чтобы
  Импликация	если то, необходимо чтобы, достаточно чтобы

  Обратите внимание, что союз ИЛИ может означать, как строгую, так и нестрогую дизъюнкцию. Его интерпретация зависит от содержания (!!!) высказывания.

  Пример 1

   Рассмотрим высказывание: «Мы идём в кино в субботу или в воскресение». Здесь два простых высказывания: «Мы идём в кино в субботу» и «Мы идём в кино в воскресение». Между ними стоит союз ИЛИ, который можно интерпретировать двояко. В данном случае очевидно, что мы можем пойти в кино и в субботу, и в воскресение, поэтому дизъюнкция будет нестрогая. Возьмём две логические переменные – `p` и `q` и присвоим им простые высказывания. Тогда исходное высказывание в формализованном виде будет выглядеть, как `bb(pvvq)`.

  Пример 2

  Рассмотрим высказывание: «Я сейчас на севере Москвы или на юго-западе Москвы». Здесь тоже два простых высказывания, которые связаны союзом ИЛИ. Но в этом случае союз ИЛИ интерпретируется, как строгая дизъюнкция, поскольку нельзя одновременно находиться в двух местах. Таким образом, если снова взять логические переменные `p` и `q`, то получится следующая логическая формула: `bb(p"o+q)`.

  
  

  Пример 3

  Рассмотрим высказывание: «Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны». Здесь два простых высказывания: «Четырёхугольник является квадратом» и «Все стороны четырёхугольника равны». Присвоим их соответственно логическим переменным `p` и `q`. Логическая связка «необходимо, чтобы» - это импликация. Весь вопрос в том, что из чего следует. (Какая запись правильная: `bbp -> bbq` или `bbq ->bbp`?)  Импликация ложна только в единственном случае: когда левый операнд имеет значение «истина», а правый – «ложь». Рассмотрим все возможные значения операндов и проанализируем, какая из ситуаций невозможна.

  1) `p` и `q` ложны. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом и его стороны не равны. Это возможная ситуация.

  2) `p` – ложно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом, но стороны у него равны. Это возможно (ромб).

  3) `p` – истинно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом и стороны у него равны. Это возможная ситуация.

  4) `p` – истинно, `q` – ложно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом, но стороны у него не равны. Это невозможная ситуация.

  Анализ ситуаций показывает, что левым операндом импликации должна быть переменная `p`. Таким образом, в формализованном виде исходное высказывание выглядит как `bb(p -> q)`.

  Очень часто вместо «присвоим логическим переменным эти высказывания» говорят «обозначим высказывания следующим образом». В дальнейшем мы тоже будем использовать этот речевой оборот.

• 
  § 3. Законы алгебры логики

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 113632 просмотра

  Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.

  Определение 5

  Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.<

  Законы алгебры логики

  это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:

  1) Законы поглощения констант

    x `vv` 0 = x,  x & 1 = x;

   2) Законы поглощения переменных

    x `vv` 1 = 1,  x & 0 = 0;

   3) Законы идемпотентности

    x & x = х,  x `vv` x = х;

   4) Закон двойного отрицания

   $$ \stackrel{=}{\mathrm{x}}$$ = x;

   5) Закон противоречия

    x & $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 0;

   6) Закон исключённого третьего

    x `vv` $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 1;

  Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.

  Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.

  7) Законы коммутативности 

  x & y = y & x,

  x `vv` y = y `vv` x;

  Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.

  8) Законы ассоциативности

    (x & y) & z = x & (y & z),

   (x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);

  9) Законы дистрибутивности

    x & (y `vv` z) = (x & y) `vv` (x & z),
   x `vv` (y & z) = (x `vv` y) & (x `vv` z);

  Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.

  Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.

  особые законы алгебры логики.

  10) Законы де Моргана

  $$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\&\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\vee\overline{\mathrm y},}$$

  $$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\vee\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\;\&\;\overline{\mathrm y};}$$

  11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)

    x `vv` (x & y) = x;

    x & (x `vv` y) = x.

  Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.

  `x`	`Y`	`x&y`	`bar(x&y)`	`barx`	`bary`	`barx vv bary`
  `0`	`0`	`0`	`1`	`1`	`1`	`1`
  `0`	`1`	`0`	`1`	`1`	`0`	`1`
  `1`	`0`	`0`	`1`	`0`	`1`	`1`
  `1`	`1`	`1`	`0`	`0`	`0`	`0`

  Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.

  В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.

  Наше начальное выражение: x `vv` (x & y). Выносим `x` за скобки и получаем следующее выражение:

  x &(1 `vv` y). Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x.

  В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.

  12) Закон преобразования импликации

  `"x"  ->  "y" = bar("x")  vv  "y"`

  Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.
  

  1) Отрицание

  2) Конъюнкция

  3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность

  4) Импликация

• 
  § 4. Примеры задач на использование законов алгебры логики и формализацию высказываний

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 10526 просмотров

  Задача 1

  С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:

  `bar C vv` (`A` & `С`) `vv`  (`bar(A vv C vv bar(B)`)

  Решение

  Максимально упростить, это значит довести выражение до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.

  Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.

  1) Избавиться от операций импликации.

  2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не будет стоять только над переменными (но не над операциями).

  После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.

  В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к правой скобке и получаем следующее логическое выражение:

    `bar C vv ` (`A`  &  `C`) `vv` (`bar A` & `bar C` & `B`)

  Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно, что к первому и третьему слагаемому  можно применить первый закон поглощения, так как отрицание переменной `C` является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.

  Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением, её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это логическое умножение, и её операнды называют множителями.

  После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение:

  `bar C` `vv` (`A` & `C`)

  Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем: 

  (`bar C vv A`) & (`bar C vv C`)

  Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы `1` и в итоге получаем выражение: `bar C vv A`, которое упростить уже нельзя.

  Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения задачи.

  Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело от трёх переменных (`A, B, C`) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (`A` и `C`). При этом выражения всё равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она является несущественной.

  Задача 2

  Укажите значения переменных `K`, `L`, `M`, `N`, при которых логическое выражение `(L vv M) ^^ (¬ K -> M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M`  истинно.

  Решение

  Будем следовать стратегии, описанной в предыдущем примере. Первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

        `(L vv M) ^^ ( K vv M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M`

  Отрицание вглубь продвигать не надо. Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся операцию конъюнкции никак не обозначать (по аналогии с алгеброй чисел).

       `(LK vv LM vv MK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

  В первой скобке можно применить тождество поглощения, и «съесть» второе и третье слагаемое, которые содержат M в качестве множителя. Получается такое выражение: 

       `(LK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

  Выполнив оставшиеся операции умножения, получим следующий результат:

      ` LK¬ N¬ M`

  Получили одну конъюнкцию. Следовательно, существует всего один набор значений переменных, при котором получится значение «1»:  `L=1`, `K=1`, `N=0`, `M=0`.

  
  

  Задача 3

  Сколько решений имеет уравнение:

       `(((K¬L¬N) (¬L -> M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M)))  (K`\/`N)=1`

  Решение

  Исходное выражение достаточно сложное, поэтому будем его упрощать. Первым делом избавимся от импликаций, получим:

       `(((K¬L¬N) (L`\/ `M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M)))  (K`\/`N) = 1`

  Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся не записывать слагаемые, куда одновременно входят некоторая переменная и её отрицание (они всё равно равны нулю):

       `(K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬M` \/ `N¬L¬M)  (K`\/`N) = 1`

  Продолжаем раскрытие скобок. Получаем:

       `K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬MN` \/ `KN¬L¬M` \/ `N¬L¬M  = 1`

  Ко второму, третьему и четвёртому слагаемому можно применить тождество поглощения. В итоге получится:

       `K¬L¬NM` \/ `N¬L¬M  = 1`

  На этом упрощение закончено, теперь будем анализировать. Дизъюнкция равна единице, если хотя бы одно из слагаемых равно единице. Первое слагаемое равно единице на единственном наборе переменных: (`K=1`, `L=0`, `N=0`, `M=1`). Второе слагаемое равно единице на двух наборах: (`N=1`, `L=0`, `M=0`, `K` – любое (или `0` или `1`)). Соответственно, уравнение имеет три различных решения.

  Задача 4

  В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - Антипов    (`A`), Борисов (`B`), Цветков (`C`) и Дмитриев (`D`). Известно, что:

  1) Если `А` нарушил, то и `В` нарушил правила обмена валюты.

  2) Если `B` нарушил, то и `C` нарушил или `A` не нарушал.

  3) Если `D` не нарушил, то `A` нарушил, а `C` не нарушал.

  4) Если `D` нарушил, то и `A` нарушил.

  Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

  Решение

  Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «`A` нарушил правила», «`B` нарушил правила», «`C` нарушил правила»,  и «`D` нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами `A`, `B`, `C`, `D`. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):

  1) `A -> B`;

  2) `B -> C` \/ `¬A`;

  3) `¬D -> A¬ C`;

  4) `D -> A`.

  Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).

  Итак, строим логическое выражение:

        `(A -> B)( B -> C` \/ `¬A)( ¬D -> A¬C)( D -> A)`.

  Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

       `(¬A` \/ `B)( ¬B` \/ `C` \/ `¬A)( D` \/  `A¬C)( ¬D` \/  `A)`.

  Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой.

       `(¬A¬B`  \/ `¬AC` \/ `¬A` \/ `BC` \/ `B¬A) ( DA` \/ `A¬C¬D` \/  `A¬C)`.

  Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе `A` с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое. В итоге получаем:

       `( ¬A` \/ `BC ) ( DA` \/ `A¬C)`.

  При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: `ABCD`. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).

  Ответ

  Правила обмена валюты нарушили все.

  Задача 5

  Известно, что обе надписи на дверях либо истинны, либо ложны одновременно. Надпись на первой двери – "Клад за другой дверью", на второй двери – "Клада за этой дверью нет, а за другой  – есть". Где находится клад?

  Решение

  По сути нас интересуют два простых высказывания: «Клад есть за первой дверью» и «Клад есть за второй дверью». Обозначим первое из них буквой `A`, а второе буквой `B`. Тогда изначальные предположения формализуются следующим образом: 

  1) `B`;

  2)  `¬BA`.

  В этой задаче в отличие от предыдущей у нас две возможные ситуации относительно комбинирования начальных предположений – они либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что они оба истинны, тогда при их перемножении получится тождественный ноль, что означает невозможность данной ситуации.

  Предположим, что оба высказывания ложны, тогда необходимо перед перемножением на каждое из них «навесить» отрицание (рассматривать истинность противоположных высказываний) В итоге получится следующее логическое выражение:

       `¬B ¬(¬BA)`.

  Упрощаем его по алгоритму: отрицание продвигаем вглубь, применяя тождество Де Моргана. Получаем:

       `¬B (B` \/ `¬A)`.

  Раскроем скобки. Первое слагаемое сокращается, а второе выглядит следующим образом: `¬B¬A`.

  Полученный результат означает, что условия задачи выполняются, только в случае, когда оба высказывания ложны, а это означает, что клада нет ни за одной дверью. Не повезло нам `J`.

  Ответ

  Клада нет ни за одной дверью.

  В заключение приведём общую схему решения текстовых логических задач, которую мы уже применяли на практике при разборе примеров.

  схема решения текстовых логических задач

  1) Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.

  2) Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.

  3) Составить единое логическое выражение для всех требований задачи (возможно не одно).

  4) Используя законы алгебры логики попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения (Таблицу можно строить, если в выражении не более трёх логических переменных).

  5)  Выбрать решение — набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным;

  6) Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

  Среди задач алгебры логики часто встречаются задачи на определение количества решений систем логических уравнений. Рассмотрим примеры некоторых их них.

  задача 6

  Найдите количество решений системы уравнений:

  `(x2-=x1)+x2&x3+ not x2& not x3=1`

  `(x3-=x1)+x3&x4+ not x3& not x4=1`

  `…`

  `(x9-=x1)+x9 & x10+ not x9 & not x10=1`

  `(x10 -= x1)=0`

  где `x1 … x10` - неизвестные логические величины

  Решение

  Упростим исходные уравнения, заметив, что, `(x2&x3+ not x2& notx3=(x2-=x3)`. Исходную систему запишем в виде:

  `(x2-=x1)+(x2-=x3)=1`

  `(x3-=x1)+(x3-=x4)=1`

  `…`

  `(x9-=x1)+(x9-=x10)=1`

  `(x10&x1)=0`

  В первом уравнении используются три переменных `x1`, `x2` и `x3`. Значения `x1` и `x2` могут быть выбраны произвольно четырьмя способами:

  `bb(x1)`	`bb(x2)`	`bb(x3)`
  `0`	`0`	`0`
  `0`	`0`	`1`
  `0`	`1`	`1`
  `1`	`0`	`0`
  `1`	`1`	`0`
  `1`	`1`	`1`

  Если `x2=x1`, то значение `x3` может быть любое (эти строки выделены серым цветом), а при `x2!=x1` получаем только один вариант: `x3=x2`.

  Таким образом, при подключении первого уравнения число решений увеличивается на количество строк в таблице, для которых значения `x1` и `x2` (последней рассмотренной переменной) равны. В данном случае таких строк две, получаем 6 решений. Более того, в новой таблице снова осталось всего две строки (верхняя и нижняя), где `x3=x1`. Как следует из второго уравнения, именно эти (и только эти) строки на следующем шаге “раздваиваются”, дают по два решения. Таким образом, при подключении к системе очередного уравнения число решений увеличивается на `2`. Для двух уравнений получим 8 решений, для трёх - 10, а для восьми - 20 решений.

  Остается учесть последнее (особое) уравнение, `(x10-=x1)=0`. Это означает, что `x10!=1`. Из анализа таблицы видно, что есть всего две строки (верхняя и нижняя), где первая и последняя переменные равны. Поэтому из полученных 20 решений нужно отбросить эти два, не удовлетворяющие последнему уравнению. В итоге исходная система имеет 18 решений.

  ответ

  Система имеет 18 решений.

  задача 7

  Найдите количество решений системы уравнений:

  `not x1+x2=1`

  `not x2+x3=1`

  `…`

  `not x9+x10=1`

  где `x1 … x10` - неизвестные логические величины

  Решение

  Здесь `10` переменных, поэтому при решении системы через таблицу истинности нужно заполнить `2^(10)=1024` строки, поэтому перебор всех возможных вариантов является не эффективным способом решения. Поскольку все правые части равны `1`, можно легко свести систему к одному уравнению:

  `(not x1 + x2)&( not x2 + x3) &…&(not x9 + x10)=1`

  однако это не упрощает решения.

  Можно заметить, что первое уравнение зависит только от `x1` и `x2`, а каждое новое уравнение добавляет по одной новой переменной. Поэтому можно решать систему последовательно с помощью построения таблицы. Первое уравнение, `not x1+x2=1`, обращается в истинное равенство в трех случаях:

  `bb(x1)`	`bb(x2)`
  `0`	`0`
  `0`	`1`
  `1`	`1`

  Подключив второе уравнение, `not x2+x3=1`, заметим, что допустимые значения `x3` зависят от ранее выбранного значения `x2`: если `x2=0`, то `x3` может принимать любое значение  (`0` или `1`),  а  если `x2=1`, то `x3=1`. Соответствующая таблица выглядят так:

   

  `bb(x1)`	`bb(x2)`	`bb(x3)`
  `0`	`0`	`0`
  		`1`
  `0`	`1`	`1`
  `1`	`1`	`1`

   

  Легко заметить, что при добавлении очередного уравнения верхняя строка таблицы дает два решения (они выделены серы м цветом), а остальные строки - по одному. Поэтому количество решений увеличивается на `1`. Таким образом, система из трёх уравнений имеет 5 решений, из четырех - 6, а исходная система из девяти уравнений - 11 решений.

  ответ

  11 решений.

  Заметим, что часто перед решением больших систем логических уравнений сначала удобно упростить исходную систему с помощью законов алгебры логики, а также воспользоваться заменой переменных, если это возможно.

• 
  § 5. Логический тип данных в языке программирования Паскаль

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 5336 просмотров

  Подобно предыдущему заданию, теперь мы вновь перейдём к изучению программирования и применим полученные знания по алгебре логики на практике.

  В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения – true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым – логические.

  В языке Паскаль помимо арифметических операций ещё существует `6` операций сравнения: больше» `(>)`, «больше или равно» `(> =)`, «меньше» `(<)`, «меньше или равно» `(< =)`, «равно» `(=)`, и «не равно» `(<>)`. Операция «не равно» записывается, как последовательность знаков «меньше» и «больше».  Результатом каждой из этих операций является логическое значение true или false. Например, операция `5 > 2` выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная `X` имеет любое значение, кроме `3`. Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false. При сравнении обязательно соблюдать правило совместимости типов, то есть можно сравнивать числа между собой (причём в отличие от оператора присваивания, здесь никаких ограничений нет). Можно сравнивать между собой логические значения. Но нельзя сравнивать логическое значение с числом любого типа.

  Помимо операций сравнения, в паскале существуют четыре логические операции, абсолютно аналогичные операциям алгебры логики.

  1) Операция AND (в алгебре логики – «конъюнкция»)

  2) Операция OR (в алгебре логики – «дизъюнкция»)

  3) Операция XOR (в алгебре логики – «строгая дизъюнкция»)

  4) Операция NOT (в алгебре логики – «отрицание»)

  Все операнды этих операций должны быть логического типа, а никак не числового. Причём, операции AND, OR и XOR имеют по `2` операнда, а операция NOT – один операнд, который записывается справа от названия операции (аналогично обозначению операции NOT при помощи `¬` в алгебре логики)

  Теперь у нас есть достаточно много операций и нужно расставить их по приоритету выполнения. В Паскале есть четыре приоритета операций:

  1) Операция not;

  2) Операции группы умножения: *, /, div, mod, and;

  3) Операции группы сложения: +, – , or, xor;

  4) Операции группы сравнения: >, <, <=, >=, =, <>.

  Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем вне скобок.

  Теперь рассмотрим несколько примеров задач на использование логического типа.

  Общая Задача

  Записать на Паскале логическое выражение истинное при выполнении указанного условия и ложное в противном случае. Результат вычисления данного выражения присвоить переменной F.

  Условие 1

  Числовая  переменная  X  имеет  значение  на  отрезке [–1,1].

  Решение

   F:=abs(X)<=1;

  Условие 2

  Числовая переменная X имеет значение на отрезке [2,7].

  Решение

  F:=(X>=2)and(X<=7).

  Обратите внимание на скобки. Они обязательны, поскольку операции сравнения имеют более низкий приоритет, чем операция and.

  Условие 3

  Числовая переменная X имеет значение на одном из 2 отрезков: [–10, 3] или [10, 20].

  Решение

  F:=(X>=-10)and(X<=3)or(X>=10)and(X<=20).

  Условие 4

  Логические переменные A и B имеют различные значения.

  Решение

  F:=A<>B.

  Условие 5

  По крайней мере 2 из логических переменных A, B и C имеют значение true.

  Решение

  F:=A and B or A and C or B and C.

  
  

  
  

  :

     

• 
  § 1. Алгоритмы и исполнители

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 163 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 2. Алгоритмические конструкции: начало/конец, ввод/вывод, линейные участки

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 179 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 3. Алгоритмические конструкции: ветвление

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 236 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 4. Алгоритмические конструкции: циклы

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 229 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  § 5. Сложность алгоритма

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 224 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  Введение

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 422 просмотра

  Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

• 
  §1. Равносильность уравнений и неравенств

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 1268 просмотров

  В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

  Два неравенства    

  `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)`

  (1)

  или два уравнения

  `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`

  (2)

  называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

  Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

  `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

  Пример 1

  `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

  Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

  Пример 2

  При каких значениях параметра  `a` системы

  $\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right.$

  и

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.$

  равносильны?

  
  

  Решение

  Решим сначала первую, более простую систему  

  $\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.$

  $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.$

  Подставим  `a = 3` во вторую систему

  $a=3:\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2{y}^{4}-6x+8=0,\\ {x}^{2}+{y}^{2}-10x+28=0\iff {\left(x-5\right)}^{2}+{y}^{2}+3=0\iff \varnothing .\end{array}\right.$

  Следовательно, при `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

  При `a != 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе `y` входит только в чётной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`,  то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

  $\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\right.$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$

  Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

  1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

  2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.$

  Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

  3. $a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.$

  и $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.$

  Следовательно, системы при этом значении `a` равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.

  
  

  Ответ

  `2; 3`.

  При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

  1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

  а)	`f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.	(УР 1)
  б)	`f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.	(УР 2)

                                                                                                                                         

  2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,

  (УР 3)

   т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

  3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`,

  (УР 4)

   т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

  4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`.

  (УР 5)

  5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

  `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.

  (УР 6)

                                                                                     

  Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).

  Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

  6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

   

  `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.

  (УР 7)

  7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

  `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`.

  (УР 8)

  
  

  8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

  $$f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.$$

  (УР 9)

  
  
• 
  §2. Иррациональные неравенства

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 29447 просмотров

  Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

  Пример 3 (МГУ, 1998)

  Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

  Решение

  Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.

  Рис. 1

  Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

  $\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.$

  Ответ

  `[- 3; 1)`.

  Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

  `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`.	(УР К1)
  $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right.$	(УР К2)
  $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow f(x)=g(x).$	(УР К3)
  $\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array}$	(УР К4)

  
  

  ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)` 

  ОДЗ: `f(x) >= 0`.

  Рассмотрим неравенство

  `sqrt(f(x)) >= g(x)`.

  Докажем, что

  `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$

  (УР К5)

  Доказательство

  1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

  2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

  $$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$

  Тогда:

  а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

  б) если `g(x) >= 0`  и

  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

  то

  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

  Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

  `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$

  (УР К6)

                                                              

  Теперь рассмотрим неравенство вида

  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  

  Докажем, что

  $\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right.$

  (УР К7)

                                                                                                                              

  Доказательство

  1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`,

  то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.

  2.  Если `x` является решением системы неравенств   $\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.$   

  то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. 

  Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.

  Пример 4 (МФТИ, 1998)

  Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.

  
  

  Решение

  Первый способ

  Воспользуемся (УР К5): 

  `3sqrt(3x^2-8x-3)>1-2x iff`$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-2x<0,\\3x^2-8x-3\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}1-2x\geq0,\\9\left(3x^2-8x-3\right)>\left(1-2x\right)^2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

  $$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{-1}3\right]\cup\left[3;+\infty\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\cup\left(\dfrac{34+30\sqrt2}{23};+\infty\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\in\left[3;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\end{array}$$

  `iff x in (- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

  Ответ

  `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

  
  

  Второй способ

  Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:

  `3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.

  Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.

  1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.

  2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`

  `iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`

  `iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.

  Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.

  Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.

  Объединяя 1 и 2, получаем

  Ответ

  `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

  ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`

  Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.

  Докажем, что

  $\sqrt{f\left(x\right)}\leq\sqrt{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.$

  (УР К8)

  1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.$

  2. Если `x` является решением системы неравенств $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0,\end{array}\right.$ 

  то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.

  При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.

  Замечание

  Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.

  Пример 5

  Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.

  Решение

  `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+1\leq x^3-4x^2+x+5\Leftrightarrow x^3-4x^2-x+4\geq0,\\2x+1\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-1;1\right]\cup\left[4;+\infty\right),\\x\geq-\dfrac12\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow x\in\left[-\dfrac12;1\right)\cup\left[4;+\infty\right].$

  Ответ

  `[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.

  ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x))>=0` `(<= 0)`

  Роль сопряжённых выражений

  Обычно  при  решении неравенств, имеющих  ОДЗ,  надо сначала найти ОДЗ.  При  нахождении   ОДЗ   такого   сложного   неравенства,   как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`,  учителя  и   школьники    обычно   решают   систему $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\h\left(x\right)\neq0\end{array}\right.$. Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

  Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение  этого неравенства. Оправдывается это тем,  что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие  `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.

  Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида

  `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

  В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».

  Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака  `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.             

  Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:

  1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;

  2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)`  может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене  `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение

  `(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`

  имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило   П К1:

  Если `g(x)>=0`, то  знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком  разности  `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ.

  (П К1)

  Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида

  `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.

  Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и  двумя случаями, но без корней.

  Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.

  1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен  в ОДЗ. Но тогда $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow h\left(x\right)>0$.

  2. Если  же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае

  $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0$.

  Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:

  $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\h\left(x\right)>0\left(<0\right),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$

  (УР К9)

  Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.

  Пример 6 (МГУ, 1995) 

  Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.

  Решение

  ОДЗ^*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`. 

  Теперь в ОДЗ  преобразуем неравенство:

  $\dfrac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}=\dfrac{\left(\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}\right){\displaystyle\left(\sqrt{4x+15}-2x\right)}}{\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{4x+15}-2x\geq0,\\\sqrt{4x+15}+2x\neq0.\end{array}\right.$

  Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.               

  Рис. 2

                                                         

  Найдём эту абсциссу:

  $\sqrt{4x+15}=2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\4x+15=4x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac52.\end{array}\right.$

  Заметим, что для решения  уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:

  $\sqrt{4x+15}+2x=0\Leftrightarrow\sqrt{4x+15}=-2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\leq0,\\4x+15=4x^2.\end{array}\right.$

  А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение

  $4x+15=4x^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52.\end{array}\right.$

  Теперь можно записать

  Ответ

  $x\in\left[-\dfrac{15}4;-\dfrac32\right)\cup\left[-\dfrac32;\dfrac52\right)$.

  Пример 7

  Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.

  Решение

  Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`. 

  Теперь воспользуемся (УР К9):

  $\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}x\geq2\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle+}{\displaystyle\left(2x-3\right)}}x\geq0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle-}{\displaystyle\left(3-2x\right)}}x\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow$

  $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

  $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

  $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;\dfrac32\right]\end{array}\right.\overset{\mathrm с\;\mathrm{учётом}\;\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;2\right].$

  Систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.$ решили классическим методом интервалов - рис. 3.

  Рис. 3

  Ответ

  `(- oo; 0) uu [1; 2]`.

  Пример 8

  `(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.

  Решение

  Неравенство довольно громоздкое и сложное.

  Найдём сначала ОДЗ*:

  `x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`. 

  Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.

  1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и  

  $$\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow $$

  $$\Leftrightarrow x\in\left(-8;9\right)$$.

  Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что `x in (-8;-7)`. Оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*. 

  2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда  

  $\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-4x+3\right){\displaystyle-}{\displaystyle\left(2\left(x+7\right)\right)^2}}{\left(x-9\right){\displaystyle\left(x+8\right)}}\leq0\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\dfrac{3x^2+60x+193}{\left(x+8\right){\displaystyle\left(x-9\right)}}\geq0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac{-30-\sqrt{321}}3}\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{-30+\sqrt{321}}3}\right)}{\left(x+8\right)\left(x-9\right)}\geq0\overset{x\geq-7}\Leftrightarrow$

  $\overset{x\geq-7}\Leftrightarrow\left[-7;\dfrac{-30+\sqrt{321}}3\right]\cup\left(9;+\infty\right)$

  с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

  Ответ

  `(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

  ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

  Роль сопряжённых выражений

  Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

  На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней  `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и  имеет место условие равносильности в ОДЗ

  $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0$

  (УР К10)

  или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

  $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\g\left(x\right)\geq0,\\\dfrac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\end{array}\right.$

  (УР К11)

  Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):

  Знак разности  `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)`  в ОДЗ.

  (П К2)

  Пример 9 (Демоверсия ЕГЭ - 2010) 

  Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x` 

  и найдите наименьшую длину промежутка,  который содержит все его решения.

  
  

  Решение

  Замечательный пример на применение (УР К11)!

  Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда

  `(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`

  `iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`

  `iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`

  `iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x\geq0,\\\dfrac{\left(1-x\right)-\left(x^2+x+1\right)}{1+x}\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq1,\\\dfrac{x\left(x+2\right)}{1+x}\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-2;-1\right)\cup\left[0;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  `iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.

  Неравенство решено методом интервалов - рис. 4.

  Рис. 4

  Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.

  Ответ

  `[-2; -1) uu [0; 1], 3`.

  Пример 10

  Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`

  и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.

  Решение

  Найдём сначала ОДЗ*: $\left\{\begin{array}{l}4x^2-3x+2\geq0,\\4x-3\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\geq\dfrac34$.

  Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :

  $\dfrac{\sqrt{4x^2-3x+2}-\sqrt{4x-3}}{x^2-5x+6}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-3x+2-4x+3}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-7x+5}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow\dfrac1{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\leq0\Leftrightarrow x\in\left(2;3\right)$.

  Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `1`.

  Ответ

  `(2; 3), 1`.

  ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.

  Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.      

  Получим

  $\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}}{g\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\g\left(x\right)\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0,\\g\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$

  (УР10)

  Пример 11

  Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.

  Решение

  Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`

  $$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}$$

  `iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.

  Ответ

  `{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.

  
  

  
  

  
  

• 
  §3. Неравенства, содержащие модуль

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 416 просмотров

  В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

  Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.

  
  

  Пример 12 (МГУ 1993)

  Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.

  Решение

  `|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.

  1.   `x-1>=0hArrx>=1`:  `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.

  Получаем в этом случае `x>=1`.

  2.  `x-1<0hArrx<1:   {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.

  Рис. 5

  И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.

  Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный

  
  

  Ответ

  `(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.

  
  

  Пример 13 (МГУ, 1992)

  Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.

  Решение

  `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.

  1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)uu[10;+oo)`.

  Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.

  2.  `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.

  Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.

  3. $x<5:\;\dfrac{-x+5+2x-12+3}{-2x+12-4}=\dfrac{x-4}{8-2x}\leq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\leq0,\\x\neq4.\end{array}\right.$

  Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.

  Ответ

  `(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.

  
  

  ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`

  
  

  Пусть в некоторой точке `a`  выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|g(a)`.

  
  

  Тогда имеет место рисунок 6

  
  

  Рис. 6

  
  

  
  и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.

  
  

  И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности   

  
  

  $\left|f(x)\right|\;<\;g(x)\Leftrightarrow-g(x)\;<\;f(x)\;<\;g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)\;<\;g(x),\\f(x)\;>\;-g(x)\end{array}\right.$

  (УРМ1)

  
  

  ПУНКТ 2.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|>g(x)`

  
  

  Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е. `|f(x)|>g(x)`.

  
  

  Это означает, что, или,

  
  

  а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,

  
  

  б) если `g(x)>=0`, имеет место рисунок 7

  
  

  Рис. 7

  
  

  и совокупность неравенств $\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right.$

  
  

  И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств  $\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right.$ Тогда

  
  

  а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено, 

  
  

  б) если `g(a)>=0`, то  имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.

  
  

  Следовательно, имеем равносильные соотношения 

  
  

  $$\vert f(x)\vert>g(x)$$ $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$$

  (УР М2)

  
  

  Пример 14 (МГУ, 2000, ВМК)

  Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

  Решение

  $$ \begin{array}{l}\begin{array}{l}\left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\iff \right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2;\end{array}\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \right.\end{array}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ x\in [1;2],=2,\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{2}{3},\\ x\in (-\infty ;0]\cup [5;\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \end{array}$$

  `iff x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;oo)`.

  Ответ

  `(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.

  
  

  ПУНКТ 3.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)|`

  
  

  Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, но сумма `|f(x)|+|g(x)|`  всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`

  
  

  `=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и

  
  

  знак разности  `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения `(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))`

  (П М1)

  
  

  Имеем ещё одно условие равносильности

  
  

  `|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`.

  (УР М3)

  
  

  Пример 15 (МФТИ, 2000)

  Решите неравенство $$ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0.$$

  Решение

  ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.

  В ОДЗ* имеем $$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0\iff (\mathrm{в} \mathrm{силу} \mathrm{УРМ}3)\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(2{x}^{2}-8x+2\right){\displaystyle \left(-4x+8\right)}}}\le 0\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right){\displaystyle \left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}{\displaystyle )}}}\ge 0\iff \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-7x+6=0,\\ x\ne 2\pm \sqrt{3},\\ x\ne 2,\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x=6,\end{array}\right.\right.\\ \left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-2\right)>0\iff \left(2-\sqrt{3};2\right)\cup \left(2+\sqrt{3};+\infty \right).\end{array}\right.\end{array}$$

  Учитывая ОДЗ*, получаем

  Рис. 8

  Ответ

  `[1;2)uu(2+sqrt3;6]`.

  
  

  
  

  
  

  
  

• 
  §4. Системы уравнений

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 1393 просмотра

  
  

  1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем  в остальные. Получаем новую систему, в  которой число уравнений и неизвестных  на  одно  меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.

  Однако  очень часто при решении системы  этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых  систем  существуют специальные приемы.

  2. Однородные системы 

  3. Симметрические системы

  4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.

  Приведём примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.

  1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.

  2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,

  $\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)f_2\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_2\left(x,y\right)=0\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\end{array}\right.$

  (УР С1)

  3. Если какое-нибудь уравнение системы  умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной. 

  4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему. 

  Например,   

  $\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)+af_2\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0,\end{array}\right.$

  (УР С2)

  `a` - произвольное число.

  5. 

  $\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)\geq0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)>0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$

  (УРС3)

  Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)

  6. 

  $\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)\neq0,\\f_2\left(x,y\right)f_1\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$

  (УР С4)

  Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!

  7. 

  $\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.$

  (УР С5)

  т. к. 

  $\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)-2g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.$

  Пример 16

  Решите  систему  уравнений

   $\left\{\begin{array}{l}2x^2+y-z=3,\\y+z-2x=1,\\x^4+yz+y-2z=3.\end{array}\right.$

  Решение

  Выразим `y` из второго уравнения `y=1-z+2x`, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными

  $\left\{\begin{array}{l}2x^2+\left(1-z+2x\right)-z=3,\\x^4+z\left(1-z+2x\right)+\left(1-z+2x\right)-2z=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x^2+2x-2z=2,\\x^4+2zx+2x-z^2-2z=2.\end{array}\right.$

  Теперь выразим   из первого уравнения `z=x^2 +x-1` и, подставив  во второе, получим уравнение с одним неизвестным

  `x^4 +2x(x^2 +x-1) +2x-(x^2 +x-1)^2 -2(x^2 +x-1)=2 iff x^2 -1=0 =>`

  $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow z=1\Rightarrow y=2,\\x=-1\Rightarrow z=-1\Rightarrow y=0.\end{array}\right.\Rightarrow$

  Ответ

  `(1; 2; 1), (-1; 0; -1)`.

  Пример 17

  Решите систему уравнений

   $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=9,\\x^2+4y^2+9z^2=189,\\3xz=4y^2.\end{array}\right.$

  Решение

  Выразим `x` из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему

  $\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\4y^2+9z^2-6yz-27z+18y=54\Leftrightarrow\\6yz-9z^2+27z-4y^2=0.\end{array}\right.$

  Теперь прибавим ко второму уравнению третье

  $\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\18y=54\Leftrightarrow y=3,\\18z-9z^2+27z-36=0\Leftrightarrow z=\dfrac{5\pm3}2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=3,\;z=4\Rightarrow x=3;\\y=3,\;z=1\Rightarrow x=12.\end{array}\right.$

  
  

  Ответ

  `(3, 3, 4), (12, 3, 1)`.

  Пример 18 (МФТИ, 1996) 

  Решите систему уравнений 

  $\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=0.\end{array}\right.$

  Решение

  В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, `x`. Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырёх линейных систем.

  $\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=x^2+x\left(2y+9\right)-\left(8y^2-30y-8\right)=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=x^2+2x\left(3y-1\right)-\left(8-8y^2\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-2y-9\pm\left(6y-7\right)}2\Leftrightarrow\left(x-2y+8\right)\left(x+4y+1\right)=0,\\x=\dfrac{-3y+1\pm\left(y-3\right)}1\Leftrightarrow\left(x+2y+2\right)\left(x+4y-4\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+4y-4=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+4y-4=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=-5,\\y=\dfrac32;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-4,\\y=2;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-3,\\y=\dfrac12;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\varnothing.\right.\end{array}\right.\Rightarrow$

  Ответ

  `(-5; 3/2), (-4; 2), (-3; 1/2)`.

  Пример 19 (МФТИ, 1999) 

  Решите систему уравнений

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0.\end{array}\right.$

  Решение

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  Заменим второе уравнение системы суммой

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\x^2-4x+4y+27+y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\\left(x-1\right)^2+\left(y+6\right)^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1,\\y=-6\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1^2-4\cdot1+4\left(-6\right)+27=0,\\x=1,\\y=-6.\end{array}\right.$

  Заметим, что решение второго уравнения - это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.

  Ответ

  `(1, -6)`.
• 
  §5. Однородные уравнения и системы

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 1617 просмотров

  Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.

  Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2`   является однородной степени `4`, т. к.

  `f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.

  Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.

  Система с двумя переменными $\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a,\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right.$, где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.

  Если  `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a`  и вычтем одно из другого - получим равносильную систему

  $\left\{\begin{array}{l}bf\left(x,y\right)-ag\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=b.\end{array}\right.$

  Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

  Если  `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

  Пример 20 (МГУ, 2001, химфак) 

  Решите систему 

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{array}\right.$

  Решение

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5\left(x^2-xy+y^2\right)+7\left(y^2-2xy\right)=0,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\neq0,\;y\neq0;\\5x^2-19xy+12y^2=0\Leftrightarrow5\left(\dfrac xy\right)^2-19\left(\dfrac xy\right)+12=0\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\dfrac xy=\dfrac{19\pm11}{10},\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=3y,\\y^2=3;\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm3\sqrt3,\\y=\pm\sqrt3;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac45y,\\y^2=25\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm4,\\y=\pm5.\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow$

  
  

  Ответ

  `(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.

• 
  §6. Симметрические системы

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 573 просмотра

  Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.

  Система уравнений вида $\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right.$, где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметрической системой. Такие системы решаются чаще всего с помощью введения новых  переменных `x+y=u`, `xy=v`.

  Пример 21

  Решите систему уравнений  

  $\left\{\begin{array}{l}x^3+x^3y^3+y^3=17,\\x+xy+y=5.\end{array}\right.$

  Решение

  Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой `x+y=u`, `xy=v`. Заметив, что 

  `x^3 +x^3 y^3 +y^3 =(x+y)(x^2 -xy+y^2 )+x^3 y^3 =`

  `=(x+y)((x+y)^2 -3xy)+x^3 y^3 =u(u^2 -3v)+v^3`,

  перепишем систему в виде

  $\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv+v^3=17,\\u+v=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=5-v,\\v^2-5v+6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}v=2,\;u=3,\\v=3,\;u=2\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  (в старых переменных)

  $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\xy=3,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2-y,\\y^2-2y+3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing.\\\left\{\begin{array}{l}x+y=3,\\xy=2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3-y,\\y^2-3y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2,\;y=1,\\x=1,\;y=2.\end{array}\right.\end{array}\right.$

  Ответ

  `(2;1), (1;2)`.

  Замечание

  Для успешного выполнения задания необходимо помнить, что строго монотонная функция любое своё значение принимает только один раз, т. е. если функция `y(x)` строго монотонна, то  для любых `x^** in D(y)`,  `x^(** **) in D(y)` следует, что `y(x^**) = y(x^(** **)) iff x^** = x^(** **)`.

  Вспомним ещё свойства не просто монотонных функций, а нечётных монотонных.

  Если  функция  нечётная,  то при любом `x` из области определения

  `f(x) =-f(-x) iff f(x) + f(-x) =0`,  

  т.  е.   функция  в  симметричных точках принимает «противоположные» значения.

  В случае произвольной нечётной функции равенство `f(x_1) =-f(x_2)` может выполняться в нескольких точках (не только в симметричных): например,

  `sin  pi/3 =-sin (- (pi)/3) =- sin (- (2pi)/3)`.

  Если же функция нечётная, а к тому же  и строго монотонная, то равенство `f(x_1) + f(x_2) =0` выполняется только в симметричных точках  -  вспомним график функции  `y=x^3` - рис. 9.

  Рис. 9

  Итак,  если  нечётная и  строго монотонная функция, то

  `f(x_1) =- f(x_2) iff f(x_1) + f(x_2) =0 iff x_2 =- x_1`.

  Поэтому для такой функции `f(x):`

  `f(x) + f(g(x)) =0 iff x=- g(x)`.

• 
  Решение планиметрических задач

  • 2 июня 2020 г.
  • 0 комментариев
  • 1697 просмотров

  Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. «То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете воспользоваться, когда в том возникнет необходимость» (это слова немецкого физика XVII столетия Лихтенберга, который известен своими афоризмами).

  Итак, если хотите научиться решать задачи, приобрести навыки решения – учитесь этому, разбирайте решения в учебнике и нашем Задании, повторяйте эти решения (ведь так учатся всему), а затем пробуйте свои силы. У Вас получится.

  Задание состоит из четырёх параграфов. В параграфе 1 повторяются признаки подобия треугольников, решается несколько характерных задач на эту тему, повторяются свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Во втором параграфе обсуждаются «задачи в делении отрезка» и доказывается теорема Менелая. Третий параграф посвящён свойствам касательных, хорд, секущих, вписанных и описанных четырёхугольников. В параграфе 4 рассматривается применение теорем синусов и косинусов, разобраны задачи, решение которых требует применение тригонометрии. Почти все эти темы разбирались в заданиях по геометрии в 9 и 10 классах ЗФТШ, поэтому более простые утверждения здесь приводятся без доказательства. Тем, кто поступил в ЗФТШ в 11 класс, рекомендуется доказать эти утверждения самостоятельно, а те, кто учится в ЗФТШ не первый год, найдут много новых интересных задач, подробно решённых в 19 примерах.

  Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения; они оценены по трудности в очках, которые указаны в скобках после номера. Знаком * «звёздочка» отмечены более трудные вопросы и задачи.

  За правильный ответ и верное решение задачи ставится полное число очков, за недочёты и ошибки определённое число очков снимается.

  Работу над заданием рекомендуется начать с внимательного чтения его и самостоятельного решения (после ознакомления) всех приведённых в нём задач. Ответы на контрольные вопросы следует давать подробные, со ссылками на соответствующие теоремы учебника или данного задания, с доказательствами своих ответов. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Приведём примеры ответов на контрольные вопросы.

  Вопрос 1

  Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

  Ответ

  Рис. 1

  Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса `BM` является медианой: $AM=MC$ (рис. 1). На продолжении биссектрисы $BM$ отложим отрезок $MD$, равный $MB$. Треугольники $ABM$ и $CDM$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $M$  равны как вертикальные и $AM=CM$, $BM=MD$. Из равенства треугольников следует

  $CD=AB$                                   (1)

  и $\angle CDM=\angle ABM$. Но $\angle ABM=\angle CBM$, поэтому $\angle CDM=\angle CBM$, т. е. в треугольнике $BCD$  углы при основании $BD$ равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: $BC=CD$. Отсюда и из (1) заключаем: $BC=AB$. Утверждение доказано.

  Вопрос 2

  Рис. 2

  Могут ли длины сторон треугольника быть меньше `1` мм, а радиус описанной окружности больше `1` км?

  ОТвет

  Да, могут. Приведём пример. Из точки $C$, лежащей на окружности  радиуса `2` км, дугой радиуса $1/2$ мм отмечаем точки $A$ и $B$, лежащие на большей окружности (рис. 2); очевидно, $AC=CB=1/2$ мм.

  Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса `2` км, а его наибольшая сторона $AB$ < $AC+BC=1$ мм.

  вопрос 3

  Рис. 3

  Можно ли через точку окружности провести три равные между собой хорды?

  ответ

  Нет, нельзя. Действительно, предположим противное, т. е. предположим, что хорды $AB$, $AC$ и $AD$ окружности с центром в точке $O$ равны между собой (рис. 3). Тогда точки $B$, $C$ и $D$ одинаково удалены от точки `A`, т. е. они лежат на окружности с центром в точке $A$. Однако, этого не может быть, так как две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек. Значит предположение неверно.

  Вопрос 4

  Рис. 4

  Верно ли, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$, если $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $\angle C=\angle C_1$?

  Ответ

  Нет, например, на рис. 4 показаны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, для которых, как легко видеть, выполнены все заданные равенства, но $\triangle ABC\neq\triangle A_1B_1C_1$, так как $AC\neq A_1C_1$.

  Итак, при утвердительном ответе надо либо привести доказательство того, что данное утверждение верно (как в ответе на вопрос 1), либо привести конкретный пример реализации заданных условий (как в ответе на вопрос 2).

  При отрицательном ответе надо либо привести рассуждения, приводящие к противоречию заданных условий аксиоме, теореме или определению (как в ответе на вопрос 3), либо построить один опровергающий пример (как в ответе на вопрос 4).

  После повторения тем в §1 – 4 в заключительном пятом параграфе обсудим вопросы подходов к решению, важность хорошего рисунка, выбора переменных, а также остановимся на некоторых ошибках, допускаемых учащимися и абитуриентами.

  Это задание вместе с присланным решением будут Вам полезны при подготовке к экзаменам.