16 статей
Пусть на некоторых числовых множествах заданы соответственно функции .
Отношения вида , , называют неравенствами и уравнением с одной переменной.
Если функции - алгебраические, то неравенства и уравнения называются алгебраическими.
Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства или уравнения называют множество всех значений переменной , при которых одновременно определены обе части неравенства или уравнения, т. е. пересечение множеств .
Рассмотрим неравенство . Левая часть определена при , а правая при . Поэтому областью определения этого неравенства является множество .
Решить неравенство (уравнение) – это значит найти все числа , после подстановки которых, вместо получается верное числовое неравенство (равенство), или доказать, что неравенство (уравнение) не имеет решений. Ясно, что число является решением только тогда, когдa принадлежит ОДЗ.
При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и в нашем задании это будет играть большую роль.
Два неравенства
и (1)
или два уравнения
и (2)
называются равносильными на множестве , если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству , является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее , является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на не имеет решений, т. е. множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.
Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на , называют равносильным переходом на . Равносильный переход обозначают двойной стрелкой .
; а неравенства и не равносильны, т. к., если , то первое неравенство не имеет решений, а второе имеет, например,
Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).
Равносильны ли уравнения и ?
Нет, не равносильны, т. к. решение второго уравнения не является решением первого.
Равносильны ли уравнения и ?
Да, равносильны, т. к. ни одно из них не имеет решения.
Приведём несколько примеров операций, приводящих к равносильным уравнениям или неравенствам.
1. Если функции определены на множестве , то на
а) .
б) .
2. Если на , то на
,
т. е. при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется
3. Если на , то на
.
4. Если на , то на
,
т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.
5. Если на , то на
а) ,
т. е. если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству.
Если обе части неравенства неположительны, то умножим обе части на , придём к неравенству противоположного знака, но с неотрицательными частями, и теперь можно пользоваться свойством .
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к равносильному неравенству, так и к неравносильному: `-4<5` и `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.
б) .
6. Для любых и на и любого натурального
.
Пусть задано неравенство . По определению, неравенство выполнено, если разность функций . Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записывать их в виде .
Часто приходится иметь дело не с одним неравенством или уравнением, а с несколькими. При этом важно различать две задачи:
1) решить систему уравнений или систему неравенств,
2) решить совокупность уравнений или совокупность неравенств.
Пусть дано неравенств (или уравнений) , на некотором множестве . Если стоит задача – найти все упорядоченные наборы чисел , каждый из которых является решением каждого из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что задана система неравенств (уравнений). Такое называется решением системы.
Решить систему – это значит найти множество всех решений. Обычно систему неравенств (уравнений) записывают в столбик и объединяют фигурной скобкой
ОДЗ системы называется множество, являющееся пересечением областей допустимых значений всех этих неравенств.
Если для неравенств (уравнений)
,,...,
стоит задача – найти все такие упорядоченные наборы чисел , каждый из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что на задана совокупность неравенств (уравнений). Такое называется решением совокупности неравенств (уравнений). Решить совокупность неравенств (уравнений) – это значит найти всё множество её решений. В современной литературе совокупность записывают в столбик и объединяют квадратной скобкой
ОДЗ совокупности называется объединение областей допустимых значений всех заданных неравенств (уравнений).
Во всех случаях количество заданных неравенств (число ) никак не связано с количеством неизвестных (число ).
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения
Она особенно удобна, когда коэффициент при `x` число чётное.
Решите уравнение
Заметим, что использование других формул привело бы к более громоздким вычислениям.
Уравнение можно считать решённым, если удаётся найти замену переменных, сводящую заданное уравнение к квадратному.
Решите уравнение
Сделаем замену переменных
Тогда уравнение примет вид
В старых переменных
`2`.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2` при переходе через точку `a` знак не меняет,
в) квадратный трёхчлен `x^2+px+q`, `p^2-4q < 0`, имеющий положительный коэффициент при `x^2` и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.
Заметим, что:
1) двучлен `(x-a)` в любой нечётной степени `(x-a)^(2n-1)`, ведёт себя так же, как и `(x-a)`,
2) двучлен `(x-a)` в любой чётной степени `(x-a)^(2n)`, ведёт себя так же, как и `(x-a)^2`,
Важно, что при переходе через точку `a`, может изменить знак только один множитель `(x-a)^(2k-1)`, а выражение `(x-b)^(2n-1)`, при переходе через `a` ни при каком `n` знак не меняет.
Прежде чем расставлять знаки, необходимо все многочлены записать правильно. Это значит, что во всех скобках коэффициенты при старшей степени переменной должны быть положительны, множители при произведениях в числителе и знаменателе тоже положительны – при больших `x` (когда `x` больше самого большого корня) многочлен всегда принимает положительные значения.
Итак, сформулируем
1. Проверяем, все ли множители записаны «правильно».
2. Находим корни числителя и знаменателя.
3. Представляем числитель и знаменатель в виде произведения неприводимых множителей, т. е. множителей вида `(x-a)^k` (все квадратные трёхчлены, имеющие отрицательный дискриминант, не записываем – их «опускаем»).
4. Наносим на числовую ось корни числителя (точками, если неравенство нестрогое, или «дырками», если неравенство строгое) и знаменателя (в любом неравенстве «дырками»).
5. Расставляем знаки дроби в промежутках между корнями, учитывая, что многочлен меняет знак при переходе через точку `a`, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n-1}`, `ninN`
и не меняет знак, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n}`, `ninN`.
6. Отмечаем прямоугольниками решение заданного неравенства и «снимаем» с рисунка ответ. При этом помним, что,
а) если неравенство строгое, то решением являются открытые промежутки;
б) если неравенство нестрогое, то к предыдущим решениям добавляются все «точки».
Когда говорим: Решим неравенство методом интервалов, – имеется в виду, что будут выполнены именно вышеприведённые действия.
Метод интервалов затем распространяется на рациональные функции.
Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, т. е. в виде `{P(x)}/{Q(x)}`.
Например, функции `y=x-2`, `y={x^3-x+5}/{x+4}` - рациональные, а функция `y=sqrt(5x)` не является рациональной – она называется иррациональной.
Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.
Рациональные неравенства чаще всего решаются сравнением с нулём, т. е. решаются неравенства вида `{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)`.
Заметим, что дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые (противоположные) знаки, т. е.
`{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)hArrP(x)Q(x)>0(<0)`,
поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам.
В школе принято писать для дроби ОДЗ: `Q(x)!=0`, но это является совершенно излишним. В самом алгоритме решения таких неравенств учитывается условие, что знаменатель не равен `0` – нули знаменателя отмечаются всегда кружочками («дырками»). Именно поэтому ОДЗ для рациональной дроби не пишут.
Некоторые учащиеся после нахождения ОДЗ даже «бросают» знаменатель. Они не понимают, что решение зависит не от того, равен или не равен `0` знаменатель, а от того, где знаменатель положителен, а где отрицателен.
При применении этого метода интервалов нет необходимости в рассмотрении «пробных» точек.
Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства .
Переписываем наше неравенство в правильном виде:
и применяем метод интервалов - рис. 1.
 |
| Рис. 1 |
C рисунка снимаем ответ.
`3,25`.
Заметим, что на нашей картинке нет никаких «змеек». Такой способ отмечать решение неравенства (который, с непривычки, некоторые отвергают, не попробовав) имеет преимущество, потому что он выделяет именно решение, а, кроме того, он даёт возможность «красиво» решать системы неравенств.
Решите систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+\dfrac14\right)\left(x+\dfrac18\right)\geq0,\\\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{51}{50}}\right)}{\left(x+{\displaystyle\dfrac3{16}}\right)x}<0.\end{array}\right.$$
Здесь очень «плохие» пробные точки – дробные и близкие. Это сделано специально, чтобы привыкнуть их использовать.
Решаем сначала первое неравенство: наносим на числовую ось нули точками, т. к. неравенство нестрогое.
Теперь расставим знаки. Замечаем, что при больших `x` все множители положительны. При переходе через точку `x=1` функция меняет знак, т. к. `(x-1)` входит в нечётной (первой) степени. По этой же причине при переходе и через остальные точки функция опять меняет знак (рис. 2).
 |
| Рис. 2 |
Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравенства (рис. 3).
 |
| Рис. 3 |
Теперь решаем второе: наносим на числовую ось нули и числителя, и знаменателя кружочками (дырками), т. к. неравенство строгое. Получаем рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Теперь надо обе картинки поместить на одну ось. Надо ли соблюдать масштаб? А зачем? Не надо. Ведь нас интересует только взаимное расположение точек относительно друг друга, а расстояния между ними никакой роли не играют.
Теперь заштриховываем общие части прямоугольников – отлично виден ответ (рис. 5).
 |
| Рис. 5 |
`x in(-3/16;-1/8]uu(51/50;2)`.
Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства
`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0`.
При решении неравенств, левая часть которых содержит чётные степени, можно поступать по-разному.
Первый способ
Левая часть уже записана правильно, корни видны сразу. Отмечаем их точками на числовой оси, а затем по вышеприведённым правилам расставляем знаки и отмечаем решение прямоугольниками – рис. 6.
 |
| Рис. 6 |
С рисунка снимаем ответ, что `x in{-2;25}uu[-1,5;12]`. Отсюда следует, что наименьшая длина промежутка равна `25-(-2)=27`.
Второй способ
Можно заранее учесть, что бином `(x-a)^{2k}` принимает либо значение, равное `0`, либо положительно на всей числовой оси – поэтому можно записать в решение `x=a`, а бином «опустить», т. к. он не влияет на знак оставшегося выражения:
`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0 iff`
`27`.
Решите неравенство `x<={8x-2}/{x+5}`.
`x<={8x-2}/{x-5}hArr{x^2-3x+2}/{x+5}<=0hArr{(x-1)(x-2)}/{x+5}<=0`
 |
| Рис. 7 |
Из рис. 7 следует ответ
`(-oo;-5)uu[1;2]`.
Найти все пары целых чисел `x`, `y`, для которых верны неравенства
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x<45,\\x+y>24,\\3x-y<3.\end{array}\right.$$
Запишем систему в стандартном виде (для сравнения с нулём)
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0.\end{array}\right.$$
Заметим, что `y` входит в первое неравенство со знаком `« + »`, а во второе и третье со знаком `« – »`. Поэтому умножим сначала второе и третье неравенства на `3` (получились равносильные неравенства), а затем заменим второе и третье неравенства их суммами с первым – таким образом, мы исключим `y`. Итак,
$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0,\end{array}\right.\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-3x-3y+72+3y-2x-45=-5x+27<0\Leftrightarrow x>\dfrac{27}5,\\9x-3y-9+3y-2x-45=7x-54<0\Leftrightarrow x<\dfrac{54}7\end{array}\right.\Rightarrow$$
(учтём, что мы ищем целые решения)
Подставим последовательно найденные значения `x` в систему.
$$x=6\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-57<0,\\-y+18<0,\\15-y<0\end{array}\right.\Rightarrow\varnothing.$$
$$x=7\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-59<0,\\-y+17<0,\Rightarrow y=19,\\-y+18<0.\end{array}\right.$$
`(7,19)`.
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
| $$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\f(x)=g(x),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f(x)<0,\\-f(x)=g(x).\end{array}\right.\end{array}\right.}\\\\\end{array}$$ | (УРМ1) |
Там, где `f(x)>=0`, `|f(x)|=f(x)`, уравнение примет вид `f(x)=g(x)`;
там, где `f(x)<0`, `|f(x)|=-f(x)`, уравнение примет вид `-f(x)=g(x)`.
И, наоборот, если `f(x)>=0` и `f(x)=g(x)`, то `|f(x)|=g(x)`, а если `f(x)<0` и `-f(x)=g(x)`, то опять `|f(x)|=g(x)`, при этом НЕ НАДО решать неравенства, а необходимо только подставить в них решения соответствующих уравнений.
Второй способ (это способ применяется обычно, если функция `g(x)` проще, чем `f(x)`).
Уравнение `|f(x)|=g(x)` не имеет решений, если `g(x)<0`. Если же `g(x)>=0`, то там, где `f(x)>=0` уравнение имеет вид `f(x)=g(x)`, а там, где `f(x)<0`, уравнение имеет вид `-f(x)=g(x)`. Отсюда следует
| (УРМ2) |
При решении вторым способом можно не писать условий равносильности, а просто решить совокупность уравнений и найденные корни подставить в условие `g(x)>=0`.
Решите уравнение .
Так как подмодульное выражение проще, чем правая часть, применим (УР М1):
$$\begin{array}{l}\left|x-7\right|=3x^2+4x-1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\x-7=3x^2+4x-1;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\-x+7=3x^2+4x-1,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\3x^2+3x+6=0\Leftrightarrow\varnothing;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\3x^2+5x-8=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm11}6,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac83\\x=1.\end{array}\right.\right.\end{array}$$
Решите уравнение `|x^2+x-3|=-2x+1`.
Так как правая часть проще, чем подмодульное выражение, применим (УР М2):
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
| (УРМ3) |
Оно удобно тем, что никак не связано со знаками `f(x)` и `g(x)`. Важно, что мы пишем разность квадратов, но в квадрат не возводим!
Решите уравнение `|3x-2|=|2x-3|`.
Воспользуемся условием равносильности для модулей (УР М3):
Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .
`(5x-1)sqrt(x^2-16)=0 iff`
`32`.
Решите уравнение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. Иногда точку пересечения удаётся найти подбором (если авторы, конечно, на это рассчитывали!).
Прежде всего, надо пробовать подставлять такие числа, чтобы корни извлекались нацело. Например, в нашем случае можно подставить `x=2`:
Решите уравнение
Заметим, что слева стоят монотонно возрастающие функции, а справа – монотонно убывающая – поэтому равенство возможно лишь в одной точке. Подставим точку, когда извлекаются все корни: `x=-3`.
`-3`.
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться “лишние” корни. Почему? Потому, что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: и , но на разных промежутках числовой оси: – там, где `g(x)>=0`, и – там, где `g(x)<=0`. «Лишние» корни – это корни второго уравнения, геометрически это пересечение графика функции `y=g(x)` с графиком функции `y=-sqrt{f(x)}`.
Как быть?
Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение `f(x)=g^2(x)`, при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически – поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства `f(x)>=0`!
Заметим, что уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение для `g(x)>=0`, но не имеет решений, если `g(x)<0`.
Вспомним, что, если `f(x)>=0`, `g(x)>=0`. то `f(x)=g(x)hArrf^2(x)=g^2(x)`.
Так как уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение лишь при условии `g(x)>=0` (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
| (УРК1) |
Это очень важное условие равносильности.
Во-первых, оно освобождает от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие `f(x)>=0` – неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия `g(x)>=0` неотрицательности правой части – это условие “отсекает” посторонние корни – корни уравнения `-sqrt{f(x)}=g(x)`. При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни “плохие”) заранее решать не надо.
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия `g(x)>=0` не всегда просто сделать.
При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
Решите уравнение `sqrt{2x^2-8x+9}=x-1`.
`2`; `4`. В этом примере не оказалось лишних корней.
`sqrt{2x^3+2x^2-3x+3}=x+1`.
Видно, что важным при решении является условие `x+1>=0`,
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.
Любопытно, что `x=-2` принадлежит ОДЗ корня `(-16+8+6+3>0)`, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие `x+1>=0`.
`0,5; 1`.
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
| (УРК2) |
Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .
Решение
`25`.
При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую функцию.
При решении уравнений ОДЗ пишем, но не находим, т. к. решение неравенств, определяющих ОДЗ, часто требует даже больше усилий, чем решение самого уравнения. Поэтому не надо тратить на это время.
1. Если при решении уравнения использовались только равносильные преобразования, то найденные корни достаточно подставить в ОДЗ. Если они принадлежат ОДЗ, то являются решениями уравнения.
2. Если при решении уравнения не следить за равносильностью преобразований, то после нахождения корней надо сделать проверку. Можно сначала подставить их в ОДЗ – если они не принадлежат ОДЗ, то не являются решениями уравнения, но, если принадлежат ОДЗ, то это ещё не значит, что они являются решениями уравнения – их надо теперь подставить в само уравнение.
Это была рекомендация, полезная при решении большинства уравнений, но, конечно, бывают исключения, когда изучение ОДЗ сразу приводит к решению.
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.
Какое утверждение
1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или отрицательны);
2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен;
3) уравнение имеет два корня разных знаков;
4) уравнение имеет только один корень, и он положителен;
верно по отношению к корням уравнения `sqrt{x+4}=3(x+1)`?
Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей (рис. 8).
 |
| Рис. 8 |
На оси надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение графиков происходит на отрицательной полуоси – это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось `Ox` правее, а ось `Oy` выше полупараболы.
`2`.
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`
`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.
При этом,
`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`
`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.
Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.
Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:
`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`
` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`
`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`
.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если
`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен:
`2`. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):
Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.
Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9. |
| Рис. 9 |
С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.
 |
| Рис. 10 |
Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.
`g(a)>0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет два отрицательных решения.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.
`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство
`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)` равно значению левой части в вершине, т. е.
`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.
 |
| Рис. 11 |
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.
Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.
Одним из разделов школьной математики является изучение функциональных зависимостей или функций.
Напомним, что функцией математики называют зависимость величины от одной или нескольких других величин. При этом независимые переменные величины принято называть аргументами, а зависимые – функциями. При этом важно не забывать, что каждому значению аргумента (или аргументов) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Наглядно функции изображают с помощью графика – специального набора точек на плоскости. Пусть имеется функция $$ y=f\left(x\right)$$ одной переменной $$ x$$. На плоскости введём декартову систему координат $$ xOy$$ и рассмотрим множество точек $$ G$$ с координатами $$ (x,f(x\left)\right)$$, где $$ x$$ принадлежит некоторому множеству $$ M$$, которое называется областью определения функции. А множество $$ G$$ называется графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ (рис. 1).
В школьном курсе математики вы изучали такие типы функций:
График линейной функции можно построить по двум точкам, поскольку это прямая линия. Однако стоит заметить, что не всякая прямая будет графиком линейной функции. Если взять вертикальную прямую $$ x=a$$, то такая линия не может быть графиком никакой функции (рис. 2).
Действительно, здесь одному значению переменной $$ x$$ ставится в соответствие несколько значений переменной $$ y$$. Итак,
прямая на плоскости $$ xOy$$ – график некоторой линейной функции тогда и только тогда, когда она не вертикальна.
Напомним геометрический смысл коэффициентов $$ k$$ и $$ b$$ в уравнении прямой $$ y=kx+b:$$ $$ k=\mathrm{tg} \alpha $$ – тангенс угла наклона прямой к оси $$ Ox$$, $$ b$$ – ордината точки пересечения прямой с осью $$ Oy$$. Поэтому две невертикальные прямые $$ y={k}_{1}x+{b}_{1}$$ и $$ y={k}_{2}x+{b}_{2}$$:
Условие перпендикулярности прямых несложно пояснить. Рассмотрим пару прямых, параллельных данным и проходящих через начало координат (см. рис. 3).
Из перпендикулярности этих прямых следует, что $$ \alpha =\phi $$. Поэтому если точка $$ A({a}_{0};{b}_{0})$$ лежит на первой прямой, то точка $$ B(-{b}_{0};{a}_{0})$$ лежит на второй. Ясно, что можно подобрать $$ {a}_{0}\ne 0$$ и $$ {b}_{0}\ne 0$$, откуда $$ {k}_{1}{k}_{2}={\displaystyle \frac{{b}_{0}}{{a}_{0}}}·{\displaystyle \frac{{a}_{0}}{-{b}_{0}}}=-1$$.
Теперь напомним основные сведения о функциях вида $$ f\left(x\right)=a{x}^{2}+bx+c$$.
Сразу отметим, что такая функция квадратична только при $$ a\ne 0$$. В случае же $$ a=0$$ эта функция квадратичной уже не будет. Если в задаче возможна такая ситуация, то случай $$ a=0$$ обязательно нуждается в отдельном рассмотрении. Нужно всегда обращать на это внимание!
Будем считать, что $$ a\ne 0$$. Тогда графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ будет парабола. Такие графики принято строить схематично, учитывая следующее:
Теперь поговорим о графиках степенной функции. Легко убедиться, что график функции
$$ f\left(x\right)={x}^{n}$$ ($$ n\in N$$) при $$ x\ge 0$$
выглядит так, как показано на рис. 4. Для чётных $$ n$$, очевидно, верно $$ f(-x)=f\left(x\right)$$, а для нечетных $$ n$$ верно $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$ для всякого $$ x$$. Поэтому в зависимости от чётности $$ n$$ графики функции $$ f\left(x\right)={x}^{n}$$ имеют такой вид (рис. 5 и 6).
Напомним, что функция, область допустимых значений которой симметрична относительно начала координат, называется чётной, если справедливо равенство $$ f(-x)=f\left(x\right)$$ и нечётной, если $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$. Наример, нетрудно проверить, что функция
$$ f\left(x\right)=|x-2|+|x+2|$$ – чётная,
а функция
$$ g\left(x\right)=|x-2|-|x+2|$$ – нечётная.
В случае нечётного $$ n$$ график симметричен относительно начала координат. Такие функции называют нечётными (рис. 5). Если же $$ n$$ четно, то график симметричен относительно оси ординат. Такие функции называют чётными (рис. 6).
Для построения графика $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$ нужно записать уравнение $$ y=\sqrt[n]{x}$$ или $$ x={y}^{n}$$. Это означает, что график имеет вид линии $$ y={x}^{n}$$, но при этом $$ x$$ и $$ y$$ меняются местами. Для чётных $$ n$$ при этом еще нужно учесть ОДЗ $$ x\ge 0$$. Поэтому график функции $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$ имеет следующий вид в зависимости от чётности натурального числа $$ n$$ (рис. 7, 8):
Рассмотрим теперь функции вида $$ f\left(x\right)=\frac{k}{x}$$.
Поскольку функция $$ f$$ нечётна, то график должен быть симметричным относительно начала координат. Схематический вид графика этой функции показан на рисунке 9.
Если $$ k<0$$, то график функции $$ y={\displaystyle \frac{k}{x}}$$ имеет примерно такой же вид, и его можно получить симметрией относительно оси $$ Oy$$ из графика функции $$ y={\displaystyle \frac{\left|k\right|}{x}}$$ (рис. 10).
Покажем, как меняется график функции $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{k}{x}}$$ при изменении параметра $$ k$$. Если $$ \left|{k}_{2}\right|>\left|{k}_{1}\right|$$, то линия $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{k}_{2}}{x}}$$ более удалена от осей координат, чем $$ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{k}_{1}}{x}}$$. Схематично это изображено на рис. 11, 12.
