16 статей
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
а) `|x-2|>=0>-1` - верно для всех `x`.
б) Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.
в) Воспользуемся снова свойством $$ {10}^{○}$$ (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).
Запишем решение так:
`|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.
г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками и (`–3`). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (`–3`) на расстояние, большее `5` (см. рис. 8).
Запишем решение:
$$\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.
При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.
$$ {12}^{○}$$. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.
$$ {13}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
$$ {14}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
Докажем некоторые из них.
$$ {12}^{○}$$. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:
`f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`
`iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`.
Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.
$$ {14}^{○}$$. Рассмотрим 2 случая.
(1) `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;
не имеет решений и система, так как $$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right.$$ откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.
(2) `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем:
`|t|<a iff -a<t<a`.
Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.
Решите неравенство:
а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;
б) `|3x-7|>=|1-4x|`;
в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.
а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`
`iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**`
`iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`
`iff 1/2 <=x<=1`.
`[1/2;1]`.
б) $$ \left|3x-7\right|\ge \left|1-4x\right|\stackrel{{12}^{○}}{\iff }{\left(3x-7\right)}^{2}\ge {\left(1-4x\right)}^{2}\iff $$
`iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`
`iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`
`iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.
`[-6;8/7]`.
в) $$ \left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\stackrel{{13}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\right.\iff $$
$$ \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\right.\stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }$$
$$ \stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff $$
$$\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ {x}^{2}-3x+2\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l}6x\ge 4,\\ {x}^{2}-5x\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 2/3,\\ \left[\begin{array}{l}x\ge 5,\\ x\le 0.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff$$
$$ \iff\left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2,\\ x\ge 5.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.
В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).
Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.
Решение проводится по той же схеме, что и в примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю (рис. 9).
а) `x<=-5`. Здесь `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем
`6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`
`iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.
С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.
б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`
`iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем
`x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0` и неравенство принимает вид
`-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`
`iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.
Объединяя результаты, получаем
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.
Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.
Выделим полный квадрат:
`y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`
`=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=`
`=-2(x-2)^2+3`.
График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).
При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.
Решите неравенство:
а) `x^2-x-2>0`;
б) `4x^2+4x+1<=0`;
в) `3x^2-2x+1>0`.
а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2` (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:
`(-oo;-1)uu(2;+oo)`.
`x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.
б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.
`x=-0,5`.
в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`.
`x in RR`.
Заметим, что эти неравенства могли быть решены также с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).
Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).
Так как `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.
График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).
`f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;
`f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;
`f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.
Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.
1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.
2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.
3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.
`a<0`, `b>0`, `c>0`.
Найти все значения `l`, при которых неравенство
`lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`
верно для всех значений `x`.
Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.
Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).
Получаем систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.$$
Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.
Постройте график функции:
а) `y=|x+3|`;
б) `y=4-|x|`;
в) `y=|4-2x|-1`;
г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;
д) `y=|||x|-3|-1|`.
а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|` и `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число. Это означает, что если графику функции `y=f(x)` принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`, расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.
Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).
б) Рассмотрим функции `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх (рис. 14).
в) `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.
Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).
График функции `y=2|x|` получается из него «растяжением» в два раза (рис. 15б); график `y=2|x-2|` получается из предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо (рис. 15в);
график `y=2|x-2|-1` получается из последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).
График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.
1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается относительно оси абсцисс.
2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).
3) График сдвигается на `|c|` вверх при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.
г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём на каждой из частей знаки выражений, стоящих под модулями, не меняются.
Возможны 4 случая.
1) `ul(x<=-4)`. Тогда `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому
`y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).
2) `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми `x=-4` и `x=-1`).
3) `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).
4) `ul(x>3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой `x=3`). График см. на рис. 16б.
Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения функции в точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:
`A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.
Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.
д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).
График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают. Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак. График функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).
График функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех точек, лежащих ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).
График функции `y=|f(x)|` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают в верхнюю полуплоскость.
Постройте график функции:
а) `y=x^2-4x+3`,
б) `y=|x^2-4x+3|`,
в) `y=x^2-4|x|+3`,
г) `y=|x^2-4|x|+3|`.
а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.
График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).
б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси (рис. 18б).
в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`), поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.
Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно этой оси, а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).
График функции `y=f(|x|)` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Отбрасываем все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.
г) Есть 2 способа построения.
(1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.
(2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).
Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что
1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и
2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е. `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем
`(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`).
Покажем на примере, как этот график может быть построен.
Постройте график функции:
а) `y=6/(2x+3)`;
б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.
а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).
б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.
Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:
`y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.
Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:
`y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`
`iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.
Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).
