16 статей
Во многих случаях характер зависимости одной переменной от другой может существенно меняться в зависимости от области, которой принадлежит значение аргумента. Функции, которые по-разному задаются на различных интервалах числовой прямой, будем называть кусочно-заданными. Рассмотрим примеры, показывающие, как строить графики таких функций.
Построим график . Ясно, что
Получаем при луч , а при луч (рис. 13).
Рассмотрим ещё несколько примеров построения графиков кусочно-заданных функций.
Построим график функции , где
(см. рис. 14).
Рассмотрим пример графика, содержащего часть гиперболы.
Построим график функции
График первой функции – гипербола `y =−2/x`. По условию берём только ту часть гиперболы, где .
График второй функции – прямая и мы учитываем только ту её часть, где . Получаем искомый график (см. рис. 15).
Рассмотрим интересный вид кусочно-заданных функций.
 |
Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее .
Например, , , а . Функцию легко можно задать на промежутках между парами соседних целых чисел:
`[x] = n` при `n<=x<n+1` для всякого фиксированного целого числа `n`.
Поэтому график этой функции имеет следующий вид (рис. 16).
Рассмотрим более трудный пример.
Построить график функции .
Ясно, что . Далее,
из определения целой части числа следует такое представление:
для всякого целого (рис. 17).
Рассмотрим ещё такой пример.
Изобразим на координатной плоскости множество точек , для которых .
Ясно, что означает, что для некоторого целого `n` верны неравенства и . Набор всех таких точек будет объединением квадратиков так, как показано на рисунке. Жирные участки границ входят в график, а пунктирные и выколотые точки – нет (рис. 18).
С целой частью числа тесно связана такая кусочно-линейная функция.
Дробной частью числа называется число .
К примеру, , , а .
Построим график функции . Ясно, что
при (рис. 19).
Часто возникают задачи, в которых требуется по графику функции $$ y=f\left(x\right)$$ построить график некоторой похожей функции. Такого типа задачи называют задачами на преобразование графиков функций. Наиболее известны два типа преобразований графиков – линейные преобразования графиков, а также преобразования графиков, связанные с модулями. Начнём со второго типа преобразований. Будем полагать, что нам задан график функции $$ y=f\left(x\right)$$.
Как построить график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$? По определению модуля:
$$ y = f\left(\right|x\left|\right) $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} x \ge 0,\\ f(-x), \mathrm{при} x<0.\end{array}\right.$$
Поэтому график функции $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ состоит из двух частей:
$$ y=f\left(x\right)$$ – в правой полуплоскости, $$ y=f(-x)$$ – в левой полуплоскости. Это означает, что можно сформулировать такое правило:
для построения графика $$ y=f\left(\right|x\left|\right)$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$ при $$ x\ge 0$$ (т. е. на оси ординат и справа от неё), а также симметрично отразить эту часть относительно оси `Оy`; часть графика $$ y=f\left(x\right)$$ при $$ x<0$$ (т. е. слева от оси ординат) при этом нужно стереть.
Как построить график функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$? По определению модуля:
$$ y = \left|f\right(x\left)\right| $$$$ =\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right) \ge 0,\\ -f\left(x\right), \mathrm{при} f\left(x\right)<0.\end{array}\right.$$
Поэтому можно сформулировать такое правило:
для построения графика функции $$ y=\left|f\right(x\left)\right|$$ нужно сохранить часть графика $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси `Ox`, а часть графика, лежащую ниже оси `Ox`, симметрично отразить относительно этой оси.
Отметим, что для построения графика функции $$ y=\left|f\right(\left|x\right|\left)\right|$$ нужно последовательно провести преобразования ПР1 и ПР2 (в любом порядке).
Рассмотрим ещё один тип преобразований графиков с модулями.
Как построить множество точек `(x, y)` таких, что $$ \left|y\right|=f\left(x\right)$$?
Сразу видно, что на новом графике не должно быть точек, для которых $$ f\left(x\right)<0$$. Поэтому нужно стереть часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую ниже оси абсцисс. Если же $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то $$ y=\pm f\left(x\right)$$ и на новом графике каждому такому значению $$ x$$ должно соответствовать две точки, симметричные относительно оси $$ Ox$$ (если $$ f\left(x\right)\ge 0$$, то точка одна).
Это означает, что часть графика функции $$ y=f\left(x\right)$$, лежащую выше оси абсцисс, нужно сохранить и симметрично отразить относительно оси $$ Ox$$.
Теперь перейдём к описанию так называемых линейных преобразований графиков. Выделяют, как правило, следующие три типа таких преобразований.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=af\left(x\right)$$, где $$ a\ne 1$$.
Если $$ a$$ – положительное число, то имеем два возможных случая:
а) $$ a>1$$. В данном случае рассматриваемый переход является растяжением графика от оси абсцисс в `a` раз. Покажем на примере линейной функции $$ y=x$$ (рис. 20). Положим $$ a=2$$ и получим график функции $$ y=2x$$ посредством растяжения имеющегося графика в два раза от оси абсцисс (рис. 21).
б) `0<a<1`. В данном случае рассматриваемый переход является сжатием графика к оси абсцисс в `1//a` раз. Пусть имеется линейная функция $$ y=x$$. Если $$ a=\mathrm{0,5}$$, то получим график функции $$ y=\mathrm{0,5}x$$ посредством сжатия имеющегося графика в $$ 1/a=2$$ раза к оси абсцисс (рис. 22).</a<1$$.>
Заметим, что при $$ a<0$$ нужно сначала построить график функции $$ y=\left|a\right|f\left(x\right)$$, а потом симметрично его отобразить относительно оси абсцисс.
В частности, при $$ a=–1$$ исходный график отражается относительно `Ox`.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f\left(x\right)+b$$, где $$ b\ne 0$$ – некоторое число. Рассматриваемый переход является параллельным переносом графика вдоль оси ординат на $$ b$$ единиц. Направление сдвига определяется знаком $$ b$$: если $$ b>0$$, то график сдвигается вверх, а если $$ b<0$$, то вниз.
Переход от графика $$ y=f\left(x\right)$$ к графику $$ y=f(x+c)$$, где $$ с\ne 0$$ – некоторое число. В этом случае исходный график сдвигается вдоль оси абсцисс на величину $$ \left|c\right|$$. Но направление сдвига противоположно знаку числа `c:` если $$ с>0$$, то график сдвигается влево, а если $$ с<0$$, то вправо.
Рассмотрим несколько примеров построения графиков с использованием упомянутого выше набора преобразований.
Для этого нужно выполнить цепочку таких действий (рис 23).
а) Строим график функции $$ y=x-1$$.
б) Выполняем ПР2: часть полученного графика, лежащая над осью $$ Ox$$ сохраняется; а его часть, лежащая под осью $$ Ox$$ отображается симметрично относительно оси $$ Ox$$.
с) Затем сдвигаем график вдоль оси $$ Oy$$ на `2` единицы вниз (ПР5).
д) Выполняем ПР2 снова: часть полученного в предыдущем пункте графика, лежащая выше оси $$ Ox$$, сохраняется, а часть этого графика, которая лежит ниже оси $$ Ox$$, отображается симметрично относительно неё.
Построим график функции $$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}$$.
ОДЗ: $$ \left|x\right|-3\ne 0$$, $$ \left|x\right|\ne 3$$, $$ x\ne 3$$, $$ x\ne -3$$.
Воспользуемся известным тождеством
$$ |x{|}^{2}={x}^{2}$$. Имеем:
$$ y={\displaystyle \frac{{x}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{|x{|}^{2}-9}{\left|x\right|-3}}={\displaystyle \frac{\left(\right|x|-3)\left(\right|x|+3)}{\left|x\right|-3}}=\left|x\right|+3$$.
Выполняем построения (рис. 24):
а) Строим график функции $$ y=\left|x\right|$$.
б) График $$ y=\left|x\right|$$ сдвигаем вдоль оси $$ Oy$$ на `3` единицы вверх (ПР5).
в) Исключаем из графика точки $$ x=3$$, $$ x=-3$$.
При решении задачи мы учли ОДЗ функции, исключив некоторые точки из графика. Такие точки изображаются, например, в виде выколотых точек (пустых не закрашенных кружков).
Рассмотрим специальный класс функций, графиками которых будут гиперболы.
Дробно-линейной называют всякую функцию вида
,
где и одновременно не равны `0`. Поскольку случай тривиален, то будем считать .
Выполним преобразования:
`f(x)=a/c*(cx+(bc)/a)/(cx+d)=a/c*(cx+d+(bc)/a-d)/(cx+d)=`
`=a/c*((cx+d)/(cx+d)+1/a*(bc-ad)/(cx+d))=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)`,
то есть
`f(x)=a/c+((bc-ad)/c)/(cx+d)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.
Будем считать, что (иначе коэффициенты в числителе и знаменателе пропорциональны, дробь можно сократить и функция есть постоянная величина на области определения). Это означает, что график дробно-линейной функции можно получить из графика функции `f_0(x) =1/x`, выполнив цепочку преобразований:
1. ПР6: `f_1(x)=1/(x+d/c)`;
2. ПР4: `f_2(x)=((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`;
3. ПР5: `f_3(x)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.
На первом шаге нужно сдвинуть график на `−d/c` вдоль оси ,
на втором – сжать его или растянуть и, возможно, отразить в зависимости от коэффициента `(bc-ad)/c^2`, а
на третьем – сдвинуть вдоль оси .
Покажем на примере, как это нужно делать.
Построим график функции . Приведём данную функцию к такому виду:
.
Построим график функции `y=-2/x` (ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях) (рис. 25).
Далее, необходимо, воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинуть график `y=-2/x` на две единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 26). Получим график `y=-2/(x+2)`. Теперь используем преобразование ПР5 и поднимаем график на рис. 26 на единицу вверх. Получим необходимый график функции
(рис. 27).
Постройте график функции
.
Будем выполнять построения в таком порядке:
1) Преобразуем данную функцию:
`y=(3x+4)/(5x+6)=(3x+4)/(5x+6)-3/5+3/5=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.
2) Построим график функции
`y=1/(x+6//5)` (ПР6, см. рис. 28).
Далее, построим график `y=(2//25)/(x+6//5)`, сжав график относительно оси абсцисс в `2//25` раз (ПР4, см. рис. 29).
3) Осталось сдвинуть график на `3//5` единиц вверх и получим окончательный график (ПР6, см. рис. 30)
`y=3/5+(2//25)/(x+6//5)`.
Построим график функции
.
Будем решать данный пример в таком порядке:
1. Построим гиперболу `y=2/x` (рис. 31).
2. Воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинем эту гиперболу на единицу вправо (вдоль оси абсцисс) и получим график функции `y=2/(x-1)` (рис. 32).
3. Теперь воспользуемся преобразованием ПР1 для построенного в п. 2. графика. Получим график функции `y=2/(|x|-1)` (рис. 33).
4. Воспользуемся преобразованием ПР2 и получим график искомой функции `y=|2/(|x|-1)|` (рис. 34).
Если нужно построить график функции вида , где – некоторые фиксированные числа, то в общем случае нет иного подхода, помимо раскрытия всех модулей. Ясно, что для всякого
Однако, например, в случае невозможно выполнение одновременно двух условий: и . Поэтому простое раскрытие модулей приведет к лишним действиям. Чтобы этого избежать, применяют так называемый метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Числа , упорядочивают по неубыванию и наносят на числовую ось (рис. 35). Если для определённости положить , то это будет выглядеть так:
Получаем, что числовая ось разбивается на интервалов. Если лежит в любом из них, то мы однозначно можем определить знаки всех выражений под модулями и раскрыть модули. В каждом из получившихся интервалов график функции выстраивается отдельно. Граничную точку можно включать в любой из промежутков, концом которого она является. Проиллюстрируем этот алгоритм на примере.
Графически найдите наименьшее значение функции
.
Как видим, функция зависит от четырёх модулей. Нанесём на числовую ось точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль.
Получено `5` интервалов (рис. 36). Для построения графика достаточно раскрыть модули в каждом из этих интервалов и построить соответствующую линию. В виде таблицы изобразим знаки подмодульных выражений и вид функции в рассматриваемых интервалах (граничные точки можно включать в любой из промежутков).
Имеем:
=
Итак, график функции построен (рис. 37)
Перед тем как перейти к нахождению наименьшего значения, сделаем небольшое теоретическое отступление.
С помощью графиков удобно исследовать функции на возрастание и убывание. Функцию называют строго возрастающей, если при . Строго убывающие функции определяются неравенством при . Если при верно , то функцию называют возрастающей, а если , то – убывающей. Для линейных функций признаком возрастания и убывания является знак коэффициента при . Если этот коэффициент отрицателен, то такая функция строго убывает на данном интервале. В случае положительности коэффициента функция строго возрастает. Таким образом, можно сделать такой вывод.
Характер возрастания (возрастание или убывание) функции вида
,
может меняться только в точках (здесь , а , – некоторые числа). Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции такого вида стoит обратить внимание на то, возрастает или убывает такая функция при и , а также сравнить значения функции в точках .
Возвращаемся к нашей задаче.
Как видим, наименьшее значение функции равно `–1` и достигается при . Чтобы это понять, нужно обратить внимание на знаки коэффициентов при x в разных интервалах в формуле для . Из выражения для видно, что эта функция убывает при и возрастает при . А при как раз и достигается искомый минимум .
Похожую схему рассуждений можно применить и в задачах следующего типа.
При каких a неравенство
верно при всех ?
Здесь стоит рассмотреть функцию
.
Это кусочно-линейная функция, так как при раскрытии модуля на каждом из интервалов (их число и расположение зависит от ) получается линейная функция. После раскрытия первого модуля при будет коэффициент , после раскрытия второго - . Поскольку , то в итоге на каждом интервале знак коэффициента при будет отрицательным, то есть строго убывает всюду на числовой прямой. А это означает, что неравенство при всех равносильно простому условию , то есть
.
Для решения последнего неравенства относительно достаточно рассмотреть всего два случая: и . При имеем: , то есть . При получаем: , то есть .
.
Аналог метода интервалов на числовой прямой естественно примени́м и в случае наличия в задаче двух переменных – и . Только тогда вместо интервалов на прямой появляются области на координатной плоскости, в которых определены знаки всех подмодульных выражений и можно раскрыть модули.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: `(|y|)/y=x|x|`.
Переменных две, поэтому рассматривать нужно четыре области на плоскости , задаваемые системами неравенств:
1) ; 2) ; 3) ; 4)
В первом и четвёртом случае после раскрытия модулей получается , то есть . В то же время во втором и третьем случаях получаем , что невозможно на действительной плоскости . После учёта условий на получаем множество точек, изображённое на рис. 38.
Пример 15. Построим множество точек , удовлетворяющих уравнению .
Преобразуем уравнение: . Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений или . Поэтому искомым множеством точек будет объединение этих двух прямых.
Построим множество точек таких, что
.
Преобразуем уравнение с помощью выделения полного квадрата: . Поскольку точные квадраты неотрицательны, то такому уравнению может удовлетворять лишь одна точка .
Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.
Построим множество точек таких, что . Преобразуем уравнение: . Так как модуль равен неотрицательному числу, то
т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка (см. рис. 39).
Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.
Построим множество точек таких, что
.
Равенство будет верно для всяких и , удовлетворяющих ОДЗ. Поэтому искомым множество точек будет ОДЗ, т. е. часть плоскости, ограниченная двумя прямыми и (рис. 40).
Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.
Построим множество точек, удовлетворяющих .
По определению модуля получаем: . Поэтому множество точек – объединение двух прямых линий (рис. 41).
Одним из самых известных уравнений, допускающих красивую геометрическую интерпретацию, является уравнение вида
. (ОКР)
Если заданы числа , и , то легко понять, что точка с координатами и удовлетворяет такому уравнению тогда и только тогда, когда она удалена от точки на расстояние . Поэтому данное уравнение – не что иное, как уравнение окружности с центром в точке и радиусом (при – точки ). К уравнению окружности (ОКР) часто приводятся уравнения, содержащие обе переменные как в первой, так и во второй степени. Например, приведем уравнение к виду (ОКР):
`x^2=7/2x+(7/(2*2))^2+y^2-5/2y+(5/(2*2))^2=(7/(2*2))^2+(5/(2*2))^2`
`(x+7/4)^2+(y-5/4)^2=74/16`.
Покажем примеры построения графиков, связанных с уравнением (ОКР).
Построим график функции .
Имеем систему:
или
График данной функции – полуокружность с центром в точке и радиусом (рис. 42). Отметим, что здесь также существенно преобразование выделения полного квадрата.
Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.
Найдём количество решений уравнения
$$ \sqrt{5+4\left|x\right|-{x}^{2}}=a$$
в зависимости от $$ a$$.
Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций
$$ {f}_{1}\left(x\right)=\sqrt{5+4\left|x\right|-{x}^{2}}$$ и $$ {f}_{2}\left(x\right)=a$$.
 |
График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ f\left(0\right)=\sqrt{5}$$.
Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a < 0$$ и $$a > 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$, при $$ a=3$$ и $$ a\in [0;\sqrt{5})$$ есть две точки пересечения, а при $$ a\in [\sqrt{5};3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=\sqrt{5}$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt{5})\bigcup \left\{3\right\}$$ – два решения, при $$ a\in \left\{\sqrt{5}\right\}$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt{5};3)$$ – четыре решения.
Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:
 |
$$ |x+5|+|x-3|=a$$.
Методом интервалов нетрудно построить график функции
$$ f\left(x\right)=|x+5|+|x-3|$$.
Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).
Проанализировав график, несложно выписать ответ.
При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.
Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Найдём количество решений системы уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4;\\ {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\end{array}\right.$$
в зависимости от $$ a$$.
Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:
График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.
Как видим, при $$|a| < 2\sqrt{2}$$ и $$|a| > 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt{2}$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt{2};2\sqrt{2})\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;
при $$ a\in \{-4;-2\sqrt{2};2\sqrt{2};4\}$$ система имеет 4 решения;
при $$ a\in (-4;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};4)$$ система имеет 8 решений.
В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$ {x}_{0}$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ (т. е. числа $$ x$$ и $$ {x}_{0}$$ достаточно близки) верно неравенство $$ f\left(x\right)\le f\left({x}_{0}\right)$$. Если же для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ верно $$ f\left(x\right)\ge f\left({x}_{0}\right)$$, то говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный минимум в точке $$ {x}_{0}$$. Точки локального максимума или минимума называют точками локального экстремума функции. В случае выполнения неравенств $$ f\left(x\right)\le f\left({x}_{0}\right)$$ или $$ f\left(x\right)\ge f\left({x}_{0}\right)$$ для произвольного $$ x$$ точку $$ {x}_{0}$$ называют точкой глобального экстремума функции. Ясно, что всякий глобальный экстремум будет локальным. Примером такой точки для квадратичной функции будет точка, соответствующая вершине параболы.
При каких $$ a$$ функция $$ f\left(x\right)={x}^{2}-3|x-{a}^{2}|-5x$$ имеет более двух точек локального экстремума?
$$\left|x-{a}^{2}\right|=\left\{\begin{array}{l}x-{a}^{2}, \mathrm{если} x\ge {a}^{2},\\ {a}^{2}-x, \mathrm{если} x<{a}^{2}.\end{array}\right.$$
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+3{a}^{2}, \mathrm{если} x\ge {a}^{2},\\ {x}^{2}-2x-3{a}^{2}, \mathrm{если} x<{a}^{2}.\end{array}\right.$$
При $$ x\ge {a}^{2}$$ график функции $$ f\left(x\right)$$ есть часть параболы $$ y={x}^{2}-8x+3{a}^{2}$$, лежащая справа от $$ x={a}^{2}$$, а при $$x < a^2$$ $$ f\left(x\right)={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ и графиком функции будет часть параболы $$ y={x}^{2}-2x-3{a}^{2}$$ в полуплоскости слева от прямой $$ x={a}^{2}$$. Наибольшее возможное количество точек экстремума этой функции равно `3` (две вершины парабол и точка их пересечения, см. рис. 45).
Это возможно при условии $$1 < a^2 < 4$$, то есть $$ a\in (-2;-1)\bigcup (1;2)$$.
$$ a\in (-2;-1)\bigcup (1;2)$$.
Найдём все значения $$ a$$, при которых уравнение
$$ \sqrt{x-9}=ax+7a-3$$
имеет единственное решение.
Полагая $$ x+7=t$$, получим уравнение $$ \sqrt{t-16}=at-3$$. (1)
Требуется найти все значения $$ a$$, при которых графики функций $$ y=\sqrt{t-16}$$ и $$ y=at-3$$ имеют единственную общую точку. Заметим, что все прямые, задаваемые уравнением $$ y=at-3$$ проходят через $$ (0;-3)$$ (рис. 46).
Ясно, что если $$ a\le 0$$, то прямая $$ y=at-3$$ не имеет общих точек с параболой $$ y=\sqrt{t-16}$$. Угловой коэффициент прямой $$ y=at-3$$ равен $$ a$$. Найдем угловые коэффициенты $$ {a}_{1}$$ и $$ {a}_{2}$$ прямых $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ (см. рис. 46) (обе задаются уравнением вида $$ y=at-3$$), первая из которых проходит через точку $$ (16;0)$$, а вторая имеет ровно одну общую точку (касается) с параболой $$ y=\sqrt{t-16}$$. Подставляя в уравнение прямой значения $$ t=16$$, $$ y=0$$, находим $$ {a}_{1}={\displaystyle \frac{3}{16}}$$. И при `0<a<3/16` уравнение (1) имеет единственное решение. Число `a_2` является ещё одним значением `a`, при котором уравнение (1) имеет единственный корень `t_1>16`. Возводя обе части (1) в квадрат, получаем уравнение $$ {a}^{2}{t}^{2}-(6a+1)t+25=0$$, дискриминант которого $$ D=(6a+1{)}^{2}-(10a{)}^{2}$$. При $$ D=0$$ и $$a > 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=\sqrt{t-16}$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$\dfrac3{16}\leq a<\dfrac14$$, то прямая $$ y=at-3$$ и парабола $$ y=\sqrt{t-16}$$ имеют две общих точки, а при `a > 1/4` они не имеют общих точек.
`0<a<3/16`, `a=1/4`.
В следующем примере нам необходимо будет изобразить точки на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству $$ f(x,y)\le {a}_{0}$$ для заданной функции двух переменных $$ f$$ и некоторого фиксированного числа $$ {a}_{0}$$. Для этого нужно сначала выяснить вид множества точек $$ f(x,y)=a$$ при различных значениях $$ a$$ и заштриховать все точки координатной плоскости, принадлежащие линиям $$ f(x,y)=a$$ при $$ a\le {a}_{0}$$. Часто это бывает область на плоскости внутри, либо вне некоторой фигуры, которая задаётся равенством $$ f(x,y)=a$$. Например, неравенство $$ f(x,y)=(x-1{)}^{2}+(y+1{)}^{2}\le 1$$ задаёт круг радиуса $$ 1$$ с центром в точке $$ А(1,–1)$$.
Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система
$$ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+31\le 8\left(\right|x|+|y\left|\right),\\ {x}^{2}+{y}^{2}-2y={a}^{2}-1\end{array}\right.$$
имеет хотя бы одно решение.
Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ {x}^{2}-8\left|x\right|+16+{y}^{2}-8\left|y\right|+16\le 1$$ или $$ \left(\right|x|-4{)}^{2}+(\left|y\right|-4{)}^{2}\le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ {K}_{1}$$, $$ {K}_{2}$$, $$ {K}_{3}$$, $$ {K}_{4}$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ {O}_{1}(4;4)$$, $$ {O}_{2}(4;-4)$$, $$ {O}_{3}(-4;-4)$$, $$ {O}_{4}(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде
$$ {x}^{2}+(y-1{)}^{2}={a}^{2}$$.
 |
Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ в направлении точек $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Пусть $$ {A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}$$ – точки пересечения $$ {l}_{1}$$ и окружности с центром $$ {O}_{1}$$, $$ {A}_{2}$$ и $$ {B}_{2}$$ – точки пересечения $$ {l}_{2}$$ и окружности с центром $$ {O}_{2}$$. Тогда из геометрических соображений имеем:
$$ M{O}_{1}=5$$, $$ M{O}_{2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$$,
$$ M{A}_{1}=4$$, $$ M{B}_{1}=6$$, $$ M{A}_{2}=\sqrt{41}-1$$, $$ M{B}_{2}=\sqrt{41}+1$$.
При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ {\omega }_{1}$$ , а при $$ \sqrt{41}-1\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$ – с кругом $$ {\omega }_{2}$$.
Так как $$4 < \sqrt{41} − 1 < 6$$, то объединение отрезков $$ [4;6]$$ и $$ [\sqrt{41}-1;\sqrt{41}+1]$$ есть отрезок $$ [4;\sqrt{41}+1]$$, а искомое множество значений $$ a$$ определяется неравенством $$ 4\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$.
$$ 4\le \left|a\right|\le \sqrt{41}+1$$.
Найдём все значения параметра $$ b$$, при которых система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}y=|b-{x}^{2}|,\\ y=a(x-b)\end{array}\right.$$
имеет решение при любом значении параметра $$ a$$.
Рассмотрим три возможных случая: $$b < 0$$, $$ b=0$$,а также $$b > 0$$.
а) Если $$b < 0$$, то запишем систему в виде $$ \left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}+d,\\ y=a(x+d),\end{array}\right.$$ где $$d = −b > 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b < 0$$ не подходит.
б) Если $$ b=0$$, то система примет вид $$ \left\{\begin{array}{l}y={x}^{2},\\ y=ax.\end{array}\right.$$
Легко видеть, что она имеет решение $$ (0;0)$$ при любом $$ a$$, т.е. значение $$ b=0$$ подходит.
в) Пусть $$b > 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 < b ≤ 1$$ и $$b > 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt{b} < b$$. Пусть $$ a=1$$, тогда система примет вид $$ \left\{\begin{array}{l}y=|{x}^{2}-b|,\\ y=x-b.\end{array}\right.$$
Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 < b ≤ 1$$, то $$ \sqrt{b}\ge b$$. В этом случае прямая $$ y=a(x-b)$$ пересекает график функции $$ y=|{x}^{2}-b|$$ при любом $$ a$$ (на рис. 49) представлен случай $$a > 0$$).
$$ 0\le b\le 1$$.
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.
Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение
`a|x-3|=5/(x+2)`
на промежутке `{0;+oo)` имеет ровно два корня.
Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.
Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.
При `a<=0` все значения функции `f(x)` на промежутке `[0;+oo)` неположительны, а все значения функции `g(x)` – положительны, поэтому при `a<=0` уравнение `f(x)=g(x)` не имеет решений на промежутке `[0;+oo)`. При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3)<g(3)` и `f(3+1/a)>g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a<=0` был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения `D=a^2-4a(5-6a)=25a^2-20a`, поэтому при `0<a<4/5` это уравнение не имеет корней; при `a=4/5` уравнение имеет единственный корень, равный `1/2`; при `a>4/5` уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a<=5/6`.
Таким образом, уравнение `a|x-3|=5/(x+2)` имеет следующее количество корней на промежутке `[0;+oo):
– нет корней при `a<=0`;
– один корень при `0<a<4/5`;
– два корня при `a=4/5` и `a>5/6`;
– три корня при `4/5<a<=5/6`.
`a=4/5`, `a>5/6`.
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода - рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left(\right|y+9|+|x+2|-2)({x}^{2}+{y}^{2}-3)=0,\\ (x+2{)}^{2}+(y+4{)}^{2}=a\end{array}\right.$$
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ {x}^{2}+{y}^{2}=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ \sqrt{3}$$ (см. рис. 52).
 |
Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt{a}$$.
Отметим, что при $$a < 0$$ второе уравнение задаёт пустое множество, при $$ a=0$$ одну точку $$ (-2;-4)$$. Поэтому при $$ a\le 0$$ трёх решений быть не может.
Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt{20}\pm \sqrt{3}$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt{20}-\sqrt{3};\sqrt{20}+\sqrt{3})$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.
1) $$ R=\sqrt{20}+\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3<\sqrt{20}+\sqrt3<7$$), т. е. у системы 3 решения.
2) $$ R=\sqrt{20}-\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$ и нет общих точек с квадратом $$ G$$ (т. к. $$\sqrt{20}-\sqrt3<3$$), т. е. у системы 1 решение.
3) $$ R=3$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и ровно `2` общие точки с окружностью $$ S$$ (т. к. $$\sqrt{20} − \sqrt{3} < 3 < \sqrt{20} + \sqrt{3}$$), т. е. у системы 3 решения.
4) $$ R=7$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и нет общих точек с окружностью $$ S$$ (т. к. $$7 > \sqrt{20} + \sqrt{3}$$), т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt{20}+\sqrt{3}$$. Тогда искомые значения параметра $$ a={3}^{2}=9$$ и $$ a=(\sqrt{20}+\sqrt{3}{)}^{2}=23+4\sqrt{15}$$.
$$ a=9$$, $$ a=23+4\sqrt{15}$$.
В зависимости от значений параметра а найдём количество решений уравнения
`a+[x]=sqrt(2x-x^2)`.
Количество решений соответствует количеству общих точек графиков `y=a+[x]` и `y=sqrt(2x-x^2)`.
$$ y=\sqrt{2x-{x}^{2}}\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge 0,\\ {\left(x-1\right)}^{2}+{y}^{2}=1.\end{array}\right.$$ (Рис. 53)
График функции `y=a+[x]` представлен на рисунке ниже (Рис. 54).
Общие точки возможны лишь при `x in [0;2]`. Рассмотрим несколько случаев расположения графиков.
1) Если `0<=x<1`, то `y=a+[x]=a`. В этом случае возможна одна общая точка с полуокружностью `y=sqrt(2x-x^2)` при `0<=a<1`.
2) Если `1<=x<2`, то `y=a+[x]=a+1`. Теперь одна общая точка возможна при `0<a+1<=1`, то есть `-1<a<=0`.
3) Если `x=2`, то `y=a+[x]=a+2`. Точка `(2;a+2)` лежит на графике `y=sqrt(2x-x^2) iff a=-2`.
При `a in (-oo;-2)uu(-2;-1]uu[1;+oo)` нет решений;
при `a in {-2}uu(-1;0)uu(0;1)` одно решение;
при `a=0` два решения.
Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня науки – дискретной математики. Дискретная математика – это тот раз-дел математики, где не используется понятие непрерывности.
1) Состоящий из отдельных частей.
2) Изменяющийся между несколькими стабильными состояниями.
3) Существующий лишь в отдельных точках.
Для того, чтобы лучше понять этот термин, рассмотрим следующий пример. Мы знаем, что график некоторой функции (например, `y=x^2`) является непрерывной линией (параболой), если аргумент функции принимает все значения из множества действительных чисел. А теперь представим, что `x` может принимать только значения из множества целых чисел. В этом случае график будет представлять собой бесконечное количество отдельных точек, располагающихся на координатной плоскости в определённом порядке. В расположении точек будет угадываться парабола, но непрерывной линии мы не увидим. Вместо неё мы увидим дискретную структуру.
В прошлом задании мы говорили о представлении чисел в компьютере, и знаем, что каждое число представляется в виде определённой последовательности значений битов. В каждом бите может храниться ноль или единица. То есть, по сути, представление чисел (в будущем мы увидим, что не только чисел, а вообще любых данных) в компьютере является дискретной структурой. Поэтому, изучение дискретных структур – важная часть информатики. В этом задании мы будем изучать наиболее простую дискретную структуру, которая называется высказыванием.
Высказывание – это повествовательное предложение, в отношении которого можно судить о его истинности либо ложности.
Например, предложение: «Я – твой друг» является высказыванием, а предложение: «Положи это сюда!» высказыванием не является, поскольку не является повествовательным предложением.
Истинность или ложность каждого высказывания зависит от трактовки его содержания. Например, высказывание: «Город Москва – столица России» является истинным, а высказывание: «Город Санкт-Петербург стоит на реке Лене» является ложным.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама по себе не является высказыванием.
Высказывание: «Эта шляпа – красная» является простым, в то время как высказывание: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую» является примером сложного высказывания, которое, по сути, состоит из трёх простых: «две прямые параллельны», «прямая пересекает одну из двух прямых», «прямая пересекает другую прямую». В сложном высказывании простые высказывания соединяются при помощи логических связок. В рассмотренном выше примере логической связкой является союз «если то».
Алгебра логики изучает структуру сложных логических высказываний и способы установления их истинности при помощи алгебраических методов. Причём, конкретное содержание высказываний предметом изучения алгебры логики не является, и, соответственно, интересовать нас в дальнейшем не будет.
В прошлом задании при изучении основ программирования мы столкнулись с понятиями констант и переменных. Константа – это некоторое конкретное значение, а переменная – это объект, который может менять свои значения и которому можно присваивать различные значения. Этими же понятиями пользуется и алгебра логики, чтобы абстрагироваться от конкретных содержаний высказываний. Будем считать, что любое простое высказывание – это есть константа. И введём понятие переменной в алгебре логики.
Переменной в алгебре логики называется объект, имеющий уникальное имя, и значением которого может являться любое простое высказывание.
В отличие от языков программирования в алгебре логики нет ограничений при именовании переменных. Переменные могут иметь абсолютно любые имена, но чаще всего их обозначают заглавными или строчными латинскими буквами (`A, B, C, x, y, z, s`), либо последовательностью, состоящей из заглавной или строчной латинской буквы и целого числа (`A1, A2, A4, A10000000`). Ещё одно отличие от языков программирования заключается в том, что после присвоения переменной высказывания можно говорить об её истинности либо ложности. То есть существует два понятия «значение логической переменной». С одной стороны – это конкретное высказывание, а с другой стороны – это истина, либо ложь.
Логическим выражением называется объект, состоящий из логических переменных и логических операций и имеющий значение истина, либо ложь. Процесс построения логического выражения по сложному высказыванию называется формализацией высказывания.
В процессе формализации нужно сделать следующие действия: выделить из сложного высказывания простые и превратить их в логические переменные. Затем каждая логическая связка превращается в логическую операцию. В описанных действиях остаётся два непонятных момента. Первый – что такое логическая операция, и второй – каким образом логические связки превращаются в логические операции. Будем последовательно отвечать на эти вопросы.
Для того чтобы определить операцию, необходимо указать количество операндов (объектов, над которыми выполняется операция) их тип и результат выполнения операции. Логические операции чаще всего имеют два операнда, как и математические. Однако мы также будем изучать операции, которые имеют всего один операнд. Независимо от количества операнды должны быть логического типа, то есть иметь значение истина, либо ложь. Результатом логической операции также является логическое значение – истина или ложь. Для того чтобы немного сократить запись, условимся в дальнейшем логическое значение «истина» обозначать единичкой `(1)`, а логическое значение – «ложь» – нулём `(0)`.
Очевидно, что если у операции два операнда, и значением каждого является `0` или `1`, то существует всего четыре набора значений операндов `(00, 01, 10, 11)`. Для каждого из наборов необходимо определить значение логической операции. Удобно это представлять в виде таблицы. Таблицы соответствия значений логических операций набору значений операндов называются таблицами истинности.
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Менелая, свойства касательных хорд и секущих, площадь треугольника и четырёхугольника.
Как и раньше, основное внимание уделяется приёмам решения задач. Подробные решения 19 задач демонстрируют различные методы и подходы, по ходу решения напоминаются теоремы и свойства фигур, при этом отобраны в определённом смысле характерные задачи по каждой теме; в некоторых задачах доказаны новые утверждения и получены полезные формулы.
Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения. Приступая к решению задания, сначала ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями по его оформлению и с примерами ответов на контрольные вопросы (этот материал размещён перед контрольными вопросами). Вопросы и задачи оценены по трудности в очках, указанных в скобках после номера. За правильный ответ и верное решение ставится полное число очков, за недочёты или ошибки определённое число очков снимается. Знаком (`**`) звёздочка отмечены более трудные задачи и вопросы.
Для тех, кто лишь в этом году поступил в ЗФТШ, сделаем дополнительные замечания. Работа над заданием потребует определённого времени. Надо прочитать и проработать каждый параграф: разобрать приведённые доказательства, выучить формулировки теорем, выписать и запомнить формулы. И, что очень важно, понять и воспроизвести решения приведённых в тексте примеров. После этого вы легко ответите на большинство контрольных вопросов и решите предложенные задачи.
Кроме того, рекомендуем найти на сайте ЗФТШ Задания №1 и №5 для 9-го класса, прочитать их, разобрать новые для Вас утверждения, формулы, (которые выучить), методы. Именно для тех, кто поступил в ЗФТШ в этом году, данное Задание и Задание №5 для 9 класса имеют пересечение - т. е. некоторые части текста у них одинаковые.
Задачи для самостоятельного решения различной сложности. Если какую-либо задачу не удалось решить, найдите аналогичную в тексте задания, разберите её и сделайте ещё одну попытку. Либо подумайте, на какую тему задача и какой параграф следует ещё раз повторить из этого Задания или Заданий для 9-го класса.
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно записать так:
`c^2=a^2+b^2-2abcosC`
`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)`
Напомним также, что
`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R` (1)
где `R` - радиус окружности, описанной около треугольника.
Покажем применение этих теорем.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть `ABC` - параллелограмм и `AB=CD=a`, `AD=BC=b`, `BD=d_1`, `AC=d_2`, (рис. 1). Если `varphi=/_BAD`, то `/_ADC=180^@-varphi`. Из треугольников `ABD` и `ACD` по теореме косинусов будем иметь:
`d_1^2=a^2+b^2-2abcosvarphi`,
`d_2^2=a^2+b^2-2abcos(180^@-varphi)`.
Складывая почленно эти равенства и учитывая, что `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`, получим требуемое равенство:
| `d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2`. |
Зная три стороны треугольника `a`, `b` и `c`, найти медиану `m_c` к стороне `c`.
Пусть в треугольнике `ABD` (рис. 1) `AB=a`, `AD=b`, `BD=c` и `AO` - медиана. Достроим треугольник `ABD` до параллелограмма (на прямой `AO` отложим `OC=AO` и соединим точки `B` с `C` и `D` с `C`; диагонали четырёхугольника `ABCD`, пересекаясь, делятся пополам, это параллелограмм). Так как `BD=c` и `AC=2m_c`, то по доказанному в теореме 1 имеем: `(2m_c)^2+c^2=2a^2+2b^2`; отсюда получаем формулу для медианы треугольника через его стороны:
| `m_c=sqrt((a^2+b^2)/2-c^2/4)`. |
В треугольнике `ABC` точки `M` и `N` лежат на сторонах `AB` и `AC` (рис. 2), при этом `BM=MN=NC`. Найти отношение `MN:BC`, если `AC:AB = 3:2`, и угол `A` равен `60^@`.
Обозначим `x=MN`, `2a=AB`, тогда `AC=3a`, `ul(AM=2a-x)` и `ul(AN=3a-x)`. Применим теорему косинусов к треугольнику `AMN`, в котором стороны выражены через `a` и `x` и известен угол `/_MAN=60^@`, получим `x^2=(2a-x)^2+(3a-x)^2-(2a-x)(3a-x)`, откуда находим `x=7/5 a`. По теореме косинусов выразим сторону `BC` через `a`:
`BC=sqrt(AB^2+AC^2-2AB*ACcos60^@)=sqrt7a`.
Теперь находим `(MN)/(BC)=x/(BC)=(sqrt7)/5`.
`(MN)/(BC)=(sqrt7)/5`.
Обратим внимание на применение теоремы косинусов. При доказательстве теоремы 1 использовался тот факт, что в фигуре (параллелограмме) есть дополнительные углы `/_A=varphi`, `/_D=180^@-varphi`, а `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`,
В примере 2 теорема косинусов применялась к треугольнику `AMN` с заданным углом `60^@`, стороны которого выражались через заданную величину `a` и неизвестную `x`.
В примере 5 (см. далее) Теорема косинусов позволяет найти косинус угла треугольника по трём известным его сторонам.
Следующие два примера на применение теоремы синусов.
В равнобедренном треугольнике `ABC` длины боковых сторон `AB` и `AC` равны `b`, а угол при вершине `A` равен `30^@` (рис. 3). Прямая, проходящая через вершину `B` и центр `O` описанной окружности, пересекает сторону `AC` в точке `D`. Найти длину отрезка `BD`.
Центр описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре `OK`, но т. к. высота равнобедренного треугольника является и медианой, то т. `O` лежит на высоте `AK`, которая является также и биссектрисой угла `A`. Таким образом,
`/_BAK=/_CAK=15^@`.
Треугольник `AOB` равнобедренный: `(AO=OB)` следовательно, `/_ABO=/_BAO=15^@`. Итак, в треугольнике `ABD` известны два угла, а т. к. сумма углов треугольника равна `180^@`, то `/_BDA=135^@`. По теореме
синусов из треугольника `ABD` имеем: `(BD)/(sin/_BAD)=(AB)/(sin/_BDA)`, откуда, учитывая, что `sin135^@=sin45^@`, находим:
`BD=b(sin30^@)/(sin45^@)=b/(sqrt2)`.
Точка `M` лежит на окружности с диаметром `BD`; точки `A` и `C` лежат на прямой `BD`, точка `C` лежит внутри окружности, а точка `B` - между точками `A` и `C`. Известно, что `AB=a`, `BC=b` и `/_AMB=/_BMC` (рис. 4). Найти радиус окружности.
1. Обозначим равные углы `AMC` и `BMC` через `alpha`, `BD=2R`, проведём хорду `MD` и обозначим `/_ADM=varphi`.
Угол `BMD` прямой (опирается на диаметр), тогда `/_AMD=90^@+alpha`, а `/_CMD=90^@-alpha`.
Применим теорему синусов к треугольникам `AMD` и `CMD`:
$$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{AD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°+\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R+a}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\\ {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{CD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°-\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R-b}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\end{array}>\iff {\displaystyle \frac{AM}{CM}}={\displaystyle \frac{2R+a}{2R-b}}.$$
2. По условию отрезок `MB` - биссектриса угла `AMC`, по свойству биссектрисы `(AM)/(CM)=(AB)/(BC)=a/b`.
Из равенства
`(2R+a)/(2R-b)=a/b iffR=(ab)/(a-b)`.
`R=(ab)/(a-b)`.
Заметим, что из формулы (1) следует тот факт, что радиус окружности, описанной около треугольника, определяется одной из сторон и величиной противолежащего угла, а именно
| `R=a/(2sinA)`. |
Это замечание поможет нам решить следующую задачу.
Из одной точки окружности проведены две хорды `AB` и `BC` длиной `9` и `17`. Отрезок `MN`, соединяющий середины этих хорд, равен `5` (рис. 5). Найти радиус окружности.
По теореме косинусов из треугольника `MBN` найдём
`cos/_B:(MB=9//2, BN=17//2):` `MN^2=MB^2+BN^2-2BM*BNcosB`,
откуда `cosB=(BM^2+BN^2-MN^2)/(2BM*BN)=15/17`.
Значит, `sin/_B=sqrt(1-cos^2B)=8/17`. Далее, т. к. `MN` - средняя линия треугольника `ABC`, то `AC=10` и `R=(AC)/(2sinB)=85/8`.
`10,625`.
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть `A`, `B` и `C` - углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` - противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` - высоты к этим сторонам; `r` - радиус вписанной окружности;`R` - радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` - периметр треугольника; `S` - площадь треугольника
| `S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`, | (1) |
| `S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`, | (2) |
| `S=pr`, | (3) |
| ``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` - формула Герона, | (4) |
| `S=(abc)/(4R)`. | (5) |
При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.
Для примера, рассмотрим два треугольника:
|
|
`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;
`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;
Надо найти площадь и радиус описанной окружности.
Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:
`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона
`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)
`R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.
Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь - найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов
`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,
тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):
`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,
тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).
Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:
$$ 2.{1}^{○}$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то
`(S_(DBC))/(S_(ABC))=(DC)/(AC)`.
$$ 2.{2}^{○}$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):
`(S_(KBL))/(S_(ABC))=(BK*BL)/(BA*BC)`.
$$ 2.{3}^{○}$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их
сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC~DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.
Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).
Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.
Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.
Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` - точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.
Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.
Точка `M` - середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.
`S_(BOM)=1/3(1/2S)=1/6S`.
Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.
1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).
2. Через точку `D` проведём прямую `DL``|\|``AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL``|\|``AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.
По той же теореме (`/_DCB`, `OK``|\|``DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.
3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.
(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`
`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).
Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.
`22/45`.
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).
Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).
В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.
Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.
Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.
В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.
Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.
Пусть `O` - точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.
По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.
Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:
`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.
Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.
Итак, `S=3`, `S_1=8`.
В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.
Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.
Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.
Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` - площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.
| `S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`. |
Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` - середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.
Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.
Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:
`S=pr=(14+1)*sqrt3=15sqrt3`.
Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.
Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.
В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.
Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:
| `x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`. |
называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.
Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.
Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` - точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.
Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:
`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда
`S_(ABC)=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)-S_(BCI_a)=1/2 cr_a+1/2br_a-1/2ar_a=`
`=r_a (c+b-a)/2=r_a(2p-2a)/2=r_a(p-a)`.
Итак,
| `S_(ABC)=r_a(p-a)`. |
В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма:
`S=a*h_a=b*h_b`, (6)
`S=a*bsinvarphi` (7)
Где `a` и `b` - стороны параллелограмма, `h_a` и `h_b` - высоты к ним, `varphi` - величина угла между сторонами параллелограмма.
Докажем теорему о площади четырёхугольника.
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, т. е
`S=1/2d_1d_2sinalpha` (8)
где `d_1` и `d_2` - диагонали четырёхугольника, `alpha` - величина угла между ними.
`ABCD` - выпуклый четырёхугольник, диагонали которого `AC` и `BD` пересекаются в точке `O` под углом `alpha` (рис. 15). Через вершины `A` и `C` проведём прямые, параллельные диагонали `BD`, а через вершины `B` и `D` проведём прямые, параллельные диагонали `AC`. Проведённые прямые в пересечении образуют параллелограмм со сторонами, равными диагоналям `BD` и `AC`, и углом `alpha`. Площадь параллелограмма равна `AC*BD*sinalpha`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна, как легко видеть, половине его площади, т. е.
`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это сразу следует из доказанной формулы, т. к. диагонали ромба перпендикулярны.
Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны `a` и `b` `(a!=b)`, а угол между диагоналями равен `alpha(alpha<90^@)`.
Пусть `O` - точка пересечения диагоналей параллелограмма `ABCD` (рис. 16), `AB=a`, `AD=b`. Обозначим `BD=2x`, `AC=2y`.
Применим теорему косинусов к треугольникам`AOB` и `AOD` (заметим, что `/_AOD=180^@-alpha)`, будем иметь: `a^2=x^2+y^2-2xycosalpha`, `b^2=x^2+y^2+2xycosalpha`. По теореме 3 площадь `S` параллелограмма `ABCD` будет равна `1/2AC*BDsinalpha=2xysinalpha`. Заметим, что это выражение легко можно найти, не определяя `x` и `y` из системы. Действительно, из двух уравнений для `x` и `y` получим `b^2-a^2=4xycosalpha`. По условию `b!=a`, следовательно, `cosa!=0` и `xy=(b^2-a^2)/(4cosalpha)`. Выражаем площадь параллелограмма по формуле (8):
`S=2xysinalpha=(b^2-a^2)/2 "tg"alpha`.
Середины сторон выпуклого четырёхугольника `ABCD` являются вершинами другого четырёхугольника (четырёхугольника Вариньона). Доказать, что четырёхугольник Вариньона - параллелограмм и его площадь равна половине площади `S` четырёхугольника `ABCD`.
1. Проведём диагонали `AC` и `BD`. Середины сторон обозначим `K`, `L`, `M` и `N` (рис. 17). По определению `KL` - средняя линия треугольника `ABC`, по теореме о средней линии `KL``|\|``AC`, `KL=1/2AC`.
Аналогично, `NM` - средняя линия треугольника `ADC`, `NM``|\|``AC`, `NM=1/2AC`.
В четырёхугольнике `KLMN` противоположные стороны `KL` и `NM` равны и параллельны, по признаку `KLMN` - параллелограмм.
Если рассмотреть стороны `LM` и `KN`, то точно также установим, что `LM``|\|``BD``|\|``KN` и `LM=KN=1/2BD`.
2. Из параллельности `KL``|\|``AC` и `KN``|\|``BD` следует, что угол `LKN` параллелограмма `KLMN` равен углу между диагоналями четырёхугольника `ABCD` (обозначим угол `alpha`).
Имеем `S_(KLMN)=KL*KNsinalpha=1/2AC*1/2BDsinalpha`, а по теореме 3
`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.
Из этого следует `S_(KLMN)=1/2S_(ABCD)`, ч. т. д.
Рассмотрим несколько задач, где определяется или используется площадь трапеции. Напомним,
что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на её высоту, т. е.
`S=(a+b)/2h`. (9)
Найти площадь трапеции, если её основания равны `16` и `44`, а боковые стороны равны `17` и `25`.
Через вершину `C` проведём `CK``|\|``BA` (рис. 18). `ABCK` - параллелограмм, его противоположные стороны равны, поэтому в треугольнике `KCD` определяются все стороны: `KC=AB=25`, `CD=17`, `KD=AD-BC=28`.
По формуле Герона вычисляем площадь этого треугольника: `p=36`, `S_(KCD)=210`.
С другой стороны, `S_(KCD)=1/2KD*CF`, если `CF_|_AD`. Отсюда находим `CF=(2S_(KCD))/(KD)=15` и вычисляем площадь трапеции
`S_(ABCD)=1/2(BC+AD)CF=450`.
Отрезок длины `m`, параллельный основаниям трапеции, разбивает её на две трапеции (рис. 19). Найти отношение площадей этих трапеций, если основания трапеции равны `a` и `b` `(b < a)`.
Пусть `BC=b`, `AD=a` и `MN=m`, и `MN``|\|``AD`. Проведём `CE``|\|``BA` и `NF``|\|``BA`, а также `CK_|_MN` и `NP_|_AD`. Обозначим `CK=h_1`, `NP=h_2`. Далее, т. к. `CE``|\|``NF`, то `/_ECN=/_FND`, а из `MN``|\|``AD` следует `/_ENC=/_FDN`. Следовательно, треугольники `ECN` и `FND` имеют по два равных угла, они подобны. Из подобия имеем `(EN)/(FD)=(CN)/(ND)`. Прямоугольные треугольники `KCN` и `PND` также подобны и `(CK)/(NP)=(CN)/(ND)`, поэтому `(EN)/(FD)=(CK)/(NP)`, т. е. `(m-b)/(a-m)=(h_1)/(h_2)`. Если `S_1` и `S_2` - площади трапеций `MBCN` и `AMND`, то
`S_1=1/2(b+m)h_1`, `S_2=1/2(a+m)h_2`
и
`(S_1)/(S_2)=((m+b)h_1)/((a+m)h_2)=(m^2-b^2)/(a^2-m^2`.
