Abitu.Net

Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства или уравнения называют множество всех значений переменной $x$ , при которых одновременно определены обе части неравенства или уравнения, т. е. пересечение множеств $Х_1,\;Х_2$ .

Пример

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2-1}\leq\sqrt{4-x}$ . Левая часть определена при $x^2-1\geq0$ , а правая при $4-x\geq0$ . Поэтому областью определения этого неравенства является множество $(-\infty;-1\rbrack\cup\lbrack1;4\rbrack$ .

Решить неравенство (уравнение) – это значит найти все числа $a$ , после подстановки которых, вместо $x$ получается верное числовое неравенство (равенство), или доказать, что неравенство (уравнение) не имеет решений. Ясно, что число $a$ является решением только тогда, когдa $a$ принадлежит ОДЗ.

При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и в нашем задании это будет играть большую роль.

определение

Два неравенства

$f_1(x)>g_1(x)$ и $f_2(x)>g_2(x)$ (1)

или два уравнения

$f_1(x)=g_1(x)$ и $f_2(x)=g_2(x)$ (2)

называются равносильными на множестве $X$ , если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству $X$ , является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее $X$ , является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на $X$ не имеет решений, т. е. множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на $X$ , называют равносильным переходом на $X$ . Равносильный переход обозначают двойной стрелкой $\Leftrightarrow$ .

Пример

$x^2\leq1\Leftrightarrow\left|x\right|\leq1$ ; а неравенства $\sqrt{4x+5}\leq2$ и $4x+5\leq4$ не равносильны, т. к., если $4x+5\leq0$ , то первое неравенство не имеет решений, а второе имеет, например, $x=-2$

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

Пример 1

Равносильны ли уравнения $\sqrt{2x+3}=x$ и $2x+3=x^2$ ?

Решение

Нет, не равносильны, т. к. решение $x=-1$ второго уравнения не является решением первого.

Пример 2

Равносильны ли уравнения $\sin\;x=3$ и $\sqrt{-x^2}=1$ ?

Решение

Да, равносильны, т. к. ни одно из них не имеет решения.

Приведём несколько примеров операций, приводящих к равносильным уравнениям или неравенствам.

1. Если функции $f(x),g(x),h(x)$ определены на множестве $X$ , то на $X$
а) $f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)\leq g(x)+h(x)$ .
б) $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x)$ .

2. Если $h(x) >0$ на $X$ , то на $X$

$f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) < g(x)h(x)$ ,

т. е. при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется

3. Если $h(x)\neq0$ на $X$ , то на $X$

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x)=g(x)h(x)$ .

4. Если $h(x) < 0$ на $X$ , то на $X$

$f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x) > g(x)h(x)$ ,

т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

5. Если $f(x)\geq0,g(x)\geq0$ на $X$ , то на $X$

а) $f(x) < g(x)\Leftrightarrow f^2(x) < g^2(x)$ ,

т. е. если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству.

Если обе части неравенства неположительны, то умножим обе части на $-1$ , придём к неравенству противоположного знака, но с неотрицательными частями, и теперь можно пользоваться свойством $5a$ .
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к равносильному неравенству, так и к неравносильному: `-4<5` и `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

б) $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)$ .

6. Для любых $f(x)$ и $g(x)$ на $X$ и любого натурального $n$

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^{2n+1}(x)=g^{2n+1}(x)$ .

§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.

2 июня 2020 г.
0 комментариев
2879 просмотров

Пусть задано неравенство $f(x) > g(x)$ . По определению, неравенство выполнено, если разность функций $f(x)-g(x) > 0$ . Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записывать их в виде $f(x) > 0(< 0)$ .

Часто приходится иметь дело не с одним неравенством или уравнением, а с несколькими. При этом важно различать две задачи:
1) решить систему уравнений или систему неравенств,
2) решить совокупность уравнений или совокупность неравенств.

определение

Пусть дано $m$ неравенств (или уравнений) $f_1(x_1,x_2,...x_k)\geq0(=0)$ , $f_2(x_1,x_2...,x_k)>0(=0)...f_m(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0)$ на некотором множестве $X$ . Если стоит задача – найти все упорядоченные наборы чисел $a=(a_1,a_2,...,a_k)\in X$ , каждый из которых является решением каждого из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что задана система неравенств (уравнений). Такое $a$ называется решением системы.

Решить систему – это значит найти множество всех решений. Обычно систему неравенств (уравнений) записывают в столбик и объединяют фигурной скобкой

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0),\\f_2(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0),\\...,\\f_m(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0).\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

определение

ОДЗ системы называется множество, являющееся пересечением областей допустимых значений всех этих неравенств.

Если для неравенств (уравнений)

$f_1(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0)$ , $f_2(x_1,...,x_k)>0(=0)$ ,..., $f_m(x_1,...,x_k)>0(=0)$
стоит задача – найти все такие упорядоченные наборы чисел $a=(a_1,a_2,...,a_k)\in X$ , каждый из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что на $X$ задана совокупность неравенств (уравнений). Такое $a$ называется решением совокупности неравенств (уравнений). Решить совокупность неравенств (уравнений) – это значит найти всё множество её решений. В современной литературе совокупность записывают в столбик и объединяют квадратной скобкой

$\lbrack\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0),\\f_2(x_1,x_2,...,x_k)>0(=0),\\...,\\f_m(x_{1,}x_2,...,x_k)>0(=0).\end{array}$

определение

ОДЗ совокупности называется объединение областей допустимых значений всех заданных неравенств (уравнений).

Во всех случаях количество заданных неравенств (число $m$ ) никак не связано с количеством неизвестных (число $k$ ).

§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним

2 июня 2020 г.
0 комментариев
653 просмотра

На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.$

$x_{1,2}=\dfrac{-{\displaystyle\frac b2}\pm\sqrt{\displaystyle\frac{b^2}4}-ac}a.$

Она особенно удобна, когда коэффициент при `x` число чётное.

Пример 3

Решите уравнение $144x^2+24x-287=0.$

Решение

$x_{1,2}=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+144\cdot287}}{144}=\dfrac{-1\pm\sqrt{288}}{12}=\dfrac{-1\pm12\sqrt2}{12}=\pm\sqrt2-\dfrac1{12}$

Ответ

$\pm\sqrt2-\dfrac1{12}$

Заметим, что использование других формул привело бы к более громоздким вычислениям.

Уравнение можно считать решённым, если удаётся найти замену переменных, сводящую заданное уравнение к квадратному.

Пример 4

Решите уравнение $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}-\dfrac{4(x-1)}{x+2}=1$

Решение

Сделаем замену переменных $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=t\geq0.$

Тогда уравнение примет вид

$\begin{array}{l}t-\dfrac4{t^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{t^3-t^2-4}{t^2}=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^3-t^2-4=t^3-2t^2+t^2-4=(t-2)(t^2+t+2)=0\Leftrightarrow t=2,\\t\neq0.\end{array}\right.\Leftrightarrow t=2.\end{array}$

В старых переменных $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=2\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{x-1}=4\Leftrightarrow x=2.$

Ответ

`2`.

§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

2 июня 2020 г.
0 комментариев
929 просмотров

В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что

а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,

б) квадрат двучлена `(x-a)^2` при переходе через точку `a` знак не меняет,

в) квадратный трёхчлен `x^2+px+q`, `p^2-4q < 0`, имеющий положительный коэффициент при `x^2` и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.

Заметим, что:
1) двучлен `(x-a)` в любой нечётной степени `(x-a)^(2n-1)`, $n\in\mathbb{N}$ ведёт себя так же, как и `(x-a)`,

2) двучлен `(x-a)` в любой чётной степени `(x-a)^(2n)`, $n\in\mathbb{N}$ ведёт себя так же, как и `(x-a)^2`,

Важно, что при переходе через точку `a`, может изменить знак только один множитель `(x-a)^(2k-1)`, а выражение `(x-b)^(2n-1)`, $b\neq a,$ при переходе через `a` ни при каком `n` знак не меняет.

Прежде чем расставлять знаки, необходимо все многочлены записать правильно. Это значит, что во всех скобках коэффициенты при старшей степени переменной должны быть положительны, множители при произведениях в числителе и знаменателе тоже положительны – при больших `x` (когда `x` больше самого большого корня) многочлен всегда принимает положительные значения.

Итак, сформулируем

«Метод интервалов для многочленов (рациональных функций)»

1. Проверяем, все ли множители записаны «правильно».
2. Находим корни числителя и знаменателя.
3. Представляем числитель и знаменатель в виде произведения неприводимых множителей, т. е. множителей вида `(x-a)^k` (все квадратные трёхчлены, имеющие отрицательный дискриминант, не записываем – их «опускаем»).
4. Наносим на числовую ось корни числителя (точками, если неравенство нестрогое, или «дырками», если неравенство строгое) и знаменателя (в любом неравенстве «дырками»).
5. Расставляем знаки дроби в промежутках между корнями, учитывая, что многочлен меняет знак при переходе через точку `a`, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n-1}`, `ninN`

и не меняет знак, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n}`, `ninN`.
6. Отмечаем прямоугольниками решение заданного неравенства и «снимаем» с рисунка ответ. При этом помним, что,
а) если неравенство строгое, то решением являются открытые промежутки;
б) если неравенство нестрогое, то к предыдущим решениям добавляются все «точки».

Когда говорим: Решим неравенство методом интервалов, – имеется в виду, что будут выполнены именно вышеприведённые действия.
Метод интервалов затем распространяется на рациональные функции.

определение

Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, т. е. в виде `{P(x)}/{Q(x)}`.

Например, функции `y=x-2`, `y={x^3-x+5}/{x+4}` - рациональные, а функция `y=sqrt(5x)` не является рациональной – она называется иррациональной.

Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.

Рациональные неравенства чаще всего решаются сравнением с нулём, т. е. решаются неравенства вида `{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)`.
Заметим, что дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые (противоположные) знаки, т. е.

`{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)hArrP(x)Q(x)>0(<0)`,

поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам.

Замечание 1

В школе принято писать для дроби ОДЗ: `Q(x)!=0`, но это является совершенно излишним. В самом алгоритме решения таких неравенств учитывается условие, что знаменатель не равен `0` – нули знаменателя отмечаются всегда кружочками («дырками»). Именно поэтому ОДЗ для рациональной дроби не пишут.

Некоторые учащиеся после нахождения ОДЗ даже «бросают» знаменатель. Они не понимают, что решение зависит не от того, равен или не равен `0` знаменатель, а от того, где знаменатель положителен, а где отрицателен.

Замечание 2

При применении этого метода интервалов нет необходимости в рассмотрении «пробных» точек.

Пример 5

Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства $\dfrac{\displaystyle\dfrac{2-x}5}{4x+5}\geq0$ .

Решение

Переписываем наше неравенство в правильном виде:

$\dfrac{\displaystyle\dfrac{2-x}5}{4x+5}\geq0\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{(x+{\displaystyle\dfrac54)}}\leq0$

и применяем метод интервалов - рис. 1.

Рис. 1

C рисунка снимаем ответ.

Ответ

`3,25`.

Заметим, что на нашей картинке нет никаких «змеек». Такой способ отмечать решение неравенства (который, с непривычки, некоторые отвергают, не попробовав) имеет преимущество, потому что он выделяет именно решение, а, кроме того, он даёт возможность «красиво» решать системы неравенств.

Пример 6

Решите систему неравенств

$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+\dfrac14\right)\left(x+\dfrac18\right)\geq0,\\\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{51}{50}}\right)}{\left(x+{\displaystyle\dfrac3{16}}\right)x}<0.\end{array}\right.$$

Решение

Здесь очень «плохие» пробные точки – дробные и близкие. Это сделано специально, чтобы привыкнуть их использовать.
Решаем сначала первое неравенство: наносим на числовую ось нули точками, т. к. неравенство нестрогое.

Теперь расставим знаки. Замечаем, что при больших `x` все множители положительны. При переходе через точку `x=1` функция меняет знак, т. к. `(x-1)` входит в нечётной (первой) степени. По этой же причине при переходе и через остальные точки функция опять меняет знак (рис. 2).

Рис. 2

Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравенства (рис. 3).

Рис. 3

Теперь решаем второе: наносим на числовую ось нули и числителя, и знаменателя кружочками (дырками), т. к. неравенство строгое. Получаем рис. 4.

Рис. 4

Теперь надо обе картинки поместить на одну ось. Надо ли соблюдать масштаб? А зачем? Не надо. Ведь нас интересует только взаимное расположение точек относительно друг друга, а расстояния между ними никакой роли не играют.

Теперь заштриховываем общие части прямоугольников – отлично виден ответ (рис. 5).

Рис. 5

Ответ

`x in(-3/16;-1/8]uu(51/50;2)`.

Пример 7

Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства

`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0`.

Решение

При решении неравенств, левая часть которых содержит чётные степени, можно поступать по-разному.
Первый способ
Левая часть уже записана правильно, корни видны сразу. Отмечаем их точками на числовой оси, а затем по вышеприведённым правилам расставляем знаки и отмечаем решение прямоугольниками – рис. 6.

Рис. 6

С рисунка снимаем ответ, что `x in{-2;25}uu[-1,5;12]`. Отсюда следует, что наименьшая длина промежутка равна `25-(-2)=27`.

Второй способ
Можно заранее учесть, что бином `(x-a)^{2k}` принимает либо значение, равное `0`, либо положительно на всей числовой оси – поэтому можно записать в решение `x=a`, а бином «опустить», т. к. он не влияет на знак оставшегося выражения:

`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0 iff`

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1,\\x=-2,\\x=25,\end{array}\\(x+1,5)(x-12)\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{-2;25\right\}\cup\left[-1,5;12\right].$

Ответ

`27`.

Пример 8

Решите неравенство `x<={8x-2}/{x+5}`.

Решение

`x<={8x-2}/{x-5}hArr{x^2-3x+2}/{x+5}<=0hArr{(x-1)(x-2)}/{x+5}<=0`

Рис. 7

Из рис. 7 следует ответ

Ответ

`(-oo;-5)uu[1;2]`.

Пример 9 (МФТИ, 1999)

Найти все пары целых чисел `x`, `y`, для которых верны неравенства

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x<45,\\x+y>24,\\3x-y<3.\end{array}\right.$$

Решение

Запишем систему в стандартном виде (для сравнения с нулём)

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0.\end{array}\right.$$

Заметим, что `y` входит в первое неравенство со знаком `« + »`, а во второе и третье со знаком `« – »`. Поэтому умножим сначала второе и третье неравенства на `3` (получились равносильные неравенства), а затем заменим второе и третье неравенства их суммами с первым – таким образом, мы исключим `y`. Итак,

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0,\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-3x-3y+72+3y-2x-45=-5x+27<0\Leftrightarrow x>\dfrac{27}5,\\9x-3y-9+3y-2x-45=7x-54<0\Leftrightarrow x<\dfrac{54}7\end{array}\right.\Rightarrow$$

(учтём, что мы ищем целые решения) $\Rightarrow x=\left[\begin{array}{l}6,\\7.\end{array}\right.$

Подставим последовательно найденные значения `x` в систему.

$$x=6\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-57<0,\\-y+18<0,\\15-y<0\end{array}\right.\Rightarrow\varnothing.$$

$$x=7\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-59<0,\\-y+17<0,\Rightarrow y=19,\\-y+18<0.\end{array}\right.$$

Ответ

`(7,19)`.

Все статьи

Подкатегории

Статьи , страница 440