16 статей
 |
Явление электростатической индукции. Поместим проводящую пластину во внешнее электрическое поле, перпендикулярное её поверхности, направленное, например, слева направо и равное `E_0` (рис. 12). Тогда «в первое мгновение» на электроны проводника начнёт действовать со стороны этого поля сила, численно равная `F=eE_0` и направленная против поля (электроны заряжены отрицательно). Это вызовет смещение электронов к левой границе и на этой границе появится избыточный отрицательный заряд, а на правой границе образуется недостаток электронов, – появится положительный заряд. Разделённые заряды наведут собственное электрическое поле `-E^'`, направленное навстречу внешнему (что учтено здесь знаком «минус» при `E^'`). В результате на электроны в проводнике начнёт уже действовать сила, равная `F=e(E_0-E^')` - меньшая, чем первоначальная. Однако электроны всё ещё будут продолжать смещаться влево, увеличивая наведённое поле `E^'`. Движение электронов влево будет продолжаться до тех пор, пока поле не вырастет настолько, что сравняется по величине с внешним полем (наведённое поле пропорционально поверхностной плотности зарядов; см. Пример 11). Суммарное поле в результате обратится в нуль: `E=E_0-E^'=0`, а с ним обратится в нуль и действующая на электроны сила, и дальнейшее разделение заряда прекратится. В проводнике (реально - на его поверхностях в слоях толщиной порядка `10^(-10)` м) возникнет некоторое статическое распределение заряда с некоторой статической плотностью поверхностных зарядов.
Основное свойство проводников произвольной формы состоит в том, что если проводник (несущий заряд или не заряженный) поместить в поле сторонних (внешних) неподвижных электрических зарядов, то собственные подвижные («свободные») носители заряда проводника распределятся в нём таким образом и создадут такое собственное поле, что напряжённость результирующего поля (внешнего плюс наведённого) во всех точках внутри проводника окажется в точности равной нулю. Это, в частности, справедливо и в том случае, когда проводник заряжен, но нет сторонних зарядов и нет стороннего электрического поля. (Вне проводника электрическое поле, также являясь суммой внешнего и наведённого полей, не обязано быть равным нулю.)
Строго говоря, то, что было сказано, есть определение идеального проводника. Экспериментальный факт состоит в том, что существуют реальные материалы - металлы, которые ведут себя практически так же, как идеальный проводник. Количество свободных носителей заряда в них огромно - порядка `10^(22)-10^(23) 1//"cм"^3` (для сравнения: число звёзд в Галактике порядка `10^(11)`).
Две проводящие пластины большого размера и равной площади с зарядами `Q_1` и `Q_2` расположены параллельно друг другу. Найти заряды `q_1`, `q_2`, `q_3` и `q_4` на поверхностях пластин (рис. 13). Рассмотреть случаи: а) `Q_1=Q_2=+Q` и б) `Q_1=-Q_2=+Q`.
Заряды пластин `Q_1` и `Q_2`распределятся по своим поверхностям, так что
`q_1+q_2=Q_1` (1)
и `q_3+q_4=Q_2` (2).
Напряжённости поля внутри 1-й и 2-ой пластин равны нулю, поэтому имеем ещё два равенства:
`(q_1//S)/(2epsilon_0)-(q_2//S)/(2epsilon_0)-(q_3//S)/(2epsilon_0)-(q_4//S)/(2epsilon_0)=0` (3)
и `(q_1//S)/(2epsilon_0)+(q_2//S)/(2epsilon_0)+(q_3//S)/(2epsilon_0)-(q_4//S)/(2epsilon_0)=0` (4)
Решая систему уравнений (1 – 4), получаем `q_1=q_4=(Q_1+Q_2)//2` и `q_3=-q_2=(Q_2-Q_1)//2`.
а) `q_1=q_4=+Q` и `q_3=-q_2=0`;
б) `q_1=q_4=0` и `q_3=-q_2=-Q`.
Имеются две изолированные друг от друга концентрические проводящие сферы радиусами `R_1` и`R_2>R_1`. Заряды сфер равны `+Q` и `-Q`. Определить потенциалы сфер.
Напряжённость электрического поля в области `r>R_2` совпадает с полем 2-х точечных зарядов `+Q` и `-Q`, расположенных в центре обеих сфер, а значит, равна нулю. Поэтому работа сил электростатического поля при перемещении единичного точечного заряда от поверхности 2-ой сферы до бесконечности равна нулю, т. е. потенциал 2-ой сферы равен нулю, `varphi_2=0`. Потенциал 1-ой сферы удобно вычислить в её центре. Все заряды 1-ой сферы (суммарный их заряд равен `+Q`) удалены от него на расстояние `R_1`, поэтому создают в этой точке потенциал равный `Q//4pi epsilon_0R_1`. Аналогично все заряды 2-ой сферы (их суммарный заряд равен `-Q`) создают в этой точке потенциал равный `-Q//4pi epsilon_0R_2`. Окончательно потенциал 1-ой сферы равен `varphi_1=Q/(4pi epsilon_0R_1)-Q/(4pi epsilon_0R_2)`.
Точечный заряд `Q` поднесли к заряженному металлическому шару радиуса `r` на расстояние `R>r` от центра шара. Заряд шара равен `q`. Определить потенциал шара.
Потенциал шара одинаков во всех его точках. Удобно вычислить потенциал в центре шара. При поднесении к шару заряда `q` в нём произойдёт перераспределение заряда, причём, – только на его поверхности и так, что суммарный заряд шара останется равным `q`. Все отдельные порции `Deltaq_"шара"` этого заряда `sum Deltaq_"шара"=q` будут находиться на одинаковом расстоянии `r` от центра шара, поэтому суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке, будет равен: `(sum Deltaq_"шара")//4pi epsilon_0r=q//4pi epsilon_0r`. Потенциал, создаваемый точечным зарядом `Q` в центре шара равен `Q//4pi epsilon_0R`. В результате потенциал шара будет равен
`varphi=q//4pi epsilon_0r+Q//4pi epsilon_0R`.
Точечный заряд `Q` поднесли к незаряженному металлическому шару радиуса `r` на расстояние `R>r` от центра шара. Затем шар заземлили. Определить заряд `q^'`, который при этом «натечёт с Земли» на шар. Потенциал земли принять равным нулю.
Весь «натёкший с Земли» заряд распределится на поверхности шара, поэтому отдельные его порции `Deltaq_"шара"` будут находиться на одинаковом расстоянии `r` от центра шара, и суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке, будет равен `(sum Deltaq_"шара")//4pi epsilon_0r=q^'//4 pi epsilon_0r`. Потенциал, создаваемый точечным зарядом `q` в центре шара равен `varphi=Q//4 pi epsilon_0R`. Суммарный потенциал зарядов `Q` и `q^'` равен нулю, т. е. `q^'//4pi epsilon_0r+Q//4 pi epsilon_0R=0`, откуда получаем `q^'=-rQ//R`.
Точечный положительный заряд поднесли к бесконечной проводящей плоскости. Нарисовать качественно картину линий напряжённости электрического поля и эквипотенциальных поверхностей.
См. рис. 14.
Наличие единого (в электростатике!) потенциала во всём проводнике - одно из важнейших его свойств, и именно оно позволяет строго ввести определение электрической ёмкости уединённого проводника по формуле
`C=Q//varphi`, (2.2.1)
где `Q` - заряд на проводнике, `varphi` - его потенциал, и ёмкость конденсатора (пары проводников) – по формуле
`C=Q//(varphi_1-varphi_2)`, (2.2.2)
где `varphi_1` и `varphi_2` - потенциалы отдельных проводников с зарядами `Q` и `-Q`. Не будь этого свойства, было бы непонятно, что именно понимать под `varphi`, `varphi_1` и `varphi_2`. Почему мы, например, не спрашиваем себя, какова ёмкость двух деревяшек? Да потому, что мы не можем говорить о едином потенциале даже одной деревяшки (в разных точках её потенциал будет, вообще говоря, разным).
Электроёмкость измеряется в фарадах: `1` фарад `=1` Ф `=1` Кл/`1`В.
В определение ёмкости конденсатора, т. е. пары проводников, входит один заряд. Дело в том, что наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: `Q_1=-Q_2=Q`.
Хотя в определение электроёмкости входят заряд и потенциал `C=Q//varphi` (или разность потенциалов - для конденсатора `C=Q//(varphi_1-varphi_2)`) фактически ни от заряда, ни от потенциала (разности потенциалов) ёмкость не зависит, а определяется только геометрией проводника (да ещё диэлектрической проницаемостью среды, см. раздел, посвящённый диэлектрикам). Например, ёмкость уединённого проводящего шара радиуса `R` в вакууме равна
`C_"шара"=4pi epsilon_0R` (2.2.3)
(последняя формула получается непосредственно из формулы для потенциала уединённого шара `varphi=Q/(4pi epsilon_0)`), а ёмкость плоского конденсатора (Пример 24)
`C=epsilon_0S//d`. (2.2.4)
Последнее связано с тем, что потенциал уединённого проводника всегда пропорционален его заряду (а в конденсаторе разность потенциалов пропорциональна заряду); ёмкость же есть как раз коэффициент пропорциональности `Q=Cvarphi` (или `Q=C(varphi_1-varphi_2)`).
Нетрудно вычислить (воспользовавшись результатом Примера 18) ёмкость сферического конденсатора
`C=4pi epsilon_0(R_1R_2)/(R_2-R_1)`, (2.2.5)
где `R_1` и `R_2` - радиусы внутренней и внешней сфер.
Определить ёмкость шара размером с Землю. Радиус Земли `R=6370` км. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы его электроёмкость была равна `1` фараду?
По формуле (2.2.3) `C=4pi epsilon_0R~~0,71` мФ. Чтобы ответить на 2-ой вопрос, снова воспользуемся формулой (2.2.3), выразив из неё `R=1//4pi epsilon_0C=9*10^6` км, что почти в `13` раз больше радиуса Солнца.
Оценить, какого размера должны быть пластины плоского воздушного конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=1` мм, чтобы его электроёмкость равнялась `1` фараду?
По формуле (2.2.4) имеем `C=epsilon_0L^2//d`, откуда `L~~10,6` км.
Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам металлическую пластину толщиной `delta <d`? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку?
Внутри металлической пластинки напряжённость электрического поля равна нулю, поэтому эта область не вносит вклада в разность потенциалов между обкладками конденсатора. Напряжённость в воздушном промежутке между обкладками конденсатора останется такой же, какой была до внесения пластинки (в целом электрически не заряженная пластинка не изменяет напряжённости поля вне её). Ёмкость конденсатора без пластинки вычислялась бы так:
`C=Q/U=Q/(Ed)=Q/((sigma//epsilon_0)d)=(sigmaS)/((sigma//epsilon_0)d)=(epsilon_0S)/d`.
После внесения пластинки уменьшится ширина области пространства между обкладками конденсатора, занятая полем (от `d` до `d-delta`); в итоге
`C^'=Q/U^'=Q/(E(d-delta))=Q/((sigma//epsilon_0)(d-delta))=(epsilon_0S)/(d-delta)>C`.
Результат не зависит от месторасположения пластинки.
Энергия, запасённая в заряженном конденсаторе, может быть вычислена по одной из формул (см. Учебник):
`W=CU^2//2=QU//2=Q^2//2C`. (2.2.1)
Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластин `S` и расстоянием между ними `d`. Ёмкость такого конденсатора равна `C=(epsilon_0S)/d`. Придадим формуле (2.3.1) несколько иной – «полевой» – вид, а именно:
`W=d/(epsilon_0S) (Q^2)/2=(epsilon_0)/2 (Q/(epsilon_0S))^2Sd=(epsilon_0E^2)/2 V=wV`, (2.2.2)
где `E` - напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора, `V=Sd` - объём области между пластинами конденсатора, занимаемый полем (снаружи конденсатора электрическим полем пренебрегаем). Это наводит на мысль трактовать эту формулу следующим образом: вся энергия сосредоточена именно в поле, причём,
`w=(epsilon_0E^2)/2` (2.3.3)
где `w` - плотность энергии электростатического поля, т. е. количество энергии, приходящееся на единицу объёма пространства, в котором сосредоточено поле.
Формула (2.3.3) справедлива не только в случае плоского конденсатора, но и в общем случае произвольного неоднородного поля.
Рассмотрим систему произвольного числа зарядов, притом такую, что суммарный алгебраический заряд её равен нулю `sum_iq_i=0`. Пусть система состоит из `N` точечных зарядов произвольной величины `q_i(i=1,2,3,...N)` и пусть в некоторой системе координат каждый из зарядов характеризуется своим радиус-вектором `vecr_i`. По определению электрическим дипольным моментом системы называют вектор
`vecp=sum_iq_ivecr_i`. (3.1.1)
Электрические свойства диэлектриков обусловлены реакцией на внешнее поле не свободных электронов, как в металлах (в диэлектриках свободных электронов чрезвычайно мало), а так называемых связанных электронов - связанных с отдельными диполями молекул диэлектрика. Надо сразу сказать, что молекулы (атомы) разных веществ бывают двух сортов. Первые из них уже без всякого внешнего поля имеют дипольные моменты (например, молекулы воды); такие молекулы называют полярными, а вместе с ними и сами диэлектрики называют полярными. У другого сорта диэлектриков дипольный момент молекул в отсутствие внешнего поля равен нулю (например, в симметричных молекулах `"O"_2`, `"N"_2`, `"CO"_2`); такие молекулы называют неполярными; соответственно и диэлектрики, состоящие из таких молекул называют неполярными.
В отсутствие внешнего электрического поля даже вещества с полярными молекулами, как правило, никак себя электрически не проявляют. Это связано с тем, что диполи различных молекул в них направлены совершенно хаотически и, «действуя не согласованно», не создают никакого суммарного макроскопического электрического поля.
При помещении во внешнее электрическое поле (везде далее будем считать это поле однородным) вещества двух указанных сортов ведут себя в чём-то по-разному, но в чём-то и схоже. В полярных диэлектриках в расположении (ориентации) диполей появляется упорядоченность - диполи молекул стремятся выстроиться преимущественно по полю.
 |
В неполярных диэлектриках электронные облака молекул деформируются так, что у них появляются индивидуальные дипольные моменты, которые также стремятся выстроиться преимущественно по полю - говорят, что происходит поляризация диэлектриков. В результате в обоих случаях на границах диэлектрика появляются, как и в металлах, избыточные поверхностные заряды той же полярности, что и в металлах. Наведённое ими электрическое поле `E^'` также направлено на встречу внешнему полю `E_0`, а суммарное поле `E=E_0-E^'` меньше внешнего (рис. 15). В проводниках в статических условиях это поле не просто меньше внешнего, но в точности равно нулю. В диэлектриках оно до нуля не ослабляется, оставаясь конечным и равным `E=E_0//epsilon`. Где `epsilon` - так называемая диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле.
Простое ослабление внешнего поля в диэлектрике в `epsilon` раз относится лишь к простейшей геометрии опыта, когда внешнее электрическое поле перпендикулярно поверхности диэлектрика. Рассмотрение случаев, когда поле направлено под другими углами к поверхности, выходит за рамки настоящего Задания.
Какие порядки величин `epsilon` встречаются? Для воздуха (и вообще, для газов, т. е. довольно разреженных систем с неполярными молекулами) эта величина лишь ненамного превосходит единицу: `epsilon~~1,00058`. А вот для воды эта величина значительно больше: `epsilon~~81`. Последнее связано с тем, что, во-первых, молекулы воды `"H"_2"O"` суть полярные молекулы (электроны в них смещены от атомов водорода к атому кислороду), а во-вторых, концентрация молекул в воде значительно больше, чем в воздухе.
Заряды `+q,+q,-q` и `-q` расположены последовательно в вершинах квадрата, если обходить его по часовой стрелке. Сторона квадрата равна `l`. Определить дипольный момент системы.
Рассмотрим две пары разноимённо заряженных зарядов (рис. 16). В каждой паре дипольный момент будет равен по модулю величине `ql`, и для разных пар дипольные моменты направлены в одну и ту же сторону, поэтому их сумма равна `2ql`.
Металлический шар радиусом `R` с зарядом `Q` находится в среде с диэлектрической проницаемостью `epsilon`. Определить суммарный заряд `Q^'` связанных зарядов на поверхности шара.
Ослабление в `epsilon` раз поля шара с зарядом `Q` обусловлено тем, что не его поверхности появляется заряд `Q^'`: `1/(epsilon) Q/(4pi epsilon_0r^2)=(Q+Q^')/(4pi epsilon_0r^2)`, откуда `Q^'=-(epsilon-1)/(epsilon)Q`.
Ёмкость конденсатора с диэлектриком всегда больше, чем без него. Причина состоит в том, что диэлектрик ослабляет поле. Рассмотрим сначала плоский конденсатор с воздушным промежутком между пластинами (для воздуха `epsilon~~1`). Поместим на одну из обкладок заряд `Q`, а на другую обкладку заряд `-Q`. Если площадь пластин равна `S`, то между пластинами будет существовать электрическое поле `E_0=sigma//epsilon_0=Q//(Sepsilon_0)`, а между пластинами будет существовать разность потенциалов `U_0=E_0d=Qd//(Sepsilon_0)`. Ёмкость конденсатора есть `C_0=Q//U=epsilon_0S//d`. Не изменяя зарядов на пластинах, заполним теперь промежуток между обкладками конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью `epsilon`. В результате напряжённость электрического поля уменьшится в `epsilon` раз, `E=E_0//epsilon`; как следствие, в `epsilon` раз уменьшится напряжение между пластинами `U=U_0//epsilon` - и в `epsilon` же раз увеличится ёмкость `C=Q//U=epsilon C_0`, т. е.
`C=(epsilon epsilon_0S)/d`. (3.2.1)
В веществах, которые часто используются в конденсаторах, диэлектрические проницаемости таковы: для парафина `epsilon~~2`, а для слюды `epsilon~~7,5`. В современных конденсаторах часто используют диэлектрические слои из титаната бария `("TiBaO"_3)` с добавлением небольшого количества других окислов. Обычно это – керамики, получаемые из тонкодисперсного порошка, размеры частиц которого порядка микрона (`10^(-6)` м). Толщины диэлектрических слоёв в таких конденсаторах порядка `10` мкм, а `epsilon` порядка нескольких тысяч (до `20000`). В другом типе конденсаторов, так называемых электролитических конденсаторах толщины диэлектрических слоёв можно сделать в сотни раз меньше, чем в керамических конденсаторах, правда, изоляционные материалы, используемые в них, имеют меньшую, чем в керамических конденсаторах, диэлектрическую проницаемость `epsilon` - от `8` до `27`.
Оценить, какого размера должны быть пластины плоского конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=10` мкм, с диэлектрической прослойкой на основе титаната бария, чтобы его электроёмкость равнялась: а) `1` Ф, б) `1` мФ, в) `1` мкФ? Диэлектрическая прослойка на основе титаната бария `("TiBaO"_3)` имеет `epsilon=20000`.
По формуле (3.2.1) `C=(epsilon epsilon_0L^2)/d`:
а) `l~~7,5` м,
б) `L~~23` см,
в) `L~~7,5` мм.
В конденсаторе без диэлектрика (когда `epsilon=1`) эти размеры равнялись бы, соответственно,
а) больше `1` км,
б) `~~33` м,
в) больше `1` м.
Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам диэлектрическую пластинку толщиной `delta<d` с диэлектрической проницаемостью `epsilon`? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку? Рассмотреть предельный случай `epsilon ->oo` и сравнить его с Примером 24.
Решение аналогично Примеру 24, только теперь внутри пластинки поле не равно нулю, а равно `E^'=E//epsilon`. Поэтому с пластинкой: `C^'=Q/U^'=Q/(E(d-delta)+E/epsilon delta)`;
в итоге `C^'=(epsilon_0S)/(d-(1-1/epsilon)delta)` (`**`), причём результат не зависит от месторасположения пластинки. Без пластинки `C=epsilon_0S//d<C^'`. В предельном случае `epsilon->oo` формула (`**`) для `C^'` переходит в формулу для `C^'` Примера 24.
1. Мякишев Г.Я, Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. ФИЗИКА: учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровень. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2007. – 336 с.
2. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. ФИЗИКА: Учеб. Пособие: в 3 кн. Кн. 3. Электродинамика. Оптика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с.
3. Павленко Ю.Г. Начала физики: Учебник. – 2-е изд. – М.: 2005. –864 с.
