17 статей
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` - некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` - любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` - любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата `ABCD` (рис. 5).
Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис. 5. В итоге получим квадрат `ABCD` с рис. 5.
Найдите все решения уравнения `xy=6`, для которых `x` и `y` являются натуральными числами.
Очевидно, что натуральные числа `x` и `y` являются делителями числа `6`. Поэтому `x` и `y` могут принимать значения `1;` `2;` `3;` `6`. Следовательно, искомыми решениями являются числа `(1;6)`, `(2;3)`, `(3;2)`, `(6;1)`.
Найти все решения уравнения `x^2+4x=y^2+2y+8`, для которых значения `x` и `y` являются целыми числами.
Обычно такие примеры формулируют так: найти все решения данного уравнения в целых числах.
Преобразуем данное уравнение: `x^2+4x+4-4=y^2+2y+1+7`,
`(x+2)^2=(y+1)^2+11`,
`(x+2)^2-(y+1)^2=11`,
`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.
Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=1,\\ x+2+y+1=11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=11,\\ x+2+y+1=1;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\\ x+2+y+1=-11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\\ x+2+y+1=-1.\end{array}\right.$$
Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.
Решение многих задач сводится к решению систем линейных уравнений.
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными `x` и `y` называется система уравнений вида
$$ \left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1},\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2},\end{array}\right.$$
где `a_1`, `b_1`, `c_1`, `a_2`, `b_2`, `c_2` - некоторые числа.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное числовое равенство.
Например, пара чисел `(2;3)` является решением системы уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+3y=13,\\ x+5y=17,\end{array}\right.$$
а пара чисел `(1;1)` не является решением системы, т. к. эта пара не является решением каждого из уравнений системы.
Обозначим множество решений первого уравнения буквой `A`, а множество решений второго уравнения - `B`. Множество решений системы этих уравнений составляет пересечение множеств `A` и `B` (рис. 9). При этом возможны случаи, когда пересечение двух множеств является пустым (рис. 10) или совпадает с каждым из множеств `A` и `B` (рис. 11).
Графиком линейного уравнения `ax+by=c`, где `a^2+b^2>0`, является прямая. Следовательно, решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными для указанного случая сводится к нахождению на координатной плоскости общих точек двух прямых линий. А две прямые на плоскости могут:
1) пересекаться, т. е. иметь единственную общую точку;
2) быть параллельными, т. е. не иметь общих точек;
3) совпадать, т. е. иметь бесконечно много общих точек.
Значит, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может либо иметь единственное решение, либо вообще не иметь решения, либо иметь бесконечное множество решений.
Сколько решений имеет система уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2y+3x=8,\\ y-x=-1?\end{array}\right.$$
Запишем первое уравнение системы в виде `y=-3/2x+4`, а второе уравнение системы в виде `y=x-1`. Мы получили две линейные функции, графиками которых являются прямые с разными угловыми коэффициентами у первой `k_1=-3/2`, а у второй `k_2=1`. Вам известно, что такие прямые пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, приравняем значения для `y`. Получаем
`-3/2x+4=x-1`, `-3/2x-x=-4-1`, `-5/2x=-5`, `x=2`,
тогда `y=2-1=1`.
Таким образом, система имеет единственное решение `(2;1)`.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\ 4x+2y=10.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения следует, что `y=5-2x`, а из второго уравнения получим `y=5-2x`. Графики этих уравнений совпадают. Уравнению удовлетворяет любая пара чисел `(x,5-2x)`, где `x` любое число, а `y=5-2x`. Система уравнений имеет бесконечно много решений.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=7,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$
Запишем первое уравнение системы в виде `y=-x+7` и второе уравнение системы в виде `y=-x+5`. Графиками этих уравнений являются две параллельные прямые, которые не пересекаются, т. к. `-x+7=-x+5`, `x*0=-2`, а это уравнение не имеет решений.
При решении систем применяют метод подстановки, метод сложения и метод введения новых переменных.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными способом подстановки
1. В одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое.
2. Подставить вместо этого неизвестного полученное выражение в другое уравнение системы.
3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.
4. Воспользовавшись найденным значением одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.
5. Записать ответ.
Покажем на конкретном примере, как применяется метод подстановки.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ 5x+3y=11.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения выражаем `y=4-2x`, и это значение для `y` подставляем во второе уравнение системы, получаем:
`5x+3(4-2x)=11`, `5x+12-6x=11`, `-x=-1`, `x=1`.
Подставляем это значение `x` в выражение для `y`, получаем: `y=4-2=2`. Пара чисел `(1;2)` является единственным решением системы уравнений.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными способом алгебраического сложения
1. Умножить или разделить одно (или оба) уравнения системы на некоторое число, не равное 0, так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях стали противоположными числами (или совпали).
2. Сложить (вычесть) уравнения.
3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.
4. Воспользовавшись найденными значениями одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.
5. Записать ответ.
Теперь приведём пример, где применяется метод сложения.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}3x-2y=5,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$
В этих уравнениях коэффициенты при переменной `y` отличаются знаком. Сложив уравнения системы, получаем
`3x-2y+2x+2y=5+10`, `5x=15`, `x=3`.
Подставляем найденное значение `x`, например, в первое уравнение системы, получаем:
`3*3-2y=5`, `-2y=-4`, `y=2`.
Система имеет единственное решение `(3;2)`.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}4x+3y=11,\\ 3x+7y=13.\end{array}\right.$$
Сделаем коэффициенты при $$ x$$ обоих уравнений противоположными числами, для этого умножим обе части первого уравнения на `3` и обе части второго уравнения на `(-4)`, получим систему
$$ \left\{\begin{array}{l}12x+9y=33,\\ -12x-28y=-52.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы:
`12x+9y-12x-28y=33-52`, `-19y=-19`, `y=1`.
Подставляем это значение для `y` в первое уравнение системы, получаем:
`12x+9=33`, `12x=24`, `x=2`.
Пара чисел `(2;1)` является единственным решением системы.
Метод введения новых переменных позволяет упростить вид системы.
Покажем на конкретном примере, как применяется метод введения новых переменных.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2x-y}}+{\displaystyle \frac{9}{3x+y}}=2,\\ {\displaystyle \frac{7}{2x-y}}-{\displaystyle \frac{18}{3x+y}}=5.\end{array}\right.$$
Введём новые переменные: `u=1/(2x-y)`, `v=1/(3x+y)`.
Для переменных `u` и `v` получим систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}u+9v=2,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$
Умножим обе части первого уравнения на `2`, получим систему
$$ \left\{\begin{array}{l}2u+18v=4,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы, получим `9u=9`, `u=1`. Из первого уравнения при `u=1` следует, что `v=1/9`.
Из условия `1/(2x-y)=1` следует, что `2x-y=1`, а из условия `1/(3x+y)=1/9` следует, что `3x+y=9`. Решаем систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2x-y=1,\\ 3x+y=9.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения системы: `5x=10`, `x=2`, из первого уравнения получаем `4-y=1`, `y=3`.
`(2;3)`.
Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, теперь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными.
С помощью способа сложения сводим систему трёх уравнений с тремя неизвестными к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Покажем это на примере.
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}10x-5y-3z=-9,\\ 6x+4y-5z=-1,\\ 3x-4y-6z=-23.\end{array}\right.$$
Уравняем коэффициенты при `x` в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на `3`, а второго уравнения – на `5`, получаем:
$$ \left\{\begin{array}{l}30x-15y-9z=-27,\\ 30x+20y-25z=-5.\end{array}\right.$$
Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое уравнение, получаем:
`35y-16z=22`.
Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на `2`, получаем:
`4y+8y-5z+12z=-1+46`, `12y+7z=45`.
Теперь решаем новую систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}35y-16z=22,\\ 12y+7z=45.\end{array}\right.$$
К первому уравнению новой системы, умноженному на `7`, прибавляем второе уравнение, умноженное на `16`, получаем:
`35*7y+12*16y=22*7+45*16`,
`245y+192y=154+720`, `437y=874`, `y=2`.
Подставляем `y=2` в уравнение `12y+7z=45`, получаем:
`24+7z=45`, `7z=21`, `z=3`.
Теперь подставляем `y=2`, `z=3` в первое уравнение исходной системы, получаем:
`10x-5*2-3*3=-9`, `10x-10-9=-9`, `10x=10`, `x=1`.
`(1;2;3)`.
При решении задач могут получаться системы уравнений с большим количеством неизвестных, их решение осуществляется аналогичным образом.
В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end{array}\right.$$
Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:
$$\left|x-y\right|=\left\{\begin{array}{l}x-y,\;\mathrm{или}\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm{или}\;x-y<0.\end{array}\right.$$
Следовательно, уравнение `|x-y|=5` при `x-y>=0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y<0` в виде `y-x=5`, и поэтому вместо одной системы уравнений с модулем нам придётся рассмотреть две соответствующие системы.
1 случай. Если `x-y>=0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x-y=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}3x-3y=15,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}5x=25,\\ x-y=5,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=5,\\ y=0.\end{array}\right.$$
Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.
2 случай. Если `x-y<0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2y-2x=10,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 5y=20,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=4.\end{array}\right.$$
При `x=-1`, `y=4`, условие `x-y<0` также выполняется.
Таким образом, система имеет два решения `(5;0)` и `(-1;4)`.
Итак, при решении уравнения с модулем мы выполнили следующие шаги:
1) «раскрыли» модуль;
2) решили системы для двух случаев;
3) проверили для каждой из систем, удовлетворяет ли найденная пара чисел рассматриваемому случаю.
Однако в системе уравнений может оказаться не один, а два, три или более модулей. В этом случае необходимо рассмотреть все возможные варианты раскрытия модулей.
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4\left|y\right|=3.\end{array}\right.$$
По определению модуля числа
$$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;\;\;x\geq0,\\-x,\;x<0,\end{array}\right.\;\;\left|y\right|=\left\{\begin{array}{l}y,\;\;\;\;y\geq0,\\-y,\;y<0.\end{array}\right.$$
Значит нужно рассмотреть 4 случая:
1) `x>=0`, `y>=0`;
2) `x>=0`, `y<0`;
3) `x<0`, `y>=0`;
4) `x<0`, `y<0`.
1 случай. `x>=0`, `y>=0`, система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}8y=0,\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{1,5},\\ y=0.\end{array}\right.$$
Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.
2 случай. `x>=0`, `y<0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. x+2y=\mathrm{1,5}$$.
Получим равносильную систему, уравнения которой совпадают. Значит, исходная система равносильна каждому из данных уравнений. Следовательно, система имеет бесконечно много решений, где общие решения можно записывать в виде `(1,5-2y;y)`, где `y<0`. Очевидно, что при этом `x=1,5-2y>=0`.
3 случай. `x<0`, `y>=0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}-2x+4y+2x-4y=6,\\ -x+2y=\mathrm{1,5}.\end{array}\right.$$
Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.
4 случай. `x<0`, `y<0` система имеет вид:
$$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}4x=0,\\ -x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=\mathrm{0,75}.\end{array}\right.$$
Значение `x` не удовлетворяет заданному условию: неравенство `0<0` логично. Значит, и в этом случае решений тоже нет.
Обобщая все 4 случая и учитывая, что пара чисел `(1,5;0)` имеет вид `(1,5-2y;y)` при `y=0`, мы можем записать множество решений исходной системы.
`(1,5-2y;y)`, где `y<=0`.
Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с модулем
1. Найти в уравнениях все выражения, содержащиеся под знаком модуля.
2. Рассмотреть всевозможные комбинации случаев, когда каждое из этих выражений принимает неотрицательные и отрицательные значения.
3. Для каждого возможного случая «раскрыть» модули, используя определение модуля.
4. Решить все полученные системы.
5. Для каждого случая отобрать те решение системы, которые ему удовлетворяют.
Можно и другим способом решать, например:
Решите систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}2\left|x\right|-3\left|y-1\right|=3,\\ 3x-2y=5.\end{array}\right.$$
Из второго уравнения системы выражаем `x` через `y`, получаем `x=(2y+5)/3`, подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:
`2/3|2y+5|-3|y-1|=3`; `4/3|y+5/2|-3|y-1|=3`.
Выражение `y+5/2=0` при `y=-5/2`.
Если `y> -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y< -5/2`, то `|y+5/2|=-y-5/2`.
Выражение `y-1=0`, если `y=1`.
Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y<1`, то `|y-1|=1-y`.
Если `y>=1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:
`4/3(y+5/2)-3(y-1)=3`, `4/3y+10/3-3y+3=3`, `-5/3y=-10/3`, `y=2`.
Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.
Пусть теперь `-5/2 <=y<1`, тогда `|y-1|=1-y`; `|y+5/2|=y+5/2`.
Для нахождения `y` получаем уравнение
`4/3(y+5/2)+3y-3=3`, `4/3y+10/3+3y=6`, `13/3y=8/3`, `y=8/13`;
`x=1/3(2y+5)=1/3(16/13+5)=27/13`.
Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.
Если `y< -5/2`, то получаем уравнение:
`-4/3(y+5/2)+3y-3=3`, `-4/3y-10/3+3y=6`, `5/3y=28/3`, `y=28/5`.
Это значение больше, чем `(-5/2)`, поэтому решений нет.
Таким образом, система имеет два решения `(3;2)` и `(27/13;8/13)`.
Теперь рассмотрим решение систем содержащих параметр.
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод.
Рассмотрим систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}ax+4y=2a,\\ x+ay=a.\end{array}\right.$$
В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: `a`, `x`, `y`. Неизвестными считают `x` и `y`, `a` называют параметром. Требуется найти решения `(x, y)` данной системы при каждом значении параметра `a`.
Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную `x` из
второго уравнения системы: `x=a-ay`. Подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:
`a(a-ay)+4y=2a`,
`(2-a)(2+a)y=a(2-a)`.
Если `a=2`, то получаем уравнение `0*y=0`. Этому уравнению удовлетворяет любое число `y`, и тогда `x=2-2y`, т. е. при `a=2` пара чисел `(2-2y;y)` является решением системы. Так как `y` может быть любым числом, то система при `a=2` имеет бесконечно много решений.
Если `a=-2`, то получаем уравнение `0*y=-8`. Это уравнение не имеет ни одного решения.
Если теперь `a!=+-2`, то `y=(a(2-a))/((2-a)(2+a))=a/(2+a)`,
`x=a-ay=a-a^2/(2+a)=(2a)/(2+a)`.
При `a=2` система имеет бесконечно много решений вида `(2-2y;y)`, где `y` - любое число;
при `a=-2` система не имеет решений;
при `a!=+-2`, система имеет единственное решение `((2a)/(2+a); a/(2+a))`.
Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра `a` система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра `a` она не имеет решений.
При каких значениях параметра `a` система
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x+y=a\end{array}\right.$$
не имеет решений?
Левые части уравнений системы равны. Если будут равны и правые, то есть `a=5`, то получим `2` одинаковых уравнения `x+y=5`, и решением системы будут все пары `(x,y)`, которые удовлетворяют уравнению `x+y=5`, т. е. все точки прямой `y=-x+5`.
Но, если `a!=5`, то получим два уравнения, у которых левые части равны, а правые нет, это две параллельные прямые `y=-x+5` и `y=-x+a`.
Они не пересекаются, и значит, система не имеет решений.
При `a!=5` система не имеет решений.
Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за `2,5` часа. Если он увеличит скорость на `20` км/ч, то за `2` часа он проедет путь на `15` км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите расстояние от города до посёлка.
Обозначим через `S` расстояние между городом и посёлком и через `v` скорость автомобиля. Тогда для нахождения `S` получаем систему из двух уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}v=S,\\ \left(v+20\right)2=S+15.\end{array}\right.$$
Из первого уравнения `v=S/(2,5)=2/5S`, подставляем это значение `v` во второе уравнение:
`(2/5S+20)2=S+15`, `1/5S=25`, `S=125`.
`125` км.
Сумма цифр двузначного числа равна `15`. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на `27` больше исходного. Найдите эти числа.
Пусть данное число `bar(ab)`, т. е. число десятков равно `a`, а число единиц равно `b`. Из первого условия задачи имеем: `a+b=15`. Если из числа `bar(ba)` вычесть число `bar(ab)`, то получится `27`, отсюда получаем второе уравнение: `10b+a-(10a+b)=27`.
Решаем систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ -9a+9b=27,\end{array}\right.$$ $$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ a-b=-3.\end{array}\right.$$
Сложим уравнения последней системы, получаем: `2a=12`, `a=6`, тогда `b=9`. Заданное число `69`, второе число `96`.
`69` и `96`. ▲
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля `5%` и `40%`. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось `140` т стали с содержанием никеля `30%`?
Обозначим через `x` массу стали с `5%` содержанием никеля и через `y` массу стали с `40%` содержанием никеля. Тогда `x+y=140`. В `x` тоннах стали содержится `0,05x` никеля, а в `y` тоннах стали содержится `0,04y` никеля. Масса никеля равна `0,05x+0,4y` и составляет `30%` от `140` т, т. е. `3/10 140 "т"=42 "т"`. Получили второе уравнение
`0,05x+0,4y=42`.
Умножим обе части уравнения на `20`, получим: `x+8y=840`.
Для нахождения `x` и `y` получили систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=140,\\ x+8y=840.\end{array}\right.$$
Вычтем из второго уравнения первое уравнение, получим: `7y=700`, `y=100` тогда `x=140-y=40`.
`40` т, `100` т.
Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за `2` ч `24` мин. Если оператор будет работать `2` ч, а ученик `1` ч, то будет выполнено `2/3` всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи?
Обозначим всю работу за `1`, производительность оператора за `x` и производительность ученика за `y`. Учитываем, что
`2` ч `24` мин`=2 2/5` ч `=12/5` ч.
Из первого условия задачи следует, что `(x+y)12/5=1`. Из второго условия задачи следует, что `2x+y=2/3`. Получили систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)\frac{12}{5}=1,\\ 2x+y=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$$
Решаем эту систему методом подстановки:
`y=2/3-2x`; `(x+2/3-2x)12/5=1`; `(2/3-x)12/5=1`; `12/5x=8/5-1`;
`12/5x=3/5`; `x=1/4`; `y=2/3-1/2=1/6`.
Для оператора понадобится `4` часа `(1:1/4=4)`, а ученику `– 6` часов `(1:1/6=6)`.
