Матрицы. Действия с матрицами: сравнение, сложение, умножение на число, транспонирование.
Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков, разложение по столбцу или строке.
Направленные отрезки. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых векторов.
Базис. Существование и единственность разложения вектора по базису. Координатное представление векторов. Действия с векторами в координатном представлении. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Общая декартова система координат. Зависимость координат от выбора базиса и начала координат. Матрица перехода и ее свойства.
Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное произведение векторов. Координатное представление векторного произведения. Смешанное произведение тройки векторов. Координатное представление смешанного произведения. Двойное векторное произведение.
Способы задания прямой на плоскости. Условие совпадения прямых, задаваемых разными линейными уравнениями. Геометрические свойства линейных неравенств. Способы задания плоскости в пространстве. Способы задания прямой в пространстве. Формулы для расстояний: от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве и от точки до прямой в пространстве.
Произведение матриц и его свойства. Обращение квадратных матриц и его свойства. Детерминант квадратной матрицы n-го порядка и его свойства. Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителей по столбцу или строке. Формула для элементов обратной матрицы. Теорема Крамера.
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Элементарные операции и их свойства. Метод Гаусса.
Определение линейного пространства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис. Координаты. Замена координат. Размерность. Подпространство. Размерность суммы двух подпространств. Линейная оболочка набора элементов. Ее свойства и размерность.
Линейные отображения и преобразования в линейном пространстве. Координатное представление линейных отображений, инъективность и сюръективность. Правило изменения матрицы линейного отображения при замене базисов.
Инвариантные подпространства линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения, их свойства. Отыскание собственных значений и собственных векторов в конечномерном случае. Инвариантность характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Размерность собственного подпространства линейного преобразования.
Билинейные формы и их координатное представление. Правило изменения матрицы билинейной формы при замене базиса. Симметричные билинейные формы.
Квадратичные формы. Отыскание базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.
Теорема инерции для квадратичной формы. Знаковая определенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогональное дополнение, ортогональная проекция.
Ортогонализация базиса. Матрица Грама и ее свойства. Координатное представление скалярного произведения в конечномерном случае.
Сопряженные преобразования. Их свойства и координатное представление. Самосопряженные преобразования и их свойства. Существование ортонормированного базиса, образованного из собственных векторов самосопряженного преобразования.
Ортогональные преобразования и их свойства. Приведение квадратичных форм к диагональному виду при помощи ортогональной замены базиса.
