-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, доцент, Заслуженный работник высшей школы РФ, заместитель председателя научно-методического совета ЗФТШ МФТИ.
2 июля
§4. Задачи о делении отрезка 02.07.2024 08:44
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
5 комментариев
116 просмотров
15 января
§1. Свойства касательных, хорд и секущих 15.01.2024 11:49
1. Две касательные из одной точки.
Пусть к окружности с центром в точке $$O$$ проведены две касательные $$AM$$ и $$AN$$, точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности (рис. 1).
По определению касательной $$OM \perp AM$$ и $$ON \perp AN$$. В прямоуго...
4 комментария
230 просмотров
15 января
§ 2. Площадь треугольника 15.01.2024 11:49
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны;
$$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к...
1 комментарий
274 просмотра
7 ноября 2023 г.
§5. Домашнее задание 07.11.2023 08:52
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. Если в решении длина какого-либо отрезка выразилась иррациональным числом (например, `a=sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не сле...
286 просмотров
26 апреля 2023 г.
Введение 26.04.2023 11:10
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы р...
1 комментарий
367 просмотров
26 апреля 2023 г.
§4. Задачи о делении отрезка 26.04.2023 11:10
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
3 комментария
238 просмотров
26 апреля 2023 г.
Домашнее задание 26.04.2023 11:10
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...
9 комментариев
230 просмотров
13 марта 2022 г.
§2. Замечательные точки треугольника 13.03.2022 16:43
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
25 комментариев
661 просмотр
9 марта 2021 г.
§ 3 Параллелограмм 09.03.2021 08:40
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
835 просмотров
9 марта 2021 г.
§4. Задачи о делении отрезка 09.03.2021 08:40
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
1055 просмотров
2 июня 2020 г.
§3 Алгебраический метод 02.06.2020 19:49
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
3 комментария
960 просмотров
23 марта 2020 г.
§ 1. Геометрическое место точек 23.03.2020 20:30
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
1603 просмотра
23 марта 2020 г.
§ 2. Задачи на построение 23.03.2020 20:30
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
1 комментарий
1578 просмотров
23 марта 2020 г.
§3 Алгебраический метод 23.03.2020 20:30
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
2 комментария
1376 просмотров
30 января 2020 г.
§ 2. Площадь треугольника 30.01.2020 07:59
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны;
$$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к...
2252 просмотра
7 декабря 2019 г.
§ 3 Параллелограмм 07.12.2019 17:32
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
1 комментарий
1249 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Замечательные точки треугольника 07.12.2019 17:32
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
1381 просмотр
7 декабря 2019 г.
Решение планиметрических задач 07.12.2019 17:32
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
1219 просмотров
7 декабря 2019 г.
§4. Свойства трапеции 07.12.2019 17:32
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
1118 просмотров
7 декабря 2019 г.
Домашнее задание 07.12.2019 17:32
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очко...
1248 просмотров
6 ноября 2019 г.
Введение 06.11.2019 06:47
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
1419 просмотров
6 ноября 2019 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 06.11.2019 06:47
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
1488 просмотров
6 ноября 2019 г.
§4. Свойства трапеции 06.11.2019 06:47
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
1486 просмотров
25 июня 2019 г.
Примеры ответов на контрольные вопросы 25.06.2019 10:27
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. ...
2865 просмотров
25 июня 2019 г.
Домашнее задание 25.06.2019 10:26
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...
6 комментариев
2356 просмотров
25 июня 2019 г.
§4. Задачи о делении отрезка 25.06.2019 10:26
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
2086 просмотров
25 июня 2019 г.
§2. Замечательные точки треугольника 25.06.2019 10:26
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
1 комментарий
2531 просмотр
25 марта 2019 г.
§ 2. Задачи на построение 25.03.2019 07:22
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
6 комментариев
2335 просмотров
25 марта 2019 г.
§ 1. Геометрическое место точек 25.03.2019 07:22
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
2616 просмотров
19 февраля 2019 г.
§ 2. Площадь треугольника 19.02.2019 06:12
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны;
$$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к...
2897 просмотров
24 октября 2018 г.
§4. Свойства трапеции 24.10.2018 07:38
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
2968 просмотров
24 октября 2018 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 24.10.2018 07:38
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
2032 просмотра
10 октября 2018 г.
§ 3 Параллелограмм 10.10.2018 08:23
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
2275 просмотров
10 июля 2018 г.
Решение планиметрических задач 10.07.2018 13:39
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
2256 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение 06.07.2018 07:46
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы р...
2269 просмотров
5 июля 2018 г.
Примеры ответов на контрольные вопросы 05.07.2018 09:24
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. ...
3333 просмотра
5 июля 2018 г.
Домашнее задание 05.07.2018 09:24
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...
2716 просмотров
5 июля 2018 г.
§4. Задачи о делении отрезка 05.07.2018 09:24
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
2765 просмотров
5 июля 2018 г.
§2. Замечательные точки треугольника 05.07.2018 09:24
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
3094 просмотра
23 апреля 2018 г.
§3 Алгебраический метод 23.04.2018 08:29
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
4449 просмотров
23 апреля 2018 г.
§ 2. Задачи на построение 23.04.2018 08:28
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
8618 просмотров
23 апреля 2018 г.
§ 1. Геометрическое место точек 23.04.2018 07:21
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
8425 просмотров
20 февраля 2018 г.
§3. Площадь четырёхугольника 20.02.2018 00:24
1. В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма:
$$S=a\cdot h_a = b\cdot h_b,\:\:\:\:\:\: (6)$$
$$S=a\cdot b \textrm{sin}\varphi,\:\:\:\:\:\: (7)$$
где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты к н...
3332 просмотра
19 февраля 2018 г.
§ 2. Площадь треугольника 19.02.2018 20:54
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны; $$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к ...
4787 просмотров
23 ноября 2017 г.
Домашнее задание 23.11.2017 13:16
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очко...
3069 просмотров
23 ноября 2017 г.
§4. Свойства трапеции 23.11.2017 11:15
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
16820 просмотров
22 ноября 2017 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 22.11.2017 11:11
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
4261 просмотр
22 ноября 2017 г.
Введение 22.11.2017 11:08
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
2660 просмотров
18 ноября 2017 г.
Домашнее задание 17.11.2017 23:04
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится 0 очков. Примеры...
2994 просмотра
17 ноября 2017 г.
§4. Свойства трапеции 17.11.2017 13:51
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
4.1°. Диаго...
4038 просмотров
16 ноября 2017 г.
Введение 16.11.2017 19:00
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
2715 просмотров
16 ноября 2017 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 15.11.2017 22:27
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам A,BA , B и CC, обозначим a,ba, b и cc, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно запи...
4531 просмотр
8 ноября 2017 г.
§ 3 Параллелограмм 08.11.2017 12:09
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
4190 просмотров
11 октября 2017 г.
Решение планиметрических задач 10.10.2017 21:50
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
1 комментарий
3837 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.