-
Описание
Старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ , редактор журнала «Потенциал».
Автор пособий «Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ» и «Решение сложных задач ЕГЭ».
Преподаватель подготовительных курсов МФТИ.
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
26 апреля 2023 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 26.04.2023 11:20
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
829 просмотров
13 марта 2022 г.
§9. Логарифмические неравенства. 13.03.2022 16:43
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
2 комментария
864 просмотра
13 марта 2022 г.
§4. Системы уравнений 13.03.2022 16:43
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1069 просмотров
13 марта 2022 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 13.03.2022 16:43
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {X}_{1}, {X}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
5 комментариев
1061 просмотр
9 марта 2021 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 09.03.2021 08:40
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1374 просмотра
10 июня 2020 г.
Литература 10.06.2020 16:42
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако»,...
1631 просмотр
4 июня 2020 г.
Литература 04.06.2020 10:21
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
1 комментарий
1669 просмотров
2 июня 2020 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование 02.06.2020 19:49
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ по о...
1546 просмотров
2 июня 2020 г.
§1. Введение 02.06.2020 19:49
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел $$ a$$ и $$ b$$ и любых действительных чисел $$ \alpha $$ и $$ \beta $$ справедливы свойства:
свойства
...
1391 просмотр
2 июня 2020 г.
§3. Показательные уравнения 02.06.2020 19:49
Из монотонности показательной функции следует, что $$ {a}^{x}={a}^{y}\iff x=y$$.
Из свойств показательной функции следует, что, если $$ a>0$$, $$ a\ne 1$$, то простейшее показательное уравнение $$ {a}^{x}=b$$ при $$ b\le 0$$ не имеет решения, а при...
1467 просмотров
2 июня 2020 г.
§4. Логарифмические уравнения 02.06.2020 19:49
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1335 просмотров
2 июня 2020 г.
§7. Показательные неравенства 02.06.2020 19:49
Рассмотрим неравенство $$ {a}^{f\left(x\right)}>{a}^{g\left(x\right)}$$.
Пусть $$ f\left(x\right)$$ и $$ g\left(x\right)$$ - непрерывные функции на некотором промежутке $$ X$$, где задано число $$ a>0$$. Тогда $$ {a}^{f\left(x\right)}$$, $$ {a}^...
1344 просмотра
2 июня 2020 г.
§9. Логарифмические неравенства. 02.06.2020 19:49
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
1345 просмотров
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы 07.12.2019 17:32
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1815 просмотров
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений 07.12.2019 17:32
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1621 просмотр
7 декабря 2019 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 07.12.2019 17:32
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1890 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 07.12.2019 17:32
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1741 просмотр
7 декабря 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 07.12.2019 17:32
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\...
1854 просмотра
7 декабря 2019 г.
12. Задачи с параметром 07.12.2019 17:32
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1 комментарий
1777 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 07.12.2019 17:32
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
5 комментариев
1815 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 07.12.2019 17:32
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1842 просмотра
7 декабря 2019 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 07.12.2019 17:32
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {Х}_{1}, {Х}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
3 комментария
1790 просмотров
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений 03.06.2019 07:28
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
2145 просмотров
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 03.06.2019 07:28
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
2407 просмотров
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 03.06.2019 07:28
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
2635 просмотров
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 28.05.2019 07:30
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
2503 просмотра
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 28.05.2019 07:30
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
2452 просмотра
28 мая 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 28.05.2019 07:30
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1 комментарий
1911 просмотров
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства 10.12.2018 11:26
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
2442 просмотра
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства 10.12.2018 11:26
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
2402 просмотра
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения 10.12.2018 11:26
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
2620 просмотров
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения 10.12.2018 11:26
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
2574 просмотра
10 декабря 2018 г.
§1. Введение 10.12.2018 11:26
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
2310 просмотров
9 июля 2018 г.
Введение 09.07.2018 10:45
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
2883 просмотра
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
3289 просмотров
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
3016 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений 06.07.2018 08:46
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
3433 просмотра
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 06.07.2018 08:46
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
3207 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства 06.07.2018 08:46
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
3349 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение 06.07.2018 08:46
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
2969 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром 06.07.2018 08:34
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
3476 просмотров
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения. 06.07.2018 08:34
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
3127 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d` 06.07.2018 08:34
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
3148 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}` 06.07.2018 08:34
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
3051 просмотр
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 06.07.2018 08:34
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
3196 просмотров
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)| 06.07.2018 08:34
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
3994 просмотра
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 06.07.2018 08:34
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
3089 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 06.07.2018 08:34
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
3116 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 06.07.2018 08:34
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
3142 просмотра
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства 27.12.2017 15:43
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
3593 просмотра
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения 27.12.2017 11:11
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
3364 просмотра
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения 26.12.2017 17:17
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
3693 просмотра
26 декабря 2017 г.
§1. Введение 26.12.2017 11:28
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
3663 просмотра
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
