-
Описание
Старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ , редактор журнала «Потенциал».
Автор пособий «Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ» и «Решение сложных задач ЕГЭ».
Преподаватель подготовительных курсов МФТИ.
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
26 апреля 2023 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 26.04.2023 11:20
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
389 просмотров
13 марта 2022 г.
§9. Логарифмические неравенства. 13.03.2022 16:43
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
2 комментария
427 просмотров
13 марта 2022 г.
§4. Системы уравнений 13.03.2022 16:43
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
581 просмотр
13 марта 2022 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 13.03.2022 16:43
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {X}_{1}, {X}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
5 комментариев
597 просмотров
9 марта 2021 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 09.03.2021 08:40
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
883 просмотра
10 июня 2020 г.
Литература 10.06.2020 16:42
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако»,...
1208 просмотров
4 июня 2020 г.
Литература 04.06.2020 10:21
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
1 комментарий
1252 просмотра
2 июня 2020 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование 02.06.2020 19:49
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ по о...
1062 просмотра
2 июня 2020 г.
§1. Введение 02.06.2020 19:49
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел $$ a$$ и $$ b$$ и любых действительных чисел $$ \alpha $$ и $$ \beta $$ справедливы свойства:
свойства
...
955 просмотров
2 июня 2020 г.
§3. Показательные уравнения 02.06.2020 19:49
Из монотонности показательной функции следует, что $$ {a}^{x}={a}^{y}\iff x=y$$.
Из свойств показательной функции следует, что, если $$ a>0$$, $$ a\ne 1$$, то простейшее показательное уравнение $$ {a}^{x}=b$$ при $$ b\le 0$$ не имеет решения, а при...
987 просмотров
2 июня 2020 г.
§4. Логарифмические уравнения 02.06.2020 19:49
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
920 просмотров
2 июня 2020 г.
§7. Показательные неравенства 02.06.2020 19:49
Рассмотрим неравенство $$ {a}^{f\left(x\right)}>{a}^{g\left(x\right)}$$.
Пусть $$ f\left(x\right)$$ и $$ g\left(x\right)$$ - непрерывные функции на некотором промежутке $$ X$$, где задано число $$ a>0$$. Тогда $$ {a}^{f\left(x\right)}$$, $$ {a}^...
879 просмотров
2 июня 2020 г.
§9. Логарифмические неравенства. 02.06.2020 19:49
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
922 просмотра
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы 07.12.2019 17:32
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1389 просмотров
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений 07.12.2019 17:32
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1237 просмотров
7 декабря 2019 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 07.12.2019 17:32
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1372 просмотра
7 декабря 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 07.12.2019 17:32
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1329 просмотров
7 декабря 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 07.12.2019 17:32
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\...
1404 просмотра
7 декабря 2019 г.
12. Задачи с параметром 07.12.2019 17:32
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1 комментарий
1336 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 07.12.2019 17:32
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
5 комментариев
1378 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 07.12.2019 17:32
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1431 просмотр
7 декабря 2019 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 07.12.2019 17:32
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {Х}_{1}, {Х}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
3 комментария
1367 просмотров
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений 03.06.2019 07:28
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1703 просмотра
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 03.06.2019 07:28
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1969 просмотров
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 03.06.2019 07:28
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
2180 просмотров
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 28.05.2019 07:30
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
2015 просмотров
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 28.05.2019 07:30
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1998 просмотров
28 мая 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 28.05.2019 07:30
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1 комментарий
1467 просмотров
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства 10.12.2018 11:26
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
1981 просмотр
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства 10.12.2018 11:26
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
1947 просмотров
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения 10.12.2018 11:26
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
2143 просмотра
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения 10.12.2018 11:26
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
2094 просмотра
10 декабря 2018 г.
§1. Введение 10.12.2018 11:26
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
1873 просмотра
9 июля 2018 г.
Введение 09.07.2018 10:45
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
2431 просмотр
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
2818 просмотров
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
2548 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений 06.07.2018 08:46
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
2969 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 06.07.2018 08:46
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
2784 просмотра
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства 06.07.2018 08:46
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2877 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение 06.07.2018 08:46
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
2525 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром 06.07.2018 08:34
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
2974 просмотра
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения. 06.07.2018 08:34
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
2698 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d` 06.07.2018 08:34
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
2613 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}` 06.07.2018 08:34
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
2510 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 06.07.2018 08:34
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
2689 просмотров
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)| 06.07.2018 08:34
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
3527 просмотров
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 06.07.2018 08:34
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
2557 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 06.07.2018 08:34
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
2607 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 06.07.2018 08:34
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
2657 просмотров
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства 27.12.2017 15:43
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
3117 просмотров
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения 27.12.2017 11:11
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
2874 просмотра
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения 26.12.2017 17:17
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
3208 просмотров
26 декабря 2017 г.
§1. Введение 26.12.2017 11:28
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
3179 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
Математика
