Математика для поступающих в магистратуру 2021

Действительные числа. Точные верхняя и нижняя грани. Предел последовательности.  Критерий Коши.

Предел и непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса и теорема о промежуточных значениях. Равномерная непрерывность.

Производная. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.  Формула Тейлора. 

Пространство Rⁿ. Открытые, замкнутые и компактные множества.

Мера Жордана в пространстве Rⁿ.

Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные.

Кривые в Rⁿ. Длина кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода.

Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный интеграл. Критерий Коши. Абсолютная и условная
сходимость. Признак Дирихле.

Числовые ряды.  Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак. Эталоны. Абсолютная и условная сходимость. Признак Дирихле. 

Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса, признак Дирихле и критерий Коши равномерной сходимости ряда. 

Степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара. Ряд Тейлора.

Матрицы. Определители матриц 2-го и 3-го порядков.

Направленные отрезки. Векторы. Линейная зависимость векторов.

Базис. Матрица перехода.

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Прямая на плоскости и в пространстве.

Произведение матриц. Детерминант матрицы n-го порядка. Теорема Крамера.

Ранг матрицы.

Системы линейных уравнений​.​ Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

Линейное пространство. Линейные отображения и преобразования в линейном пространстве. Собственные векторы и собственные значения.

Билинейные формы. Квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Евклидово пространство. Матрица Грама.

Самосопряженные преобразования. Ортогональные преобразования.

Коэффициенты Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.

Интегралы, зависящие от параметра. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра.  Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки Вейерштрасса и Дирихле. Критерий Коши. Непрерывность интеграла по параметру. Дифференцирование и интегририрование интеграла по параметру.

Преобразование Фурье. Интеграл в смысле главного значения. Прямое и обратное преобразование Фурье. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Функциональные пространства. Евклидовы и нормированные пространства. Пространства $$C[a;b]$$, $$CL_1[a;b]$$, $$CL_2[a;b]$$, $$RL_1[a;b]$$ и $$RL_2[a;b]$$. Полнота нормированного пространства. Полные системы в нормированных пространствах. Суммы Фейера. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Неявная функция. Якобиан.

Условный и безусловный экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.

Кратный интеграл Римана. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.

Криволинейные интегралы 2-го рода. Формула Грина. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

Дивергенция поля. Формула Гаусса-Остроградского. Ротор поля. Формула Стокса. 

Ряд Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.

Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки Вейерштрасса и Дирихле. Критерий Коши. 

Преобразование Фурье.

Функциональные пространства. Полнота нормированного пространства. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения Бернулли и Риккати. Интегрирующий множитель.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Матричная экспонента. Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений и для уравнения n-го порядка в нормальном виде. Особые решения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля-Остроградского.

Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовые портреты линейных систем 2-го порядка.

Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений и линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка.

Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Вариационная задача со свободным концом. Вариационная задача без ограничений.

Комплексные числа. Комплексная плоскость. Функции комплексного переменного. Дифференцирование. Интегрирование. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Вычеты, вычисление интегралов с помощью вычетов. Регулярные ветви многозначных функций. Вычисление интегралов с использованием регулярных ветвей. Целые и мероморфные функции. Геометрические принципы. Конформные отображения. Дробно-линейные отображения. Конформные отображения элементарными функциями. Теорема Римана.

Вероятностное пространство.

Классическое определение вероятности.

Условная вероятность. Формула полной вероятности, формула Байеса. 

Независимые испытания. Схема Бернулли и биномиальное распределение.

Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. 

Совместное распределение. Ковариация и корреляция. 

Функция распределения. Совместные функция распределения и плотность. Условия независимости случайных величин.

Аппроксимационная теорема и общее определение математического ожидания. 

Неравенства Маркова и Чебышёва. Правило трех сигм. Закон больших чисел.

Характеристические функции. Центральная предельная теорема.

Закон больших чисел в форме Хинчина. Усиленный закон больших чисел.

Дифференциальные уравнения в частных производных. Задача Коши, задача Гурса. Задачи Коши для волнового уравнения. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнения Пуассона. Метод разделения переменных для решения уравнения Лапласа. Интегральные уравнения. Метод Фурье.